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你，霍君;Kim，Juhyun先生;Kim、Chongam

隐式无正交直接重建方法用于有效的尺度分辨率模拟。 （英语） Zbl 1524.76234号

Commun公司。计算。物理学。 33，第4期，992-1034（2023）.
总结：本研究开发了基于隐式物理域的间断Galerkin（DG）方法，用于在混合曲线网格上进行有效的尺度重求解模拟。隐式方法对于处理计算科学和工程中许多感兴趣的尺度分辨率模拟中的刚性系统至关重要。基于物理域的DG方法可以使用最佳基集实现高阶精度，并在非仿射网格上保持所需的精度。当使用基于求积的DG方法时，混合曲线网格上的严重计算成本掩盖了这些优点，使得隐式缩放模拟难以负担。为了解决这个问题，将无正交直接重建方法（DRM）扩展到隐式DG方法。在这种方法中，广义重建直接在物理域中逼近非线性通量函数，使计算密集型数值积分可以在预处理步骤中进行预计算。DRM算子用于无矩阵方法中的残差计算。DRM算子可以进一步扩展到矩阵显式Krylov子空间方法和预处理的系统矩阵计算。最后，采用A-稳定的Rosenbrock型Runge-Kutta方法实现高阶时间精度。从制造的解决方案到隐式大涡模拟都进行了广泛的验证和确认。计算结果证实，与基于正交的方法相比，该方法显著提高了计算效率，同时能够准确地解析尺度模型模拟难以捕捉到的详细非定常流动特征。

引用于1文件

MSC公司：

76M10个 有限元方法在流体力学问题中的应用
76号06 可压缩Navier-Stokes方程
76层65 湍流的直接数值模拟和大涡模拟

关键词：

直接重建法;隐式Runge-Kutta方法;无求积法;不连续伽辽金法;隐式大涡模拟;高性能计算

软件：

多晶硅;硝基苯砜;MEBDF公司;PETSc公司;PyFR公司;斯帕拉尔-奥尔马拉斯
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{H.You}等人，Commun。计算。物理学。33，编号4，992--1034（2023；Zbl 1524.76234）
全文： DOI程序

