一月，佩佩日;乌尔里希吕德;马丁·沃拉利克;芭芭拉·沃尔穆特 通过多级方法得到了（h）和（p）有限元的尖锐代数界和总后验误差界。在任何情况下恢复质量平衡。 （英语） Zbl 1506.76097号 计算。方法应用。机械。工程师。 371，文章ID 113243，39页（2020）. 摘要：基于对最粗网格的全局求解和对后续网格层顶点周围网格元素补丁的局部求解，我们提出了简单网格层次上给定分段多项式的新的（mathbf{H}（operatorname{div}）和（H^1）提升。这特别允许提升给定的代数残差。关于提升总残差的方法，我们展示了如何获得代数、总和离散化误差的有保证、完全可计算和无常数的后验上下界；在这里，我们考虑用任意阶的协调有限元法离散的模型泊松方程，其中包括一个任意的迭代求解器。接下来，我们制定了安全停止准则，确保代数误差不会控制总误差。我们还证明了效率，即我们的上全估计和代数估计分别与总误差和代数误差等价，直到一个通用常数；该常数与总误差无关。数值实验表明，在几个测试问题中，包括一些经典估计失败的情况下，所有误差分量都得到了严格的控制，并且精确地预测了它们的空间分布。同时，（mathbf{H}（operatorname{div}）提升允许恢复任何问题、任何数值离散化以及任何情况下的质量平衡，例如（非线性）代数系统的不精确解或算法失败，我们认为这是独立的。我们在多孔介质中非混溶不可压缩两相流的模拟中证明了这种质量平衡恢复。 引用于14文件 MSC公司： 76M10个 有限元方法在流体力学问题中的应用 65N30型 偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Riz和Galerkin方法 65奈拉 涉及偏微分方程的边值问题的误差界 76S05号 多孔介质中的流动；过滤；渗流 关键词：有限元法;迭代代数求解器;后验误差估计;\（p\）-稳健性;质量平衡;多孔介质流动 软件：IPARS公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Papeí}等人，计算。方法应用。机械。工程371，文章ID 113243，39 p.（2020；Zbl 1506.76097） 全文： 内政部 参考文献： [1] Brandt，A。；Livne，O.E.，（Multigrid Techniques-1984流体动力学应用指南。Multigrid Techniques-1984流体动力学应用指南，应用数学经典，第67卷（2011年），工业与应用数学学会（SIAM）：工业与应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城），xx+218，1984年原版的修订版·Zbl 1227.65121号 [2] Hackbusch，W.，（多重网格方法和应用，多重网格方法与应用，计算数学中的Springer系列，第4卷（1985），Springer-Verlag:Springer-Verlag Berlin），xiv+377，https://www.springer.com/gp/book/9783540127611 ·Zbl 0595.65106号 [3] Wu，H。；Chen，Z.二阶椭圆问题自适应精化有限元网格上多重网格V循环的一致收敛性，Sci。中国Ser。A、 49、10、1405-1429（2006）·Zbl 1112.65104号 [4] 希特迈尔，R。；Wu，H。；郑伟，椭圆问题和麦克斯韦方程自适应多重网格方法的一致收敛性，数值。数学。理论方法应用。，5, 3, 297-332 (2012) ·Zbl 1274.65287号 [5] 徐，J。；Chen，L。；Nochetto，R.H.，分级和非结构化网格上（H（operatorname{grad}）、H（operatorname{curl}）和（H（operatorname}div}）系统的最优多级方法，（多尺度、非线性和自适应近似（2009），Springer:Springer-Blin），599-659·Zbl 1193.65209号 [6] Chen，L。；诺切托，R.H。；Xu，J.，分级平分网格的最优多级方法，Numer。数学。，120, 1, 1-34 (2012) ·Zbl 1235.65144号 [7] R·D·法尔古特。；Jones，J.E.，《大规模并行架构的多重网格》（Multigrid Methods，VI）（Gent，1999）。多重网格方法，VI（Gent，1999），Lect。注释计算。科学。《工程师》，第14卷（2000年），《施普林格：柏林施普林格》，101-107·Zbl 0972.65110号 [8] Yang，U.M.