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陈楠

通过解析可解条件统计从部分观测中学习非线性湍流动力学。 （英语） Zbl 07506185号

J.计算。物理学。 418，文章ID 109635，26 p.（2020）.
小结：从部分观测中学习非线性湍流动力学是一个重要而富有挑战性的课题。本文利用短训练数据，针对一类复杂的非线性湍流动力学，开发了一种基于期望最大化方法的高效学习算法。尽管这些模型具有显著的非线性和非高斯特性，但分析可解条件统计允许开发精确的非线性最优平滑器来恢复隐藏变量，这有助于有效学习这些具有极端事件的完全非线性模型。然后，在基本算法中加入三个附加成分以改进学习过程。首先，考虑了要求二次非线性项能量守恒的物理约束。它在防止溶液的有限时间爆破和恢复模型的各种病理行为方面起着重要作用。其次，将明智的块分解应用于许多大维非线性系统。它大大加快了高维条件协方差矩阵的计算，并为学习模型参数提供了一种极为廉价的并行计算。第三，将复杂湍流模型的稀疏辨识和学习算法相结合，得到精简模型。数值试验表明，该算法能够在理想模型和模型误差场景中学习具有极端事件的非线性动力学和非高斯统计。研究还表明，在存在噪声和部分观测的情况下，模型并不是唯一识别的。不同的非线性模型都完美地捕捉了关键的非高斯特征，并获得了与完美模型相同的观测变量集合预测技巧，但它们可能对外部扰动有不同的模型响应。

引用于三文件

MSC公司：

93至XX 系统论；控制
62至XX 统计

关键词：

期望最大化方法;非线性最优平滑器;短期训练数据;物理约束;块分解;稀疏识别

软件：

合卡尔曼滤波;希特科夫斯基
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\textit{N.Chen}，J.计算。物理学。418，文章ID 109635，26 p.（2020；Zbl 07506185）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Majda，A.J.，《复杂系统中的湍流动力系统简介》（2016），斯普林格出版社·兹比尔1377.37003
[2] Strogatz，S.H.，《非线性动力学和混沌：在物理、生物、化学和工程中的应用》（2018），CRC出版社
[3] 巴利亚努，D。；马查多，J.A.T。；Luo，A.C.，分数动力学与控制（2011），施普林格科学；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[4] Deisboeck，T。；Kresh，J.Y.，《生物医学中的复杂系统科学》（2007），Springer Science&amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[5] Kalnay，E.，《大气建模、数据同化和可预测性》（2003），剑桥大学出版社
[6] 拉霍兹，W。；卡塔托夫，B。；Ménard，R.，《数据同化与信息》，（数据同化（2010），施普林格出版社），第3-12页·Zbl 1194.86002号
[7] Majda，A.J。；Harlim，J.，《过滤复杂湍流系统》（2012），剑桥大学出版社·Zbl 1250.93002号
[8] Evensen，G.，《数据同化：集合卡尔曼滤波器》（2009），施普林格科学出版社；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[9] 法律，K。；Stuart，A。；Zygalakis，K.，《数据同化：数学导论》，第62卷（2015），施普林格出版社·Zbl 1353.60002号
[10] Farazmand，M。；Sapsis，T.，《极端事件：机制和预测》，应用。机械。第71、5版（2019年）
[11] M.W.丹尼。；亨特·L·J。；Miller，L.P。；Harley，C.D.，《关于极端生态事件的预测》，Ecol。单声道。，79, 3, 397-421 (2009)
[12] Mohamad，医学硕士。；Sapsis，T.P.，由相关随机过程激发的间歇不稳定动力系统中极端事件的概率描述，SIAM/ASA J.不确定性。量化。，3, 1, 709-736 (2015) ·Zbl 1327.62324号
[13] Palmer，T.N.，《关于模型误差的非线性动力学观点：天气和气候预测模型中非局部随机动力学参数化的建议》，Q.J.R.Meteorol。《社会学杂志》，127，572，279-304（2001）
[14] Majda，A.J。；Branicki，M.，湍流动力系统不确定性量化课程，离散Contin。动态。系统。，序列号。A、 3133-3221（2012年）·Zbl 1264.94076号
