Patnaik，桑西特;约翰·霍尔坎普。;法比奥·塞姆佩洛蒂 变阶分数阶算子的应用：综述。 （英语） Zbl 1439.26028号 程序。英国皇家学会。，A、 数学。物理。工程科学。 476，第2234号，文章ID 20190498，32页（2020）. 摘要：变阶分数阶算子是近几年才构思出来并在数学上形式化的。制定进化控制方程的可能性使这些算子成功应用于复杂现实问题的建模，从力学到运输过程，从控制理论到生物学。变阶分数阶微积分（VO-FC）是微积分中一个相对鲜为人知的分支，它提供了模拟跨学科过程的绝佳机会。认识到这一尚未开发的潜力，科学界一直在积极探索VO-FC在工程和物理系统建模中的应用。这篇综述旨在为有兴趣了解这一迷人领域的读者提供一个起点。我们简要而全面地总结了VO-FC分析和计算方法的发展进展，并将其应用于复杂物理系统的模拟。更具体地说，在简要介绍了基本数学概念之后，我们从科学建模的实际应用角度提出了VO-FC主题。 引用于54文件 MSC公司： 第26页第33页 分数导数和积分 34A08号 分数阶常微分方程 35兰特 分数阶偏微分方程 82C70码 含时统计力学中的输运过程 93C80号 控制理论中的频率响应方法 关键词：分数微积分;变阶算子;演化微分方程;反常输运;可变控制 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Patnaik}等人，Proc。英国皇家学会。，A、 数学。物理。工程科学。476，第2234号，文章ID 20190498，32页（2020；Zbl 1439.26028） 全文： 内政部 参考文献： [1] Bagley R，Torvik P.（1983）分数微积分应用于粘弹性的理论基础。J.流变学。27, 201-210. （doi:10.1122/1.549724）·Zbl 0515.76012号 ·数字对象标识代码：10.1122/1.549724 [2] Torvik P，Bagley R.（1984）关于实际材料行为中分数导数的出现。J.应用。机械。51, 294-298. （doi:10.1115/1.3167615）·Zbl 1203.74022号 ·数字对象标识代码：10.1115/1.3167615 [3] Chatterjee A.（2005）粘弹性分数导数的统计起源。J.声音振动。284, 1239-1245. （doi:10.1016/j.jsv.2004.09.019）·doi:10.1016/j.jsv.2004.09.019 [4] Mainardi F.（2010）《分数微积分与线性粘弹性波：数学模型简介》。英国伦敦：帝国理工学院出版社·Zbl 1210.26004号 [5] Benson DA，Wheatcraft SW，Meerschaert MM（2000）分数对流扩散方程的应用。水资源。第36号决议，1403-1412。（doi:10.1029/2000WR900031）·doi:10.1029/2000/WR900031 [6] Fellah Z，Depollier C，Fellah M.（2002）分数阶微积分在刚性多孔材料声波传播中的应用：通过超声波测量进行验证。Acust行动。与Acust联合。88, 34-39. （doi:10.1121/2.000201）·数字对象标识代码：10.1121/2.0000201 [7] Chen W，Holm S.（2003）服从频率-功率定律的有损介质的修正Szabo波动方程模型。J.声学。美国南部1142570-2574。（doi:10.1121/1.1621392）·数字对象标识代码：10.1121/1.1621392 [8] Hollkamp JP，Sen M，Semperlotti F.（2019）使用空间分数波方程分析周期棒中的色散和传播特性。J.声音振动。441, 204-220. （doi:10.1016/j.jsv.2018.10.051）·doi:10.1016/j.jsv.2018.10.051 [9] Buonocore S，Sen M，Semperlotti F.（2019）高散射声周期介质中异常扩散和非局部响应的发生。新J.Phys。2011年3月21日。 [10] Buonocore S，Sen M，Semperlotti F.（2019）球体瞬态蠕变流动的分数阶方法。AIP高级9，085323。（doi:10.1063/1.5121241）·doi:10.1063/1.5121241 [11] Hollkamp JP，Semperlotti F.（2020）分数阶算子在声学黑洞终端导管模拟中的应用。J.声音振动。465, 115035. （doi:10.1016/j.jsv.2019.115035）·doi:10.1016/j.jsv.2019.115035 [12] Riewe F.（1997）分数导数力学。物理。版次E 55，3581。（doi:10.1103/PhysRevE.55.3581）·doi:10.1103/PhysRevE.55.3581 [13] Agrawal OP.（2007）基于Riesz分数导数的分数变分法。《物理学杂志》。数学。西奥。40, 6287. （doi:10.1088/1751-8113/40/24/003）·Zbl 1125.26007号 ·doi:10.1088/1751-8113/40/24/003 [14] Rossikhin YA，Shitikova MV.（2010）分数阶微积分在固体力学动力学问题中的应用：新趋势和最新结果。申请。机械。版本63010801。（doi:10.1115/1.4000563）·数字对象标识代码：10.1115/1.4000563 [15] Tarasov VE.（2013）《一些有希望的分数物理模型的回顾》。国际期刊修订版。物理。乙271330005。（doi:10.1142/S021797921330053）·Zbl 1267.34012号 ·doi:10.1142/S021797921330053 [16] 拉佐普洛斯KA。（2006）非局部连续介质力学和分数阶微积分。机械。Res.Commun公司。33, 753-757. （doi:10.1016/j.mechrescom.2006.05.001）·Zbl 1192.74010号 ·doi:10.1016/j.mechrescom.2006.05.001 [17] Cottone G，Di Paola M，Zingales M.（2009）非局部连续体动力学的分数力学模型。《数值方法进展》（编辑：N Mastorakis，J Sakellaris），第389-423页。马萨诸塞州波士顿：斯普林格·Zbl 1181.74011号 [18] Carpinti A，Cornetti P，Sapora A.（2011）非局部弹性的分数阶微积分方法。欧洲物理学。J.规格顶部。193, 193. （doi:10.1140/epjst/e2011-01391-5）·doi:10.1140/epjst/e2011-01391-5 [19] Sumelka W.（2014）分数连续介质力学框架下的热弹性。J.热学。应力37、678-706。（doi:10.1080/01495739.2014.885332）·doi:10.1080/01495739.2014.885332 [20] Sumelka W.（2014）关于分数微积分中非关联Drucker-Prager塑性流动的注释。J.西奥。申请。机械。52, 571-574. [21] Sumelka W，Voyiadjis GZ公司。（2017）具有记忆的超弹性分数损伤材料模型。国际固体结构杂志。124, 151-160. （doi:10.1016/j.ijsolstr.2017.06.024）·doi:10.1016/j.ijsolstr.2017.06.024 [22] Sun Y，Zheng C.（2019）不使用状态变量和塑性势的土壤状态相关非关联行为的分数阶建模。高级差异。埃克。2019, 83. （doi:10.1186/s13662-019-2040-5）·Zbl 1458.74105号 ·doi:10.1186/s13662-019-2040-5 [23] Hollkamp JP，Sen M，Semperlotti F.