，并行代数多重网格方法-高性能预条件，（并行计算机上偏微分方程的数值解。并行计算机上的偏微分方程数值解，Lect.Notes Compute.Sci.Eng.，第51卷（2006），Springer:Springer Berlin），209-236·Zbl 1097.65125号 [9] 格梅纳，B。；吕德，美国。；斯坦格尔，H。；瓦卢加，C。；Wohlmuth，B.，《Stokes系统分层混合多重网格解算器的性能和可扩展性》，SIAM J.Sci。计算。，37、2、C143-C168（2015）·Zbl 1320.65188号 [10] 公证人Y。；Napov，A.，离散类泊松问题的大规模并行求解器，J.Compute。物理。，281, 237-250 (2015) ·Zbl 1352.65454号 [11] Liesen，J。；斯特拉科什，Z.，（Krylov Subspace Methods.Principles and Analysis.Krylof Subspace Methods.Priciples&Analysis，Numerical Mathematics and Scientific Computation（2013），牛津大学出版社：英国牛津大学出版社），408，https://global.oup.com/academic/product/krylov-subspace-methods-9780199655410？cc=fr&lang=en& ·兹比尔1263.65034 [12] Olshanskii，医学硕士。；Tyrtyshnikov，E.E.，《线性系统的迭代方法》，xvi+247（2014），工业和应用数学学会：工业与应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，理论与应用·Zbl 1320.65050号 [13] Brandt，A.，边界值问题的多级自适应解决方案，数学。公司。，31138333-390（1977年），https://www.jstor.org/stable/2006422 ·Zbl 0373.65054号 [14] R.E.银行。；Sherman，A.H.，椭圆边值问题的自适应多级方法，计算，26，2，91-105（1981）·Zbl 0466.65058号 [15] Bai，D。；Brandt，A.，局部网格细化多级技术，SIAM J.Sci。统计计算。，8, 2, 109-134 (1987) ·Zbl 0619.65091号 [16] R.E.银行。；Smith，R.K.，基于层次基础的后验误差估计，SIAM J.Numer。分析。，30, 4, 921-935 (1993) ·Zbl 0787.65078号 [17] Rüde，U.，《完全自适应多重网格方法》，SIAM J.Numer。分析。，30, 1, 230-248 (1993), https://www.jstor.org/stable/2158104 ·Zbl 0849.65090号 [18] Rüde，U.，（多层自适应方法的数学和计算技术。多层自适应方法中的数学和计算机技术，应用数学前沿，第13卷（1993），工业和应用数学学会（SIAM）：费城，宾夕法尼亚州），十二+140·Zbl 0857.65127号 [19] Rüde，U.，基于稳定分裂的误差估计，（科学与工程计算中的区域分解方法，宾夕法尼亚州大学公园，1993年）。科学与工程计算中的区域分解方法（宾夕法尼亚州大学公园，1993年）。数学。，第180卷（1994年），美国。数学。Soc.：美国。数学。Soc.Providence，RI），111-118，http://www.ddm.org/DD07/Ruede.pdf ·Zbl 0817.65113号 [20] Oswald，P.，（多层有限元近似。多层有限元逼近，Teubner Skipten zur Numerik。[Teubner Scripts on Numerical Mathematics]（1994），B.G.Teubner:B.G.Tuubner Stuttgart），160，理论与应用·Zbl 0830.65107号 [21] 詹森，B。；Kanschat，G.，对符合（H^1）和（H^{operatorname{curl}}）的高阶有限元方法进行局部平滑的自适应多级方法，SIAM J.Sci。计算。，33, 4, 2095-2114 (2011) ·Zbl 1230.65133号 [22] 贝克尔，R。；约翰逊，C。；Rannacher，R.，多重网格有限元方法的自适应误差控制，计算，55，4271-288（1995）·Zbl 0848.65074号 [23] Arioli，M。；洛根，D。；Wathen，A.J.