沃尔特·布鲁姆。;赫伯特·海耶 超群上概率测度的调和分析。 （英语） Zbl 0828.43005号 德格鲁伊特数学研究20。柏林：de Gruyter。vi，第601页（1995年）。 超群是局部紧群的推广。当局部紧空间上所有有界Radon测度的Banach空间携带一个具有群卷积所有性质的卷积时，除了两个点测度的卷积是具有紧支撑的概率测度，而不一定是点测度之外，它们就会出现。离散超群与Schur环、Hecke代数和关联方案密切相关。虽然这些对象主要在代数和数论方面进行研究，但超群是由C.F.Dunkl公司[《美国数学学会学报》179、331–348（1978；Zbl 0241.43003号)],R.杰韦特[高等数学.18，1-101（1975；Zbl 0325.42017号)]、和R.Spector公司[《美国数学学会学报》239、147–166（1978年；Zbl 0428.43001号)]. 目的是统一紧群对偶、双陪集空间（G//H）（（H）局部紧群（G）的紧致子群）和与特殊函数乘积线性化公式相关的交换卷积代数的调和分析。最近研究发现，量子Gelfand对以及\（\text）的双晶石不可约双模{二} _1个\)-因子也会导致超群。交换超群上的调和分析和概率论也得到了很好的发展，群论的许多结果仍然有效。除了俄罗斯数学家关于超复杂系统的专著（它们承认比超群更复杂的公理）之外，正在审查的研究专著是第一本从调和分析和概率论的角度研究超群的专著。Bloom和Heyer的专著组织如下：第一章讨论了超群的基础、超群的测度代数以及从其他数学对象（如群）到超群的基本构造。第一章的重点是Jewett和Spector提出的Haar测度的存在性和唯一性。第二章研究交换超群的对偶空间。这里提出的许多概念（如傅里叶变换和Plancherel测度）继承了局部紧阿贝尔群的理论，没有实质性的变化。另一方面，交换超群出现了一些基本的新问题：首先，交换超组的对偶空间（广义K）通常不承认规范的对偶超群结构（除了一些来自群论的例子）。此外，可能会出现Plancherel测度（pi）的支持是（widehat K）的适当子集；更糟糕的是，普通字符可能不包含在\（\text{supp}\pi\）中。这种缺陷有时会导致代数概率论中的严重问题。为了至少克服其中一些问题，作者在第2.3节中描述了利用正特征对超群卷积的修改。这个有用的修改过程在群论中没有对应的。第三章是超群的具体例子的来源；特别地，它说明了许多特殊函数（如正交多项式、雅可比函数等）与具体的超群结构密切相关。这表明，对于许多特殊函数，许多看似只有形式上相关的公式在超群的框架下承认了自然的共同解释。第三章的主要部分讨论了紧区间和半轴上的多项式超群（即特征为正交多项式的离散交换超群）和Sturm-Liouville超群后者是交换超群，其特征是Sturm-Liouville微分算子的本征函数。第三章以W.Connett和A.Schwartz以及Hm.Zeuner对所有具有额外优良性质的一维超群的分类的最新贡献作为结束。第4-7章讨论交换超群的概率论。第四章主要是谐波分析的一些准备工作。例如，那里的作者处理正定函数和负定函数、Lévy连续性定理以及Lév-Khintchine表示。这些结果在第五章中被用来研究交换超群的所有概率测度的卷积半群、无穷可分测度和半群的因式分解性质。第4章和第5章中发展的代数概率理论与其他类似主题的专著中讨论的结果有关；看见H.海耶[局部紧群的概率测度.柏林等：Springer Verlag（1977；Zbl 0376.60002号)],K.R.Parthasarathy公司[度量空间上的概率测度.纽约等：学术出版社（1967；Zbl 0153.19101号)]、和I.Z.鲁兹萨和G.J.塞凯利【代数概率论。奇切斯特（英国）：威利（1988；Zbl 0653.60012号)]. 第6章包含对瞬态卷积半群的贡献。主要讨论了Chung-Fuchs准则、势测度和不变Dirichlet形式。在第七章中，作者研究了超群上的随机游动及其在时间趋于无穷大时的极限行为。在群情形下，这种随机游动被定义为独立群值随机变量（X_i）的乘积（（X_1\cdot X_2\cdots X_n）{n\geq 1}）。根据Hm.Zeuner的说法，这种方法可以借助于一种称为具体化的构造转换为超群。第7.1节介绍了这一基本结构。其余部分包含\（\mathbb上多项式超群上随机游动的极限定理{N} _0（0）\)和\（[0，\infty[\）上的Sturm-Liouville超群这些强大数定律、中心极限定理和不变性原理的证明在很大程度上依赖于广义矩函数、基本矩函数特征的渐近行为和基本超群结构特征的渐近性。一个有趣的方面是，底层超群的不同增长特性导致了相关随机游动的完全不同的极限行为。第八章对超群理论的一些最新发展进行了展望。这本专著的结尾是一个相当完整的参考文献列表，包含600多个条目，以及一个超群示例列表。正在审查的专著是在部分理论快速发展的时期撰写的；它试图涵盖超群理论的大多数方面：基础、示例、调和分析、代数概率论、势理论和随机游动的极限定理。因此，很明显，有些主题不能在一本书中以完全令人满意和自足的方式处理。有时，读者熟悉群论的相应结果是非常有用的，我认为Jewett的论文仍然是第一次介绍所必需的。另一方面，这本研究专著对迅速发展的研究领域进行了有益的全面阐述，因此，现在似乎有必要出版这本有用的专著。我希望来自不同数学学科的研究人员将从书中提出的原则中受益。审核人：迈克尔·沃伊特（图宾根） 引用于14评论引用于231文件 MSC公司： 43平方英寸 超群的调和分析 43-02 与抽象谐波分析相关的研究综述（专著、调查文章） 28A33型 测度空间，测度收敛 20N20型 超级组 33C65个 Appell、Horn和Lauricella函数 60B99型 代数和拓扑结构的概率论 60F05型 中心极限和其他弱定理 2015年1月60日 强极限定理 33立方厘米 超几何型正交多项式和函数（Jacobi、Laguerre、Hermite、Askey格式等） 31个C99 势理论的一般化 关键词：超群;卷积;概率测度;谐波分析 引文：Zbl 0241.43003号;Zbl 0325.42017号;Zbl 0428.43001号;Zbl 0376.60002号;Zbl 0153.19101号;Zbl 0653.60012号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{W.R.Bloom}和\textit{H.Heyer}，超群上概率测度的调和分析。柏林：de Gruyter（1995；Zbl 0828.43005）