Hesthaven，Jan S。;塞西莉亚·帕格连蒂尼;吉安路易吉·罗扎 时间相关问题的简化基方法。 （英语） Zbl 07674582号 数字学报 31, 265-345 (2022). 参数化微分方程的数值模拟在研究应用科学和工程中的真实现象中至关重要。为了实现精确的数值近似，实时和多查询模拟的计算成本可能非常高。另一种方法是使用模型降阶方法，这将产生高保真代理模型，允许在参数变化下进行快速准确的模拟。这使得模拟复杂问题成为可能。对于非线性时间相关问题，这些方法有许多公开的问题。本文对时间相关问题的归约基方法进行了综述。讨论了三个主要主题。首先，我们讨论旨在保留连续问题关键物理性质的结构-保留降阶模型。然后考虑基于解空间非线性近似的方法，最后考虑数据驱动技术，其中参数空间和系数之间的映射的近似是从数据中学习的。对于每类方法，给出了各种方法，并讨论了这些方法的优缺点。此外，还为所有课程提供了潜在的开放性问题。在介绍之后，描述了参数化偏微分方程。然后给出椭圆问题的约化基方法。本文的主要部分在第4节中给出，其中考虑了时间相关问题的约化基方法。论文的结尾是一个详细的部分，包括结束语和开放性问题。审核人：科内利斯·威克（代尔夫特） 引用于14文件 MSC公司： 65M99型 偏微分方程、初值和含时初边值问题的数值方法 60G55型 点过程（例如，泊松、考克斯、霍克斯过程） 90 C59 数学规划中的近似方法和启发式 68问题32 计算学习理论 68T07型 人工神经网络与深度学习 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算 关键词：缩减基数法;参数化微分方程 软件：t-SNE公司;MCTDH公司;红色工具箱;皇家麻省理工学院 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.S.Hesthaven}等人，《数值学报》31，265--345（2022；Zbl 07674582） 全文： 内政部 参考文献： [1] Ahmed，S.E.，Pawar，S.，San，O.，Rasheed，A.，Iliescu，T.和Noack，B.R.（2021），关于降阶模型的闭包：机器学习途径的第一原理谱，Phys。液体33091301。 [2] Almroth，B.O.，Stern，P.和Brogan，F.A.（1978），结构分析中全局形状函数的自动选择，AIAA J.16，525-528。 [3] Amsallem，D.和Haasdonk，B.（2016），PEBL-ROM：基于投影误差的局部降阶模型，高级模型。模拟。工程科学3，doi:doi:10.1186/s40323-016-0059-7。 [4] Amsallem，D.、Zahr，M.和Farhat，C.（2012），基于局部降阶基的非线性模型降阶，国际。J.数字。方法。工程92，891-916·Zbl 1352.65212号 [5] Arnold，D.N.、Falk，R.S.和Winther，R.（2006），《有限元外部演算、同调技术和应用》，载于《数值学报》第15卷，剑桥大学出版社，第1-155页·Zbl 1185.65204号 [6] Arnol’D，V.I.（1966），《关于理想流体三维稳定流动的拓扑》，J.Appl。数学。机械30，223-226·兹比尔0156.23002 [7] Astrid，P.、Weiland，S.、Willcox，K.和Backx，T.（2008），通过适当正交分解描述的模型中的缺失点估计，IEEE Trans。自动化。控制53，2237-2251·Zbl 1367.93110号 [8] Audouze，C.、De Vuyst，F.和Nair，P.B.（2009），使用时空参数主成分分析对参数化PDE进行降阶建模，国际。J.数字。方法。工程师80，1025-1057·Zbl 1176.76059号 [9] Baesens，B.（2014），《大数据世界中的分析：数据科学及其应用的基本指南》，Wiley and SAS Business Series，Wiley。 [10] Barrault，M.，Maday，Y.，Nguyen，N.C.和Patera，A.T.（2004），“经验插值”方法：应用于偏微分方程的有效降基离散化，C.R.Math。阿卡德。科学。巴黎339，667-672·Zbl 1061.65118号 [11] Barshan，E.、Ghodsi，A.、Azimifar，Z.和Zolghadri Jahromi，M.