[15] 奥雷尔，D。；史密斯，L。；Barkmeijer，J。；Palmer，T.，天气预报中的模型误差，非线性过程。地球物理学。，8，6357-371（2001年）
[16] 胡晓明。；张，F。；Nielsen-Gammon，J.W.，《处理中尺度模型误差的基于集成的同步状态和参数估计：一项实际数据研究》，《地球物理学》。Res.Lett.公司。，37, 8 (2010)
[17] 本纳，P。；古吉丁，S。；Willcox，K.，参数动力系统基于投影的模型简化方法综述，SIAM Rev.，57，4，483-531（2015）·Zbl 1339.37089号
[18] 加赫拉马尼，Z。；Hinton，G.E.，线性动力系统的参数估计（1996），多伦多大学计算机科学系，技术报告CRG-TR-96-2
[19] Shumway，R.H。；Stoffer，D.S.，《使用EM算法进行时间序列平滑和预测的方法》，J.time-Ser。分析。，3, 4, 253-264 (1982) ·兹比尔0502.62085
[20] Andrieu，C。；De Freitas，N。；Doucet，A。；Jordan，M.I.，机器学习MCMC简介，马赫。学习。，50, 1-2, 5-43 (2003) ·Zbl 1033.68081号
[21] 出版社，W.H。；Teukolsky，S.A。；弗兰纳里，B.P。；韦特林，W.T.，《源代码数字配方CD-ROM第3版：科学计算的艺术》（2007），剑桥大学出版社
[22] Richey，M.，《马尔可夫链蒙特卡罗方法的演变》，美国数学。周一。，117, 5, 383-413 (2010) ·Zbl 1249.60166号
[23] Haario，H。；莱恩，M。；米拉，A。；Saksman，E.，Dram：高效自适应MCMC，统计计算。，16, 4, 339-354 (2006)
[24] Chib，S。；格林伯格，E。；Chen，Y.，MCMC拟合和比较多项式响应模型的方法（1998），经济学工作文件档案，计量经济学9802001
[25] Tanner，医学硕士。；Wong，W.H.，《通过数据增强计算后验分布》，美国统计协会，82，398，528-540（1987）·Zbl 0619.62029号
[26] Golightly，A。；Wilkinson，D.J.，误差观测非线性多元扩散模型的贝叶斯推断，计算。统计数据分析。，52, 3, 1674-1693 (2008) ·Zbl 1452.62603号
[27] 魏国忠。；Tanner，M.A.，《em算法和穷人数据增强算法的蒙特卡罗实现》，美国统计协会，85，411，699-704（1990）
[28] Andrieu，C。；Roberts，G.O.，《有效蒙特卡罗计算的伪边缘方法》，《Ann.Stat.》，第37、2、697-725页（2009年）·Zbl 1185.60083号
[29] 绞合线，O。；Bognar，M.，使用伪边缘方法的不可约扩散过程的贝叶斯推断，贝叶斯分析。，6, 2, 231-258 (2011) ·Zbl 1330.60092号
[30] Särkkä，S.，贝叶斯滤波与平滑，第3卷（2013），剑桥大学出版社·Zbl 1274.62021号
[31] Smedstad，O.M。；O'Brien，J.J.，赤道太平洋模式中的变分数据同化和参数估计，Prog。海洋学家。，26, 2, 179-241 (1991)
[32] Dee，D.P.，大气数据同化误差协方差参数的在线估计，Mon。《天气评论》，123、4、1128-1145（1995）
[33] 罗德里格斯-费尔南德斯，M。；门德斯，P。；Banga，J.R.，《生物化学途径中高效稳健参数估计的混合方法》，生物系统，83，2-3，248-265（2006）
[34] Schittkowski，K.，《动力系统中的数值数据拟合：应用程序和软件的实用介绍》，第77卷（2013），Springer Science&amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[35] 陈，N。；Majda，A.，多尺度非线性随机系统的条件高斯系统：预测、状态估计和不确定性量化，熵，20，7，509（2018）
[36] 陈，N。；Majda，A.J.，通过条件高斯统计过滤非线性湍流动力系统，Mon。天气评论，144，12，4885-4917（2016）
[37] Majda，A.J。；Harlim，J.，时间序列的物理约束非线性回归模型，非线性，26，1，201（2012）·Zbl 1262.93024号
