丹尼尔·豪尔;JoséM.Mazón。 度量空间中梯度流的Kurdyka-Łojasiewicz-Simon不等式。 （英语） 兹比尔1425.49023 事务处理。美国数学。Soc公司。 372，第7号，4917-4976（2019）. 摘要：本文致力于提供新的工具和方法来研究度量空间（（mathfrak{M}，d）中梯度流在熵和度量意义上的平衡趋势，建立衰减率和有限消亡时间，并刻画Lyapunov稳定平衡点。更准确地说，我们的主要结果如下：\（\项目符号\）在度量空间框架中引入一个梯度不等式，该不等式在欧氏空间（{mathbb{R}}^N\）中由S.Łojasiewicz公司[摘自：Equ.Derivees Partielles，巴黎，1962年。国际学术讨论会。国家康复中心。科学。117, 87–89 (1963;Zbl 0234.57007号)]，后来改进了K.库尔德卡【《傅里叶年鉴》48，第3期，769–783（1998；Zbl 0934.32009)]，并通过L.西蒙[数学年鉴（2）118、525–571（1983；Zbl 0549.35071号)].\（\项目符号\）在平衡邻域中满足Kurdyka-Łojasewicz-Simon不等式的函数\（｛\mathcal｛E｝｝：\mathfrak｛M｝\to（-\infty，+\infty]\）生成的梯度流的熵和度量意义上的平衡趋势的获得\（{\mathcal{E}}\）的点。给出了梯度流衰减率和有限消光时间的充分条件。\（\项目符号\）在（mathfrak{M}）中构造了一条具有最优增长函数的talweg曲线，得到了Kurdyka-Łojasiewicz-Simon不等式的有效性。满足Kurdyka-Łojasiewicz-Simon不等式的（{mathcal{E}}）的Lyapunov稳定平衡点的特征。\（\项目符号\）用Kurdyka-Łojasiewicz-Simon不等式刻画熵生产不等式。作为这些结果的应用，建立了以下特性。\（\项目符号\）与总变分流相关的梯度流消光时间的新上界。\（\项目符号\）如果度量空间\（\mathfrak{M}\）是\（p\）-Wasserstein空间\（\ mathcal{P} （P）（{mathbb{R}}^N），1<p<infty），然后对与漂移、势和相互作用现象建模的非线性扩散问题相关的函数（{mathcal{E}}）获得了新的HWI-、Talagrand和对数Sobolev不等式。结果表明，这些不等式等价于Kurdyka-Łojasiewicz-Simon不等式，因此它们意味着（{mathcal{E}}）梯度流在有限时间内达到平衡的趋势。 引用于7文件 MSC公司： 20年第49季度 几何测量理论环境中的变分问题 第49页第52页 非平滑分析 39B62码 函数不等式，包括次可加性、凸性等。 35K90型 抽象抛物型方程 58J35型 流形上偏微分方程的热方程和其他抛物方程方法 关键词：度量空间中的梯度流;Kurdyka-Łojasiewicz-Simon不等式;瓦瑟斯坦距离;对数Sobolev;塔拉格兰德熵输运不等式 引文：Zbl 0234.57007号;Zbl 0934.32009;Zbl 0549.35071号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Hauer}和\textit{J.M.Mazón}，翻译。美国数学。Soc.372，No.7，4917-4976（2019；Zbl 1425.49023） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Absil，P.-A.公司。；Kurdyka，K.，关于梯度系统的稳定平衡点，系统控制Lett。，55, 7, 573-577 (2006) ·Zbl 1129.34320号 ·doi:10.1016/j.sysconle.2006.01.002 [2] 阿奎，M。；北卡罗来纳州古苏布。；Kang，X.，通过相互作用气体的一般比较原理的几何不等式，Geom。功能。分析。，14, 1, 215-244 (2004) ·Zbl 1122.82022号 ·doi:10.1007/s00039-004-0455-x [3] Agueh，Martial，双退化抛物方程的渐近行为，C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎，337，5，331-336（2003）·Zbl 1029.35144号 ·doi:10.1016/S1631-073X（03）00352-2 [4] Agueh，Martial，通过Monge-Kantorovich理论解的存在性，高级微分方程，10，3，309-360（2005）·Zbl 1103.35051号 [5] Ambrosio，Luigi，最小化移动，Rend。阿卡德。纳粹。科学。XL内存。材料应用。