穆罕默德·马洛格;朱利安·罗耶 具有无穷大耗散的波导中的能量衰减。 （英语） Zbl 1409.35032号 ESAIM，控制优化。计算变量。 24，第2期，519-549（2018）. 作者研究了带有阻尼项的波动方程的混合问题：\[\开始{aligned}&\partial_t^2 u-\Delta u+a\partial u=0\quad\text{on}\mathbb R_+\times\Omega，\\&\parcial_\nu u=0\ quad\text{on}\ mathbb R_+\temes\partial/Omega、\\&（u，\partial-t u）\big|_{t=0}=（u_0，u_1）\quad_text{on{Omega。\结束{对齐}\标记{1}\]这里\（\Omega:=\mathbb R^d\times\Omega\subset\mathbb R^｛d+n｝\）是一个直波导，其横截面\（\Omega\）是\（\mathbb R^n\）、\（n\geqslant 1\）、\（在H^1（\Omega）中的u_0\）和\（在L^2（\Omega）中的u1\）的有界、开放、光滑和连通的子集。定义\（\mathcal{E} _N（_N）\)作为范数的\（C_0^\infty（\bar\Omega）\乘以C_0^\ infty\[\|（u，v）{mathcal{E} _N（_N）}^2=\|\nabla u\|_{L^2（\Omega）}^2+\|v\|__{L*2（\欧米茄）}^2。\]给定\（\delta\in\mathbb R\），用\（\mathcal表示{E} _N（_N）^\δ\）加权能量空间，定义为范数的\（C_0^\infty（\bar\Omega）\乘以C_0^\ infty\[\|（u，v）{mathcal{E} N个^\三角形}^2=\|\left<x^\delta\right>\nabla u\|_{L^2（\Omega，\]其中，\（\left<x\right>\）代表\（\big（1+|x|^2\big）^{\frac 12}\）。作者\（\mathcal{H} _N（_N）^\delta）作者表示范数的（C_0^\infty（\bar\Omega）乘C_0^\ infty\[\|（u，v）{mathcal{H} _N（_N）^\δ^2＝\|\left＜x^\delta\right>u\|_｛L^2（\Omega）｝^2+\|\left＜x^\delta\right>\nabla u\|_｛L^2（\Omega）｝^2+\|\left＜x^\delta\right>v\|_｛L^2（\Omega）｝^2，\]和\（\mathcal{H} _N（_N）：=\mathcal{H} _N（_N）^0\). 在\（\mathcal{E} _N（_N）\)，运算符\（\mathcal{A} _N（_N）\)由定义\[\马查尔{A} _N（_N）=\begin{pmatrix}0&I\\-\Delta&-ia\end{pmatricx}\]在域上\[\mathcal{D}（\mathcal{A} _N（_N）)=\left\{（u，v）\in\mathcal{E} _N（_N）：\mathcal{A} _N（_N）（u，v）\in\mathcal{E} _N（_N）\text{和}\partial_\nu u=0\text{on}\parial\Omega\right\}。\]现在让\（U_0=（U_0，iu_1）\in\mathcal{D}（\mathcal{A} _N（_N）)\)，\（U:=（U，U_t）\）。问题（1）有一个唯一的解决方案\（U:t\mapstoe^{-it\mathcal{A} _N（_N）}C^0中的U_0（\mathbb R_+，\mathcal{D}（\mathcal{A} _N（_N）))\cap C^1（\mathbb R_+，\mathcal{E} N个)\).本文的主要结果是以下定理。定理。设\（k\in\mathbb N^*\），\（s_1，s_2\in\big[0，\frac d 2]\），（\kappa>1\），（s\in[0，\ min（d，\rho）[\）与\（s\leq1\在\mathcal{d}（\mathcar{A} _N（_N）^k） \）和\（\ mathcal{A} _我)^k\in\mathcal公司{H} _N（_N）^｛\delta_2｝\）\[\|电子^{-it\mathcal{A} _N（_N）}U_0\|_{马塔尔{E} _N（_N）^{-\delta_1}}\leq C\left（t^{-\frac12（1+s_1+s_2+s）}+\frac{ln（t）^{k/2+1}}{t^{k/2}}\right）\|（\mathcal{A} _我)^k U_0\|_{马塔尔{H} _N（_N）^{\delta_2}}。