（2018）通过分数微积分对集总参数系统进行模型降阶。J.声音振动。419, 526-543. （doi:10.1016/j.jsv.2018.01.11）·doi:10.1016/j.jsv.2018.01.011 [24] Magin RL.（2004）生物工程中的分数微积分，第1部分。批评。生物识别版本。工程32，1-104。 [25] Magin RL.（2004）生物工程中的分数微积分，第2部分。批评。生物识别版本。工程师32105-194。 [26] Magin RL.（2004）生物工程中的分数微积分，第3部分。批评。生物识别版本。工程32，195-378。 [27] Machado JT，Kiryakova V，Mainardi F.（2011）分数微积分的近代史。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。16, 1140-1153. （doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027）·Zbl 1221.26002号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2010.05.027 [28] Podlubny I.（1998）《分数微分方程：分数导数、分数微分方程及其解的方法和一些应用的介绍》，第198卷。加利福尼亚州圣地亚哥：爱思唯尔·Zbl 0922.45001号 [29] Glöckle WG，Nonnenmacher TF.（1995）自相似蛋白质动力学的分数微积分方法。生物物理学。《期刊》第68卷第46-53页。（doi:10.1016/S0006-3495（95）80157-8）·doi:10.1016/S0006-3495（95）80157-8 [30] Samko SG，Ross B.（1993）对可变分数阶的积分和微分。积分变换。特殊功能。1, 277-300. （doi:10.1080/10652469308819027）·Zbl 0820.26003号 ·doi:10.1080/10652469308819027 [31] Lorenzo CF，Hartley TT.（1998）广义分数微积分中的初始化、概念化和应用。报告编号：NASA/TP-1998-208415。俄亥俄州克利夫兰：美国国家航空航天局。请参见https://ntrs.nasa.gov/archive/nasa/casi.ntrs.nass.gov/19990036675.pdf。 [32] Lorenzo CF，Hartley TT.（2002）变阶和分布阶分数阶算子。非线性动力学。29, 57-98. （doi:10.1023/A:1016586905654）·Zbl 1018.93007号 ·doi:10.1023/A:1016586905654 [33] Coimbra C.（2003）变阶微分算子力学。安·物理。12, 692-703. （doi:10.1002/和p.200310032）·Zbl 1103.26301号 ·doi:10.1002/和p.200310032 [34] Chechkin AV、Gorenflo R、Sokolov IM。（2005）非均匀介质中的分数扩散。《物理学杂志》。数学。第38代，L679。（doi:10.1088/0305-4470/38/42/L03）·Zbl 1082.76097号 ·doi:10.1088/0305-4470/38/42/L03 [35] Sun H，Chen W，Chen Y.（2009）异常扩散建模中的变阶分数微分算子。物理A 388，4586-4592。（doi:10.1016/j.physa.2009.07.024）·doi:10.1016/j.physa.2009.07.024 [36] Valério D，Sáda Costa J.（2011）变阶分数导数及其数值近似。信号处理。91, 470-483. （doi:10.1016/j.sigpro.201.04.006）·Zbl 1203.94060号 ·doi:10.1016/j.sigpro.2010.04.006 [37] Samko S.（2013）变阶分数阶积分与微分：综述。非线性动力学。71, 653-662. （doi:10.1007/s11071-012-0485-0）·Zbl 1268.34025号 ·doi:10.1007/s11071-012-0485-0 [38] Ortigueira MD，Valério D，Machado JT。（2019）变阶分数系统。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。71, 231-243. （doi:10.1016/j.cnsns.2018.12.003）·Zbl 1464.26007号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2018.12.003 [39] 孙浩，昌A，张毅，陈伟（2019）变阶分数阶微分方程综述：数学基础、物理模型、数值方法和应用。压裂。计算应用程序。分析。22, 27-59. （doi:10.1515/fca-2019-0003）·Zbl 1428.34001号 ·doi:10.1515/fca-2019-0003 [40] Ross B.（1975）分数微积分基本理论的简要历史和阐述。《分数微积分及其应用》（编辑：B Ross），第1-36页。德国柏林：施普林格·Zbl 0303.26004号 [41] Ortigueira医学博士，Machado JT。（2015）什么是分数导数？J.计算。物理。293, 4-13. （doi:10.1016/j.jcp.2014.07.019）·Zbl 1349.26016号 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.07.019 [42] Tarasov VE.（2013）未违反莱布尼茨规则。无分数导数。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。18, 2945-2948. （doi:10.1016/j.cnsns.2013.04.001）·Zbl 1329.26015号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2013.04.001 [43] Ortigueira医学博士，Trujillo JJ。（2012）分数导数的统一方法。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。17, 5151-5157. （doi:10.1016/j.cnsns.2012.04.021）·Zbl 1263.35217号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2012.04.021 [44] Samko SG.（1995）可变阶的分数积分和微分。分析。数学。21, 213-236. （doi:10.1007/BF01911126）·Zbl 0838.26006号 ·doi:10.1007/BF01911126 [45] Lorenzo CF，Hartley TT.（2007）广义分数微积分中的初始化、概念化和应用。批评。生物识别版本。工程35，447-553。（doi:10.1615/CritRevBiomedEng.v35.i6.10）·doi:10.1615/CritRevBiomedEng.v35.i6.10 [46] Ramirez L，Coimbra C.（2010）关于动态建模中变阶算子的选择和意义。国际期刊差异。2010, 1-16. ·Zbl 1207.34011号 [47] Valério D，Sáda Costa J.（2013）变阶分数阶控制器。亚洲J.Control 15，648-657。（doi:10.1002/asjc.639）·Zbl 1327.93224号 ·doi:10.1002/asjc.639 [48] Moghaddam BP，日本马查多。（2017）用于近似可变阶分数导数的扩展算法及其应用。