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Junehyuk Jung；史蒂夫·泽尔迪奇

泛型Kaluza-Klein三重特征函数节点域数的有界性。（卡鲁扎·克莱因（Kaluza-Klein）在第3维度上的功能限制。） （英语。法语摘要） Zbl 1469.58019号

安·Inst.Fourier 70，第3期，971-1027（2020）.
这篇重要而广泛的论文研究了某些三维紧致光滑黎曼流形上Laplacian特征函数的节点域数，即具有某些S^1不变度量的黎曼曲面上的非平凡主（S^1）丛（P~X），Kaluza-Klein度量，其通常由以下因素决定：（i）具有黎曼度量（g）和（a）复合结构（J）的曲面（X）；（ii）曲面上的非平凡复全纯线丛（L至X）；（iii）（L）上的厄米公制（h）；（iv）（L）上的复合结构（J）；（v） 在\（L\）上的\（h\）兼容连接\（nabla\）。
Hermitian度量（h）的酉框架丛由L^*：，hz^*（lambda）=1\}中的[P_h={（z，h）\]给出。本文中考虑的Kaluza-Klein度量是与复Hermitia线丛（L~X\）相关的主（S^1）丛（P_h~ X\）上的黎曼度量。可以将\（P_h\）中的\（L\）恢复为关联的线束。更具体地说，给定黎曼曲面（X（L，h）到X）上具有厄米度量（h）的复线束，我们将其与正交框架的（L）（U（1）束（P_h）相关联。
让\（T=\dfrac{\partial}{\partical\theta}\）生成一个\（S^1\congU（1）\）动作，所以\（P_h\）可以配备一个连接\（alpha\），也就是说，\（P.h\）上的\（S|1\）不变\（1\）-形式，这样\（\alpha（T）=1\）。
此连接定义将\[T_pP_h=h（P_h）\oplus V（P_h）\]拆分为水平和垂直空间。垂直空间由\（S^1\）作用的轨道给出。水平空间由\（H_p=\ker\alpha\）定义，并且在\（d\pi_p\）到\（T_zX\）下同构，其中\（\pi（p）=z\）。
继作者之后，（P_h）上的Kaluza-Klein度量是（S^1）不变度量，使得水平空间（h_P:=\ker\，d\alpha\）与（T_{\pi（P）}X\）等距，从而使（V=\mathbb{R}\，\dfrac{\partial}{\partic\theta}\）与\（h因此，光纤是单位速度测地线。
本文的主要结果（定理1.5）确保了对于一般的Kaluza-Klein度量，任何Laplacian特征函数都有两个节点域，除非它在S^1作用下是不变的。在本文的最后一节中，作者考虑了特定平面圆环上常曲率曲面的情况，并在平面3圆环上构造了一个显式正交本征基，其中每个非常本征函数都有两个节点域（定理1.11）。