（2011），《监督主成分分析：子空间和子流形的可视化、分类和回归》，模式识别441357-1371·兹比尔1214.62067 [12] Bashir，O.、Willcox，K.、Ghattas，O.，Van，B.、Waanders，B.和Hill，J.（2008），具有初始条件输入的大型系统基于Hessian的模型简化，国际。J.数字。方法工程73844-868·Zbl 1195.76311号 [13] Beattie，C.和Gugercin，S.（2009），《结构-保护模型简化的内插投影方法》，系统控制快报58225-232·Zbl 1159.93317号 [14] Beattie，C.和Gugercin，S.（2011），非线性端口哈密尔顿系统的结构保持模型简化，2011年第50届IEEE决策与控制会议和欧洲控制会议，第6564-6569页。 [15] Beattie，C.、Gugercin，S.和Mehrmann，V.（2019），端口哈密尔顿微分代数系统的保结构插值模型简化。可从arXiv:1910.05674获得。参加庆祝安托拉斯70岁生日的节日·Zbl 1504.93033号 [16] Beck，M.H.、Jäckle，A.、Worth，G.A.和Meyer，H.D.（2000），《多配置时间相关Hartree（MCTDH）方法：传播波包的高效算法》，Phys。报告324，1-105。 [17] Belkin，M.和Niyogi，P.（2001），嵌入和聚类的拉普拉斯特征映射和光谱技术，《神经信息处理系统进展》14（Dietterich，T.等人，eds），麻省理工学院出版社·兹比尔1085.68119 [18] Benner，P.和Breiten，T.（2012），基于插值\({H} _2\)-双线性控制系统的模型简化，SIAM J.Matrix Ana。申请33859-885·Zbl 1256.93027号 [19] Benner，P.、Gugercin，S.和Willcox，K.（2015），参数动力系统基于投影的模型简化方法综述，SIAM Rev.57，483-531·Zbl 1339.37089号 [20] Berzins，A.、Helmig，J.、Key，F.和Elgeti，S.（2020），使用不同回归模型的标准化非侵入降阶建模，应用于复杂流动问题。网址：arXiv:2006.13706。 [21] Beyn，W.-J.和Thümmler，V.（2004），等变演化方程的冻结解，SIAM J.Appl。动态。系统3，85-116·Zbl 1061.65078号 [22] Bigoni，C.和Hesthaven，J.S.（2020），《基于仿真的异常检测和损伤定位：结构健康监测的应用》，计算。方法应用。机械。工程363112896。 [23] Binev，P.，Cohen，A.，Dahmen，W.，Devore，R.，Petrova，G.和Wojtaszczyk，P.（2011），缩减基方法中贪婪算法的收敛速度，SIAM J.Math。分析431457-1472·Zbl 1229.65193号 [24] Bistrian，D.A.和Navon，I.M.（2016），非侵入降阶建模的随机动态模式分解，国际。J.数字。方法。工程112，3-25。 [25] Bonito，A.、Cohen，A.、Devore，R.、Guignard，D.、Jantsch，P.和Petrova，G.（2021），模型简化的非线性方法，ESAIM数学。模型。数字。分析55507-531·Zbl 1476.41004号 [26] Brand，M.（2006），薄奇异值分解的快速低阶修正，线性代数应用415，20-30·Zbl 1088.65037号 [27] Brunton，S.L.、Noack，B.R.和Koumoutsakos，P.（2020），《流体力学的机器学习》，年。《流体力学评论》52，477-508·Zbl 1439.76138号 [28] Brunton，S.L.、Proctor，J.L.和Kutz，J.N.（2016），通过非线性动力系统的稀疏识别从数据中发现控制方程，Proc。国家。阿卡德。科学。美国113，3932-3937·Zbl 1355.94013号 [29] Buchfink，P.、Bhatt，A.和Haasdonk，B.（2019年），非正交基辛模型降阶，数学。计算。申请24、43。 [30] Buffa，A.、Maday，Y.、Patera，A.T.、C.Prud'homme和G.Turinici（2012），参数化约化基方法贪婪算法的先验收敛，ESAIM Math。