科学杂志。计算。71, 1351-1374. （doi:10.1007/s10915-016-0343-1）·Zbl 1370.26017号 ·doi:10.1007/s10915-016-0343-1 [49] 塔瓦雷斯D、阿尔梅达R、托雷斯DF。（2016）分数阶变量的卡普托导数：数值近似。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。35, 69-87. （doi:10.1016/j.cnsns.2015.10.027）·Zbl 07246627号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2015.10.027 [50] Sierociuk D，Macias M.（2013）不同类型可变阶导数的可变分数阶PID控制器比较。程序中。第14届国际喀尔巴阡山控制会议（ICCC），波兰Rytro，2013年5月26-29日，第334-339页。纽约州纽约市：IEEE。 [51] Sierociuk D，Twardy M.（2014）可变分数阶差分算子的对偶性及其在识别中的应用。牛市。波兰。阿卡德。科学。技术科学。62, 809-815. （doi:10.2478/bpasts-2014-0089）·doi:10.2478/bpasts-2014-0089 [52] Sierociuk D，Malesza W，Macias M.（2013）关于分数变阶导数的新定义。程序中。第14届国际喀尔巴阡山控制会议（ICCC），波兰Rytro，2013年5月26-29日，第340-345页。纽约州纽约市：IEEE。 [53] Macias M，Sierociuk D.（2014）替代递归分数阶变阶导数定义及其模拟验证。程序中。2014年6月23日至25日，意大利卡塔尼亚，ICFDA’14国际分数微分及其应用会议，第1-6页。纽约州纽约市：IEEE。 [54] Sierociuk D、Malesza W、Macias M.（2015）分数阶变量导数定义的推导、解释和模拟建模。申请。数学。模型。39, 3876-3888. （doi:10.1016/j.apm.2014.12.009）·兹比尔1443.26003 ·doi:10.1016/j.apm.2014.12.009 [55] Sierociuk D，Malesza W，Macias M.（2015）关于递归分数阶变阶导数：等效切换策略、对偶性和模拟建模。电路系统。信号处理。34, 1077-1113. （doi:10.1007/s00034-014-9895-1）·Zbl 1342.94132号 ·doi:10.1007/s00034-014-9895-1 [56] Sierociuk D，Macias M，Malesza W.（2018）分数变量类型和阶迭代算子的模拟实现。申请。数学。计算。336, 138-147. （doi:10.1016/j.amc.2018.04.047）·Zbl 1427.39004号 ·doi:10.1016/j.amc.2018.04.047 [57] Bohannan GW.（2017）关于时变分数阶的评论。非线性动力学。90, 2137-2143. （doi:10.1007/s11071-017-3790-9）·doi:10.1007/s11071-017-3790-9 [58] 孙华，陈伟，魏华，陈勇（2011）恒阶和变阶分数阶模型在表征系统记忆特性方面的比较研究。欧洲物理学。J.规格顶部。193, 185. （doi:10.1140/epjst/e2011-01390-6）·doi:10.1140/epjst/e2011-01390-6 [59] Ruiz-Medina MD，Anh VV，Angulo JM.（2004）变阶分数广义随机场。斯托克。分析。申请。22, 775-799. （doi:10.1081/SAP-120030456）·Zbl 1069.60040号 ·doi:10.1081/SAP-120030456 [60] Evans KP，Jacob N.（2007）通过变阶从属获得的Feller半群。Revista Matemática Complutense修订版20，293-307。（doi:10.5209/rev_rema.2009.v22.n1.16368）·Zbl 1153.47033号 ·doi:10.5209/rev_rema.2009.v22.n.16368文件 [61] Odzijewicz T、Malinowska AB、Torres DF。（2013）变阶分数阶变分法。《谐波分析和算子理论进展》（编辑A Almeida，L Castro，F-O Speck），第291-301页。瑞士巴塞尔：施普林格·Zbl 1275.26016号 [62] 利奥波德HG。（1999）在可变积分阶函数空间中嵌入可变微分阶函数空间。捷克的。数学。期刊49，633-644。（doi:10.1023/A：1022483721944）·Zbl 1008.46015号 ·doi:10.1023/A:1022483721944 [63] Malesza W，Macias M，Sierociuk D.（2019）分数阶变阶微分方程的分析解。J.计算。申请。数学。348, 214-236. （doi:10.1016/j.cam.2018.08.035）·Zbl 1409.34014号 ·doi:10.1016/j.cam.2018.08.035 [64] Razminia A、Dizaji AF、Majd VJ。（2012）非自治变阶分数阶微分方程解的存在性。数学。计算。模型。55, 1106-1117. （doi:10.1016/j.mcm.2011.09.034）·Zbl 1255.34008号 ·doi:10.1016/j.mcm.2011.09.034 [65] Zhang S.（2013）具有非线性边值条件的变阶微分方程解的存在性结果。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。18, 3289-3297. （doi:10.1016/j.cnsns.2013.05.003）·Zbl 1344.34022号 ·doi:10.1016/j.cnsns.2013.05.003 [66] Zhang S.（2013）变阶分数阶微分方程初值问题解的存在唯一性结果。J.压裂。计算分析。4, 82-98. ·Zbl 1488.34070号 [67] Xu Y，He Z.（2013）变阶分数阶微分方程Cauchy问题的存在唯一性结果。J.应用。数学。计算。43, 295-306. （doi:10.1007/s12190-013-0664-2）·Zbl 1296.34041号 ·doi:10.1007/s12190-013-0664-2 [68] Alikhanov AA.（2012）微分和差分设置中变阶扩散方程的边值问题。申请。数学。计算。219, 3938-3946. （doi:10.1016/j.amc.2012.10.029）·Zbl 1311.35332号 ·doi:10.1016/j.amc.2012.10.029 [69] Li C，Zeng F.（2015）分数阶微积分的数值方法。佛罗里达州博卡拉顿：查普曼和霍尔/CRC·Zbl 1326.65033号 [70] Lin R，Liu F，Anh V，Turner I.（2009）变阶非线性分数阶扩散方程新显式有限差分近似的稳定性和收敛性。申请。数学。计算。212, 435-445. （doi:10.1016/j.amc.2009.02.047）·兹比尔1171.65101 ·doi:10.1016/j.amc.2009.02.047 [71] 庄P，刘F，Anh V，Turner I.（2009）带非线性源项的变阶分数阶对流扩散方程的数值方法。SIAM J.数字。分析。47, 1760-1781. （doi:10.1137/080730597）·Zbl 1204.26013号 ·数字对象标识代码：10.1137/080730597 [72] Zhang H，Liu F，Phanikumar MS，Meerschaert MM。