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帕维尔·普洛特尼科夫一世。;约翰·托兰德。

Hélein关于共形因子有界性猜想的改进。 （英语） Zbl 1526.53060号

Ann.Mat.Pura应用。（4） 202，编号4，1803-1833（2023）.
设（D_{1}）以原点为中心的闭合单位圆盘和（mathbb{R}^{2}）中的单位球面。本文的目的是证明F.Hélein先生他的书《调和图、守恒定律和运动框架》中的猜想。《法语翻译》第二版。剑桥：剑桥大学出版社（2002；Zbl 1010.58010号)].
第一个主要结果证明，如果对于法向量（mathbf{n}）和一些（delta>0），如果（u\inW^{1,2}（D{1}，mathbb{S}^{2}）满足[int_{D{1{}\left\vert\partial_1}\mathbf}n}\times\partial_2}\mathbf{n{n}\right\vertdX\leq4\pi-\delta\]，则存在（Omega_{在L^{2}（D_{1}）中的i}，带有\[\left\vert\Omega_{i}\右\Vert_{L^{2}（D_{1}）}\leq\frac{8\pi}{\delta}\left\Vert\nabla u\right\Vert_
\[\int_{D_{1}}\Phi\zeta dX=\int__{D_1}}（\Omega_{2}\partial_{1{}\zeta-\Omega{1}\ partial_2}\zeta）dX，\]
其中\（\Phi（X）=\mathbf{n}。此外，对于某个常数（c），（Phi）满足（left\Vert\Phi\right\Vert_{W^{-1,2}（D_{1}）}\leq\frac{c}{delta}）。
为了证明这一点，作者首先对写为（Phi=\partial_{2}\omega）的（Phi）进行了估计_｛1｝-\部分{1}\ω{2}\）。它们引入了法向量场的参数化族，并使用参数延续参数。
第二个主要结果证明了如果在W^{1,2}（D{1}，mathbb{S}^{2}）和（mathcal{A}\subset\mathbb{S}^{2}）中的u是一个具有正测度的Borel集，那么在L^{2（D{1}）中将存在（Omega{i}ty}（D_{1}）\）
\[\int_{D_{1}}\Phi\zeta dX=\frac{4\pi}{\mu}\int_}\mathcal{F}}\Phi\zetadX+\int__{D_1}}（\Omega_{2}\partial_{1{\zeta-\Omega{1}\ partial_2}\zeta）dX，\]
和
\[\left\Vert\Omega_{i}\right\Vert_{L^{2}（D_{1}
对于某些常数\（c\）。此外，（\Phi\）满足\[\left\Vert\Phi-\frac{4\pi}{\mu}\chi_{\mathcal{F}}\Phi\right\Vert_{W^{-1,2}（D_{1}）}\leqc\mu^{-1/2}\left\ Vert\nabla-u\right\ Vert_L^{2}
这里\（\mathcal{F}=\{X\在D_{1}:\mathbf{n}（X）\在\mathcal{A}\}\）。
该证明依赖于本文中发现的其他结果以及正则点理论和由F.贝瑟尔和X.M.Zheng先生【《功能分析杂志》，第80期，第1期，60–75页（1988年；兹伯利0657.46027)].
审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆）

MSC公司：

第53页第42页 浸入的微分几何（最小、规定曲率、紧密等）
58J90毫米 偏微分方程在流形上的应用
58A99型 可微流形的一般理论
53立方厘米 流形上的一般几何结构（几乎复杂、几乎乘积结构等）
53A05型 欧氏空间和相关空间中的曲面
58E20型 谐波图等。
2015年第49季度 优化中的几何测量和积分理论、积分电流和正常电流

关键词：

Willmore能量;活动框架;几何测度理论;共形因子;等温浸泡

引文：

Zbl 1010.58010号;Zbl 0657.46027号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.I.Plotnikov}和\textit{J.F.Toland}，Ann.Mat.Pura Appl。（4） 202，编号4，1803-1833（2023；Zbl 1526.53060）
全文： 内政部 arXiv公司

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