模型。数字。分析46595-603·Zbl 1272.65084号 [31] Buhmann，M.和Dyn，N.（1993），多重二次插值的谱收敛，Proc。爱丁堡。数学。Soc.36319-333·Zbl 0791.41002号 [32] Bui-Thanh，T.、Damodaran，M.和Willcox，K.（2003），可压缩空气动力学参数应用的适当正交分解扩展，第21届应用空气动力学会议。AIAA论文2003-4233。 [33] Bui Thanh，T.，Willcox，K.，Ghattas，O.和Van Bloemen-Waanders，B.（2007），面向目标的、模型约束的大规模系统约简优化，J.Comput。物理学224，880-896·Zbl 1123.65081号 [34] Cagniart，N.、Maday，Y.和Stamm，B.（2019），大对流效应问题的模型降阶，《对偏微分方程和应用的贡献》（Chetverushkin，B.等人，eds），《应用科学计算方法》第47卷，斯普林格出版社，第131-150页·Zbl 1416.35021号 [35] Carlberg，K.（2015），《降阶模型的自适应（h）-改进》，国际。J.数字。方法工程102，1192-1210·Zbl 1352.65136号 [36] Carlberg，K.，Choi，Y.和Sargsyan，S.（2018），有限体积模型的保守模型简化，J.Compute。物理371、280-314·Zbl 1415.65208号 [37] Carlberg，K.，Farhat，C.，Cortial，J.和Amsallem，D.（2013），《非线性模型简化的GNAT方法：计算流体动力学和湍流的有效实施和应用》，J.Compute。物理242、623-647·Zbl 1299.76180号 [38] Carlberg，K.、Guzzetti，S.、Khalil，M.和Sargsyan，K.（2019年），基于组件系统中传播不确定性的网络不确定性量化方法。可从arXiv获取：1908.11476。 [39] Carlberg，K.，Tuminaro，R.和Boggs，P.（2015），《在非线性模型简化中保留拉格朗日结构并应用于结构动力学》，SIAM J.Sci。计算37，B153-B184·兹比尔1320.65193 [40] Chaturantabut，S.和Sorensen，D.C.（2010），通过离散经验插值进行非线性模型简化，SIAM J.Sci。计算322737-2764·Zbl 1217.65169号 [41] Chaturantabut，S.、Beattie，C.和Gugercin，S.（2016），非线性端口哈密尔顿系统的结构保持模型简化，SIAM J.Sci。计算结果38，B837-B865·Zbl 1376.37120号 [42] Chen，K.K.，Tu，J.H.和Rowley，C.W.（2012），动态模式分解的变量：边界条件，Koopman和Fourier分析，J.Nonlin。科学22，887-915·Zbl 1259.35009号 [43] Chen，W.，Hesthaven，J.S.，Junqiang，B.，Qiu，Y.，Yang，Z.和Tihao，Y.（2018），流体动力学贪婪非侵入降阶模型，AIAA J.564927-4943。 [44] Chen，Y.，Hesthaven，J.S.，Maday，Y.和Rodríguez，J.（2009），基于后验误差估计的改进逐次约束方法，用于2D Maxwell问题的简化基近似，ESAIM Math。模型。数字。分析431099-1116·Zbl 1181.78019号 [45] Chen，Y.，Hesthaven，J.S.，Maday，Y.和Rodríguez，J.（2010），经认证的简谐麦克斯韦方程的缩减基方法和输出界限，SIAM J.Sci。计算32970-996·Zbl 1213.78011号 [46] Christensen，E.A.、Bröns，M.和Sörensen，J.N.（1999），应用于参数相关非湍流的适当正交分解分解技术的评估，SIAM J.Sci。计算结果211419-1434·Zbl 0959.35018号 [47] Christiansen，S.H.、Munthe-Kaas，H.Z.和Owren，B.（2011），《结构-保留离散化主题》，《数值学报》第20卷，剑桥大学出版社，第1-119页·Zbl 1233.65087号 [48] （2019），思科视觉网络指数：2017-2022年全球移动数据流量预测更新。 [49] Constantine，P.G.，Dow，E.和Wang，Q.（2014），理论和实践中的主动子空间方法：克里格曲面的应用，SIAM J.Sci。计算·Zbl 1464.62049号 [50] ötefnescu，R.，Sandu，A.和Navon，I.M.（2014），非线性2D浅水方程POD降阶策略的比较，国际。J.数字。方法液体76，497-521。 [51] Cuong，N.N.，Veroy，K.和Patera，A.T.（2005），参数化偏微分方程的认证实时解，《材料建模手册》（Yip，S.，ed.），Springer，第1529-1564页。 [52] Cybenko，G.（1989），σ函数叠加逼近，数学。控制信号系统2，303-314·Zbl 0679.94019号 [53] Darboux，G.（1882），《普法夫问题研究》，《数学与天文学科学公报》6，14-36。 [54] Demo，N.、Tezzele，M.和Rozza，G.（2019），通过有源子空间重建POD模态系数的非侵入方法，Comptes-Rendus Mécanique347873-881。 [55] Devore，R.A.（2017），《简化基方法的理论基础》，载于《模型简化和近似：理论和算法》，SIAM，第3章，第137-168页。 [56] Devore，R.A.、Petrova，G.和Wojtaszczyk，P.（2013），巴拿赫空间中约化基的贪婪算法，Constr。约37455-466·Zbl 1276.41021号 [57] Dewdney，P.E.，Hall，P.J.，Schilizzi，R.T.和Lazio，T.J.L.W.（2009），平方公里阵列，Proc。IEEE97，1482-1496。 [58] Dirac，P.A.M.（1930），《托马斯原子中交换现象的注释》，数学。程序。剑桥菲洛斯。第26页，第376-385页。 [59] Disacciati，N.和Hesthaven，J.S.（2021），使用模型降阶对全局耦合振荡系统的同步建模，混沌31，053127·Zbl 1462.34079号 [60] Dupuis，R.、Jouhaud，J.-C.和Sagaut，P.（2018），使用机器学习的多工况空气动力学仿真的替代建模，AIAA J.56，3622-3635。 [61] Eftang，J.、Patera，A.和Rönquist，E.（2010），参数化椭圆偏微分方程的“hp”认证简化基方法，SIAM。科学杂志。计算323170-3200·Zbl 1228.35097号 [62] Ehrlacher，V.，Lombardi，D.，Mula，O.和Vialard，F.-X.（2020），度量空间上的非线性模型约简：在Wasserstein空间中应用一维保守偏微分方程，ESAIM数学。模型。数字。分析542159-2197·Zbl 1476.65267号 [63] Eldred，M.和Dunlavy，D.（2006），《利用数据拟合、多重性和降阶模型进行基于代理的优化的公式》，载于第11届AIAA/ISSMO多学科分析与优化会议，第1-20页。AIAA论文2006-7117。 [64] Farhat，C.、Chapman，T.和Avery，P.（2015），非线性有限元动力模型超简化节能采样和加权方法的结构保持、稳定性和准确性，国际。J.数字。方法工程102，1077-1110·Zbl 1352.74349号 [65] Feppon，F.和Lermusiaux，P.F.J.（2018），动力学模型降阶的几何方法，SIAM J.矩阵分析。申请39510-538·兹比尔1395.65111 [66] Figotin，A.和Schenker，J.H.（2007），色散和耗散动力系统的哈密顿结构，J.Statist。物理128，969-1056·兹比尔1128.82012 [67] Fink，J.P.和Rheinboldt，W.C.（1983），关于非线性有限元近似的简化基技术的误差行为，Z.Angew。数学。机械部分63，21-28·Zbl 0533.73071号 [68] Fink，J.P.和Rheinboldt，W.C.（1984），参数化方程的解流形和子流形及其离散化误差，数值。数学45，323-343·Zbl 0555.65034号 [69] Fox，R.L.和Miura，H.