（2013）时变分数阶流动-流动平流-扩散模型的新型数值方法。计算。数学。申请。66, 693-701. （doi:10.1016/j.camwa.2013.01.031）·Zbl 1350.65092号 ·doi:10.1016/j.camwa.2013.01.031 [73] Atangana A，Cloot AH。（2013）空间分数阶变阶薛定谔方程的稳定性和收敛性。高级差异。埃克。2013, 80. （doi:10.1186/1687-1847-2013-80）·Zbl 1380.35157号 ·doi:10.1186/1687-1847-2013-80 [74] Shen S，Liu F，Anh V，Turner I，Chen J.（2013）变阶分数阶平流扩散方程的特征差分法。J.应用。数学。计算。42, 371-386. （doi:10.1007/s12190-012-0642-0）·Zbl 1296.65114号 ·doi:10.1007/s12190-012-0642-0 [75] 斯威兰NH，阿西里TAR。（2013）时空变阶非线性分数阶波动方程的数值模拟。J.应用。数学。2013年，1-3。（doi:10.1155/2013/586870）·Zbl 1271.65123号 ·doi:10.1155/2013/586870 [76] Zhang H，Liu F，Zhuang P，Turner I，Anh V.（2014）一个新的时空变分数阶对流扩散方程的数值分析。申请。数学。计算。242541-550之间。（doi:10.1016/j.amc.2014.06.003）·Zbl 1334.65143号 ·doi:10.1016/j.amc.2014.06.003 [77] Xu T，LüS，Chen W，Chen H.（2018）多项变阶分数阶扩散方程的有限差分格式。高级差异。埃克。2018, 103. （doi:10.1186/s13662-018-1544-8）·Zbl 1445.65041号 ·doi:10.1186/s13662-018-1544-8 [78] Chen S，Liu F，Burrage K.（2014）非均质多孔介质中一个新的二维变阶分数渗流方程的数值模拟。计算。数学。申请。68, 2133-2141. （doi:10.1016/j.camwa.2013.01.023）·Zbl 1369.35105号 ·doi:10.1016/j.camwa.2013.01.023 [79] Sweilam N，Nagy A，Assiri T，Ali N.（2015）变阶分数阶非线性时滞微分方程的数值模拟。《分形杂志》。计算应用程序。6, 71-82. ·Zbl 1499.65263号 [80] Moghaddam BP、Yaghoobi S、Machado JT。（2016）变阶分数阶延迟微分方程的扩展预测-校正算法。J.计算。非线性动力学。11, 061001. （doi:10.1115/1.4032574）·数字对象标识代码：10.1115/1.4032574 [81] Chen C，Liu F，Anh V，Turner I.（2010）变阶反常细分扩散方程的高空间精度数值格式。SIAM J.科学。计算。32, 1740-1760. （doi:10.1137/090771715）·Zbl 1217.26011号 ·数字对象标识代码：10.1137/090771715 [82] Sweilam N，Khader M，Almarwm H.（2012）变阶非线性分数阶波动方程的数值研究。压裂。计算应用程序。分析。15, 669-683. （doi:10.2478/s13540-012-0045-9）·Zbl 1312.65139号 ·doi:10.2478/s13540-012-0045-9 [83] Shen S，Liu F，Chen J，Turner I，Anh V.（2012）变阶时间分数阶扩散方程的数值技术。申请。数学。计算。第218页，第10 861-10 870页。（doi:10.1016/j.amc.2012.04.047）·Zbl 1280.65089号 ·doi:10.1016/j.amc.2012.04.047 [84] 阿尔梅达·R，托雷斯·DF。（2015）计算可变分数阶的Hadamard型算子。申请。数学。计算。257, 74-88. （doi:10.1016/j.amc.2014.12.071）·Zbl 1338.26004号 ·doi:10.1016/j.amc.2014.12.071 [85] Sun H，Chen W，Li C，Chen Y.（2012）变阶时间分数阶扩散方程的有限差分格式。《国际分叉混沌》22，1250085。（doi:10.1142/S021812741250085X）·Zbl 1258.65079号 ·doi:10.1142/S021812741250085X [86] Chen CM，Liu F，Anh V，Turner I.（2012）求解二维变阶反常细分扩散方程的数值方法。数学。计算。81, 345-366. （doi:10.1090/S0025-5718-2011-02447-6）·Zbl 1241.65077号 ·doi:10.1090/S0025-5718-2011-02447-6 [87] Cao J，Qiu Y.（2016）变阶分数阶常微分方程的高阶数值格式。申请。数学。莱特。61, 88-94. （doi:10.1016/j.aml.2016.05.012）·Zbl 1347.65119号 ·doi:10.1016/j.aml.2016.05.012 [88] Ma S，Xu Y，Yue W.（2012）变阶分数阶金融系统的数值解。J.应用。数学。2012年。（doi:10.1155/2012/417942）·Zbl 1251.91070号 ·doi:10.1155/2012/417942 [89] Zhao X，Karniadakis GE。（2015）变阶分数导数的二阶近似：算法和应用。J.计算。物理。293, 184-200. （doi:10.1016/j.jcp.2014.08.015）·Zbl 1349.65092号 ·doi:10.1016/j.jp.2014.08.015 [90] Moghaddam BP，日本马查多。（2017）一类非线性时变阶分数阶偏微分方程的稳定三层显式样条有限差分格式。计算。数学。申请。73, 1262-1269. （doi:10.1016/j.camwa.2016.07.010）·Zbl 1412.65084号 ·doi:10.1016/j.camwa-2016.07.010 [91] Solís-Pérez J，Gómez-Aguilar J，Atangana A.（2018）求解具有幂律、指数律和Mittag-Lefler律的变阶分数阶微分方程的新型数值方法。混沌孤子分形114175-185。（doi:10.1016/j.chaos.2018.06.032）·Zbl 1415.65148号 ·文件编号：10.1016/j.chaos.2018.06.032 [92] Coronel-Escmilla A，Gómez-Aguilar J，Torres L，Escobar-Jiménez R.（2018）通过使用具有非局部和非奇异核的分数阶导数对可变阶反应扩散模型进行数值求解。物理A 491，406-424。（doi:10.1016/j.physa.2017.09.014）·Zbl 1514.65100号 ·doi:10.1016/j.physa.2017.09.014 [93] Yaghoobi S，Moghaddam BP，Ivaz K.（2017）具有时滞的变阶分数阶微分方程的有效三次样条逼近。非线性动力学。87, 815-826. （doi:10.1007/s11071-016-3079-4）·兹比尔1372.34125 ·文件编号：10.1007/s11071-016-3079-4 [94] Chen Y，Liu L，Li B，Sun Y.（2014）具有Bernstein多项式的变阶线性电缆方程的数值解。申请。数学。计算。238, 329-341. （doi:10.1016/j.amc.2014.03.066）·Zbl 1334.65167号 ·doi:10.1016/j.amc.2014.03.066 [95] Song H，Yi M，Huang J，Pan Y.