，有限元方法中迭代的停止标准，数值。数学。，99381-410（2005年）·Zbl 1069.65124号 [24] Arioli，M。；Georgoulis，E.H。；Loghin，D.，自适应有限元解算器的停止准则，SIAM J.Sci。计算。，35、3、A1537-A1559（2013）·Zbl 1276.65077号 [25] 梅德纳，D。；Rannacher，R。；Vihharev，J.，有限元方程迭代解的目标导向误差控制，J.Numer。数学。，17, 2, 143-172 (2009) ·Zbl 1169.65340号 [26] Jiránek，P。；斯特拉科什，Z。；Vohralík，M.，迭代求解器的后验误差估计，包括代数误差和停止准则，SIAM J.Sci。计算。，32, 3, 1567-1590 (2010) ·Zbl 1215.65168号 [27] Ern，A。；Vohralík，M.，非线性扩散偏微分方程具有后验停止准则的自适应不精确牛顿方法，SIAM J.Sci。计算。，35、4、A1761-A1791（2013）·Zbl 1362.65056号 [28] 佩佩，J。；斯特拉科什，Z。；Vohralík，M.，使用通量重建估计和定位代数和总数值误差，Numer。数学。，138, 3, 681-721 (2018) ·Zbl 1453.65414号 [29] 布拉格，W。；Synge，J.L.，基于函数空间概念的弹性近似，Quart。申请。数学。，5, 241-269 (1947), https://www.jstor.org/stable/43633616 ·Zbl 0029.23505号 [30] Destuynder，P。；Métivet，B.，协调有限元方法中的显式误差界，数学。公司。，68, 228, 1379-1396 (1999) ·兹比尔0929.65095 [31] 卢斯，R。；Wohlmuth，B.I.，基于平衡通量的局部后验误差估计器，SIAM J.Numer。分析。，42, 4, 1394-1414 (2004) ·Zbl 1078.65097号 [32] Braess博士。；Schöberl，J.，边缘元素的平衡残差估计器，数学。公司。，77, 262, 651-672 (2008) ·Zbl 1135.65041号 [33] 尼加斯。；Witowski，K。；Wohlmuth，B.I.，基于平衡通量的Lamé方程的后验误差估计，IMA J.Numer。分析。，28, 2, 331-353 (2008) ·Zbl 1136.74044号 [34] 阿戈扎尔，A。；Lipnikov，K。；Vassilevski，Y.，基于复合范数的扩散方程有限元解的误差估计，J.Numer。数学。，17, 2, 77-95 (2009) ·Zbl 1170.65085号 [35] Ainsworth，M.，获得有限元近似保证误差界的框架，J.Compute。申请。数学。，234, 9, 2618-2632 (2010) ·Zbl 1191.65144号 [36] Vohralík，M.，《不连续系数扩散问题协调离散的有保证且完全稳健的后验误差估计》，J.Sci。计算。，46, 3, 397-438 (2011) ·Zbl 1270.65064号 [37] Ern，A。；Vohralík，M.，《在一致、非一致、间断Galerkin和混合离散化的统一设置下多项式度稳健后验估计》，SIAM J.Numer。分析。，53, 2, 1058-1081 (2015) ·Zbl 1312.76026号 [38] Kopteva，N.，《使用各向异性网格上的各向异性通量平衡完全计算后验误差估计器》（2017），ArXiv Preprint 1704.04404。统一资源定位地址https://arxiv.org/abs/1704.04404 [39] Braess，D。；Pillwein，V。；Schöberl，J.，平衡残差估计是稳健的，计算。方法应用。机械。工程，198，13-14，1189-1197（2009）·Zbl 1157.65483号 [40] Ern，A。；Vohralík，M.，《三维空间中多项式稳健势和通量重建的稳定破缺（H^1）和（黑体符号{H}（operatorname{div}）多项式扩展》，数学。公司。，89, 322, 551-594 (2020) ·Zbl 1434.65253号 [41] Oswald，P.，Sobolev空间的稳定子空间分裂和域分解算法，（科学和工程计算中的域分解方法（宾夕法尼亚州帕克大学，1993年）。科学与工程计算中的区域分解方法（宾夕法尼亚州大学公园，1993年）。数学。，第180卷（1994年），美国。数学。Soc.