（1971），设计计算的近似分析技术，AIAA J.9，177-179。 [70] Fresca，S.和Manzoni，A.（2022），POD-DL-ROM：通过适当的正交分解增强基于深度学习的非线性参数化偏微分方程降阶模型，计算。方法应用。机械。工程388114181·Zbl 1507.65181号 [71] Freund，R.W.（2003），基于Krylov子空间的模型简化方法，《数值学报》，第12卷，剑桥大学出版社，第267-319页·Zbl 1046.65021号 [72] Ganesh，M.、Hesthaven，J.S.和Stamm，B.（2012），三维多粒子电磁散射的简化基础方法，J.Compute。物理231、7756-7779·Zbl 1254.78012号 [73] Gao，Z.，Liu，Q.，Hesthaven，J.S.，Wang，B.-S.，Don，W.S.和Wen，X.（2021），使用人工神经网络对对流主导流进行非侵入式降阶建模，应用于Rayleigh-Taylor不稳定性，Commun。计算。物理学30，97-123·兹比尔1528.65070 [74] Gerbeau，J.-F.和Lombardi，D.（2014），非线性发展方程降阶积分的近似Lax对，J.Compute。物理学265，246-269·Zbl 1349.65548号 [75] Gong，Y.，Wang，Q.和Wang，Z.（2017），哈密顿系统的保结构Galerkin POD降阶建模，计算。方法应用。机械。工程315780-798·Zbl 1439.37083号 [76] Goodfellow，I.、Bengio，Y.和Courville，A.（2016），《深度学习》，麻省理工学院出版社·Zbl 1373.68009号 [77] Gouasmi，A.、Parish，E.和Duraisamy，K.（2017），使用Mori-Zwanzig形式主义对非线性系统降阶建模中记忆效应的先验估计，Proc。皇家社会期刊A47320170385·Zbl 1402.76065号 [78] Grepl，M.A.和Patera，A.T.（2005），参数化抛物型偏微分方程降基近似的后验误差界，ESAIM Math。模型。数字。分析39157-181·Zbl 1079.65096号 [79] Grepl，M.A.、Maday，Y.、Nguyen，N.C.和Patera，A.T.（2007），非仿射和非线性偏微分方程的高效约化基处理，M2AN数学。模型。数字。分析41575-605·Zbl 1142.65078号 [80] Gugercin，S.、Polyuga，R.V.、Beattie，C.和Van Der Schaft，A.（2012），用于端口哈密尔顿系统模型简化的保结构切向插值，Automatica J.IFAC481963-1974·Zbl 1257.93021号 [81] Gunzburger，M.D.（1989），《粘性不可压缩流的有限元方法：理论、实践和算法指南》，计算机科学和科学计算，学术出版社·兹伯利0697.76031 [82] Gunzburg，M.D.、Peterson，J.S.和Shadid，J.N.（2007），边界数据中具有多个参数的时间相关偏微分方程的降阶建模，Comput。方法应用。机械。工程196，1030-1047·Zbl 1121.65354号 [83] Guo，M.和Hesthaven，J.S.（2018），使用高斯过程回归进行非线性结构分析的降阶建模，计算。方法应用。机械。工程341，807-826·Zbl 1440.65206号 [84] Guo，M.和Hesthaven，J.S.（2019），时间相关问题的数据驱动降阶建模，计算。方法应用。机械。工程345，75-99·Zbl 1440.62346号 [85] Gupta，A.和Lermusiaux，P.F.J.（2021），动力系统的神经闭合模型，Proc。R.Soc.A.4772020104。 [86] Haasdonk，B.（2013），POD-贪婪方法的收敛速度，ESAIM数学。模型。数字。分析47859-873·Zbl 1277.65074号 [87] Haasdonk，B.和Ohlberger，M.（2008），参数化线性发展方程有限体积近似的简化基方法，M2AN数学。模型。数字。分析42277-302·Zbl 1388.76177号 [88] Haasdonk，B.，Dihlmann，M.和Ohlberger，M.（2011），参数空间中基于自适应网格的参数化模型约简的训练集和多基生成方法，数学。