（2016）一类广义变阶分数阶微分方程的Bernstein多项式方法。IAENG国际期刊申请。数学。46, 437-444. ·Zbl 1512.35635号 [96] Zahra W，Hikal M.（2017）求解变阶分数阶最优控制问题的非标准有限差分法。J.可控震源。控制23948-958。（doi:10.1177/1077546315586646）·Zbl 1387.93095号 ·doi:10.1177/1077546315586646 [97] Tayebi A，Shekari Y，Heydari M.（2017）求解二维变阶时间分数阶平流扩散方程的无网格方法。J.计算。物理。340, 655-669. （doi:10.1016/j.jcp.2017.03.061）·Zbl 1380.65185号 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.03.061 [98] Fu ZJ，Chen W，Ling L.（2015）常阶和变阶分数阶扩散模型的近似特殊解方法。工程分析。已绑定。元素。57, 37-46. （doi:10.1016/j.enganabound.2014.09.003）·兹比尔1403.65087 ·doi:10.1016/j.enganabound.2014.09.003 [99] Chen YM，Wei YQ，Liu DY，Yu H.（2015）一类非线性变阶分数阶微分方程的Legendre小波数值解。申请。数学。莱特。46, 83-88. （doi:10.1016/j.aml.2015.02.010）·兹比尔1329.65172 ·doi:10.1016/j.aml.2015.02.010 [100] Li X，Wu B.（2017）泛函微分方程变阶分数次边值问题的一种新的再生核方法。J.计算。申请。数学。311, 387-393. （doi:10.1016/j.cam.2016.08.010）·Zbl 1382.65210号 ·doi:10.1016/j.cam.2016.08.010 [101] Zaky MA，Doha EH，Taha TM，Baleanu D.（2018）变阶分数阶算子的新递归近似及其应用。数学。模型。分析。23, 227-239. （doi:10.3846/月2018.015）·Zbl 1488.42118号 ·doi:10.3846/mma.2018.015年 [102] 姜伟，李华（2018）二维变阶分数阶渗流方程的时空谱配置方法。计算。数学。申请。75, 3508-3520. （doi:10.1016/j.camwa.2018.02.013）·Zbl 1419.65081号 ·doi:10.1016/j.camwa.2018.02.013 [103] Hafez R，Youssri Y.（2018）变阶分数阶反应-细分扩散方程的Jacobi配置格式。计算。申请。数学。37, 5315-5333. （doi:10.1007/s40314-018-0633-3）·Zbl 1404.65195号 ·doi:10.1007/s40314-018-0633-3 [104] Yang J，Yao H，Wu B.（2018）变阶分数阶泛函微分方程的一种高效数值方法。申请。数学。莱特。76, 221-226. （doi:10.1016/j.aml.2017.08.020）·Zbl 1377.65078号 ·doi:10.1016/j.aml.2017.08.020 [105] Yang Y，Huang Y，Zhou Y.（2018）基于谱配置方法求解时间分数阶Fokker-Planck方程的数值解。J.计算。申请。数学。339, 389-404. （doi:10.1016/j.cam.2017.04.003）·Zbl 1393.65037号 ·doi:10.1016/j.cam.2017.04.003 [106] Wei S，Chen W，Zhang Y，Wei H，Garrard RM。（2018）求解二维不规则区域中变阶时间分数阶扩散方程的局部径向基函数配置方法。数字。方法部分差异。埃克。第341209-1223页。（doi:10.1002/num.22253）·Zbl 1407.65231号 ·doi:10.1002/num.22253 [107] Heydari M，Avazzadeh Z.（2018）求解变阶分数阶双调和方程的运算矩阵方法。计算。申请。数学。374397-4411。（doi:10.1007/s40314-018-0580-z）·Zbl 1402.65125号 ·doi:10.1007/s40314-018-0580-z [108] Zayernouri M，Karniadakis GE（2015）线性和非线性可变阶FPDE的分数谱配置方法。J.计算。物理。293, 312-338. （doi:10.1016/j.jcp.2014.12.001）·Zbl 1349.65531号 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.12.001 [109] Zeng F，Zhang Z，Karniadakis GE。（2015）变阶分数阶微分方程的可调精度广义谱配置方法。SIAM J.科学。计算。37，编号A2710-A2732。（doi:10.1137/141001299）·Zbl 1339.65197号 ·数字对象标识代码：10.1137/141001299 [110] Zeng F，Mao Z，Karniadakis G.（2017）具有可调精度的广义谱配置方法，用于具有端点奇异性的分数阶微分方程。SIAM J.科学。计算。39，A360-A383。（doi:10.1137/16M1076083）·Zbl 1431.65193号 ·doi:10.1137/16M1076083 [111] Bhrawy A，Zaky M.（2015）二维变阶分数阶非线性电缆方程的数值模拟。非线性动力学。80, 101-116. （文件编号：10.1007/s11071-014-1854-7）·Zbl 1345.65060号 ·doi:10.1007/s11071-014-1854-7 [112] Abdelkawy M，Zaky M，Bhrawy A，Baleanu D.（2015）时变分数阶流动对流扩散模型的数值模拟。罗马共和国物理。67, 773-791. [113] Zaky M，Ezz-Eldien S，Doha E，Machado JT，Bhrawy A.（2016）多维变阶时间分数阶扩散方程的高效运算矩阵技术。J.计算。非线性动力学。11, 061002. （doi:10.1115/1.4033723）·doi:10.1115/1.4033723 [114] Bhrawy A，Zaky M.（2016）变阶Caputo分数阶泛函微分方程的数值算法。非线性动力学。85, 1815-1823. （doi:10.1007/s11071-016-2797-y）·兹比尔1349.65505 ·doi:10.1007/s11071-016-2797-y [115] Bhrawy A，Zaky MA。（2017）多维空间变阶分数阶薛定谔方程的高精度数值格式。计算。数学。申请。73, 1100-1117. （doi:10.1016/j.camwa.2016.11.019）·兹比尔1412.65162 ·doi:10.1016/j.camwa.2016.11.019 [116] Bhrawy A，Zaky M.（2017）多维时空变阶分数阶薛定谔方程的改进配置方法。申请。数字。数学。111, 197-218. （doi:10.1016/j.apnum.2016.09.09）·Zbl 1353.65106号 ·doi:10.1016/j.apnum.2016.09.009 [117] 陈颖、魏玉强、刘岱、鲍塔特D、陈旭科。（2016）利用小波去噪对含噪信号进行变阶分数阶数值微分。J.计算。物理。第311页，第338-347页。（doi:10.1016/j.jcp.2016.02.013）·Zbl 1349.65087号 ·doi:10.1016/j.jcp.2016.02.013 [118] Heydari MH，Avazzadeh Z，Haromi MF.