\]更准确地说，如果我们写\（U_0=（U_0，iu_1）\）和\（e^{-it\mathcal{A} _N（_N）}U_0=（U（t），i\partial_t U（t\[\|\纳布拉u（t）\|_{L^{2，-\delta_1}（\Omega）}\leq C\left（t^{-\frac 12（1+s_1+s_2+s）}+\frac{\ln（t）^{k/2+1}}{t^{k/2}}\right）\|（\mathcal{A} _我)^k U_0\|_{马塔尔{H} _N（_N）^{\delta_2}}\]和\[\|\部分u（t）\|_{L^{2，-\delta_1}（\Omega）}\leq C\left（t^{-\frac 12（2+s_1+s_2）}+\frac{ln（t）^{k/2+1}}{t^{k/2}}\right）\|（\mathcal{A} _我)^k U_0\|_数学{H} _N（_N）^{\delta_2}}。\]它还表明，所述多项式衰减率通常是尖锐的。审核人：丹尼斯·鲍里索夫（Ufa） 引用于2文件 MSC公司： 35B40码 偏微分方程解的渐近行为 47A10号 光谱，分解液 47B44码 线性增生算子、耗散算子等。 35L20英寸 二阶双曲方程的初边值问题 关键词：局部和全球能量衰减;耗散波方程;扩散现象;半经典分析;低频预解估计;多项式衰减率 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Malloug}和\textit{J.Royer}，ESAIM，控制优化。计算变量24，编号2，519--549（2018；Zbl 1409.35032） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] L.Aloui、S.Ibrahim和M.Khenissi，外部区域线性耗散波方程的能量衰减。J.差异。埃克。259（2015）2061-2079·Zbl 1326.35037号 ·doi:10.1016/j.jde.2015.03.018 [2] L.Aloui和M.Khenissi，稳定化方程des ondes dans un domaine extérieur。数学复习。伊比利亚美洲18（2002）1-16·Zbl 1016.35044号 ·doi:10.4171/RMI/309 [3] W.O.Amrein，A.Boutet de Monvel和V.Georgescu，C_{0}-组N体哈密顿量的交换子方法和谱理论，《数学进展》第135卷。Birkhäuser Verlag（1996年）·Zbl 0962.47500号 [4] N.Anantharaman和M.Léautaud，圆环上阻尼波动方程的夏普多项式衰减率。分析。PDE7（2014）159-214·Zbl 1295.35075号 ·doi:10.2140/apde.2014.7.159 [5] W.Arendt和C.J.K.Batty，Tauberian定理和单参数半群的稳定性。事务处理。美国数学。Soc.306（1988）837-852·Zbl 0652.47022号 ·网址：10.1090/S0002-9947-1988-0933321-3 [6] C.Bardos、G.Lebeau和J.Rauch，《观察、控制和稳定边界波浪的夏普充分条件》。SIAM J.控制优化。30 (1992) 1024-1065 ·Zbl 0786.93009号 ·doi:10.1137/0330055 [7] C.J.K.Batty，R.Chill和Y.Tomilov，算子半群衰变的精细尺度。《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）18（2016）853-929·兹比尔1418.34120 ·doi:10.4171/JEMS/605 [8] C.J.K.Batty和Th.Duyckaerts，Banach空间上有界半群的非一致稳定性。J.进化。Equ.8（2008）765-780·Zbl 1185.47043号 ·doi:10.1007/s00028-008-0424-1 [9] J.-F.Bony和D.Häfner，渐近欧氏流形上几个发展方程的局部能量衰减。科学年鉴。l’ecole Normale Supérieure45（2012）311-335·Zbl 1263.58008号 ·doi:10.24033/asens.2166 [10] A.Borichev和Y.Tomilov，函数和算子半群的最优多项式衰减。