本文分为九个部分，第一部分是导论，其中除了包含中心结果陈述的一般描述外，还介绍了基本概念，以及主要结果的证明概要。在第二节中，作者收集了构建Kaluza-Klein框架所需的几何工具，这些工具将在以下章节中使用。其中包括度量的等距类空间、复线束、连接、曲率和截面的相应Hilbert空间，以及在下一节中处理Bochner-Laplacians（nabla^*nabla）所需的数据，其中提供了显式公式，包括科达伊拉人和博什内尔·拉普拉斯人之间的关系，用平等来描述（3.2）。在第四节中，定理4.1被证明，这是证明本文主要定理的支柱之一。作者首先考虑了Bochner-Laplacians在复全纯Hermitian线丛上的特征值和特征截面的一般性质。它们的通用处理遵循以下论点K.Uhlenbeck公司《美国数学杂志》（Am.J.Math.981059-1078）（1976；Zbl 0355.58017号)]，这反过来又是J.H.阿尔伯特【Proc.Sympos.纯粹数学.23，71–78（1973；Zbl 0268.58009号)]. 这使得作者可以将关于Bochner-Laplacians关于复杂全纯厄米特线团的初步结论推广到Kaluza-Klein-Laplacian。这在第4.1-4.5节中给出的定理4.1的准备和证明中得到了总结。下面的4.6小节研究了谱的多重性，从中可以部分推断出定理1.5的主要定理。第五部分处理Kaluza-Klein Laplacians的实部和虚部的节点集。正如作者指出的，尽管他们处理的是特征微分，但本节遵循了黎曼曲面上全纯二次微分经典理论的符号和术语，例如[K.斯特雷贝尔，二次微分。柏林：斯普林格·弗拉格（1984；Zbl 0547.30001号)]最终使其适应现代方法，如下所示F.A.阿里亚斯和M.马拉喀尔采夫[J.Geom.Phys.121108-122（2017；Zbl 1375.53036号)]. 这里的起点是研究线束相关部分的零点。它通过研究特征微分的正则点和奇异点来处理特征微分的实部和虚部，对于后者，在非退化情况下，定义了一个指数。通过它，对于一般黎曼度量，描述了（nabla^*nabla）特征微分的奇异点（命题5.7）。第六部分，如下[J.维尔姆斯、J.Differ。几何。4, 73–79 (1970;Zbl 0194.52901号);L.Bérard Bergery先生和J.-P.布尔吉尼翁，伊利诺伊州J.数学。26, 181–200 (1982;Zbl 0483.58021号)]在S^1作用的具体情况下，作者将Kaluza-Klein度量与带有完全测地线的黎曼潜水联系起来，并回顾了一些用于提升操作员的公式。在第6.2-6.4节中，他们确定了这样一个事实，即Bochner-Laplacian是水平Laplacian on（SX）的Fourier分量。第七节仅包含一个引理（和一个注释），用于证明关于Kaluza-Klein特征函数实部节点集连通性的定理1.9。第8节处理一般特征函数实部和虚部的节点域的计数。本节开始介绍定理1.5的证明草图。随后是第8.1–8.2小节中的详细证明。在第九节即最后一节中，作者说明了他们以前对Kaluza-Klein度量和常曲率曲面上单位切线丛上的Kaluza-Clein特征值问题的处理。他们考虑了平面圆环、（S^3）和双曲面（mathbb{H}^2），并在前两种情况下为Kaluza-Klein-Laplacian构造了显式正交本征基，在最后一种情况下，他们将论点与Maass-Hecke尖点形式联系起来，从中推导出定理9.5，从而验证了在所有具体情况下拉普拉斯特征函数节点域数有界的说法。
审核人：安东尼奥·罗伯托·达席尔瓦（里约热内卢）