参考文献：

[1] H.T.Huynh，Z.J.Wang，P.E.Vincent，《计算流体动力学的高阶方法：非结构网格上紧致微分公式的简要回顾》，《计算机与流体》98（2014）209-220。doi:10.1016/j.compfluid.2013.12.007·Zbl 1390.65123号 ·doi:10.1016/j.compfluid.2013.12.007
[2] J.S.Hesthaven，T.Warburton，Nodal间断Galerkin方法，纽约施普林格出版社，2008年。doi:10.1007/978-0-387-72067-8·兹比尔1134.65068 ·doi:10.1007/978-0-387-72067-8
[3] F.D.Witherden，A.M.Farrington，P.E.Vincent，PyFR:一个开源框架，用于使用流量重构方法解决流架构上的对流-扩散类型问题，《计算机物理通信》185（11）（2014）3028-3040。doi:10.1016/j.cpc.2014.07.011·Zbl 1348.65005号 ·doi:10.1016/j.cpc.2014.07.011
[4] H.You，J.Kim，C.Kim，天津：基于高阶DRM-DG方法的开源高性能多物理流求解器，《计算机物理通信》286（2023）。doi:10.1016/j.cpc.2023.108672·Zbl 07666755号 ·doi:10.1016/j.cpc.2023.108672
[5] Z.J.Wang，非结构化网格上Euler和Navier-Stokes方程的高阶方法，《航空航天科学进展》43（2007）1-41。doi:10.1016/j.paeroci.2007.05.001·doi:10.1016/j.paeroci.2007.05.001
[6] H.You，C.Kim，通过完全搜索张量收缩对高阶方法进行基于体系结构和面向目标的算法优化，《计算机物理通信》264（2021）107988。doi:10.1016/j.cpc.2021.107988·兹伯利07692466 ·doi:10.1016/j.cpc.2021.107988
[7] B.Cockburn，C.-W.Shu，《守恒定律的Runge-Kutta间断Galerkin方法V：多维系统》，《计算物理杂志》141（2）（1998）199-224。doi:10.1006/jcph.1998.5892·Zbl 0920.65059号 ·文件编号：10.1006/jcph.1998.5892
[8] H.T.Huynh，高阶格式的通量重建方法，包括间断Galerkin方法，第18届AIAA计算流体动力学会议（2007年）。doi:10.2514/6.2007-4079·数字对象标识代码：10.2514/6.2007-4079
[9] Z.J.Wang，H.Gao，一个统一的提升配置惩罚公式，包括不连续伽辽金，混合网格上守恒定律的谱体积/差分方法，计算物理杂志228（21）（2009）8161-8186。doi:10.1016/j.jcp.2009.07.036·Zbl 1173.65343号 ·doi:10.1016/j.jcp.2009.07.036
[10] P.E.Vincent，P.Castonguay，A.Jameson，一类新的高阶能量稳定通量重建方案，《科学计算杂志》47（2011）50-72。doi:10.1007/s10915-010-9420-z·兹比尔1433.76094 ·doi:10.1007/s10915-010-9420-z
[11] F.Bassi，L.Botti，A.Colombo，D.A.Di Pietro，P.Tesini，《基于凝聚体的物理空间非连续Galerkin离散化的灵活性》，《计算物理杂志》231（1）（2012）45-65。doi:10.1016/j.jcp.2011.08.018·Zbl 1457.65178号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.08.018
[12] H.You，C.Kim，具有子单元分辨率的高阶多维限制策略I.二维混合网格，计算物理杂志375（2018）1005-1032。doi:10.1016/j.jcp.2018.09.011·Zbl 1416.65367号 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.09.011
[13] L.Botti，参考-物理框架映射对不连续分段多项式空间近似性质的影响，《科学计算杂志》52（2012）675-703。doi:10.1007/s10915-011-9566-3·Zbl 1255.65222号 ·doi:10.1007/s10915-011-9566-3
[14] D.Moxey，S.P.Sastry，R.M.Kirby，曲线有限元插值误差界及其对自适应网格细化的影响，《科学计算杂志》78（2019）1045-1062。doi:10.1007/s10915-018-0795-6·Zbl 1417.65207号 ·doi:10.1007/s10915-018-0795-6
[15] G.J.Gassner、F.Lörcher、C.-D.Munz、J.S.Hesthaven，《多形节元及其在间断Galerkin方法中的应用》，计算物理杂志228（5）（2009）1573-1590。doi:10.1016/j.jcp.2008.11.012·Zbl 1267.76062号 ·doi:10.1016/j.jcp.2008.11.012