数学。附件347（2010）455-478·Zbl 1185.47044号 ·doi:10.1007/s00208-009-0439-0 [11] D.Borisov和D.Krejči rík，PT-对称波导。积分Equ。操作。Theory68（2008）489-515·Zbl 1178.35141号 ·doi:10.1007/s00020-008-1634-1 [12] J.-M.Bouclet，渐近欧几里德拉普拉斯算子的低频估计和局部能量衰减。Commun公司。第部分。差异Equ。36（2011）1239-1286·Zbl 1227.35227号 ·doi:10.1080/03605302.2011.558553 [13] J.-M.Bouclet和J.Royer，阻尼波动方程的局部能量衰减。熟练工人。功能。分析。266 (2014) 4538-4615 ·Zbl 1295.35078号 ·doi:10.1016/j.jfa.2014.01.028 [14] N.Boussaid和S.Golnia，Dirac系统在阈值能量下一些远程扰动的极限吸收原理。Commun公司。数学。物理学。299 (2010) 677-708 ·Zbl 1205.81084号 ·doi:10.1007/s00220-010-1099-3 [15] N.Burq，Décroissance de l’energie locale de l’équation des ondes pour le problème extérieur et mission de résonance au voisinage du re el，《巴黎羊角报》。《数学学报》180（1998）1-29·Zbl 0918.35081号 ·doi:10.1007/BF02392877 [16] N.Burq，非捕捉几何中预解式的半经典估计。国际数学。Res.不。5 (2002) 221-241 ·Zbl 1161.81368号 ·doi:10.1155/S1073792802103059 [17] N.Burq和M.Hitrik，部分矩形域上阻尼波方程的能量衰减。数学。Res.Lett公司。14 (2007) 35-47 ·Zbl 1122.35015号 ·doi:10.4310/MRL.2007.v14.n1.a3 [18] N.Burq和R.Joly，无界区域阻尼波动方程的指数衰减。Commun公司。当代数学。18 (2016) ·Zbl 1351.35168号 ·doi:10.1142/S02199716500127 [19] R.Chill和A.Haraux，抽象波动方程时间奇异极限的最佳估计。Funkc公司。埃克瓦西奥伊，Ser。国际47（2004）277-290·Zbl 1119.35342号 ·doi:10.1619/fesi.47.277 [20] D.E.Edmunds和W.D.Evans，谱理论和微分算子。牛津大学出版社，纽约（1987）·Zbl 0628.47017号 [21] P.Gérard和E.Leichtnam，Dirichlet问题本征函数的Ergodic性质。杜克大学数学。J.71（1993）559-607·Zbl 0788.35103号 ·doi:10.1215/S0012-7094-93-07122-0 [22] K.Gustafson和J.Weidmann，《基本谱》。数学杂志。分析。申请。25 (1969) 121-127 ·Zbl 0189.44104号 ·doi:10.1016/0022-247X（69）90217-0 [23] 细野太郎和小川，大时间行为和L^{}{p} -左\^二维非线性阻尼波方程解的{}{q}估计。J.差异。方程式203（2004）82-118·Zbl 1049.35134号 ·doi:10.1016/j.jde.2004.03.034 [24] R.Ikehata，线性耗散波方程在外部区域中的扩散现象。J.差异。埃克。186 (2002) 633-651 ·Zbl 1017.35059号 ·doi:10.1016/S0022-0396（02）00008-6 [25] R.Ikehata、G.Todorova和B.Yordanov，具有临界势的波动方程的最佳能量衰减率。数学杂志。Soc.Jpn65（2013）183-236·兹比尔1267.35034 ·doi:10.2969/jmsj/06510183 [26] Th.Jecko，从经典到半经典的非敲击行为。C.R.，数学。，阿卡德。科学。