MSC公司：

58J50型 光谱问题；光谱几何；流形上的散射理论
30楼30 黎曼曲面上的微分

关键词：

拉普拉斯特征函数；主束；卡鲁扎·克莱因公制；节点域

引文：

Zbl 0355.58017号；Zbl 0268.58009号；Zbl 0547.30001号；Zbl 1375.53036号；兹比尔0194.52901；Zbl 0483.58021号
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\textit｛J.Jung｝和\textit｛S.Zelditch｝，Ann.Inst.Fourier 70，编号3，971-1027（2020；Zbl 1469.58019）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] 阿里亚斯，F.A。；Malakhaltsev，Mikhail，线束截面和分支截面的Gauss-Bonnet-Hopf-Poincaré公式的推广，J.Geom。物理。，121, 108-122 (2017) ·Zbl 1375.53036号 ·doi:10.1016/j.geomphys.2017.07.011
[2] 亚历克斯·巴内特；科勒·康拉德；Jin，Matthew，《（2）D和（3）D随机波节点域上的实验Nazarov-Sodin常数、属和渗流》（2017）
[3] 莱昂内尔·贝拉德·伯格利；Bourguignon、Jean-Pierre、Laplacians和Riemannian潜水器，完全测地线，伊利诺伊州数学杂志。，26, 2, 181-200 (1982) ·兹比尔048358021
[4] 理查德·库兰特（Richard Courant）；大卫·希尔伯特，《数学物理方法》。第一卷，xv+561 p.pp.（1953），跨学科出版社·Zbl 0788.00012号
[5] Jean-Pierre Demailly，《代数几何中的分析方法》，1，viii+231 p.pp.（2012），国际出版社；高等教育出版社·兹比尔1271.14001
[6] 阿尔贝托·恩西索；Peralta-Salas，Daniel，3流形上一般度量的Hodge-Laplacian特征值的非退化性，Trans。美国数学。Soc.，364，84207-4224（2012）·Zbl 1286.58021号 ·doi:10.1090/S0002-9947-2012-05496-1
[7] 福井俊美；Nuño-Ballesteros，Juan J.，二元次微分方程的孤立奇点，Publ。材料、棒材。，56, 1, 65-89 (2012) ·Zbl 1282.37017号 ·doi:10.5565/PUBLMAT_56112_03
[8] 阿米特·戈什（Amit Ghosh）；安德烈·雷兹尼科夫（Andre Reznikov）；Sarnak，Peter，Maass forms I的Nodal域，Geom。功能。分析。，23, 5, 1515-1568 (2013) ·Zbl 1328.11044号 ·doi:10.1007/s00039-013-0237-4
[9] 阿米特·戈什（Amit Ghosh）；安德烈·列兹尼科夫；Sarnak，Peter，Maass形式的节点域，II，Am.J.Math。，139, 5, 1395-1447 (2017) ·Zbl 1392.11026号 ·doi:10.1353/ajm.2017.0035
[10] 亨利克·伊瓦涅克（Henryk Iwaniec）；科瓦尔斯基，艾曼纽尔，解析数论，53，xii+615 p.pp.（2004），美国数学学会·Zbl 1059.11001号 ·doi:10.1090/coll/053
[11] 张成玉；Jung，Junehyuk，《量子唯一遍历性与本征函数的节点域数》，J.Am.数学。Soc.，31，2，303-318（2018）·Zbl 1385.58014号 ·doi:10.1090/jams/883
[12] Junehyuk Jung；Young，Matthew P.，《艾森斯坦系列在临界线上的符号变化》，国际数学。Res.Not.，不适用。，3, 641-672 (2019) ·Zbl 1468.11119号 ·doi:10.1093/imrn/rnx139
[13] Junehyuk Jung；Zelditch，Steve，具有等距对合的负曲面特征函数的节点域和奇异点的数目，J.Differ。地理。，102, 1, 37-66 (2016) ·Zbl 1335.53048号
[14] Junehyuk Jung；Zelditch，Steve，凹边界非正曲面上特征函数的节点域数，数学。年鉴，364，3-4，813-840（2016）·Zbl 1339.53035号 ·doi:10.1007/s00208-015-1236-6
[15] Junehyuk Jung；Zelditch，Steve，随机等变球谐函数节点集的拓扑·Zbl 1339.53035号
[16] Lewy，Hans，关于球面谐波的节点线分割球面的最小域数，Commun。部分差异。方程式，2，12，1233-1244（1977）·Zbl 0377.31008号
[17] Magee、Michael、算术、零和球面上的节点域、Commun。数学。物理。，338, 3, 919-951 (2015) ·Zbl 1354.11041号 ·doi:10.1007/s00220-015-2391-z
[18] Stern、Antonie、Bemerkungenüber渐近线Verhalten von Eigenwerten und Eigenfunktitonen。数学-大自然。异议。，哥廷根，30 S（1925）。(1925)
[19] 斯特雷贝尔，库尔特，二次微分，5，xii+184 p.pp.（1984），施普林格·Zbl 0547.30001号 ·doi:10.1007/978-3-662-02414-0
[20] Uhlenbeck，Karen，特征函数的一般性质，美国数学杂志。，981059-1078（1976年）·Zbl 0355.58017号 ·doi:10.2307/2374041
[21] Vilms，Jaak，《完全测地线图》，J.Differ。地理。，4, 73-79 (1970) ·Zbl 0194.52901号
[22] Zelditch，Steve，节点域数的对数下界，J.Spectr。理论，6，4，1047-1086（2016）·Zbl 1380.58024号 ·doi:10.4171/JST/152
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