(5), 19, 191-246 (1995) ·Zbl 0957.49029号 [6] 路易吉·安布罗西奥；尼古拉·福斯科；Diego Pallara，《有界变分函数和自由不连续性问题》，牛津数学专著，xviii+434 pp.（2000），克拉伦登出版社，牛津大学出版社，纽约·Zbl 0957.49001号 [7] 路易吉·安布罗西奥；尼古拉·吉利（Nicola Gigli）；Savar，Giuseppe，度量空间和概率测度空间中的梯度流，数学讲座{u} 富有的，x+334 pp.（2008），Birkh“{a} 用户巴塞尔Verlag·Zbl 1145.35001号 [8] 路易吉·安布罗西奥；尼古拉·吉利（Nicola Gigli）；萨瓦尔，朱塞佩，《公制测度空间中的微积分和热流及其在里奇边界下空间中的应用》，发明。数学。，195, 2, 289-391 (2014) ·Zbl 1312.53056号 ·doi:10.1007/s00222-013-0456-1 [9] 安德烈·F。；Ballester，C。；Caselles，V.公司。；迷宫{o} n个，J.M.，总变差流的Dirichlet问题，J.Funct。分析。，1802347-403（2001年）·Zbl 0973.35109号 ·doi:10.1006/jfan.2000.3698 [10] 安德烈·F。；Caselles，V.公司。；D\'{i} 阿兹，J.I。；迷宫{o} n个，J.M.，总变化流的一些定性性质，J.Funct。分析。，1882151-547（2002年）·Zbl 1042.35018号 ·doi:10.1006/jfan.2001.3829 [11] 安德烈·瓦伊略（Andreu-Vaillo），富恩桑塔（Fuensanta）；卡塞勒斯，维森特；迷宫{o} n个，Jos’｛e｝M.，最小化线性增长泛函的抛物型拟线性方程，《数学进展》223，xiv+340 pp.（2004），Birkh{a} 用户巴塞尔Verlag·Zbl 1053.35002号 ·doi:10.1007/978-3-0348-7928-6 [12] ACDDJLMTV A.Arnold，J.A。Carrillo，L.Desvillettes，J.Dolbeault，A.J“ungel，C.Lederman，P.A.Markowich，G.Toscani，and C.Villani，《多粒子系统的熵与平衡：近期研究论文》，Monatsh.Math.142（2004），35-43。http://dx.doi.org/10.1007/s00605-004-0239-2doi:10.1007/s00605-004-0239-2 ·Zbl 1063.35109号 [13] Baillon，J.-B.，解du（du/dt+partial\varphi（u）\ni0）的Un-example concernant le compartement渐近线，J.Funct。分析。，28, 3, 369-376 (1978) ·Zbl 0386.47041号 ·doi:10.1016/0022-1236（78）90093-9 [14] MR889476 D.Bakry和M.“Emery，超压缩扩散，概率最小值，XIX，1983/84，数学课堂笔记。，第1123卷，施普林格，柏林，1985年，第177-206页。http://dx.doi.org/10.1007/BFb0075847doi:10.1007/BFb0075847 [15] 阿德里安·布兰切特（Adrien Blanchet）；螺栓，J{e} 第页\^ome，函数不等式族：L ojasiewicz不等式和置换凸函数，J.Funct。分析。，27571650-1673（2018）·Zbl 1403.39023号 ·doi:10.1016/j.jfa.2018.06.014 [16] MR2274510 J.Bolt、A.Danilidis和A.Lewis，非光滑子分析函数的ojasiewicz不等式及其在次梯度动力系统中的应用，SIAM J.Optim。17 (2006), 1205-1223. http://dx.doi.org/10.1137/050644641doi:10.1137/05064441 ·兹比尔1129.26012 [17] 螺栓，J{e} 第页\^ome；阿里斯·达尼利迪斯；奥利维尔·莱伊；Mazet，Laurent，L ojasiewicz不等式的特征：次梯度流，talweg，凸性，Trans。阿默尔。数学。Soc.，362，6，3319-3363（2010年）·Zbl 1202.26026号 ·doi:10.1090/S0002-9947-09-05048-X [18] 马特奥·邦福特；Figalli，Alessio，《一维总变分流和符号快速扩散》，《微分方程》，252，8，4455-4480（2012）·Zbl 1242.35049号 ·doi:10.1016/j.jde.2012.01.003文件 [19] Brenier1 Y.Brenier，向量值函数的极因子分解和单调重排，Comm.Pure Appl。