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亚历克斯·康托洛维奇

整体Soddy球体填料的局部-全局原则。 （英语） Zbl 1459.11097号

J.修订版。动态。 15, 209-236 (2019)。
设\（mathcal P\）是积分Soddy球体填充中的球体集，而设\（mathcal B\subset\mathbb Z\）是\（mathcal P\）中球体的弯曲集（有时称为曲率）。让度量适当缩放，使\（mathcal B）的元素没有公因数。让\[\mathcal A=\{n\in\mathbb Z:\hbox{对于任何}q>1，\text{存在}m\in\mathcal B\text{这样}n\equiv m\pmod q\}。\]很明显，\（\mathcal B\subset\mathcall A\）。本文证明，对于任何固定的Soddy球填充，（max）存在一个有效的可计算上界。也就是说，如果\（n\in\mathcal A\）足够大，那么\（n\in \mathcall B\）。
更一般地说，给定一个集\（\mathcal B\subet \mathbb Z^k\），可以类似地定义更大的集\（\mathcal a\）。我们说，如果（mathcal a\setminus\mathcal B\）是空的、有限的或（如本例中）有界的，则（mathcal-B\）满足局部到全局主体。如果\（mathcal B\）是多项式方程的整数解集，并且\（\mathcal a\setminuse\mathcal B=\emptyset），则这称为Hasse原理。如果\（\mathcal B\）是由二次型表示的数字集，则集\（\mathcal a\）是可接受的数字和这个问题与希尔伯特的第11个问题有关。
目前的情况有两个问题的一些特点。有一个基本的丢番图方程，它是一个带有签名（（4,1））的二次型方程，它大致是从笛卡尔定理的类比中推导出来的。它的整数解可以描述为离散正交群作用于（mathbb H^4）的轨道。人们感兴趣的是那些在子群作用下处于轨道上的解。与丢番图问题一样，对于任何固定的（q），在（Gamma）轨道模（q）中寻找所有解都是一个有限的问题。组\（\Gamma\）很薄，这意味着它在\（\mathbb S^3\cong\partial\mathbbH^4\）中设置的极限值为零。相反，（O_Q）的极限集是全部的。因此，人们只对丢番图方程的一个非常小的解子集感兴趣。另一方面，这些解被投影到（mathbb Z）上，得到（mathcal B）。此投影的性质取决于整数Soddy填充的选择。
作者指出，这是第一个针对瘦群体的局部到全球现象。特别是，整数阿波罗圆填充中圆弯曲的类似问题仍然没有解决（参见J.布尔甘和A.康托洛维奇【发明数学196，第3期，589–650（2014；Zbl 1301.11046号)]).
允许数集取决于压缩/投影，它要么是等价于\（0）或\（1）模\（3）的所有正整数，要么是等价于\（0。在作者提供的一个例子中，许多（早期）可接受的数字没有表示出来。
审核人：亚瑟·巴拉加（拉斯维加斯）

引用于5文件

MSC公司：

11日85 表现问题
11层06 模群的结构和推广；算术组
05年20月 单模群，同余子群（群理论方面）

关键词：

球形填料;精简组;双曲线几何;算术群;二次型;局部-全局原则

引文：

Zbl 1301.11046号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Kontorovich}，J.Mod。动态。15、209--236（2019；Zbl 1459.11097）
全文： 内政部 arXiv公司

整数序列在线百科全书：

某个有界、积分、原始Soddy球体填充中的曲率。

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