[16] J.Liu，J.Qiu，O.Hu，N.Zhao，M.Goman，X.Li，笛卡尔网格上复杂几何问题的自适应Runge-Kutta间断Galerkin方法，国际流体数值方法杂志73（10）（2013）847-868。doi:10.1002/fld.3825·Zbl 1455.65151号 ·电话：10.1002/fld.3825
[17] L.Zhang，M.Li，W.Liu，X.He，二维任意网格上可压缩流的高阶DG/FV格式的隐式算法，计算物理通信17（2015）287-316。doi:10.4208/cicp.091113.280714a·Zbl 1373.76109号 ·doi:10.4208/cicp.091113.280714a
[18] R.Vandenhoeck，A.Lani，《高速可压缩流动的隐式高阶通量重建求解器》，《计算机物理通信》242（2019）1-24。doi:10.1016/j.cpc.2019.04.015·兹伯利07674796 ·doi:10.1016/j.cpc.2019.04.015
[19] B.R.Ahrabi，D.J.Mavrilis，《用于Newton-Krylov解算器预处理的隐式块ILU平滑器及其在高阶稳定有限元方法中的应用》，《应用力学与工程中的计算机方法》358（2020）112637。doi:10.1016/j.cma.2019.112637·Zbl 1441.76052号 ·doi:10.1016/j.cma.2019.112637
[20] R.Guo，Y.Xu，KdV型方程局部不连续Galerkin离散化的快速求解器，计算物理通信17（2）（2015）424-457。doi:10.4208/cicp.210114.080814a·Zbl 1388.65098号 ·doi:10.4208/cicp.210114.080814a
[21] L.Wang，M.Yu，用动态网格进行低马赫数流动模拟的隐式高阶预处理通量重建方法，国际流体数值方法杂志91（7）（2019）348-366。doi:10.1002/fld.4759·doi:10.1002/fld.4759
[22] C.Ciucȃ，P.Fernandez，A.Christophe，N.C.Nguyen，J.Peraire，可压缩磁流体动力学的隐式混合不连续Galerkin方法，计算物理杂志：X 5（2020）100042。doi:10.1016/j.jcpx.2019.100042·Zbl 07785522号 ·doi:10.1016/j.jcpx.2019.100042
[23] M.Franciolini，K.J.Fidkowski，A.Crivellini，隐式非定常可压缩流动模拟的高效间断Galerkin实现和预处理，计算机与流体203（2020）104542。doi:10.1016/j.compfluid.2020.104542·Zbl 1519.76143号 ·doi:10.1016/j.compfluid.2020.104542
[24] F.Zhang，T.Liu，变密度不可压缩流的高阶直接间断Galerkin方法，计算物理通信32（2022）850-877。doi:10.4208/cicp。OA-2022-0064·Zbl 1500.65076号 ·doi:10.4208/cicp。OA-2022-0064号
[25] F.Bassi，L.Botti，A.Colombo，A.Ghidoni，F.Massa，应用于共可压缩和不可压缩非定常流的间断Galerkin解的线性隐式Rosenbrock型Runge-Kutta格式，计算机与流体118（2015）305-320。doi:10.1016/j.compfluid.2015.06.007·Zbl 1390.76833号 ·doi:10.1016/j.compfluid.2015.06.007
[26] P.Fernandez，N.C.Nguyen，J.Peraire，基于物理的非定常层流和湍流冲击捕获方法，美国航空航天协会航空航天科学会议（2018）1-13doi:10.2514/6.2018-0062·doi:10.2514/6.2018-0062
[27] F.Bassi，L.Botti，A.Colombo，A.Crivellini，M.Franciolini，A.Ghidoni，G.Noventa，《不可压缩过渡流隐式大涡模拟的p-自适应无矩阵间断Galerkin方法》，《流动、湍流和燃烧》105（2020）437-470。doi:10.1007/s10494-020-00178-2·doi:10.1007/s10494-020-00178-2
[28] Z.J.Wang，S.Rahmani，《NASA CRM失速附近高升力配置的隐式大涡模拟》，计算机与流体220（2021）104887。doi:10.1016/j.compfluid.2021.104887·兹比尔1521.76260 ·doi:10.1016/j.compfluid.2021.104887
[29] H.You，C.Kim，《关于高阶曲线单元上间断Galerkin方法的数值积分》，《ECCM VI论文集》，ECFD VII（2018）。
[30] H.You，C.Kim，高阶混合曲线网格上间断Galerkin方法的直接重建方法I.体积积分，计算物理杂志395（2019）223-246。doi:10.1016/j.jcp.2019.06.015·Zbl 1452.65258号 ·doi:10.1016/j.jp.2019.06.015