（2019）求解多项变阶时间分数阶扩散波方程的小波方法。申请。数学。计算。341, 215-228. （doi:10.1016/j.amc.2018.08.034）·Zbl 1429.65239号 ·doi:10.1016/j.amc.2018.08.034 [119] Heydari MH，Avazzadeh Z.（2018）变阶分数阶最优控制问题的新小波方法。《亚洲控制杂志》第20期，1804-1817。（doi:10.1002/asjc.1687）·Zbl 1407.93127号 ·doi:10.1002/asjc.1687 [120] Patnaik S，Semperlotti F.（2020）变阶和分布阶分数阶算子在非线性振荡器动态分析中的应用。非线性动力学。（doi:10.1007/s11071-020-05488-8）·doi:10.1007/s11071-020-05488-8 [121] Onoda J，Minesugi K.（1996）可变阻尼构件的半主动振动抑制。美国农业协会期刊34，355-361。（doi:10.2514/3.13071）·Zbl 0899.73358号 ·数字对象标识代码：10.2514/3.13071 [122] Symans M，Constantinou M.（1998），用于地震能量耗散的被动流体粘性阻尼系统。ISET J.地球。Technol公司。第35185-206页。 [123] Meng R，Yin D，Zhou C，Wu H.（2016）应变软化材料中随时间变化的力学性能演变的分数描述。申请。数学。模型。40, 398-406. （doi:10.1016/j.apm.2015.04.055）·Zbl 1443.74084号 ·doi:10.1016/下午.2015.04.055 [124] Meng R、Yin D、Drapaca CS。（2019）聚合物粘弹性行为的变阶分数阶本构模型。国际期刊非线性力学。113, 171-177. （doi:10.1016/j.ijnonlinmec.2019.04.002）·doi:10.1016/j.ijnonlinmec.2019.04.002 [125] Meng R、Yin D、Drapaca CS。（2019）非晶玻璃聚合物压缩变形的可变阶分数描述。计算。机械。64, 163-171. ·兹比尔1467.74018 [126] Wu F，Liu JF，Wang J.（2015）基于变阶分数导数的岩石改进Maxwell蠕变模型。环境。地球科学。73, 6965-6971. （doi:10.1007/s12665-015-4137-9）·doi:10.1007/s12665-015-4137-9 [127] Sokolov IM，Klafter J.（2006），局部扩散中的场致弥散。物理。修订稿。97, 140602. （doi:10.1103/PhysRevLett.97.140602）·doi:10.1103/PhysRevLett.97.140602 [128] 孙浩，陈伟，盛浩，陈勇（2010）关于变阶和随机阶反常扩散的均方位移行为。物理。莱特。A 374906-910。（doi:10.1016/j.physleta.2009.12.021）·Zbl 1235.82018年 ·doi:10.1016/j.physleta.2009.12.021 [129] Ostalczyk P.（2010）具有可变分数阶控制器的离散时间系统的稳定性分析。牛市。波兰。阿卡德。科学。技术科学。58, 613-619. ·Zbl 1219.93100号 [130] Ostalczyk P.（2012）可变、分数阶离散PID控制器。程序中。2012年8月27日至30日，波兰米德兹德罗杰，2012年第17届自动化机器人（MMAR）方法模型国际会议，第534-539页。纽约州纽约市：IEEE。 [131] Ostalczyk PW，Duch P，Brzeziñski DW，Sankowski D.（2015）变阶、分数阶PID控制器中的阶函数选择。《非整数阶系统建模和控制进展》（eds KJ Latawiec，MŁukaniszyn，R Stanisławski），第159-170页。瑞士查姆：施普林格国际出版社。 [132] Tseng CC。（2006）可变和自适应分数阶FIR微分器的设计。信号处理。86, 2554-2566. （doi:10.1016/j.sigpro.2006.02.004）·Zbl 1172.94495号 ·doi:10.1016/j.sigpro.2006.02.004 [133] Tseng CC。（2008）使用对数的可变分数阶积分器和微分器的级数展开设计。信号处理。88, 2278-2292. （doi:10.1016/j.sigpro.2008.03.012）·Zbl 1151.94417号 ·doi:10.1016/j.sigpro.2008.03.012 [134] Atangana A，Botha JF。（2013）使用变阶导数概念的广义地下水流量方程。已绑定。价值问题。2013, 53. （doi:10.1186/1687-2770-2013-53）·兹比尔1291.35206 ·doi:10.1186/1687-2770-2013-53 [135] Atangana A，Oukouomi Noutchie SC.（2013）变形含水层时间分数阶变阶Hantush方程的稳定性和收敛性。文章摘要。申请。分析。2013年（doi:10.1155/2013/691060）·Zbl 1301.76072号 ·doi:10.1155/2013/691060 [136] Atangana A.（2017）定阶和变阶分数算子及其在水文地质中的应用。英国伦敦：学术出版社。 [137] Ghanbari B，Gómez-Aguilar J.（2018）用可变阶分数导数对营养-浮游植物-浮游动物系统的动力学建模。混沌孤子分形116，114-120。（doi:10.1016/j.chaos.2018.09.026）·Zbl 1442.92128号 ·doi:10.1016/j.chaos.2018.09.026 [138] Almeida R，Bastos NR，Monteiro MTT公司。（2018）使用优化方法的变阶分数马尔萨斯增长模型。统计优化。Inf.计算。6, 4-11. （doi:10.19139/soic.v6i1.465）·doi:10.19139/soic.v6i1.465 [139] Sweilam NH，Al-Mekhlafi SM。（2016）变阶分数导数多序列结核病（TB）模型的数值研究。高级研究期刊7，271-283。（doi:10.1016/j.jare.2015.06.004）·doi:10.1016/j.jare.2015.06.004 [140] Neto JP、Coelho RM、Valério D、Vinga S、Sierociuk D、Malesza W、Macias M、Dzieli nnski A.（2017）骨重塑的变阶微分模型。IFAC 50，8066-8071。（doi:10.1016/j.ifacol.2017.08.1233）·doi:10.1016/j.ifacol.2017.08.1233 [141] Neto JP、Coelho RM、Valério D、Vinga S、Sierociuk D、Malesza W、Macias M、Dzieliñski A.（2018）通过可变阶导数简化生化肿瘤骨重塑模型。计算。数学。申请。75, 3147-3157. （doi:10.1016/j.camwa.2018.01.37）·兹比尔1409.92088 ·doi:10.1016/j.camwa.2018.01.037 [142] Gómez-Aguilar J.（2018）通过变阶分数阶微分方程的非线性酒精中毒模型的分析和数值解。物理A 494，52-75。（doi:10.1016/j.physa.2017.12.007）·Zbl 1514.92041号 ·doi:10.1016/j.physa.2017.12.007 [143] 吴GC，巴勒努D，谢惠普，曾SD。