计算。模型。动态。系统17，423-442·Zbl 1302.65221号 [89] Hairer，E.、Lubich，C.和Wanner，G.（2006），《几何-数值积分：常微分方程的结构保持算法》，计算数学中的Springer系列第31卷，第二版，Springer·Zbl 1094.65125号 [90] Hess，M.、Alla，A.、Quaini，A.、Rozza，G.和Gunzburger，M.（2019），具有分叉解的偏微分方程的局部降阶建模方法，计算。方法应用。机械。工程351、379-403·Zbl 1441.65082号 [91] Hesthaven，J.S.和Pagliantini，C.（2021），泊松系统的结构保持约化基方法，数学。组件901701-1740·Zbl 1465.37095号 [92] Hesthaven，J.S.和Ubbiali，S.（2018），使用神经网络对非线性问题进行非侵入式降阶建模，J.Compute。物理363，55-78·Zbl 1398.65330号 [93] Hesthaven，J.S.，Pagliantini，C.和Ripamonti，N.（2022），哈密顿系统的秩自适应结构-保护模型降阶，ESAIM数学。模型。数字。分析5617-650·Zbl 1492.37073号 [94] Hesthaven，J.S.、Rozza，G.和Stamm，B.（2015），参数化偏微分方程的认证简化基方法，Springer数学简介，Springer·Zbl 1329.65203号 [95] Hesthaven，J.S.、Stamm，B.和Zhang，S.（2014），高维参数空间的高效贪婪算法及其在经验插值和约化基方法中的应用，ESAIM Math。模型。数字。分析48，259-283·Zbl 1292.41001号 [96] Hijazi，S.，Stable，G.，Mola，A.和Rozza，G.（2020），湍流的数据驱动POD Galerkin降阶模型，J.Comput。物理416、109513·Zbl 1437.76015号 [97] Himpe，C.和Ohlberger，M.（2015），反问题的数据驱动组合状态和参数简化，高级计算。数学41，1343-1364·Zbl 1327.37025号 [98] Hiptmair，R.（2002），计算电磁学中的有限元，《数值学报》，第11卷，剑桥大学出版社，第237-339页·Zbl 1123.78320号 [99] Hotelling，H.（1933），将复杂的统计变量分析为主成分，24417-441。 [100] Huynh，D.B.P.、Knezevic，D.J.和Patera，A.T.（2011），拉普拉斯变换认证的约化基方法：热方程和波动方程的应用，C.R.Acad。科学。Ser.巴黎。I349、401-405·Zbl 1215.65156号 [101] Iollo，A.和Lombardi，D.（2014），最佳质量传递的平流模式，物理。版本E89022923。 [102] Ionescu，T.C.和Astolfi，A.（2013），非线性端口哈密顿量和梯度系统的矩匹配，IFAC会议录第46卷，395-399。 [103] Ionescu，T.C.、Fujimoto，K.和Scherpen，J.M.A.（2010），非线性系统的耗散保持平衡：Hankel算子方法，系统控制快报59180-194·Zbl 1223.93024号 [104] Iserles，A.，Munthe Kaas，H.Z.，Nørsett，S.P.和Zanna，A.（2000），李群方法，《数值学报》第9卷，剑桥大学出版社，第215-365页·Zbl 1064.65147号 [105] Jolliffe，I.T.（1986），主成分分析，统计学中的Springer级数，Springer·Zbl 1011.62064号 [106] Karasözen，B.和Uzunca，M.（2018），非线性薛定谔方程的能量守恒模型降阶，高级计算。数学441769-1796·Zbl 1404.65310号 [107] Karasözen，B.，Yöld-z，S.和Uzunca，M.（2021），浅水方程的结构保持模型降阶，数学。方法应用。科学44，476-492·Zbl 1484.65181号 [108] Karhunen，K.（1947年），《安娜·阿卡德的Wahrscheinlichkeitsrechnung的U.ber lineare Methoden》。科学。