[31] H.You，C.Kim，高阶混合曲线网格上间断Galerkin方法的直接重建方法II。表面积分，《计算物理杂志》416（2020）109514。doi:10.1016/j.jcp.2020.109514·Zbl 1437.76025号 ·doi:10.1016/j.jcp.2020.109514
[32] H.You，C.Kim，高阶混合曲线网格上间断Galerkin方法的直接重建方法III.张量收缩的代码优化，Computer-ers&Fluids 215（2021）104790。doi:10.1016/j.compfluid.2020.104790·Zbl 1521.76378号 ·doi:10.1016/j.compfluid.2020.104790
[33] H.L.Atkins，C.W.Shu，双曲型方程间断Galerkin方法的无象限实现，AIAA期刊36（5）（1998）775-782。doi:10.2514/2.436·数字对象标识代码：10.2514/2.436
[34] F.Bassi，A.Crivellini，S.Rebay，M.Savini，雷诺平均Navier-Stokes和k-ω湍流模型方程的间断Galerkin解，计算机与流体34（4-5）（2005）507-540。doi:10.1016/j.compfluid.2003.08.004·Zbl 1138.76043号 ·doi:10.1016/j.compfluid.2003.08.004
[35] J.R.Cash，《使用改进的扩展后向微分公式在常微分方程中集成刚性初值问题》，《计算机与数学应用》9（5）（1983）645-657。doi:10.1016/0898-1221（83）90122-0·Zbl 0526.65052号 ·doi:10.1016/0898-1221（83）90122-0
[36] A.Nigro，C.De Bartolo，A.Crivellini，F.Bassi，应用于非定常可压缩粘性流间断Galerkin解的无矩阵修正扩展BDF，《流体数值方法国际期刊》88（12）（2018）544-572。doi:10.1002/fld.4679·doi:10.1002/fld.4679
[37] A.Nigro，C.De Bartolo，F.Bassi，A.Ghidoni，应用于间断Galerkin离散Navier-Stokes方程的高达六阶精度A-稳定隐式格式，计算物理杂志276（2014）136-162。doi:10.1016/j.jcp.2014.07.028·兹比尔1349.76247 ·doi:10.1016/j.jcp.2014.07.028
[38] C.A.Kennedy，M.H.Carpenter，对流-扩散-反应方程的可加Runge-Kutta格式，应用数值数学44（1-2）（2003）139-181。doi:10.1016/S0168-9274（02）00138-1·Zbl 1013.65103号 ·doi:10.1016/S0168-9274（02）00138-1
[39] H.H.Rosenbrock，微分方程数值解的一些一般隐式过程，计算机期刊5（4）（1963）329-330。doi:10.1093/comjnl/5.4329·兹比尔0112.07805 ·doi:10.1093/comjnl/5.4.329
[40] F.Bassi，A.Colombo，C.De Bartolo，N.Franchina，A.Ghidoni，A.Nigro，Navier-Stokes方程间断Galerkin解的高阶时间格式研究，WCCM XI会议录，ECCM V，ECFD VI（2014）。
[41] X.Liu，Y.Xia，H.Luo，L.Xuan，非定常三维可压缩Navier-Stokes方程间断Galerkin方法的Rosenbrock型和隐式Runge-Kutta时间积分的比较研究，计算物理通信20（4）（2016）1016-1044。doi:10.4208/cicp.300715.140316a·Zbl 1373.76096号 ·doi:10.4208/cicp.300715.140316a
[42] J.Kim，H.You，C.Kim，《关于曲面网格上间断Galerkin方法的隐式时间格式》，《韩国航空航天科学学会2018年秋季会议论文集》（2018）。
[43] E.Hairer，G.Wanner，《求解常微分方程II》，Springer-Verlag-Berlin-Hei-delberg出版社，1996年。doi:10.1007/978-3-642-05221-7·Zbl 1192.65097号 ·doi:10.1007/978-3-642-05221-7
[44] J.Lang，J.Verwer，ROS3P-设计用于抛物线问题的精确三阶Rosenbrock解算器，BIT数值数学41（2001）731-738。doi:10.1023/A:1021900219772·Zbl 0996.65099号 ·doi:10.1023/A:1021900219772
[45] W.H.出版社，S.A.Teukolsky，W.T.Vetterling，B.P.Flannery，《数字配方：科学计算的艺术》，剑桥大学出版社，2007年·Zbl 1132.65001号
[46] G.Steinebach，DAE用ROW方法的顺序还原和线应用方法，1995年。
[47] G.Di Marzo，RODAS5（4）-Méthodes de Rosenbrock d'ordre 5（4”adaptées aux problèms différentiels-algébriques，硕士论文，日内瓦大学（1992）。