[38] 哈里姆·J。；马赫迪，A。；Majda，A.J.，物理约束非线性回归模型统计估计的集合卡尔曼滤波器，J.Compute。物理。，257, 782-812 (2014) ·Zbl 1349.62593号
[39] 林德纳，B。；Garcña-Ojalvo，J。；奈曼，A。；Schimansky-Geier，L.，可激发系统中噪声的影响，物理学。众议员，392，6，321-424（2004）
[40] 梅德文斯基，A.B。；彼得罗夫斯基公司。；蒂霍诺娃，I.A。；Malchow，H。；Li，B.-L.，浮游生物和鱼类动态的时空复杂性，SIAM Rev.，44，3，311-370（2002）·Zbl 1001.92050
[41] Salmon，R.，《地球物理流体动力学讲座》（1998），牛津大学出版社
[42] Vallis，G.K.，《大气和海洋流体动力学》（2017），剑桥大学出版社·Zbl 1374.86002号
[43] Dempster，A.P。；新墨西哥州莱尔德。；Rubin，D.B.，《通过EM算法从不完整数据中获得最大似然》，J.R.Stat.Soc.，Ser。B、 Methodol.方法。，39, 1, 1-22 (1977) ·Zbl 0364.62022号
[44] 陈，N。；Majda，A.J.，《具有部分观测值的复杂湍流非线性动力系统的高效非线性最优平滑和采样算法》，J.Compute。物理。，第109381条pp.（2020）·Zbl 1436.37091号
[45] 加赫拉马尼，Z。；Roweis，S.T.，使用em算法学习非线性动力学系统，（神经信息处理系统进展（1999）），431-437
[46] Majda，A.J。；Yuan，Y.，物理系统特别线性和二次多级回归模型的基本限制，离散Contin。动态。系统。，序列号。B、 17、4、1333-1363（2012）·兹比尔1263.62100
[47] Majda，A.J。；Grooms，I.，《地球物理湍流超参数化的新观点》，J.Compute。物理。，271, 60-77 (2014) ·Zbl 1349.86035号
[48] Wilks，D.S.，Lorenz'96系统中随机参数化的影响，Q.J.R.Meteorol。Soc.，131606389-407（2005年）
[49] Branicki，M。；Majda，A.J.，《稀疏观测湍流系统的动态随机超分辨率》，J.Compute。物理。，241, 333-363 (2013) ·Zbl 1349.76761号
[50] Anderson，J.L.，集合卡尔曼滤波数据同化中的定位和采样误差校正，孟买。《天气评论》，140，7，2359-2371（2012）
[51] 陈，N。；Majda，A.J.，《利用复杂湍流系统中福克-普朗克方程的精确统计战胜维数诅咒》，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，114，49，12864-12869（2017）·Zbl 1404.35444号
[52] 陈，N。；Majda，A.J.，具有部分观测值的高维复杂非线性湍流动力系统的一种新的有效参数估计算法，J.Compute。物理。，397，第108836条pp.（2019）·Zbl 1453.65008号
[53] Brunton，S.L。；Proctor，J.L。；Kutz，J.N.，通过非线性动力系统的稀疏识别从数据中发现控制方程，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，113，15，3932-3937（2016）·Zbl 1355.94013号
[54] 新墨西哥州曼根。；Brunton，S.L。；Proctor，J.L。；Kutz，J.N.，《通过非线性动力学的稀疏识别推断生物网络》，IEEE Trans。分子生物学。多卫星通信。，2, 1, 52-63 (2016)
[55] Novara，C.，非线性函数的稀疏识别和参数集成员优化分析，IEEE Trans。自动。控制，57，12，3236-3241（2012）·Zbl 1369.41030号
[56] Santosa，F。；Symes，W.W.，带限反射地震图的线性反演，SIAM J.Sci。统计计算。，7, 4, 1307-1330 (1986) ·Zbl 0602.73113号
[57] Tibshirani，R.，通过LASSO，J.R.Stat.Soc.，Ser.回归收缩和选择。B、 Methodol.方法。，58, 1, 267-288 (1996) ·Zbl 0850.62538号
[58] 陈，N。；Majda，A.J。；Giannakis，D.，通过低阶非线性随机模型预测Madden-Julian振荡的云模式，Geophys。Res.Lett.公司。，41, 15, 5612-5619 (2014)