（2016）混沌阶离散分数阶扩散方程。国际分叉混沌杂志26，1650013。（doi:10.1142/S0218127416500139）·Zbl 1334.35405号 ·doi:10.1142/S0218127416500139 [144] AtanackovićTM，PilipovićS.（2011）Hamilton的变阶分数导数原理。压裂。计算应用程序。分析。14, 94-109. ·Zbl 1273.70031号 [145] Ramirez LE，Coimbra CF.（2011）关于沉降颗粒引起的非线性尾迹的变阶动力学。物理D 240，1111-1118。（doi:10.1016/j.physd.2011.04.001）·Zbl 1219.76054号 ·doi:10.1016/j.physd.2011.04.001 [146] Pedro H，Kobayashi M，Pereira J，Coimbra C.（2008），球体振荡流扩散对流效应的变阶建模。J.可控震源。控制14，1659-1672。（doi:10.1177/1077546307087397）·Zbl 1229.76099号 ·数字对象标识代码：10.1177/1077546307087397 [147] 科英布拉CFM Orosco J。（2018）多体系统中非局部涌现的变阶建模：应用于辐射扩散。物理。版次E 98，032208。（doi:10.1103/PhysRevE.98.032208）·doi:10.1103/PhysRevE.98.032208 [148] Patnaik S，Semperlotti F.（2019）通过可变阶分数算子建模非线性振荡器。程序中。2019年8月18日至21日，加利福尼亚州阿纳海姆举行的第31届机械振动和噪声会议ASME-IDETC-CIE。纽约州纽约市：美国机械工程师学会。 [149] Li Z，Wang H，Xiao R，Yang S.（2017）形状记忆聚合物的变阶分数阶微分方程模型。混沌孤子分形102，473-485。（doi:10.1016/j.chaos.2017.04.042）·doi:10.1016/j.chaos.2017.04.042 [150] Ingman D、Suzdalnitsky J、Zeifman M.（2000）非线性接触现象的本构动态阶模型。J.应用。机械。第67383-390页。（doi:10.1115/1.1304916）·Zbl 1110.74493号 ·数字对象标识代码：10.1115/1.1304916 [151] Ingman D，Suzdalnitsky J.（2008）粘弹性板对冲击的响应。J.可控震源。阿库斯特。130, 011010-1-011010-8. （doi:10.1115/1.2731416）·Zbl 1020.74049号 ·数字对象标识代码：10.1115/12731416 [152] Ramirez L，Coimbra C.（2007）粘弹性的变阶本构关系。安·物理。16, 543-552. （doi:10.1002/和p.200710246）·Zbl 1159.74008号 ·doi:10.1002/和p.200710246 [153] Ingman D，Suzdalnitsky J.（2004）用含时阶分数阶微分算子控制阻尼振荡。计算。方法应用。机械。工程193，5585-5595。（doi:10.1016/j.cma.2004.06.029）·Zbl 1079.70020号 ·doi:10.1016/j.cma.2004.06.029 [154] Ingman D，Suzdalnitsky J.（2005），粘弹性变形过程模型中伺服阶函数微分算子的应用。J.工程机械。131, 763-767. （doi:10.1061/（ASCE）0733-9399（2005）131:7（763））·doi:10.1061/（ASCE）0733-9399（2005）131:7（763） [155] Sahoo S，Saha Ray S，Das S，Bera RK。（2016）动态变阶分数阶微分方程的形成。国际期刊修订版。物理。C 271650074。（doi:10.1142/S0129183116500741）·doi:10.1142/S0129183116500741 [156] Soon C，Coimbra C，Kobayashi M.（2005）可变粘弹性振荡器。安·物理。14, 378-389. （doi:10.1002/和p.200410140）·Zbl 1125.74316号 ·doi:10.1002/和p.200410140 [157] Morales-Delgado VF、Gómez-Aguilar JF、Taneco Hernández MA、Escobar-Giménez RF。（2018）一种新型的变阶和常阶分数导数，应用于质量弹簧阻尼器系统。欧洲物理学。J.加133、78。（doi:10.1140/epjp/i2018-11905-4）·doi:10.1140/epjp/i2018-11905-4 [158] Atangana A，Koca I.（2016）关于新分数导数及其在非线性Baggs和Freedman模型中的应用。非线性科学杂志。申请。9, 2467-2480. （doi:10.22436/jnsa.009.05.46）·Zbl 1335.34079号 ·doi:10.22436/jnsa.009.05.46 [159] Abdon Atangana IK公司。（2017）分数微分的新方向。数学。自然科学。1, 18-25. （doi:10.22436/mns.01.01.02）·doi:10.22436/mns.01.01.02 [160] 科贝列夫YL、科贝列夫LY、克里蒙托维奇YL。（2003）具有时间和坐标相关记忆的异常扩散。多克。物理。48, 264-268. （doi:10.1134/1.1591310）·数字对象标识代码：10.1134/1.1591310 [161] Atangana A，Kilicman A.（2014）关于广义质量输运方程的可变分数导数概念。数学。问题。工程2014年。（doi:10.1155/2014/542809）·兹比尔1407.65092 ·doi:10.1155/2014/542809 [162] Wu GC，Baleanu D，Xie HP，Zeng SD.（2017）随机阶格点分数阶扩散方程。数学。方法应用。科学。40, 6054-6060. （doi:10.1002/mma.3644）·Zbl 1375.35616号 ·doi:10.1002/mma.3644 [163] Gerasimov D，Kondratieva V，Sinkevich O。（2010）异常非自相似渗透和分数扩散方程。物理D 2391593-1597。（doi:10.1016/j.physd.2010.04.005）·Zbl 1193.76142号 ·doi:10.1016/j.physd.2010.04.005 [164] Obembe AD、Hossain ME、Abu-Khamsin SA（2017）非均匀多孔介质的变阶导数时间分数扩散模型。J.宠物。科学。工程152，391-405。（doi:10.1016/j.petrol.2017.03.015）·doi:10.1016/j.petrol.2017.03.015 [165] 巴德JB。（1981）产生斑马和其他哺乳动物皮毛图案方面的模型。J.西奥。生物学93，363-385。（doi:10.1016/0022-5193（81）90109-0）·doi:10.1016/0022-5193（81）90109-0 [166] Murray博士。（1981）鳞翅目昆虫翅膀图案和哺乳动物皮毛标记的图案形成机制。菲尔翻译。R.Soc.伦敦。B 295473-496。（doi:10.1098/rstb.1981.0155）·doi:10.1098/rstb.1981.0155 [167] Turk G.（1991）使用反应扩散在任意表面上生成纹理。SIGGRAPH计算。图表。第25289-298页。