：美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc.Providence），87-98·Zbl 0817.65112号 [42] 格里贝尔，M。；Oswald，P.，《关于加法和乘法Schwarz算法的抽象理论》，数值。数学。，70, 2, 163-180 (1995) ·Zbl 0826.65098号 [43] 佩佩，J。；Vohralík，M.，有限元离散化中代数误差的廉价保证和有效上界（2020），HAL预印本02422851，提交出版。统一资源定位地址https://hal.inia.fr/hal-02422851 [44] 阿隆索·罗德里格斯，A。；Valli，A.，有限元势，应用。数字。数学。，2015年2月95日至14日·Zbl 1320.65164号 [45] 沃拉利克，M。；Wheeler，M.F.，两相流的后验误差估计、停止标准和适应性，计算。地质科学。，17, 5, 789-812 (2013) ·Zbl 1393.76069号 [46] 坎塞斯，C。；波普，I.S。；Vohralík，M.，非混溶不可压缩两相流顶点中心有限体积离散化的后验误差估计，数学。公司。，83, 285, 153-188 (2014) ·Zbl 1430.76369号 [47] Di Pietro，D.A。；弗劳劳德，E。；沃拉利克，M。；Yousef，S.，多孔介质中多相组成达西流的后验误差估计、停止标准和适应性，J.Compute。物理。，276, 163-187 (2014) ·Zbl 1349.76323号 [48] Dawson，C。；Sun，S。；Wheeler，M.F.，耦合流和传输的兼容算法，计算。方法应用。机械。工程，193，23-26，2565-2580（2004）·Zbl 1067.76565号 [49] 奇帕达，S。；Dawson，C.N。；马丁内斯，M.L。；Wheeler，M.F.，构造质量守恒速度场的投影方法，计算。方法应用。机械。工程，157，1-2，1-10（1998）·Zbl 0953.76045号 [50] Sun，S。；Wheeler，M.F.，与运输兼容的速度数据投影，计算。方法应用。机械。工程，195，7-8，653-673（2006）·兹比尔1091.76041 [51] Cockburn，B。；Gopalakrishnan，J。；Wang，H.，连续Galerkin方法的局部保守通量，SIAM J.Numer。分析。，45, 4, 1742-1776 (2007) ·Zbl 1155.65100号 [52] 尤因·R·E。；Wang，J.，混合有限元方法的多层分解迭代方法分析，RAIRO模型。数学。分析。编号。，28, 4, 377-398 (1994) ·Zbl 0823.65035号 [53] 凯莱加夫伦，E。；Nordbotten，J.M.，多孔介质中控制体积离散的非精确线性解算器，计算。地质科学。，19, 1, 159-176 (2015) ·Zbl 1327.76138号 [54] Ali Hassan，S。；贾普特，C。；科恩，M。；Vohralík，M.，混合公式中优化Schwarz区域分解算法的后验停止准则，计算。方法应用。数学。，18, 3, 495-519 (2018) ·Zbl 1398.65272号 [55] Dabaghi，J。；马丁·V。；Vohralík，M.，两个膜之间接触问题的自适应非精确半光滑牛顿方法，J.Sci。计算。，84, 28 (2020) ·Zbl 07229481号 [56] Dabaghi，J。；马丁·V。；Vohralík，M.，抛物型变分不等式数值逼近的误差分量和自适应停止准则的后验估计，计算。方法应用。机械。工程，367，第113105条pp.（2020）·Zbl 1506.65191号 [57] 坎塞斯，E。；Dusson，G。；Maday，Y。；斯坦姆，B。；Vohralík，M.，《拉普拉斯特征值和特征向量的保证和稳健后验界：一致逼近》，SIAM J.Numer。分析。，55, 5, 2228-2254 (2017) ·兹比尔1516.65120 [58] Mallik，G。；沃拉利克，M。；Yousef，S.，面向目标的后验误差估计，适用于具有不精确解的一致和非一致逼近，J.Compute。申请。数学。，第366条，第112367页（2020年）·兹比尔1490.655282 [59] 沃拉利克，M。；Yousef，S.，《一般多边形网格的简单后验估计及其在复杂多孔介质流动中的应用》，计算。方法应用。机械。工程，331，728-760（2018）·Zbl 1439.74472号 [60] 艾哈迈德·E。；Ali Hassan，S。；贾普特，C。