[59] 陈，N。；Majda，A.J.，通过低阶非线性随机模型预测实时多元Madden-Julian振荡指数，Mon。Weather Rev.，143,62148-2169（2015年）
[60] 陈，N。；Majda，A.J.，通过低阶随机模型预测北半球夏季季内振荡的云型，数学。攀登。天气预报。，1, 1, 1-20 (2015) ·Zbl 1364.86015号
[61] 陈，N。；Majda，A.J。；萨比拉利，C。；Ajayamohan，R.，使用低阶非线性随机模型预测季风季内降水，J.Climate，31，11，4403-4427（2018）
[62] 陈，N。；Majda，A.J.，为Madden-Julian振荡过滤随机骨架模型，周一。天气评论，144，2，501-527（2016）
[63] 陈，N。；Majda，A.J。；Tong，X.T.，滤波随机不可压缩流中噪声拉格朗日示踪剂的信息屏障，非线性，27，9，2133（2014）·Zbl 1320.60102号
[64] 陈，N。；Majda，A.J。；Tong，X.T.，过滤随机旋转可压缩流的噪声拉格朗日示踪剂，非线性科学杂志。，25, 3, 451-488 (2015) ·Zbl 1329.76128号
[65] 陈，N。；Majda，A.J.，利用噪声拉格朗日示踪剂过滤随机可压缩流时的模型误差，孟买。天气评论，144，11，4037-4061（2016）
[66] 基廷，S.R。；Majda，A.J。；Smith，K.S.，《利用卫星测高估算海洋涡流热传输的新方法》，孟买。《天气评论》，140，5，1703-1722（2012）
[67] Majda，A.J。；齐，D。；Sapsis，T.P.，《大维混沌动力系统的混合粒子滤波器》，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，文章201405675 pp.（2014）
[68] Liptser，R.S。；Shiryaev，A.N.，《随机过程统计II：应用》，第6卷（2013），Springer Science&amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[69] Kalman，R.E。；Bucy，R.S.，线性滤波和预测理论的新结果，《基础工程杂志》，83，1，95-108（1961）
[70] 克劳登，体育。；Platen，E.，随机微分方程的高阶隐式强数值格式，J.Stat.Phys。，66, 1-2, 283-314 (1992) ·Zbl 0925.65261号
[71] Gardiner，C.W.，《物理、化学和自然科学随机方法手册》，《Springer协同学丛书》，第13卷（2004年）·Zbl 1143.60001号
[72] Sundberg，R.，指数族不完全数据的最大似然理论，Scand。J.Stat.，49-58（1974）·Zbl 0284.62014号
[73] Sundberg，R.，《求解指数族不完全数据的似然方程的迭代方法》，Commun。统计、模拟。计算。，5, 1, 55-64 (1976) ·Zbl 0352.62014号
[74] 博伊德，S。；Vandenberghe，L.，《凸优化》（2004），剑桥大学出版社·Zbl 1058.90049号
[75] Brassard，G。；Bratley，P.，《算法基础》，第524卷（1996），普伦蒂斯·霍尔：普伦蒂斯·霍尔·恩格尔伍德悬崖
[76] Sorokina，M。；Sygletos，S.公司。；Turitsyn，S.，非线性光通信系统的稀疏辨识：SINO方法，Opt。快递，24，26，30433-30443（2016）
[77] 陈，Y。；顾毅。；Hero，A.O.，系统识别用稀疏LMS，（2009 IEEE声学、语音和信号处理国际会议（2009），IEEE），3125-3128
[78] Anderson，D.R.，《生命科学中基于模型的推理：证据入门》（2007），Springer Science&amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[79] Sakamoto，Y。；石黑浩，M。；Kitagawa，G.，Akaike信息标准统计，第81卷（1986年），D.Reidel:D.Reidel Dordrecht，荷兰·Zbl 0608.62006
[80] Schwarz，G.，估算模型的维数，《Ann.Stat.》，6，2，461-464（1978）·Zbl 0379.62005年