（doi:10.1145/126640.1266667）·doi:10.145/126640.126667 [168] Santamaria F、Wils S、De Schutter E、Augustine GJ。（2006）脊椎导致Purkinje细胞树突异常扩散。神经元52，635-648。（doi:10.1016/j.neuron.2006.10.025）·doi:10.1016/j.neuron.2006.10.025 [169] Ayache A，Véhel JL。（2004）关于广义多重分形布朗运动的逐点Hölder指数的识别。斯托克。过程。他们的申请。111, 119-156. （doi:10.1016/j.spa.2003.11.002）·Zbl 1079.60029号 ·doi:10.1016/j.spa.2003.11.002 [170] Straka P.（2018）从连续时间随机行走导出的变阶分数阶Fokker-Planck方程。《物理学A》503451-463。（doi:10.1016/j.physa.2018.03.010）·Zbl 1514.60114号 ·doi:10.1016/j.physa.2018.03.010 [171] Ayache A，Bertrand PR.（2010）与多重分形布朗运动非常相似的过程。《分形和相关领域的最新发展》（eds J Barral，S Seurat），第311-326页。马萨诸塞州波士顿：斯普林格·Zbl 1215.60029号 [172] Sun H，Chen W，Li C，Chen Y.（2010）异常扩散的分数阶微分模型。物理A 3892719-2724。（doi:10.1016/j.physa.2010.02.030）·doi:10.1016/j.physa.2010.02.030 [173] 赛义德·EA。（2000）分形物体上的异常扩散：附加分析解。混沌孤子分形11，1369-1376。（doi:10.1016/S0960-0779（99）00049-1）·Zbl 0976.82025号 ·doi:10.1016/S0960-0779（99）00049-1 [174] Sun H，Zhang Y，Chen W，Reeves DM。（2014）使用可变诱导分数导数模型捕捉非均匀介质中的瞬态色散。J.康塔姆。水文学。157, 47-58. （doi:10.1016/j.jconhyd.2013.11.002）·doi:10.1016/j.jnhyd.2013.11.002 [175] Umarov S，Steinberg S（2009）变阶微分方程和模式变化的扩散过程。Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen安文登分析28，431-450。（doi:10.4171/ZAA/1392）·Zbl 1181.35359号 ·doi:10.4171/ZAA/1392 [176] Sakrajda P，Sierociuk D.（2017）使用分数阶微积分模拟网格-孔结构随时间变化的传热过程。《非整数阶系统的理论与应用》（编辑：A Babiarz，A Czornik，J Klamka，M Niezabitowski），第297-306页。瑞士查姆：施普林格国际出版公司·Zbl 1430.80007 [177] Sakrajda P，Wiraszka MS.（2018）时变分形介质中传热的分数阶变阶模型。程序中。第19届国际喀尔巴阡控制会议，匈牙利斯齐尔瓦瓦拉德，2018年5月28日至31日，第548-552页。纽约州纽约市：IEEE。 [178] 科英布拉CFM Orosco J。（2016）关于可变阶机械系统的控制和稳定性。非线性动力学。86, 695-710. （doi:10.1007/s11071-016-2916-9）·doi:10.1007/s11071-016-2916-9 [179] Monje C，Chen Y，Vinagre B，Xue D，Feliu-Batlle V.（2010）分数阶系统和控制：基本原理和应用。工业控制进展。英国伦敦：斯普林格·Zbl 1211.93002号 [180] Podlubny I.（1999）分数阶系统和PIλDμ控制器。IEEE传输。自动。控制4408-214。（doi:10.1109/9.739144）·Zbl 1056.93542号 ·doi:10.1109/9.739144 [181] 刘磊，潘凤，薛德（2015）变阶模糊分数阶PID控制器。ISA事务。第55227-233页。（doi:10.1016/j.isatra.2014.09.012）·doi:10.1016/j.isatra.2014.09.012 [182] Sheng H，Sun H，Coopmans C，Chen Y，Bohannan G.（2011）变阶分数阶积分器和微分器的物理实验研究。欧洲物理学。J.规格顶部。193, 93-104. （doi:10.1140/epjst/e2011-01384-4）·doi:10.1140/epjst/e2011-01384-4 [183] Dabiri A、Moghaddam B、Machado JT。（2018）动态系统的最优变阶分数PID控制器。J.计算。申请。数学。339号、40-48号。（doi:10.1016/j.cam，2018.02.029）·Zbl 1392.49033号 ·doi:10.1016/j.cam.2018.02.029 [184] Diaz G，科英布拉CFM。（2009）应用于范德波尔方程的变阶振荡器的非线性动力学和控制。非线性动力学。56, 145-157. （doi:10.1007/s11071-008-9385-8）·Zbl 1170.70012号 ·doi:10.1007/s11071-008-9385-8 [185] A valos-Ruiz L，Züñiga-Aguilar C，Gómez-Aguilar J，Escobar-Jiménez R，Romero-Ugalde H.（2018）基于Mittag-Lefler定律的变阶分数阶算子混沌系统的FPGA实现和控制。混沌孤子分形115，177-189。（doi:10.1016/j.chaos.2018.08.021）·Zbl 1416.93089号 ·doi:10.1016/j.chaos.2018.08.021 [186] Coronel-Escmilla A，Gómez-Aguilar J，Torres L，Escobar-Jiménez R，Valtierra-Rodríguez M.（2017）涉及可变阶Liouville-Caputo型分数阶算子的混沌系统同步。物理A 487，1-21。（doi:10.1016/j.physa.2017.06.008）·Zbl 1499.34298号 ·doi:10.1016/j.physa.2017.06.008 [187] Shyu JJ，Pei SC，Chan CH.（2009）可变分数阶FIR差分积分器设计的迭代方法。信号处理。89, 320-327. （doi:10.1016/j.sigpro.2008.09.009）·Zbl 1151.94410号 ·doi:10.1016/j.sigpro.2008.09.009 [188] Charef A，Idiou D.（2012）模拟变量分数阶微分器和积分器的设计。非线性动力学。69, 1577-1588. （doi:10.1007/s11071-012-0370-x）·doi:10.1007/s11071-012-0370-x [189] RapaićMR，Pisano A.（2013）自适应阶和参数估计的变阶分数算子。IEEE传输。自动。控制59，798-803。（doi:10.1109/TAC.2013.2278136）·Zbl 1360.93190号 ·doi:10.1109/TAC.2013.2278136 [190] 孙华，陈毅，陈伟（2011）随机阶分数阶微分方程模型。信号处理。91, 525-530. （doi:10.1016/j.sigpro.2010.01.027）·Zbl 1203.94056号 ·doi:10.1016/j.sigpro.2010.01.027 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。