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加尔省本亚米尼;德米特里·诺维科夫

复杂的细胞结构。 （英语） Zbl 1448.14056号

安。数学。（2） 190，第1期，145-248（2019）.
在这篇杰出的论文中，引入了复胞的概念。复杂单元是真实的缓和几何（半代数几何或更一般的o-极小几何）中使用的单元的复杂化。
以下是定义。对于带有\（|r|>0\）let \（D（r）：=\{|z|<|r|\}\）和\（D_circ（r）:=\{0<|z|<|r|\}\）的\（r\in\mathbb{C}\）。对于带有（|r_2|>|r_1|>0\）的\（r_1，r_2）：=\{|r_1|<|z|<|r_2|。此外，让\（*：=\{0\}\）。对于\（0<\delta<1），\（\delta\）-扩展由\（D^\delta（r）：=D（\delta^{-1}r)，D^\delta_\circ（r）：=D_circ（\delta^{-1}r），A^\delta（r_1，r_2）：=A（\delta r_1、\delta^{-1}r2)\)和\（*^\增量：=*\）。这些对应于复杂平面的欧几里德几何。在许多情况下，以下扩展更适合于反映区域的双曲线几何。对于\（0<\rho<\infty\），\（\{\rho\}\）-扩展名\（\mathcal{F}^{\{\rro\}}\）（\mathcal{F}）的值由\（\matchcal{F}^\delta）给出，其中\（\delta \）满足\（\rho=2\pi\delta/（1-\delta。这种表示法的动机来自以下方面。
事实。设\（\mathcal｛F｝\）是\（a，D，D_\circ\）类型的域，设\（S\）是\（\mathcal｛F｝^｛\｛\rho｝｝\）中\（\mathcal｛F｝\）的边界的一个分量。那么，\（\mathcal{F}^{\{\rho\}}\）中的\（S\）的长度最多为\（\rho\）。
对于复杂单元格的定义，使用以下符号。设\（\mathcal{X}，\mathcal{Y}）是集合，\。然后是\（\mathcal{X}\odot\mathcal{F}:=\{（X，y）\colon X\ in \mathca{X}，y\ in \mathcal{F}（X）\}\）。这里，\（mathcal{X}\）是\（mathbb{C}^n）的子集，\（mathcal{Y}\）将是\（mathbb{C}\）。如果\（r:\mathcal{X}\to\mathbb{C}\setminus\{0\}\）是一个映射，那么\（D（r）\）代表分配给\。如果\（U\）是复流形，则\（U\）上全纯函数的空间由\（\mathcal｛O｝（U）\）表示。作者\（\mathcal{O} _b（b）（U） 表示了（U）上有界全纯函数的子空间。符号\（z_{1..\ell}\）表示变量的元组\（（z_1，\ldots，z_l）\）。现在，定义复合细胞\（\mathcal{C}\），共长度\（\ell\in\mathbb{N} _0（0）\)如下所示。
定义。长度为零的复合单元格是点（mathbb{C}^0）。长度为\（\ell+1）的复杂单元格的格式为\（\ mathcal｛C｝_{1.\ell}\odot\mathcal{F}\），其中基\（\mathcal｛C｝_{1.\ell}\）是一个长度为\（\ell\）的复合细胞，纤维\（\mathcal{F}\）为\（*，D（r），D\circ（r）和a（r_1，r_2）\）其中\（r{O} _b（b）（\mathcal｛C｝_{1.\ell}）\）满足\（|r（z_{1..ell}）|>0\）for \（z_1..\ell}\ in \mathcal｛C｝_{1..\ell}\）；和mathcal中的{O} _b（b）（\mathcal｛C｝_{1.\ell}）\）满足\（z_{1..ell}\in\mathcal）｛C｝_{1..\ell}\）。
长度为\（\ell\）的复杂单元的\（\delta \）-扩展的概念定义如下。
定义。长度为零的单元格是它自己的\（\增量\）扩展。如果（mathcal）为｛C｝_{1.\ell}\）允许一个\（\delta\）-扩展，如果涉及\（\mathcal{F}\）的函数\（r\）（resp.\（r_1，r_2\））允许全纯延拓到\（\mathcal{C}^\delta_{1.\ell}\）并在这个更大的域中满足（|r（z_{1..ell}）|>0\）（分别是（|r_2（z_}1.\ell{）|>|r_1（z__1..\ell}）|>0\））。
\（\{\rho\}\）-扩展名\（\mathcal{C}^{\{\rro\}}\）是以类似的方式定义的。复杂单元类别配备细胞图.
定义。设\（\mathcal{C}，\hat{\mathcal{C}}\）为长度为\（\ell\）的单元格。全纯映射（f:mathcal{C}到{mathcal}）是细胞的，如果它的形式是\（w_j=\phi_j（z_{1..j}）\），其中\（\phi_j\in\mathcal{O} _b（b）（\mathcal｛C｝_｛1..j｝）\）是\（j=1，\ldots，\ell\）的\（z_j\）中的正次多项式。