芬恩。序列号。A.I.数学-《物理学》1947，79·Zbl 0030.16502号 [109] Koch，O.和Lubich，C.（2007），《动力学低阶近似》，SIAM J.矩阵分析。申请29434-454·Zbl 1145.65031号 [110] Kostant，B.（1979），广义Toda格和表示理论的解，高等数学34，195-338·Zbl 0433.22008号 [111] Kramer，B.和Willcox，K.E.（2019），通过提升变换和适当正交分解降低非线性模型阶数，AIAA J.572297-2307。 [112] Kunisch，K.和Volkwein，S.（2002），流体动力学中一般方程的Galerkin固有正交分解方法，SIAM J.Numer。分析.40492-515·兹比尔1075.65118 [113] Kutyniok，G.，Petersen，P.，Raslan，M.和Schneider，R.（2022），深度神经网络和参数PDE的理论分析，Constr。约5573-125·Zbl 07493717号 [114] Kutz，J.N.、Brunton，S.L.、Brunton，B.W.和Proctor，J.L.（2016a），《动态模式分解：复杂系统的数据驱动建模》，SIAM·兹比尔1365.65009 [115] Kutz，J.N.，Fu，X.和Brunton，S.L.（2016b），多分辨率动态模式分解，SIAM J.Appl。动态。系统15，713-735·Zbl 1338.37121号 [116] Lafon，S.和Lee，A.B.（2006），扩散图和粗粒度：降维、图分区和数据集参数化的统一框架，IEEE Trans。模式分析。机器。国际，第28卷，第1393-1403页。 [117] Lall，S.、Krysl，P.和Marsden，J.E.（2003），机械系统的结构保持模型简化，物理。D184304-318·Zbl 1041.70011号 [118] Lanczos，C.（1949年），《力学的变分原理》，多伦多大学出版社数学展览第4卷·Zbl 0037.39901号 [119] Lazzaro，D.和Montefusco，L.B.（2002），大型分散数据集的多元插值的径向基函数，J.Comput。申请。数学140，521-536·Zbl 1025.65015号 [120] Lee，K.和Carlberg，K.T.（2020），使用深度卷积自编码器对非线性流形上的动力学系统进行模型简化，J.Compute。物理404108973·Zbl 1454.65184号 [121] Lee，Y.，Yang，H.和Yin，Z.（2017），PIV-DCNN:粒子图像测速的级联深度卷积神经网络，实验流体58，171。 [122] Legresley，P.A.和Alonso，J.J.（2000），《基于适当正交分解的降阶模型的翼型设计优化》，载于《流体2000年会议和展览》，美国航空航天局论文2000-2545。 [123] Leimkuhler，B.和Reich，S.（2004），《模拟哈密顿动力学》，剑桥应用和计算数学专著第14卷，剑桥大学出版社·Zbl 1069.65139号 [124] Li，K.-C.（1991），降维切片逆回归，J.Amer。统计师。协会86316-327·Zbl 0742.62044号 [125] Lieberman，C.、Willcox，K.和Ghattas，O.（2010），大规模统计逆问题的参数和状态模型简化，SIAM J.Sci。计算322523-2542·Zbl 1217.65123号 [126] Loève，M.（1955），《概率论：基础，随机序列》，Van Nostrand·Zbl 0066.10903号 [127] Lubich，C.（2008），《从量子到经典分子动力学：简化模型和数值分析》，《苏黎世高等数学讲座》，欧洲数学学会·Zbl 1160.81001号 [128] Maboudi Afkham，B.和Hesthaven，J.S.（2017），参数哈密顿系统的结构保持模型简化，SIAM J.Sci。计算39，A2616-A2644·兹比尔1379.78019 [129] Maboudi Afkham，B.和Hesthaven，J.S.（2019），耗散哈密顿系统的结构保持模型还原，科学杂志。计算81，3-21·Zbl 1433.37074号 [130] Maboudi Afkham，B.、Ripamonti，N.、Wang，Q.和Hesthaven，J.S.