哈拉尔德·加克;保罗·Hüttl;克里斯蒂安·卡勒;帕特里克·克诺普夫;蒂姆·劳克斯 谱形状和拓扑优化的相场方法。 （英语） Zbl 1512.35411号 ESAIM，控制优化。计算变量。 29，第10号论文，57页（2023年）。 本文讨论形状优化问题\[\min\Big\｛\Psi\Big（\lambda_｛i_1｝（D），\dots，\lambda_｛i_\ell｝（D）\Big）\Big\｝\text｛and｝\min\Big\｛\Psi\Big（\mu_｛i_1｝（D），\dots，\mu_｛i_\ell｝（D）\Big）\Big\｝，\]其中，\（lambda_k（D）\）和\（mu_k（D）\）分别是具有Dirichlet和Neumann边界条件的Laplace算子的特征值。在给定的设计区域\（\欧米茄\）。众所周知，无论是理论上还是数值上，这类问题都很难解决，尤其是当添加其他约束时，如体积约束、禁止或强制区域等。作者提出了一种处理上述形状优化问题的近似方法，包括用相场函数\（\varphi）取其在\（[-1,1]\）中的值，并引入一个小参数\（\epsilon\）来测量近似过程的大小。这样，近似优化问题变成\[\min\Big\｛\Psi\Big（\lambda_｛i_1｝（\epsilon，\varphi），\dots，\lambda_｛i_\ell｝（\epsilon，\varphi）\Big）+E^\epsilon（\varphi）\Big\｝\text｛and｝\min\Big\｛\Psi\Big（\mu_｛i_1｝（\epsilon，\varphi），\dots，\mu_｛i_\ell｝（\epsilon，\varphi）\Big）+E^\epsilon（\varphi）\Big\｝，\]其中Dirichlet和Neumann近似特征值\（lambda_k（\epsilon，\varphi。这样一来，初始形状优化问题就变成了一个由固定域（Omega）上的PDE控制的最优控制问题，其中相场函数充当控制变量。给出了几个有趣的数值例子，以验证所提出的方法。审核人：朱塞佩·布塔佐（比萨） 引用于1审查引用于2文件 MSC公司： 35P05号 偏微分方程线性谱理论的一般主题 第35页 偏微分方程背景下特征值的估计 35兰特 偏微分方程的自由边界问题 4.95亿 基于必要条件的数值方法 49米41 PDE约束优化（数值方面） 49K20型 偏微分方程问题的最优性条件 49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论 49J40型 变分不等式 2010年第49季度 优化最小曲面以外的形状 49卢比 算子特征值的变分方法 关键词：特征值优化;形状优化;拓扑优化;PDE约束优化;相场法;一阶条件;锐界面极限;Γ-极限;有限元近似。 软件：SyFi系统;SLEPc公司;PETSc公司;FEniCS公司;伊波特 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Garcke}等人，ESAIM，控制优化。计算变量29，第10号论文，57页（2023年；Zbl 1512.35411） 全文： DOI程序 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] G.Allaire，用均匀化方法进行形状优化，应用数学科学。Springer-Verlag，纽约（2002年）·Zbl 0990.35001号 [2] G.Allaire和F.Jouve，振动和多载荷结构优化的水平集方法。计算。应用方法。机械。工程194（2005）3269-3290·Zbl 1091.74038号 [3] G.Allaire、F.Jouve和A.-M.Toader，使用灵敏度分析和水平集方法进行结构优化。J.计算。物理学。194 (2004) 363-393. ·Zbl 1136.74368号 [4] M.Alns、J.Blechta、J.Hake、A.Johansson、B.Kehlet、A.Logg、C.Richardson、J.Ring、M.Rognes和G.Wells，FEniCS项目1.5版。架构（architecture）。数字。柔和。3（2015）10.11588/ans.2015.100.20553。 [5] H.W.Alt，线性函数分析。Universitext，Springer-Verlag London，London（2016）·Zbl 1358.46002号 [6] L.Ambrosio和G.Buttazzo，带周长惩罚的优化设计问题。计算变量部分差异。埃克。1 (1993) 55-69. ·Zbl 0794.49040号 [7] L.Ambrosio、N.Fusco和D.Pallara，有界变差函数和自由不连续性问题。牛津数学专著，克拉伦登出版社，牛津大学出版社，纽约（2000年）·兹比尔0957.49001 [8] P.R.S.Antunes和P.Freitas，狄利克雷和诺伊曼拉普拉斯算子低本征值的数值优化。J.优化。理论应用。154 (2012) 235-257. ·Zbl 1252.90076号 [9] P.R.S.Antunes和E.Oudet，拉普拉斯特征值极值问题的数值结果，形状优化和谱理论。De Gruyter Open，华沙（2017），第398-411页。 [10] H.Attouch，G.Buttazzo和G.Michaille，Sobolev和BV空间中的变分分析。MOS-SIAM优化系列，第17卷，第2版。