数学。44 (1991), 375-417. http://dx.doi.org/10.1002/cpa.3160440402doi:10.1002/cpa.31600440402 ·Zbl 0738.46011号 [20] 溴\'{e} zis公司、H.、Op\'{e} 评分员maximaux monotones et semi groupes de constructions dans les espaces de Hilbert，vi+183 pp.（1973），北荷兰出版公司，阿姆斯特丹\textendash伦敦；美国爱思唯尔出版公司，纽约·Zbl 0252.47055号 [21] Brezis，Haim，《函数分析，Sobolev空间和偏微分方程》，Universitext，xiv+599 pp.（2011），Springer，纽约·Zbl 1220.46002号 [22] CJMTU期刊。Carrillo，A.J“ungel，P.A.Markowich，G.Toscani，and A.Unterreiter，退化抛物问题和广义Sobolev不等式的熵耗散方法，Monatsh.Math.133（2001），1-82。http://dx.doi.org/10.1007/s00650170032doi:10.1007/s0065017032 ·Zbl 0984.35027号 [23] 乔斯·卡里略。；Robert J.McCann。；维拉尼，C\'{e} 直接还原碳《颗粒介质的动力学平衡速率和相关方程：熵耗散和质量输运估算》，伊比利亚美洲评论，第19、3、971-1018页（2003年）·兹比尔1073.35127 ·doi:10.4171/RMI/376 [24] CMV档案J.A。卡里略，R.J。McCann和C.Villani，《（2-W）asserstein长度空间中的收缩与颗粒介质的热化》，Arch。定额。机械。分析。179 (2006), 217-263. http://dx.doi.org/10.1007/s00205-005-0386-1doi:10.1007/s00205-005-0386-1 ·Zbl 1082.76105号 [25] Ralph Chill，《关于L ojasiewicz-Simon梯度不等式》，J.Funct。分析。，2012572-601（2003年）·Zbl 1036.26015号 ·doi:10.1016/S0022-1236（02）00102-7 [26] chill-fasangova：isem R.chill和E.Fasangov，梯度系统，MATFYZPRESS，布拉格查尔斯大学数学与物理系出版社，2010年。 [27] 冷静，拉尔夫；Fiorenza，Alberto，拟线性抛物方程有界解的收敛性和平衡衰减率，《微分方程》，228，2，611-632（2006）·Zbl 1115.35021号 ·doi:10.1016/j.jd.2006.02.009 [28] 冷静，拉尔夫；丹尼尔·豪尔（Daniel Hauer）；Kennedy，James，由（j）-椭圆泛函生成的非线性半群，j.Math。Pures应用程序。(9), 105, 3, 415-450 (2016) ·Zbl 1332.47031号 ·doi:10.1016/j.matpur.2015.11.005 [29] 冷静，拉尔夫；Mildner，Sebastian，非光滑无穷维梯度系统中的Kurdyka-\L ojasiewicz-Simon不等式和稳定性，Proc。阿默尔。数学。Soc.，146，10，4307-4314（2018）·Zbl 1397.34102号 ·doi:10.1090/proc/14067 [30] 科德罗·埃劳斯金（Cordero-Erausquin），达里奥（Dario）；威尔弗里德·冈波（Wilfrid Gangbo）；Houdr’{e}，Christian，广义熵不等式和最优运输。大众运输理论和应用的最新进展。数学。353，73-94（2004），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1135.49026号 ·doi:10.1090/conm/353/06433 [31] 萨拉·达内里；Savar，Giuseppe，Wasserstein距离中位移凸性的欧拉微积分，SIAM J.Math。分析。，401104-1122（2008年）·Zbl 1166.58011号 ·数字对象标识码：10.1137/08071346X [32] 萨拉·达内里；Savar’{e}，Giuseppe，关于梯度流和最优输运的讲义。最佳交通，伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。