；科恩，M。；Vohralík，M.，不同岩石类型之间两相流时空域分解的后验误差估计和停止标准，SMAI J.Comput。数学。，5, 195-227 (2019) ·Zbl 1432.65130号 [61] 巴布什卡，I。；Strouboulis，T.（《有限元方法及其可靠性：有限元方法及可靠性、数值数学和科学计算》（2001），克拉伦登出版社牛津大学出版社：克拉伦登出版牛津大学出版社纽约），xii+802，https://global.oup.com/academic/product/the-finite-element-method-and-its-reliability-9780198502760？cc=fr&lang=en& ·Zbl 0995.65501号 [62] Repin，S.，《偏微分方程的后验估计》，计算和应用数学中的Radon级数，xii+316（2008），Walter de Gruyter GmbH&Co.：Walter de Gruyter股份有限公司，柏林·Zbl 1162.65001号 [63] 布雷齐，F。；Fortin，M.，（混合和混合有限元方法。混合和混合的有限元方法，计算数学中的Springer系列，第15卷（1991年），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约），x+350·Zbl 0788.7302号 [64] Daniel，P。；Ern，A。；Vohralík，M.，一种具有不精确解算器和误差减少因子的可计算保证界的自适应（hp）精化策略，计算。方法应用。机械。工程，359，第112607条pp.（2020）·Zbl 1441.65095号 [65] Loisel，S。；纳本，R。；Szyld，D.B.，《关于混合多重网格-Schwarz算法》，科学杂志。计算。，36, 2, 165-175 (2008) ·Zbl 1203.65072号 [66] Bramble，J.H.，（多重网格方法。多重网格方法，数学系列中的皮特曼研究笔记，第294卷（1993），朗曼科学与技术；与John Wiley&Sons，Inc.在美国合著：Longman Scientific&Technical；与John Wiley&Sons，Inc.在美国合著，Harlow，New York），viii+161·Zbl 0786.65094号 [67] 佩恩，L.E。；Weinberger，H.F.，凸域的一个最优Poincaré不等式，Arch。定额。机械。分析。，5, 286-292 (1960), https://link.springer.com/article/10.1007/BF00252910 ·Zbl 0099.08402号 [68] Bebendorf，M.，关于凸域的Poincaré不等式的注记，Z.Ana。安文德。，22, 4, 751-756 (2003) ·Zbl 1057.26011号 [69] 米拉奇，A。；佩佩，J。；Vohralík，M.，一种多级代数误差估计器和相应的具有鲁棒行为的迭代解算器，SIAM J.Numer。分析。(2020) ·Zbl 1451.65222号 [70] Schöberl，J。；梅伦克，J.M。；佩奇斯坦，C。；Zaglmayr，S.，（p）型三角形和四面体有限元的加性Schwarz预处理，IMA J.Numer。分析。，28, 1, 1-24 (2008) ·Zbl 1153.65113号 [71] 贝克尔，R。；Mao，S.，简单自适应有限元方法M2AN数学的收敛性和准最优复杂性。模型。数字。分析。，43, 6, 1203-1219 (2009) ·Zbl 1179.65139号 [72] Ern，A。；涂抹，I。；Vohralík，M.，离散型（p\）-稳健型（boldsymbol{H}（operatorname{div}）-提升和带（H^{-1}）源项椭圆问题的后验估计，Calcolo，54，3，1009-1025（2017）·Zbl 1378.65173号 [73] Saad，Y.，《稀疏线性系统的迭代方法》，xviii+528（2003），工业与应用数学学会：工业和应用数学学会，宾夕法尼亚州费城，https://doi.org/10.1137/1.9780898718003 ·Zbl 1031.65046号 [74] 帕斯奎蒂，R。；Rapetti，F.，简单网格上的谱元方法，（偏微分方程的谱和高阶方法-ICOSAHOM 2012）。偏微分方程的谱和高阶方法-ICOSAHOM 2012，Lect。注释计算。科学。工程，第95卷（2014），《施普林格：施普林格-查姆》，37-55·Zbl 1282.65157号 [75] Sundar，H。