，工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城；数学优化学会，宾夕法尼亚州费城（2014）·Zbl 1311.49001号 [11] S.Balay、S.Abhyankar、M.Adams、J.Brown、P.Brune、K.Buschelman、L.Dalcin、V.Eijkhout、W.Gropp、D.Kaushik、M.Knepley、D.May、L.C.McInnes、R.T.Mills、T.Munson、K.Rupp、P.Sanan、B.Smith、S.Zampini、H.Zhang和H.Zang，PETSc用户手册。技术代表ANL-95/11-第3.9版。阿贡国家实验室（2018）。 [12] S.Balay、W.D.Gropp、L.C.McInnes和B.F.Smith，面向对象数值软件库中并行性的有效管理，载于E.Arge、A.M.Bruaset和H.P.Langtantin（编辑），现代科学计算软件工具。比克豪泽出版社（1997）163-202·Zbl 0882.65154号 [13] M.P.Bendsoe和O.Sigmund，《拓扑优化：理论、方法和应用》。斯普林格（2004）·Zbl 1059.74001号 [14] L.Blank、H.Garcke、M.H.Farshbaf-Shaker和V.Styles，结构拓扑优化的相关相场和尖锐界面方法。ESAIM:COCV 20（2014）1025-1058·Zbl 1301.49113号 ·doi:10.1051/cocv/201406 [15] L.Blank和C.Rupprecht，投影梯度法在Banach空间设置中的扩展及其在结构拓扑优化中的应用。SIAM J.控制优化。55 (2017) 1481-1499. ·Zbl 1366.49032号 [16] J.F.Blowey和C.M.Elliott，非光滑自由能相分离的Cahn-Hilliard梯度理论。I.数学分析。Eur.J.应用。数学。2 (1991) 233-280. ·Zbl 0797.35172号 [17] B.Bogosel和E.Oudet，周长约束谱问题的定性和数值分析。SIAM J.控制优化。54 (2016) 317-340. ·Zbl 1335.49070号 [18] B.Bogosel和B.Velichkov，特征值的多阶段形状优化问题：定性研究和数值结果。SIAM J.数字。分析。54 (2016) 210-241. ·Zbl 1334.49128号 [19] B.Bourdin、D.Bucur和E.Oudet，特征值的最优划分。SIAM J.科学。计算。31（2009/10）4100-4114·Zbl 1207.49050号 [20] D.Bucur和G.Buttazzo，形状优化问题中的变分方法。非线性微分方程及其应用进展第65卷。Birkhauser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿（2005）·Zbl 1117.49001号 [21] D.Bucur、G.Buttazzo和A.Henrot，带周长约束的A2（H）最小化。印第安纳大学数学。J.58（2009）2709-2728·Zbl 1186.49032号 [22] M.Burger、B.Hackl和W.Ring，将拓扑导数纳入水平集方法。J.计算。物理学。194 (2004) 344-362. ·Zbl 1044.65053号 [23] G.Buttazzo和G.Dal Maso，Dirichlet问题的形状优化：松弛公式和优化条件。申请。数学。优化。23（1991）17-49·Zbl 0762.49017号 [24] G.Buttazzo和G.Dal Maso，一类形状优化问题的存在性结果。架构（architecture）。Ratl公司。机械。分析。122 (1993) 183-195. ·Zbl 0811.49028号 [25] G.Dal Maso，T收敛简介。非线性微分方程及其应用进展，第8卷。Birkhäuser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿（1993）·Zbl 0816.49001号 [26] G.Dal-Maso和F.Murat，具有齐次单调算子的穿孔域中Dirichlet问题的渐近行为和校正器。Ann.Scuola Norm，。主管比萨Cl.Sci。(4) 24 (1997) 239-290. ·Zbl 0899.35007号 [27] G.De Philippis、J.Lamboley、M.Pierre和B.Velichkov，涉及周长的形状优化问题的极小值的正则性。数学杂志。Pures应用程序。(9) 109 (2018) 147-181. ·Zbl 1381.49044号 [28] G.De Philippis和B.Velichkov，一些带周长约束的谱泛函极小子的存在性和正则性。申请。数学。优化。69 (2014) 199-231. ·Zbl 1297.49077号 ·doi:10.1007/s00245-013-9222-4 [29] M.C.Delfour和J.-P.Zolesio，形状优化中致密性的均匀脂肪段和尖端特性。申请。数学。优化。55 (2007) 385-419. ·Zbl 1119.49034号 [30] L.C.Evans，偏微分方程。数学研究生课程，第19卷，第2版。美国数学学会，普罗维登斯，RI（2010）·Zbl 1194.35001号 [31] H.Garcke和C.Hecht，用相场方法对Stokes流进行形状和拓扑优化。申请。数学。优化。73 (2016) 23-70. ·Zbl 1334.49133号 [32] H.Garcke、C.Hecht、M.Hinze、C.Kahle和K.F.Lam，使用相场方法对Navier-Stokes流中的表面泛函进行形状优化。