弗洛克，塔林·C。;罗伯特·斯特里查茨。 二次Julia集族上的Laplacians。第一部分。 （英语） Zbl 1290.28011号 变速器。美国数学。Soc公司。 364，第8期，3915-3965（2012）. 分形分析是一门相对年轻的学科，自20世纪80年代提出分形概念以来，它得到了广泛的发展，例如[B.布兰纳《曼德布罗特集》，《混沌与分形》。（普罗维登斯，RI，1988）Proc。交响乐。申请。数学。，第39卷，美国。数学。《普罗维登斯判例汇编》第75-105页（1989）][J.基加米，分形分析。剑桥数学丛书。143.剑桥：剑桥大学出版社（2001；Zbl 0998.28004号)], [R.S.斯特里哈特，分形微分方程。教程。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2006；Zbl 1190.35001号)]以及其中的参考。Kigami[loc.cit.]开创的方法是从能量形式和度量构造Laplacian。迄今为止所研究的许多示例都是严格自相似集，它们是作为迭代函数系统的不动点出现的，例如Sierpinski垫圈、Sierpinski-carpet、hexaflake和Vicsek雪花。然而，L.G.罗杰斯和A.特普利亚耶夫【Commun.Pure Appl.Anal.9，编号1121-231（2010；Zbl 1194.28013号)]将基加米的方法扩展到了朱莉娅大教堂。在本文中，本着同样的精神，作者证明了由双曲二次多项式生成的Julia集（J{c}）上的Laplacian的存在性，即形式为（P_{c}（z）=z^{2}+c\）的多项式，其中（c\）属于Mandelbrot集。这一类茱莉亚场景包括大教堂和杜阿迪兔[Zbl 1194.28013号]与本文中考虑的能量形式不同的结果）。Julia集（J{c}）是一类研究得很好的非线性分形，它既连通又有限分支，这意味着它们可以通过删除有限个点而断开。当前工作所克服的主要困难来自于（J{c}）的非线性，特别是它没有严格的自相似结构。从动力学提供的Julia集（J{c}）的图逼近（V{m}）出发，作者首先定义了一种能量形式（mathcal｛E｝_{m} ^{（j）}依赖于\（V{m}）的几何形状，对于\（j\ in \{0，1，\dots，k\}），其中\（k）表示\（V_{m}\）中的点的数目，这些点被标识为获得\（V_{m+1}\ set减去V_{m}\）的单点。然后，他们证明了能量形式\（\mathcal｛E｝^｛（j）｝（\cdot，\cdot）\mathrel｛：＝｝\lim_｛m\to\infty｝\mathcal｛E｝^｛（j）｝_｛m｝（\cdot，\cdot）\）是很好定义的，并最终定义了能量形式\（\mathcal｛E｝（\cdot，\cdot）\）\[\mathcal{E}（\cdot，\cdot）\mathrel{：=}\frac{1}{k}\sum_{j=0}^{k-1}\mathcal{E}^{（j）}（\ cdot，\ cdot）。\]一旦一个测度被确定，这个能量形式就被用来通过弱公式定义拉普拉斯算子。我们考虑了两种自然测度：忽略几何方面的（P_{c}）不变测度（mu）和非（P_}c}不变但根据映射雅可比的幂变换的保角测度（nu）。更具体地说，测度（mu）是在（V{m}）上近似的圆上的正规化Lebesgue测度拉回到（J{c}\[\int_{J{c}}f\circP_{c}\，\mathrm{d}\mu=\int_{J{c}f\mathrm{d}\mu。\]保角测量（nu）的特点是：\[\int_{J{c}}f\circ P_{c}|P_{c}'|^{delta}\，\mathrm{d}\mu=\int_{J{c}f\mathrm{d}\ mu，\]对于一个常数\（\δ\），可以确定为\（J{c}\）的Hausdorff维数。证明了用测度构造的拉普拉斯算子（Delta{mu}）满足（P_{c}）不变性条件\[\增量{\mu}（u\circP_{c}）=2^{1+1/k}（\Delta{\mu{（u））\circ P_{c}。\]特别地，如果（u）是一个（lambda）-本征函数，那么（u循环P_{c}）是（2^{1+1/k}）-本徵函数。换句话说，用（2^{1+1/k}）乘法时，（Delta{\mu}）的谱保持不变。此外，这个拉普拉斯算子只依赖于\（J_{c}\）的拓扑类型。因此，对于拟圆，算子（Delta{mu}）是单位圆上的拉普拉斯算子，它是拟共形映射的参数化。相比之下，共形拉普拉斯算子（Delta{nu}）是根据测度（nu）建立的，并且取决于（J{c}）的几何结构。作者还描述了拉普拉斯算子（Delta{mu}）和（Delta}nu}）的特征值和特征函数的数值逼近过程，并给出了计算结果。他们对本征函数进行了分类，并对计算数据进行了详细解释。此外，受此数据的启发，作者提出了关于这些拉普拉斯算子特征值计数函数的猜想。审查中的文章的工作在[T.Aougab公司等，Commun。纯应用程序。分析。第12期，第1期，第1-58页（2013年；Zbl 1264.28003号)]. 