[48] P.Kaps，G.Wanner，《Rosenbrock型高阶方法研究》，《数值数学数学》38（1981）279-298。doi:10.1007/BF01397096·Zbl 0469.65047号 ·doi:10.1007/BF01397096
[49] X.Xu、Y.Zhu、C.Liu、K.Xu，基于UGKS的多尺度非平衡流模拟隐式迭代方法，SIAM科学计算杂志44（4）（2022）B996-B1017。doi:10.1137/21M1421398·Zbl 1513.76132号 ·doi:10.1137/21M1421398
[50] M.Pernice，H.F.Walker，《NITSOL:非线性系统的牛顿迭代求解器》，SIAM科学计算杂志19（1）（1998）302-318。doi:10.1137/S1064827596303843·Zbl 0916.65049号 ·doi:10.1137/S1064827596303843
[51] H.You，多物理流模拟的高性能高阶数值算法，博士论文，首尔国立大学（2022）。
[52] S.Balay、S.Abhyankar、M.F.Adams、S.Benson、J.Brown、P.Brune、K.Buschelman、E.M.Constantinescu、L.Dalcin、A.Dener、V.Eijkhout、W.D.Gropp、V.Hapla、T.Isaac、P.Jo-livet、D.Karpeev、D.Kaushik、M.G.Knepley、F.Kong、S.Kruger、D.A.May、L.C.McInnes、R.T.Mills、L.Mitchell、T.Munson、J.E.Roman、K.Rupp、P.Sanan、J，B.F.Smith、S.Zampini、H.Zhang、H.张、J.张、PETSc网页，https://petsc.org/ (2022). 统一资源定位地址https://petsc.org/
[53] G.Karypis，V.Kumar，《不规则图的并行多级串联k路划分方案》，SIAM Review 41（2）（1999）278-300。doi:10.1137/S0036144598334138·Zbl 0918.68073号 ·doi:10.137/S0036144598334138
[54] P.R.Spalart，S.R.Allmaras，空气动力流动的单方程湍流模型，第30届航空航天科学会议和展览（1992）1-22doi:10.2514/6.1992-439·数字对象标识代码：10.2514/6.1992-439
[55] S.R.Allmaras，F.T.Johnson，P.R.Spalart，Spalart-Allmaras湍流模型实施的修改和澄清，第七届国际计算流体动力学会议（2012）1-11。
[56] R.Knapke，《谐波平衡法下的高阶非稳态传热》，辛辛那提大学博士论文（2015）。
[57] P.G.Tucker，C.L.Rumsey，P.R.Spalart，R.E.Bartels，R.T.Biedron，基于微分方程的壁距计算，AIAA期刊43（3）（2005）539-549。doi:10.2514/1.8626·数字对象标识代码：10.2514/1.8626
[58] B.Roget，J.Sitaraman，使用体素化行进球体的墙距离搜索算法，《计算物理杂志》241（2013）76-94。doi:10.1016/j.jcp.2013.01.035·Zbl 1349.76643号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.01.035
[59] A.Bouchard，RANS应用中通过Eikonal解算器进行墙距离评估，硕士论文，蒙特勒大学（2017）。
[60] C.Lee，E.Kim，Y.Kyeol，C.Kim，《ACTFlow:用于全速可压缩湍流模拟的面向目标的有限体积解算器》，AIAA Scitech 2021 Forum（2021）1-34doi:10.2514/6.2021-1533·文件编号：10.2514/6.2021-1533
[61] Y.Lian，W.Shyy，低雷诺数刚性或柔性翼型的层流-湍流过渡，AIAA期刊45（7）（2007）1501-1513。doi:10.2514/1.25812·数字对象标识代码：10.2514/1.25812
[62] A.Uranga，P.-O.Persson，M.Drela，J.Peraire，使用非连续Galerkin方法对低雷诺数下湍流转换的隐式大涡模拟，《国际工程数值方法杂志》87（1-5）（2010）232-261。doi:10.1002/nme.3036·Zbl 1242.76085号 ·数字对象标识代码：10.1002/nme.3036
[63] M.Galbraith，M.Visbal，通过SD7003翼型的低雷诺数瞬态流动的隐式大涡模拟，第40届流体动力学会议和展览（2010）1-32doi:10.2514/6.2010-4737·数字对象标识代码：10.2514/6.2010-4737
[64] P.Catalano，R.Tognacini，《SD7003翼型周围低雷诺数流动的RANS分析》，《航空航天科学与技术》15（8）（2011）615-626。doi:10.1016/j.ast.2010.12.006·doi:10.1016/j.ast.2010.12.006
[65] C.Carton de Wiart，K.Hillewaert，使用高阶间断Galerkin方法研究SD7003周围过渡流的DNS和ILES，第七届国际计算流体动力学会议（ICCFD7）（2012）1-14。
