曼纽尔·弗里德里希;马蒂奥·佩鲁吉尼;弗朗西斯科·索伦布里诺 \线性弹性中自由不连续问题的（Gamma）-收敛性：均匀化和松弛。 （英语） Zbl 1530.49014号 印第安纳大学数学。J。 1949-2023年第5期第72页（2023年）. 作者描述了定义在\（GSBD^｛p｝（\Omega）\times\mathcal｛A｝（\Omega）\）上的自由不连续泛函序列的\（\Gamma\）-收敛性，其中\（\Omega\subet\mathbb｛R｝^｛d｝）是一个开集，\（GSBD^｛p｝（\Omega）\）有界变形的广义特殊函数的空间，和\（\mathcal｛A｝（\Omega）\)\（\Omega\）的开放和有界子集族，其值在\（[0，+\infty）\）中的形式为：\[\数学{E}（u，A）=\int_{A} （f）（x，e（u）（x））dx+\int_{J_{u}\cap A}g（x，u^{+}（x），u^}-}，\] \（e（u）是向量值位移（u:Omega\rightarrow\mathbb{R}^{d}）梯度的对称部分，（J_{u}）是（u）的不连续集，由带单边迹线的法向量（nu_{u{）和（u^{-}）定向，以及（mathcal{H}{d-1}）维Hausdorff测度。这里的密度（f:\Omega\times\mathbb{R}^{d\times d}\rightarrow\lbrack 0，+\infty）是一个Carathéodory函数，对于几乎每一个\（x\in\Omega）和所有\（xi\in\mathbb{R}^{d\\times d{），\（alpha\left\vert\mathrm{sym}（xi）\right\vert^p}\leqf_{n}（x，xi）\ leq\beta（1+\left\vert\mathrm{sym}（\xi）\right\vert^{p}），密度\（g:\Omega\times\mathbb{R}^{d}\times\timahbb{R}^{d}\times \mathbb{S}^{d-1}\rightarrow\lbrack 0，+\infty）是满足\（alpha\leqg（x，a，b，nu）\leq\beta）的Borel函数hbb{R}^{d}\），\（在\mathbb{S}^{d-1}\中为nu\）。第一个主要结果证明了如果（（f{n}）{n}\和（g{n}）{n{}\是满足上述假设的函数序列，并且（mathcal{电子}_{n} ：GSBD ^｛p｝（\Omega）\times\mathcal｛A｝（\Omega）\rightarrow\lbrack 0，+\infty）\）是相应的泛函，存在\（\mathcal｛E｝：GSBD ^｛p｝（\Omega）\times\mathcal｛A｝（\Omega）\rightarrow\lbrack 0，+\infty）\）和子序列，使得\（\mathcal｛E｝（\cdot，A）=\Gamma\）-\（\lim_｛n\rightarrow\infty｝\mathcal{电子}_{n} （\cdot，A）\）关于所有\（A\in\mathcal｛A｝（\Omega）\）在\（A\）上的测度收敛。此外，极限函数定义为\（\int_{A} （f）_{infty}（x，u（x），nabla u（x作者给出了函数（f{infty}）和（g{infty}）的表达式，用数量（m{mathcal{E}}（u，A）表示在GSBD^{p}（\Omega）}（v，A）：v=u\）中，在边界\（\partial A\}）的邻域中，函数\（\ell_{x_{0}，u_{0{，\xi}：\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}^{d{）由\（ell_{x_{0neneneep，u_}，\xi}（x）定义=u{0}+\xi（x-x{0}），表示\（x_{0}\ in \Omega\），\（u{0{\ in \mathbb{R}^{d}\），和\（u_{x_{0}，a，b，\nu}:\mathbb{R}^{d}\rightarrow\mathbb{R}^{d{}\）由\（u{x_}0}、a，b、\nu}（x）=a\）if\ nu<0），表示\（x_{0}\ in \Omega\），\（a，b\ in \mathbb{R}^{d}\），\\（nu\ in \mathbb{S}^{d-1}\）。为了证明这一点，作者回顾了\（GSBD^{p}\）-函数的属性。他们证明了（GSBD^{p}）-函数的Korn不等式，并由此导出了（Gamma）-收敛的紧性结果，得出了（Gamma）-（liminf）和（Gamma-（limsup）的证明性质。第二个主要结果给出了平面情况下（d=2），或者对于（d>2），当密度（g{n}）独立于（n）时，极限密度（f{infty}）和（g{infty}）的更精确表达式。在这两种情况下，作者还精确地计算了极小值和极小值的收敛性。作者首先用（W^{1，p}）个函数证明了（GSBD^{p}函数的一个逼近结果。在他们的论文中，作者提出了对（GSBD^{p}）函数的深入分析以及在当前上下文中对（Gamma）极限的完整计算。审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆） MSC公司： 49J45型 涉及半连续性和收敛性的方法；放松 20年第49季度 几何测量理论环境中的变分问题 70G75型 力学问题的变分方法 2005年第74季度 固体力学平衡问题中的均匀化 74兰特 脆性断裂 关键词：可变断裂;自由不连续问题;有界变形函数;\（\Gamma\）-收敛;均匀化;放松 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Friedrich}等人，印第安纳大学数学系。J.72，第5号，1949年--2023年（2023年；Zbl 1530.49014） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] S.ALMI和E.TASSO，线性弹性板的脆性断裂，《爱丁堡皇家学会学报：数学A辑》（2021年），36页。http://dx.doi.org/10.1017/prm.2021。 71. ·Zbl 1509.49009号 ·doi:10.1017/下午2021.71 [2] L.AMBROSIO，一类新变分问题的存在性理论，Arch。理性力学。分析。111（1990），第4期，291-322。https://dx.doi.org/10.1007/BF00376024。1068374令吉·Zbl 0711.49064号 ·doi:10.1007/BF00376024.MR1068374 [3] ，关于SBV中拟凸积分的下半连续性(Ω, R k），非线性分析。23（1994），编号3405-425·兹伯利0817.49017 [4] https://dx.doi.org/10.1016/0362-546X(94)90180-5. 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