简而言之，本文作者证明了本文的方法可以应用于更大的一类Julia集，并给出了一种系统的方法，该方法将不变能量的构造简化为非线性有限维特征值问题的解。审核人：托尼·塞缪尔（不来梅） 引用于1审查引用于9文件 MSC公司： 28A80型 分形 关键词：朱莉娅设置;拉普拉斯 引文：Zbl 0998.28004号;Zbl 1190.35001号;兹伯利1194.28013;兹比尔1264.28003 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.C.Flock}和\textit{R.S.Strichartz}，翻译。美国数学。Soc.364，No.8，3915--3965（2012；Zbl 1290.28011） 全文： 内政部 参考文献： [1] Tarik Aougab、Chu Yue（Stella）Dong和Robert S.Strichartz，二次julia集家族的Laplacians II，Comm.Pure Appl。数学。，出现·Zbl 1264.28003号 [2] 布莱恩特·亚当斯（Bryant Adams）、S.亚历克斯·史密斯（S.Alex Smith）、罗伯特·S·斯特里哈特斯（Robert S.Strichartz）和亚历山大·特普利亚耶夫（Alexander Teplyaev），《五垫圈上拉普拉斯的谱》（The spectrum of The Laplacian on The pent。，Birkhäuser，巴塞尔，2003年，第1-24页·Zbl 1037.31010号 [3] 马丁·巴洛（Martin T.Barlow），《分形的扩散》，《概率论和统计学讲座》（Saint-Flour，1995），数学课堂讲稿。，第1690卷，施普林格出版社，柏林，1998年，第1-121页·Zbl 0916.60069号 ·doi:10.1007/BFb0092537 [4] Bodil Branner，The Mandelbrot set，混沌与分形（普罗维登斯，RI，1988）Proc。交响乐。申请。数学。，第39卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，1989年，第75-105页·doi:10.1090/psapm/039/1010237 [5] Sarah Constantin、Robert S.Strichartz和Miles Wheeler，Vicsek集上拉普拉斯算子和谱算子的分析，Commun。纯应用程序。分析。10（2011年），第1期，第1-44页·Zbl 1242.28009号 ·doi:10.3934/cpaa.2011.10.1 [6] 阿德里安·杜阿迪（Adrien Douady）和约翰·H·哈伯德（John H.Hubbard），《多形体复合体练习曲》（Etude dynamice des polynomes complexscripts i），出版。数学。d'Orsay（1984）。 [7] Taryn C.Flock，二次julia集族上的拉普拉斯算子，http://www.math.cornell.edu/taryn/data.html，2008年9月·Zbl 1338.42011号 [8] M.Fukushima和T.Shima，关于Sierpin滑雪板垫片的光谱分析，潜在分析。1（1992年），第1期，第1-35页·Zbl 1081.31501号 ·doi:10.1007/BF00249784 [9] Jun Kigami，《分形分析》，《剑桥数学丛书》，第143卷，剑桥大学出版社，剑桥，2001年·Zbl 0998.28004号 [10] Jun Kigami和Michel L.Lapidus，p.c.f.自相似分形上拉普拉斯谱分布的Weyl问题，Comm.Math。物理学。158（1993），第1号，93–125·兹比尔0806.35130 [11] 卢克·罗杰斯（Luke G.Rogers）和亚历山大·特普利亚耶夫（Alexander Teplyaev），长方形会堂上的拉普拉斯人朱莉娅（Julia sets），Commun。纯应用程序。分析。9（2010），第1期，211–231·Zbl 1194.28013号 ·doi:10.3934/cpaa.2010.9.211 [12] Robert S.Strichartz，《分形微分方程》，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，2006年。教程·Zbl 1190.35001号 [13] 周登林，维斯克集上拉普拉斯谱分析，太平洋。数学杂志。241 (2009), 369-398. ·Zbl 1177.28029号 [14] 周登林，分形拉普拉斯谱带隙判据，傅里叶分析。申请。16（2010），第1期，76-96·Zbl 1190.28005号 ·doi:10.1007/s00041-009-9087-8 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。