413，100-144（2014），英国剑桥大学出版社·Zbl 1333.49001号 [33] De Giorgi，Ennio，最小化运动的新问题。偏微分方程的边值问题及其应用，RMA Res.Notes Appl。数学。29，81-98（1993），巴黎马森·Zbl 0851.35052号 [34] Ennio De Giorgi；安东尼奥·马里诺；Tosques，Mario，度量空间和最大递减曲线中的演化问题，Atti Accad。纳粹。林塞·伦德。Cl.科学。财政部。Mat.Natur公司。（8） ，68,3180-187（1980年）·Zbl 0465.47041号 [35] 2014arXiv1409.1525F下午。N。Feehan，梯度系统解的全局存在性和收敛性以及Yang-Mills梯度流的应用，arXiv:1409.1525（2014）。 [36] G-Mc W.Gangbo和R.J。麦肯，最佳运输几何，数学学报。177 (1996), 113-161. http://dx.doi.org/10.1007/BF02392620doi:10.1007/BF0239 2620 ·Zbl 0887.49017号 [37] 吉贺（Giga，Yoshikazu）；Kohn，Robert V.，一些奇异扩散方程的尺度不变消光时间估计，离散Contin。动态。系统。，30, 2, 509-535 (2011) ·Zbl 1223.35211号 ·doi:10.3934/dcds.2011.30.59 [38] Haraux，Alain，Syst\`“emes dynamicques dissitifs et applications，Recherches en Math\'”{e} 马戏应用程序\'{e} 秒【应用数学研究】17，xii+132 pp.（1991），巴黎马森·Zbl 0726.58001号 [39] 阿兰·哈劳；Jendoubi，Mohamed Ali，耗散自治系统的收敛问题，Springer数学简报，xii+142页（2015），Springer，Cham；毕尔巴鄂BCAM巴斯克应用数学中心·Zbl 1345.37081号 ·doi:10.1007/978-3-319-23407-6 [40] 阿兰·哈劳；Jendoubi，Mohamed Ali；Kavian，Otared，一些半线性抛物方程的平衡衰减率，J.Evol。Equ.、。，3, 3, 463-484 (2003) ·Zbl 1036.35035号 ·doi:10.1007/s00028-003-1112-8 [41] Huang，Sen Zhong，梯度不等式，数学调查和专著126，viii+184页（2006年），美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 1132.35002号 ·doi:10.1090/surv/126 [42] Jendoubi，Mohamed Ali，L.Simon，J.Funct一些收敛定理的简单统一方法。分析。，153, 1, 187-202 (1998) ·Zbl 0895.35012号 ·doi:10.1006/jfan.1997.3174 [43] JKO R.Jordan、D.Kinderlehrer和F.Otto，《福克-普朗克方程的变分公式》，SIAM J.Math。分析。29 (1998), 1-17. http://dx.doi.org/10.1137/S0036141096303359doi:10.1137/S00361141096303359 ·Zbl 0915.35120号 [44] Kurdyka，Krzysztof，《关于可定义为o-极小结构的函数的梯度》，《傅里叶研究年鉴》（格勒诺布尔），48，3，769-783（1998）·Zbl 0934.32009 [45] Leoni，Giovanni，Sobolev空间的第一门课程，数学研究生课程105，xvi+607 pp.（2009），美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 1180.46001号 ·doi:10.1090/gsm/105 [46] \L ojasiewicz，S.，Une propri公司{e} t吨\{e}拓扑des sous-ensemples分析{e} 艾尔斯。Les\'（莱斯）{E} 方程式辅助D\'{e} 河流\'{e} 秒帕提尔斯，巴黎，1962，87-89（1963）{E} 条件巴黎国家科学研究中心·Zbl 0234.57007号 [47] \L ojasewicz，S.，《半解析系综》。《国际数学学报》{e} 马提琴，尼斯，1970年，237-241（1971年），巴黎高瑟维拉斯·Zbl 0241.32005号 [48] 约翰·洛特；维拉尼，C\'{e} 直接还原碳，《通过最优传输的度量测度空间的Ricci曲率》，数学年鉴。