巴黎338（2004）545-548·Zbl 1046.81037号 ·doi:10.1016/j.crma.2004.01.022 [27] M.Khenissi，《环境保护法》。牛市。社会数学。法国131（2003）211-228·Zbl 1024.35061号 ·doi:10.24033/bsmf.2440 [28] M.Khenissi和J.Royer，阻尼薛定谔方程的局部能量衰减和平滑效应。分析。偏微分方程·Zbl 1372.35262号 [29] D.Krejčiřík和J.k \345cinzi，关于弯曲平面波导的光谱。出版物。Res.Inst.数学。科学。41 (2005) 757-791 ·Zbl 1113.35143号 ·doi:10.2977/prims/1145475229 [30] D.Krejčiřk和N.Raymond，弯曲量子波导中的磁效应。《安娜·亨利·彭加雷》15（2014）1993-2024·Zbl 1301.81068号 ·doi:10.1007/s00023-013-0298-9 [31] M.Léautaud和N.Lerner，局部无阻尼波动方程的能量衰减。Ann.工厂。科学。图卢兹。数学。出现·Zbl 1391.35056号 [32] G.勒布（G.Lebeau），《情爱方程式》（Equation des ondes amorties）。数学物理中的代数和几何方法，由A.Boutet de Monvel和V.Marchenko编辑。Kluwer学术出版社（1996）73-109·Zbl 0863.58068号 ·doi:10.1007/978-94-017-0693-34 [33] G.Lebeau和L.Robbiano，稳定方程des ondes par le bord。杜克大学数学。J.86（1997）465-491·Zbl 0884.58093号 ·网址：10.1215/S0012-7094-97-08614-2 [34] M.Malloug，外区域阻尼Klein−Gordon方程的局部能量衰减。申请。分析。(2016) ·Zbl 1456.35126号 [35] P.Marcati和K.Nishihara，《L^{}》{p} -左\^一维阻尼波方程解的{}{q}估计及其在多孔介质可压缩流动中的应用。J.差异。埃克。191 (2003) 445-469 ·Zbl 1031.35031号 ·doi:10.1016/S0022-0396（03）00026-3 [36] A.Matsumura，关于半线性波动方程解的渐近行为。出版物。Res.Inst.数学。科学。12 (1976) 169-189 ·Zbl 0356.35008号 ·doi:10.2977/prims/1195190962 [37] R.Melrose，声学散射中的奇点和能量衰减。杜克数学。J.46（1979）43-59·Zbl 0415.35050号 ·doi:10.1215/S0012-7094-79-04604-0 [38] K.Mochizuki，耗散项波动方程的散射理论。出版物。Res.Inst.数学。科学。12 (1976) 383-390 ·兹比尔0357.35067 ·doi:10.2977/prims/1195190721 [39] C.S.Morawetz、J.V.Ralston和W.A.Strauss，非撞击障碍物外波动方程解的衰减。Commun公司。纯应用程序。数学。30 (1977) 447-508 ·Zbl 0372.35008号 ·doi:10.1002/cpa.3160300405 [40] E.Mourre，Opérateurs concugueés et propriés de propagation。公共数学。物理学。91（1983）279-300·Zbl 0543.47041号 ·doi:10.1007/BF01211163 [41] T.Narazaki，L^{}{p} -左\^阻尼波方程的{}{q}估计及其在半线性问题中的应用。数学杂志。Soc.Jpn56（2004）585-626·Zbl 1059.35073号 ·doi:10.2969/jmsj/1191418647 [42] K.Nishihara，L^{}{p} -左\^三维阻尼波动方程解的{}{q}估计及其应用。数学。字244（2003）631-649·Zbl 1023.35078号 ·doi:10.1007/s00209-003-0516-0 [43] H.Nishiyama，关于抽象阻尼波动方程解的渐近行为的评论·Zbl 1356.35053号 [44] H.Nishiyama，部分矩形区域上阻尼波方程的多项式衰减。数学。Res.Lett公司。