[66] Z.-H.Jiang，X.Deng，F.Xiao，C.Yan，J.Yu，曲线网格上可压缩流动有限体积法的高阶插值格式，计算物理通讯28（2020）1609-1638。doi:10.4208/cicp。OA-2019-0091·兹比尔1529.65038 ·doi:10.4208/cicp。OA-2019-0091
[67] F.D.Witherden，P.E.Vincent，《关于有限元方法对称求积规则的识别》，《计算机与数学应用》69（10）（2015）1232-1241。doi:10.1016/j.camwa.2015.03.017·Zbl 1443.65378号 ·doi:10.1016/j.camwa.2015.03.017
[68] S.Burgmann，W.Schröder，通过时间分辨和扫描PIV测量研究分离气泡的涡流引起的不稳定性，流体实验45（4）（2008）675-691。doi:10.1007/s00348-008-0548-7·doi:10.1007/s00348-008-0548-7
[69] R.Hain，C.J.Kähler，R.Radespiel，低雷诺数翼型层流分离气泡动力学，流体力学杂志630（2009）129-153。doi:10.1017/S0022112009006661·Zbl 1181.76136号 ·doi:10.1017/S0022112009006661
[70] M.V.Ol，B.R.McCaliffe，E.S.Hanff，U.Scholz，C.Kähler，三个设施中低雷诺数翼型层流分离气泡测量的比较，第35届美国航空航天局流体动力学会议和展览（2005）1-11doi:10.2514/6.2005-5149·doi:10.2514/6.2005-5149
[71] D.Degani，几何扰动对旋涡不对称性的影响，AIAA Journal 29（4）（1991）560-566。doi:10.2514/3.59929·doi:10.2514/3.59929
[72] K.Petterson，D.I.A.Poll，《高阿尔法下的细长前体空气动力学》，国际航空科学委员会（ICAS）2000年大会（2000）294.1-294.9。
[73] R.M.Cummings，J.R.Forsythe，S.A.Morton，k.D.Squires，《大迎角气流预测中的计算挑战》，《航空航天科学进展》39（5）（2003）369-384。doi:10.1016/S0376-0421（03）00041-1·doi:10.1016/S0376-0421（03）00041-1
[74] P.Champigny，S.Deck，P.Denis，S.Magniant，使用创新系统对大迎角前体涡及其控制进行数值模拟，创新导弹系统RTO-MP-AVT-135（2006）24-1-24-16。
[75] S.H.Kim，W.Kim，背向超声速大角度绕体非对称涡，《韩国物理学会杂志》55（5）（2009）2159-2165。doi:10.3938/jkps.55.2159·doi:10.3938/jkps.55.2159
[76] F.Tsutsui，K.Kitamura，S.Nonaka，RANS湍流模型对带有突起的细长体运载火箭空气动力学的影响，《国际航空与空间科学杂志》23（2022）670-679。doi:10.1007/s42405-022-00482-3·doi:10.1007/s42405-022-00482-3
[77] S.C.Spiegel，H.T.Huynh，J.R.DeBonis，通过过度积分进行去混叠应用于通量重建和间断Galerkin方法，第22届AIAA计算流体动力学会议（2015）1-22doi:10.2514/6.2015-2744·doi:10.2514/6.2015-2744
[78] J.S.Park，F.D.Witherden，P.E.Vincent，NACA0021翼型上方流动的高阶隐式大涡模拟，AIAA Journal 55（7）（2017）2186-2197。doi:10.2514/1.J055304·doi:10.2514/1.J055304
[79] P.-O.Persson，J.Peraire，不连续Galerkin方法的子细胞冲击捕获，第44届AIAA航空航天科学会议和附件（2006）1-13doi:10.2514/6.2006-112·doi:10.2514/6.2006-112
[80] E.R.Keener、G.T.Chapman、L.Cohen、J.Taleghani，在大迎角和马赫数从0.1到0.7时，切向卵形前体上的侧向力，NASA技术备忘录NASA TM X-3437（1977）。
[81] 邓晓云，田伟，马宝福，王英凯，细长体上不对称涡流研究的最新进展，机械学报24（2008）475-487。doi:10.1007/s10409-008-0197-3·Zbl 1257.76015号 ·doi:10.1007/s10409-008-0197-3
[82] E.R.Keener，对称前身上的流动分离模式，NASA技术备忘录——NASA TM 86016（1986）。
[83] P.J.Lamont，高攻角下3.5D卵形头部和圆柱形后体上方的复杂非对称流动，第20届航空航天科学会议（1982）1-10doi:10.2514/6.1982-53·数字对象标识代码：10.2514/6.1982-53
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