接口自由绑定。18 (2016) 219-261. ·Zbl 1352.49046号 [33] H.Garcke、P.Hüttl和P.Knopf，形状和拓扑优化，包括弹性结构的特征值：多相场方法。高级非线性分析。11 (2022) 159-197. ·兹比尔1475.35217 [34] D.Gilbarg和N.S.Trudinger，二阶椭圆偏微分方程，数学经典。Springer-Verlag，柏林（2001），1998年版重印。 [35] E.Gonzalez，U.Massari和I.Tamanini，关于具有体积约束的最小周长集边界的正则性。印第安纳大学数学。《J.32》（1983）25-37·Zbl 0486.49024号 [36] E.M.Harrell，II，P.Kroger和K.Kurata，《关于设置障碍物或井以优化基本特征值》。SIAM J.数学。分析。33 (2001) 240-259. ·Zbl 0994.47015号 [37] C.Hecht，《使用相场方法进行流体形状和拓扑优化以及在结构优化中的应用》，博士论文。雷根斯堡大学（2014）。 [38] A.Henrot，椭圆算子特征值的极值问题，数学前沿，Birkhüuser Verlag，巴塞尔（2006）·Zbl 1109.35081号 [39] A.Henrot，形状优化和光谱理论，De Gruyter Open Poland（2017）·Zbl 1369.49004号 [40] A.Henrot和M.Pierre，形状变化和优化。EMS数学专题，第28卷，欧洲数学学会（EMS），苏黎世（2018）。法国出版物·Zbl 1392.49001号 [41] A.Henrot和D.Zucco，优化有障碍拉普拉斯算子的第一Dirichlet特征值。Ann.Sc.规范。超级的。比萨CI科学。(5) 19 (2019) 1535-1559. ·Zbl 1445.35263号 [42] V.Hernandez，J.E.Roman和V.Vidal，SLEPc：用于解决特征值问题的可扩展且灵活的工具包。ACM事务处理。数学。软件31（2005）351-362·兹比尔1136.65315 ·数字对象标识代码：10.1145/1089014.1089019 [43] A.Logg、K.-A.Mardal和G.Wells（编辑），《用有限元方法自动求解微分方程》-FEniCS图书。计算科学与工程讲义，第84卷。施普林格（2012）·Zbl 1247.65105号 [44] F.Maggi，有限周长和几何变分问题集。剑桥高等数学研究，第135卷。剑桥大学出版社，剑桥（2012）·Zbl 1255.49074号 [45] L.Modica，相变梯度理论和最小界面准则。架构（architecture）。比率。机械。分析。98 (1987) 123-142. ·兹比尔0616.76004 [46] L.Modica和S.Mortola，《汇聚的未来》。波尔。联合国。材料意大利语。B（5）14（1977）285-299·Zbl 0356.49008号 [47] F.Murat和S.Simon，《优化设计练习题》，载于《计算机科学讲义》第41卷。Springer Verlag，柏林（1976），第54-62页·Zbl 0334.49013号 [48] E.Oudet，Quelques résultats en optimization de forme et stabilization，奎尔克斯研究了形式和稳定性的优化。《数学研究所》公共出版物 [49] E.Oudet，膜的本征模相对于域的数值最小化。ESAIM:COCV 10（2004）315-330·Zbl 1076.74045号 [50] N.C.Owen，J.Rubinstein和P.Sternberg，Dirichlet条件下奇摄动双稳态势的极小值和梯度流。程序。罗伊。Soc.伦敦Ser。A 429（1990）505-532·Zbl 0722.49021号 [51] N.L.Pedersen，使用拓扑优化实现特征值最大化。结构。多磁盘。优化。20 (2000) 2-11. [52] F.Rindler，《变分法》，Universitext。查姆施普林格（2018）·Zbl 1402.49001号 [53] S.Schmidt和V.Schulz，一般目标函数的形状导数和不可压缩Navier-Stokes方程。控制网络。39（2010）677-713·Zbl 1282.49033号 [54] J.Simon，关于边值问题域的微分。数字。功能。分析。优化。2 (1980) 649-687. ·Zbl 0471.35077号 [55] J.Sokolowski和J.-P.Zolesio，形状优化简介：形状敏感性分析。Springer计算数学系列第16卷。斯普林格·弗拉格·柏林-海德堡（1992）·Zbl 0761.73003号 [56] P.Sternberg，奇异摄动对非凸变分问题的影响。架构（architecture）。比率。机械。分析。101 (1988) 209-260. ·Zbl 0647.49021号 [57] A.Wachter和L.T.Biegler，关于大规模非线性规划的内点滤波线搜索算法的实现。数学。程序。106 (2006) 25-57. ·Zbl 1134.90542号 [58] E.Zeidler，非线性泛函分析及其应用，I：不动点定理。Springer-Verlag，纽约（1986年）·Zbl 0583.47050号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。