；斯塔德勒，G。；Biros，G.，高阶连续有限元离散的多重网格算法比较，数值。线性代数应用。，22, 4, 664-680 (2015) ·Zbl 1349.65680号 [76] Vassilevski，P.S.，多级块分解预处理器，xiv+529（2008），施普林格：施普林格纽约，基于矩阵的分析和求解有限元方程的算法，https://www.springer.com/gp/book/9780387715636 ·Zbl 1170.65001号 [77] 佩佩，J。；Liesen，J。；Strakoš，Z.，偏微分方程数值解中离散化和代数误差的分布，线性代数应用。，449, 89-114 (2014) ·Zbl 1302.65113号 [78] Arnold，D.N。；Brezzi，F.，《混合和非协调有限元方法：实现、后处理和误差估计》，RAIRO Modél。数学。分析。编号。，19, 1, 7-32 (1985) ·Zbl 0567.65078号 [79] Arbogast，T。；Chen，Z.，关于二阶椭圆问题混合方法作为非协调方法的实现，Math。公司。，64211943-972（1995年）·Zbl 0829.65127号 [80] Brenner，S.C.，分段函数的Poincaré-Friedrichs不等式，SIAM J.Numer。分析。，41, 1, 306-324 (2003) ·Zbl 1045.65100号 [81] Vohralík，M.，关于Sobolev空间（H^1）非协调逼近的离散Poincaré-Friedrichs不等式，Numer。功能。分析。最佳。，26, 7-8, 925-952 (2005) ·Zbl 1089.65124号 [82] Vohralík，M.，基于混合有限元方法先验和后验误差分析的统一原始公式，数学。公司。，79, 272, 2001-2032 (2010) ·Zbl 1201.65200号 [83] 卡斯滕森，C。；Funken，S.A.，《FEM中完全可靠的局部误差控制》，SIAM J.Sci。计算。，21, 4, 1465-1484 (1999) ·Zbl 0956.65099号 [84] Chen，Z.，（多孔介质中的多相流。多孔介质中多相流，《纯数学与应用数学》，第65卷（1995），学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich的子公司，出版商]：学术出版社[Hacourt Blace Jovanov ich的附属公司，出版者]纽约朗顿），xviii+268，https://www.academia.edu/30286011/Computional_Methods_for_Multiphase_Flows_in_Porous_Media_Chen_et_al [85] 道格拉斯，J。；尤因·R·E。；Wheeler，M.F.，《混相驱替模拟中混合方法的压力近似值》，RAIRO Anal。编号。，17, 1, 17-33 (1983), http://www.numdam.org/item/M2AN_1983__17_1_17_0/ ·Zbl 0516.76094号 [86] Lacroix，S。；瓦西列夫斯基，Y。；惠勒，J。；Wheeler，M.，完全隐式建模多孔介质中多相流的迭代求解方法，SIAM J.Sci。计算。，25, 3, 905-926 (2003) ·Zbl 1163.65310号 [87] Droniou，J。；Eymard，R。；Herbin，R.，梯度格式：扩散方程数值分析的通用工具，ESAIM数学。模型。数字。分析。，50, 3, 749-781 (2016) ·Zbl 1346.65042号 [88] 路易斯安那州贝朗·达维加。；布雷齐，F。；马里尼，L.D。；Russo，A.，多边形网格上一般二阶椭圆问题的混合虚元方法，ESAIM Math。模型。数字。分析。，50, 3, 727-747 (2016) ·Zbl 1343.65134号 [89] Cangiani，A。；Georgoulis，E.H。；Houston，P.，《多边形和多面体网格上的（hp）型间断Galerkin方法》，数学。模型方法应用。科学。，24, 10, 2009-2041 (2014) ·Zbl 1298.65167号 [90] Cockburn，B。；Di Pietro，D.A。；Ern，A.，桥接混合高阶和混合间断Galerkin方法，ESAIM数学。模型。数字。分析。，50, 3, 635-650 (2016) ·Zbl 1341.65045号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。