(2), 169, 3, 903-991 (2009) ·兹比尔1178.53038 ·doi:10.4007/annals.2009.169.903 [49] 奥托，F。；Villani，C.，Talagrand对不等式的推广以及与对数Sobolev不等式的联系，J.Funct。分析。，173, 2, 361-400 (2000) ·Zbl 0985.58019号 ·doi:10.1006/jfan.1999.3557 [50] Otto，Felix，耗散演化方程的几何：多孔介质方程，Comm.偏微分方程，26，1-2101-174（2001）·Zbl 0984.35089号 ·doi:10.1081/PDE-100002243 [51] 小雅各布·巴利斯。；de Melo，Welington，动力学系统几何理论，xii+198 pp.（1982），Springer-Verlag，纽约\textendash柏林·Zbl 0491.58001号 [52] 弗雷登的雷扎坎卢；维拉尼，C\'{e} 直接还原碳《玻尔兹曼方程的熵方法》，数学课堂讲稿1916，xii+107 pp.（2008），柏林斯普林格·Zbl 1125.76001号 ·doi:10.1007/978-3-540-73705-6 [53] 里卡达·罗西；安东尼奥·塞加蒂；Stefanelli，Ulisse，度量空间中梯度流的全局吸引子，J.Math。Pures应用程序。(9), 95, 2, 205-244 (2011) ·Zbl 1215.35036号 ·doi:10.1016/j.matpur.2010.10.011 [54] Santambrogio，Filippo，应用数学家的最佳传输，非线性微分方程及其应用进展87，xxvii+353 pp.（2015），Birkh“{a} 用户/查姆施普林格·Zbl 1401.49002号 ·doi:10.1007/978-3-319-20828-2 [55] Simon，Leon，《一类非线性发展方程的渐近性及其在几何问题中的应用》，《数学年鉴》。（2） ，118，3525-571（1983）·Zbl 0549.35071号 ·doi:10.2307/2006981 [56] Sturm，Karl-Theodor，关于度量测度空间的几何。一、 数学学报。，196, 1, 65-131 (2006) ·Zbl 1105.53035号 ·doi:10.1007/s11511-006-0002-8 [57] Sturm，Karl-Theodor，关于度量测度空间的几何。二、 数学学报。，1961133-177（2006年）·Zbl 1106.53032号 ·doi:10.1007/s11511-006-0003-7 [58] Talenti，Giorgio，Sobolev不等式中的最佳常数，Ann.Mat.Pura Appl。(4), 110, 353-372 (1976) ·Zbl 0353.46018号 ·doi:10.1007/BF02418013 [59] MR1633348 L.van den Dries，Tame拓扑和o-minimum结构，伦敦数学学会讲义系列，第248卷，剑桥大学出版社，英国剑桥，1998年。http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511525919doi:10.1017/CBO9780511255919 ·Zbl 0953.03045号 [60] Villani，Cedric，最优运输，耗散PDE和函数不等式。最佳运输和应用，Martina Franca，2001，数学课堂讲稿。1813，53-89（2003），柏林斯普林格·Zbl 1039.35147号 ·doi:10.1007/978-3-540-44857-0\3 [61] 维拉尼，C\'{e} 直接还原碳《最佳交通主题》，数学研究生课程58，xvi+370页（2003），美国数学学会，普罗维登斯，RI·Zbl 1013.00028号 ·doi:10.1007/b2016年 [62] 维拉尼，C\'{e} 直接还原碳耗散方程、函数不等式和质量运输的平衡趋势。大众运输理论和应用的最新进展。数学。353，95-109（2004），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1134.35375号 ·doi:10.1090/conm/353/06434 [63] 维拉尼，C\'{e} 直接还原碳，最优运输，Grundlehren der Mathematicschen Wissenschaften[数学科学基本原理]338，xxii+973页（2009），施普林格出版社，柏林·Zbl 1156.53003号 ·doi:10.1007/978-3-540-71050-9 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。