[81] Bühlmann，P。；Van De Geer，S.，《高维数据统计：方法、理论和应用》（2011），施普林格科学；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体·Zbl 1273.62015年
[82] Majda，A.J。；Gershgorin，B.，通过经验信息理论量化气候变化科学中的不确定性，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，107，34，14958-14963（2010）
[83] Majda，A。；阿布拉莫夫，R.V。；Grote，M.J.，《多尺度非线性系统的信息理论和随机性》，第25卷（2005年），美国数学学会·Zbl 1082.60002
[84] Kleeman，R.，《信息理论与动力系统可预测性》，熵，13，3，612-649（2011）·Zbl 1229.94026号
[85] Kullback，S。；Leibler，R.A.，《信息与充分性》，《数学年鉴》。《统计》，22，1，79-86（1951）·兹比尔0042.38403
[86] Kullback，S.，《致编辑的信：Kullback-Leibler距离》，Am.Stat.，41，4340-341（1987）
[87] Kullback，S.，《统计与信息理论》（1997），J Wiley Sons：J Wiley Sons纽约
[88] Branstator，G。；Teng，H.，CGCM中初始值年代际可预测性的两个极限，J.Climate，23，23，6292-6311（2010）
[89] DelSole，T.，《可预测性和信息理论》。第一部分：可预测性度量，J.Atmos。科学。，61, 20, 2425-2440 (2004)
[90] DelSole，T.，《可预测性和信息理论》。第二部分：不完美预测，J.Atmos。科学。，62, 9, 3368-3381 (2005)
[91] Giannakis，D。；Majda，A.J.，《量化长期预测中的预测技能》。第二部分：粗粒度马尔可夫模型的模型误差及其在海洋环流机制中的应用，《气候杂志》，25，6，1814-1826（2012）
[92] Kleeman，R.，《使用相对熵测量动态预测效用》，J.Atmos。科学。，59, 13, 2057-2072 (2002)
[93] 滕，H。；Branstator，G.，CGCM中北太平洋次表层温度显著模式的初始值可预测性，Clim。动态。，36, 9-10, 1813-1834 (2011)
[94] Majda，A。；Kleeman，R。；Cai，D.，通过相对熵量化可预测性的数学框架，方法应用。分析。，9, 3, 425-444 (2002) ·Zbl 1084.94010号
[95] 齐，D。；Majda，A.J.，通过经验信息理论预测非理想模型下被动标量湍流中的最终间歇性概率分布，Commun。数学。科学。，14, 6, 1687-1722 (2016) ·兹比尔1349.76101
[96] Lorenz，E.N.，《不规则性：大气的基本特性》，Tellus a，36，2，98-110（1984）
[97] Lorenz，E.N.，混沌和不敏感性会导致年际变化吗？，Tellus A，42，3，378-389（1990）
[98] 穆拉托夫，C.B。；Vanden-Eijnden，E。；Weinan，E.，Noise可以对可激发介质中的循环动力学起组织作用，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，104，3，702-707（2007）
[99] 穆拉托夫，C.B。；Vanden-Eijnden，E。；Weinan，E.，可激发系统中的自诱导随机共振，Phys。D、 非线性现象。，210, 3-4, 227-240 (2005) ·Zbl 1109.34040号
[100] Treutlein，H。；Schulten，K.，神经脉冲Bonhoeffer-van der Pol模型的噪声诱导极限环，Ber。Bunsenges。物理学。化学。，89, 6, 710-718 (1985)
[101] 林德纳，B。；Schimansky-Geier，L.，两态系统中的相干和随机共振，Phys。E版，61、6、6103（2000）
[102] Longtin，A.，神经元模型中的随机共振，J.Stat.Phys。，70, 1-2, 309-327 (1993) ·Zbl 1002.92503号
[103] Wiesenfeld，K。；Pierson，D。；Pantazelou，E。；Dames，C。；Moss，F.，圆上的随机共振，物理学。修订稿。，72, 14, 2125 (1994)