在上述情况下，如果对于\（j=1，\ldots，\ell\），它是\（\phi_j（z_{1..j}）=z_j^｛q_j｝，则映射\（f\）是准备的+对于某些（q_j\in\mathbb{N}）和全纯（\tilde{\phi}_j）。的主要结果纸张是细胞参数化定理。我们在这里用几句话来表述它。
定性CPT。设\（\rho，\sigma\in（0，\infty）\）。设\（\mathcal{C}\）是一个允许\（\{\rho\}\）扩展的复杂单元。让（F_1，\ldots，F_M\in\mathcal{O} _b（b）（\mathcal{C}^{\{\rho\}}）\）。然后是一个有限列表\（\mathcal{C} _1个，\ldot，\mathcal{C} _N（_N）\)允许（{\sigma\}）-扩展的复杂单元，对于每个（j=1，\ldot，N），一个细胞映射（f_j:\mathcal{C}^{\sigrama\}}\ to \mathcal{C}^{\rho\}}），以便保持以下属性：
（1） \（\mathcal{C}\subset\bigcup_j f_j（\mathcal{C} _j（_j）)\);
（2） 为每个（j）准备（f_j）；
（3） 对于每个\（k，j\），\（F_k\circ F_j\）要么完全消失，要么不消失。
细胞参数化定理的定量版本给出了上述覆盖大小的上限。在第一个版本中，可定义是指在o最小结构中可定义｛R｝_限制分析函数（或等价地，由有界子分析集生成的结构）。
定量CPT I。如果（C^{{\rho\}}）在一个可定义的族（\Lambda）中变化，那么对于每个参数（\Lambda），都有一个具有正系数的多项式（P_\Lambda（X，Y）），这样就有一个大小为（N_\lampda\leqP_\λ（\rho，1/\sigma）的覆盖。此外，覆盖函数可以从单个可定义族中选择。
定量CPT II。有一些多项式（P，Q）的正系数取决于具有以下特性的单元的长度。如果\（mathcal{C}^{\rho}}，F_1，\ldots，F_M\）是复杂性的代数\（\beta\），则存在由\（P（\beta，N，\rho，1/\sigma）\）限定的大小覆盖，复杂性由\（Q（M，\beta）\限定。
利用复分析的能力，例如柯西估计来控制导数，得到了以下中心结果，大大改进了Yomdin-Gromov代数引理在半代数集的参数化（参见[M.Gromov:Astérisque 145–146，225–240，Exp.No.663（1987；Zbl 0611.58041号]).
精化代数引理。设\（X=\{X_p\subset[0,1]^n\}\）是一个半代数族，具有\（\dim X_p\leq\mu\）。设置\（B=（0，1）^\mu\）。存在常数（C=C（X））和（varepsilon=varepsilen（X）\（\phi_1，\ldots，\phi_C:B\到X_p\），其图像覆盖\（X_p\）。此外，存在依赖于\（n\）的多项式\（P，Q\）（C\leqP（β））和（varepsilon^{-1}\leqQ（β）系列\（X\）。
精化代数引理利用D.布尔盖特等【Proc.Lond.Math.Soc.（3）111，No.2，381-419（2015；Zbl 1352.37015号)]. 请注意，这篇文章有一个Yomdin的附录，直接证明了他从精化代数引理开始的猜想。
精化代数引理及其已建立的子分析版本也导致了与Pila-Wilkie定理相关的新结果（参见[J.皮拉和A.J.威尔基杜克大学数学系。J.133，第3期，591–616（2006年；Zbl 1217.11066号)])并将这一著名结果应用于丢番图几何中不太可能的交点（参见示例[J.皮拉，安。数学。（2） 173，第3期，1779–1840（2011年；Zbl 1243.14022号)])。
审核人：托比亚斯·凯泽（帕绍）

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MSC公司：

第14页 半代数集与相关空间
37B40码 拓扑熵
03C64型 有序结构的模型理论；o极小性
30C99号 几何函数理论

关键词：

格罗莫夫·约姆丁（Gromov-Yomdin）重组;细胞分解;拓扑熵;丢番图几何

引文：

Zbl 0611.58041号;Zbl 1352.37015号;Zbl 1217.11066号;Zbl 1243.14022号
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\textit{G.Binyamini}和\textit{D.Novikov}，Ann.数学。（2） 190，第1号，145--248（2019；Zbl 1448.14056）
全文： 内政部 arXiv公司

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