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约斯特，尤根;王国芳;Ye，Dong（是，董）;周春琴

椭圆sinh-Gordon方程解的爆破分析。 （英语） Zbl 1137.35061号

计算变量部分差异。埃克。 31，第2期，263-276（2008）.
本文给出了二维曲面上椭圆型sinh-Gordon方程的解析方面与常平均曲率曲面和调和映射的几何解释之间的关系，特别是爆破分析。形式的sinh-Gordon方程
\[u{z\barz}+\lambda\sinh z=0\tag{1}\]
在研究常平均曲率曲面的构造中起着重要作用，它也产生于许多数学和物理问题。研究了（1）在Riemann曲面或（{mathbb R}^2）中有界光滑区域上解的爆破分析，并给出了当解序列爆破为（lambda_n to lambda）时的精确渐近行为。设（v_n）是方程的解序列
\[\增量v_n=\lambda_n（e^{v_n}-e^{v_n}）\tag{2}\]
在具有条件的Riemann曲面上
\[\int_{\Sigma}\lambda_n（e^{v_n}+e^{-v_n}）\，dv_g\leq C<\infty，\]和（\lim_{n\to\infty}\lambda_n=\lambda）。设（p\in\Sigma\）是一个点，使得存在一个趋向于（p\）和（v_n（x_n）\ to \ infty \）的序列\（x_n\），或\（-v_n
\[m_1（p）=\lim_{r\to0}\lim_{n\to\infty}\int_{B_r（p）}\lambda_ne^{v_n}\，dv_g\]
和
\[m_2（p）=\lim_{r\to0}\lim_{n\to\infty}\int_{B_r（p）}\lambda_ne ^{-v_n}\，dv_g。\]
本文的主要定理表明，爆破值（m_1）和（m_2）是（8\pi）的倍数。作为一个关系式（（m_1（p）-m_2（p））^2=8\pi（m_1（p）+m_2（p））的推论，得到了sinh-Gordon方程（2）的爆破值只能是
\[（m1（p）），m2（p）\]
对于某个整数\（l\geq 0\）。问题是，常数（l）是否有除1以外的任何其他值。利用主要结果，作者证明了以下问题作为副产品的存在性结果：
\[\Δv_n=\frac｛\lambda_1 e^｛v_n｝｝｛\int_｛\Omega｝e^｛v_n｝\，dx｝-\frac｛\lambda_1 e^｛-v_n｝｝｛\int_｛\Omega｝e^｛-v_n｝\，dx｝\quad\text｛in｝\quad\Omega\tag｛3｝\]
（{mathbb R}^2）中光滑有界区域（Omega）的边界条件为（v_n=0）。与（3）相关的功能是
\[J_{lambda_1，\lambda_2}（u）=\frac{1}{2}\int_{\Omega}|\nabla u|^2\，dx-\lambda_1\log\left（\int_\Omega e^u\，dx\right）-\lambada_2\log\ left（\ int_\欧米茄e^{-v}\，dx.right）。\]
它在[H.大冢和T.铃木，高级差异。埃克。11, 281–304 (2006;Zbl 1109.26014号)和I.沙弗里尔和G.沃兰斯基《欧洲数学杂志》。Soc.7413-448（2005年；Zbl 1129.26304号)]如果\（lambda_1\leq8\pi\）和\
\[J_｛\lambda_1，\lambda_2｝（u）\geq-C\quad\text｛for｝\quad u\ in H^1_0（\Omega）。\]
作者证明，如果（Omega）是（{mathbb R}^2）和（lambda_1）中的非隐连通域（8\pi，16\pi）和（lambda_2）中的一个非隐连通区域，则方程（3）有解。
审核人：Gabjin Yun（仰光）

引用于三评论
引用于23文件

MSC公司：

第35季度53 KdV方程（Korteweg-de-Vries方程）
58J05型 流形上的椭圆方程，一般理论
35B40码 偏微分方程解的渐近行为
53立方厘米 浸入的微分几何（最小、规定曲率、紧密等）
58E20型 谐波图等。

关键词：

爆破;保形浸没;恒定平均曲率;调和图;霍普夫微分;辛格-戈登方程

引文：

Zbl 1109.26014号;Zbl 1129.26304号
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\textit{J.Jost}等人，计算变量部分差异。埃克。31，第2号，263--276（2008；Zbl 1137.35061）
全文： 内政部
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