[104] 奈曼，A。；Schimansky-Geier，L。；Cornell-Bell，A。；Moss，F.，可激发介质中的噪声增强相位同步，Phys。修订稿。，83, 23, 4896 (1999)
[105] Hempel，H。；Schimansky Geier，L.公司。；Garcia-Ojalvo，J.，亚兴奋介质中噪声维持的脉动模式和整体振荡，Phys。修订稿。，82, 18, 3713 (1999)
[106] 胡，B。；周，C.，耦合非相同可激发系统的相位同步和阵列增强相干共振，物理学。E版，61，2，第R1001条，pp.（2000）
[107] 荣格，P。；Cornell-Bell，A。；Madden，K.S。；Moss，F.，《星形细胞合胞体中噪声诱导的螺旋波显示自组织临界性的证据》，《神经生理学杂志》。，79, 2, 1098-1101 (1998)
[108] 陈，N。；Majda，A.J。；Tong，X.T.，可激发介质非线性动态随机模型的空间局部化，预印本·Zbl 1480.65026号
[109] 刘伟强。；Waliser，D.E.，《大气-海洋气候系统的季内变化》（2011年），斯普林格科学与；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[110] 伯纳，J。；阿查兹，美国。；贝特，L。；Bengtsson，L。；卡马拉，A.d.l。；克里斯滕森，H.M。；科朗基利，M。；科尔曼·D·R。；克罗梅林，D。；Dollaptchiev，S.I.，《随机参数化：朝向天气和气候模型的新观点》，布尔。Am.Meteorol公司。Soc.，98，3，565-588（2017）
[111] 邓，Q。；Khouider，B。；Majda，A.J.，《具有随机多云参数化的粗分辨率GCM中的MJO》，J.Atmos。科学。，72, 1, 55-74 (2015)
[112] 工厂，R。；Craig，G.C.，基于平衡统计的深对流随机参数化，J.Atmos。科学。，65, 1, 87-105 (2008)
[113] Olbers，D.，《气候物理简单模型图库》（《随机气候模型》（2001），Springer），第3-63页·Zbl 0986.86001号
[114] 查尼·J·G。；DeVore，J.G.，《大气和阻塞中的多重流动平衡》，J.Atmos。科学。，36, 7, 1205-1216 (1979)
[115] Majda，A.J。；Gershgorin，B.，《通过经验信息理论提高复杂系统的模型保真度和灵敏度》，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，108，25，10044-10049（2011）·兹比尔1256.94026
[116] Shukla，J。；DelSole，T。；Fennessy，M。；Kinter，J。；Paolino，D.，气候模型保真度和气候变化预测，地球物理。Res.Lett.公司。，33, 7 (2006)
[117] Lorenz，E.N.，《确定性非周期流》，J.Atmos。科学。，20, 2, 130-141 (1963) ·Zbl 1417.37129号
[118] Sparrow，C.，《洛伦兹方程：分岔、混沌和奇异吸引子》，第41卷（2012），施普林格科学；amp；amp；amp；amp；amp；amp；amp；商业媒体
[119] Haken，H.，《流体和激光中较高不稳定性的类比》，《物理学》。莱特。A、 53、1、77-78（1975）
[120] Knobloch，E.，分段圆盘发电机中的混沌，Phys。莱特。A、 82、9、439-440（1981）
[121] 戈曼，M。；魏德曼，P。；Robbins，K.，《对流回路的非线性动力学：实验与理论的定量比较》，Phys。D、 非线性现象。，19, 2, 255-267 (1986) ·Zbl 0588.76094号
[122] Hemati，N.，《无刷直流电机中的奇怪吸引子》，IEEE Trans。电路系统。一、 芬丹。理论应用。，41, 1, 40-45 (1994)
[123] 科莫，K.M。；奥本海姆，A.V.，《同步混沌的电路实现及其在通信中的应用》，物理学。修订稿。，71, 1, 65 (1993)
[124] 波兰，D.，《协同催化与化学混沌：洛伦兹方程的化学模型》，Phys。D、 非线性现象。，65, 1-2, 86-99 (1993) ·Zbl 0772.34039号
[125] Tzenov，S.I.，表征渗透不稳定性的奇怪吸引子，预印本
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