16 (2009) 881-894 ·Zbl 1196.35053号 ·doi:10.41310/MRL.2009.v16.n5.a10 [45] S.Nonnenmacher和M.Zworski，混沌散射中的量子衰减率。学报。数学。203 (2009) ·Zbl 1226.35061号 ·doi:10.1007/s11511-009-0041-z [46] R.Orive、E.Zuazua和A.F.Pazoto，周期系数阻尼波方程的渐近展开。数学。模型方法应用。科学。11 (2001) 1285-1310 ·Zbl 1013.35014号 ·doi:10.1142/S0218205010131 [47] P.Radu、G.Todorova和B.Yordanov，变系数波动方程的衰减估计。事务处理。阿默尔。数学。Soc.362（2010）2279-2299·兹比尔1194.35065 ·doi:10.1090/S0002-9947-09-04742-4 [48] P.Radu、G.Todorova和B.Yordanov，广义扩散现象及其应用。SIAM J.数学。分析。48 (2016) 174-203 ·Zbl 1331.35241号 ·doi:10.1137/15M101525X [49] J.Ralston，局部能量波动方程的解。纯应用程序。数学。22（1969）807-823·Zbl 0209.40402号 ·doi:10.1002/cpa.3160220605 [50] J.Rauch和M.Taylor，有界区域中双曲方程解的指数衰减。印第安纳大学数学。J.24（1974）79-86·Zbl 0281.35012号 ·doi:10.1512/iumj.1975.24.24004 [51] M.Reed和B.Simon，《现代数学方法》。物理。，第四卷，经营者分析。学术出版社（1979） [52] J.Royer，耗散波导中的局部能量衰减和扩散现象。[] ·Zbl 1403.35152号 [53] J.Royer，耗散亥姆霍兹方程的极限吸收原理。Commun公司。第部分。差异Equ。35 (2010) 1458-1489 ·Zbl 1205.35056号 ·doi:10.1080/03605302.2010.490287 [54] J.Royer，非耗散亥姆霍兹方程的一致预解估计。S.M.F.公报142（2014）591-633·兹比尔1315.35064 [55] J.Royer，耗散波导上薛定谔方程的指数衰减。《安娜·亨利·彭加雷》（Ann.Henri Poincaré）16（2015）1807-1836·Zbl 1321.81027号 ·doi:10.1007/s00023-014-0361-1 [56] J.Royer，能量空间中阻尼波动方程的局部衰减。J.数学研究所。Jussieu（2016）。网址：。 [57] J.Royer，Mourre耗散型微扰的交换子方法。《操作员理论》76（2016）351-385·Zbl 1399.47022号 ·doi:10.7900/jot.2015年12月10日089 [58] M.Schechter，关于任意算子的本质谱。I.J.数学。分析。申请。13 (1966) 205-215 ·Zbl 0147.12101号 ·doi:10.1016/0022-247X（66）90085-0 [59] E.Schenck，无几何控制的指数稳定化。数学。Res.Lett公司。18（2011）379-388·Zbl 1244.93144号 ·doi:10.4310/MRL.2011.v18.n2.a14 [60] G.Todorova和B.Yordanov，加权L{}{2} -估计变系数耗散波方程。J.差异。埃克。246 (2009) 4497-4518 ·Zbl 1173.35032号 ·doi:10.1016/j.jde.2009.03.020 [61] Y.Wakasugi，关于具有空间相关阻尼的线性波动方程的扩散现象。J.双曲线差。埃克。11 (2014) 795-819 ·Zbl 1312.35026号 ·doi:10.1142/S0219891614500246 [62] J.Wunsch，周期阻尼给出多项式能量衰减。数学。Res.Lett公司。24 (2017) 571-580 ·Zbl 1391.35067号 ·doi:10.4310/MRL.2017.v24.n2.a15 [63] M.Zworski，《半经典分析》，《数学研究生课程》第138卷。阿默尔。数学·兹比尔1252.58001 ·doi:10.1090/gsm/138 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。