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贝蒂娜·艾克;格雷琴·奥斯海默

关于多环群积分矩阵作用的轨道稳定问题。 （英语） Zbl 1051.20016号

数学。计算。 72，第243号，1511-1529（2003）.
以下两篇文章奠定了多环群算法理论的基础G.鲍姆斯拉格，F.B.公司。卡诺尼托，D.J.博士。美国。罗宾逊和D.西格尔[J.Algebra 142，No.1，118-149（1991；Zbl 0774.20019)]和D.西格尔【Proc.Lond.Math.Soc.，III.Ser.61，No.3，497-528（1990；Zbl 0674.20020号)]. 这些工作的目的是发现关于多环群的问题，这些问题原则上可以通过算法解决，或者可以证明不存在这样的算法。大量的标准群论结构被证明是有效的，而Segal在他的论文中给出了关于不能有效解决的多环群的问题的例子（例如，决定两个元素是否自同构共轭的问题）。当时，没有人试图生产出“实用”的算法，实际上可以在某些机器上运行：当然，人们可以说，更重要的是算法的存在，因为实用的算法高度依赖于时间。无论如何，寻找可实现算法的问题仍然没有解决。
最近，人们对构造可在现有机器上运行的多环群算法产生了很大兴趣。例如，C.Sims在他著名的书中描述了可实现的算法，以找到多环群的多环表示，解决成员问题，并计算多环群之间给定同态的核。
Auslander和Swan的一个著名定理断言，每个多环群都是（mathbb{Z}）-线性的。E.H.Lo公司和G.奥斯海默[J.Symb.Compute.28，No.3，339-360（1999；Zbl 0977.20026号)]构造并实现了一个算法，以产生由有限表示给出的多环群的忠实（mathbb{Z}）表示。阿尔索E.H.洛[J.Symb.Compute.25，No.1，45-59（1998；兹布尔0930.20038)]实现了构造有限生成幂零群的子群规范化子和子群交集的算法。
在本文中，作者描述了多环群的两个重要算法的实际版本。设\（G\）是忠实作用于\（a=\mathbb｛Z｝^n\）的多环基团。“稳定器问题”要求构造给定的（a中的）稳定器（St_G（a））。“轨道问题”是决定给定的（a，b\在a\中）是否存在这样的（ag=b\），即如果（a，b \）属于相同的（g\）-轨道。显然，对于多环群，稳定器问题和轨道问题分别与构造中心化子问题和共轭问题密切相关。
算法背后的方法是首先将问题归结为一个合适的奇素数（p）的（p）-同余子群（G_p={G\in G\mid-G\equiv1\bmodp\}）。根据J.D.的一个定理。Dixon，\（G_p\）是无扭转的，并且是Abelian的单势函数。然后，该方法继续在（a）中构造一个具有有理不可约因子的（G）-级数，并检查（G）对因子的作用（当（G）由阿贝尔群表示时）。正如在最初的理论论文中一样，推导的核心在这里发挥了作用。
给出了几个具体的例子，算法在几秒钟内给出了答案。这些示例中的维度\（n\）最多为16。
这显然是计算群论的一个领域，还有很多工作要做。有许多标准构造，能够实现这些构造将非常有用，例如，构造Fitting子组。有人可能会怀疑，一些已知有效的结构永远无法实现——这就是Frattini子组。另一方面，随着计算机速度的不断提高，一些目前被认为不可行的理论算法可能会在未来实现。
审核人：德里克·J·S·罗宾逊（乌尔班纳）

引用于9文件

MSC公司：

2016年1月20日 可解群，超可解群
20-04 群论相关问题的软件、源代码等
68瓦30 符号计算和代数计算
20F05型 组的生成器、关系和表示
2010年1月20日 单词问题、其他决策问题、与逻辑和自动机的联系（群体理论方面）
20E07年 子群定理；子群增长
2019年1月20日 可解群和幂零群的推广
20水20 字段上的其他矩阵组

关键词：

多环群;算法;共轭问题

引文：

Zbl 0774.20019;Zbl 0674.20020号;Zbl 0977.20026号;Zbl 0930.20038号

软件：

AClib（AClib）;多环;坎特/卡什;间隙
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Eick}和\textit{G.Otheimer}，数学。计算。72，编号243，1511--1529（2003；Zbl 1051.20016）
全文： 内政部

参考文献：

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