（2020），流体流动的保守模型降阶，《不确定性的量化：提高效率和技术》（D'Elia，M.等人，编辑），计算科学与工程讲义第137卷，施普林格，第67-99页·Zbl 1455.62226号 [131] Macqueen，J.（1967），《多元观测分类和分析的一些方法》，载于《第五届伯克利数理统计与概率研讨会论文集》，第1卷，统计理论（Lecam，L.和Neyman，J.编辑），加利福尼亚大学出版社，第281-297页·Zbl 0214.46201号 [132] Maday，Y.和Stamm，B.（2013），各向异性参数缩减基空间的局部自适应贪婪近似，SIAM J.Sci。计算35，A2417-A2441·Zbl 1285.65009号 [133] Marsden，J.E.和Ratiu，T.S.（1999），《力学与对称导论：经典机械系统的基本阐述》，应用数学教材第17卷，第二版，斯普林格出版社·Zbl 0933.70003号 [134] Marsden，J.E.，Weinstein，A.，Ratiu，T.，Schmid，R.和Spencer，R.G.（1983年），具有对称性的哈密顿系统，共伴轨道和等离子体物理，Atti Accad。科学。都灵Cl.Sci。财务。材料自然117，289-340·Zbl 0577.58013号 [135] Masci，J.、Meier，U.、Cirešan，D.和Schmidhuber，J.（2011），用于分层特征提取的叠加卷积自动编码器，收录于《人工神经网络和机器学习》（ICANN 2011）（Honkela，T.等人，eds），Springer，第52-59页。 [136] Miura，R.M.、Gardner，C.S.和Kruskal，M.D.（1968），Korteweg-de-Vries方程及其推广，II：守恒定律和运动常数的存在性，数学杂志。物理9，1204-1209·Zbl 0283.35019号 [137] Miyatake，Y.（2019），具有第一积分的动力系统的结构保持模型简化，日本。J.Ind.申请。数学361021-1037·Zbl 1427.65408号 [138] Mojgani，R.和Balajewicz，M.（2017），对流主导非线性流降维的拉格朗日基方法。可从arXiv:1701.04343获取。 [139] Montáns，F.J.、Chinesta，F.、Gómez-Bombarelli，R.和Kutz，J.N.（2019），《科学与工程中的数据驱动建模和学习》，Comptes Rendus Mécanique347845-855。 [140] Morrison，P.J.（1980），作为连续哈密顿系统的Maxwell-Vlasov方程，Phys。莱特。A80，383-386。 [141] Musharbash，E.和Nobile，F.（2017），随机参数波动方程的辛动力学低阶近似。技术报告2017年18月18日，EPFL-SB-数学研究所-数学·Zbl 1479.65009号 [142] Musharbash，E.、Nobile，F.和Zhou，T.（2015），时间相关随机偏微分方程动态正交近似的误差分析，SIAM J.Sci。计算37，A776-A810·Zbl 1320.65149号 [143] Neal，R.M.（1996），《无限网络的先验》，载于《神经网络的贝叶斯学习》，《统计学讲义》第118卷，施普林格出版社，第29-53页·Zbl 0888.62021号 [144] Nguyen，N.C.和Peraire，J.（2016），输出预测的高斯函数回归：模型同化和实验设计，J.Comput。物理309，52-68·Zbl 1351.62094号 [145] Nguyen，N.-C.，Rozza，G.和Patera，A.T.（2009），含时粘性Burgers方程的简化基近似和后验误差估计，Calcolo46，157-185·Zbl 1178.65109号 [146] Noether，E.（1918），不变变量问题，Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen，Mathematisch-Physikalische Klasse1918，235-257。 [147] Noor，A.K.（1981），《非线性问题简化方法的最新进展》，《计算机与结构》13，31-44·Zbl 0455.73080号 [148] Noor，A.K.（1982），《关于使大型非线性问题变小》，《计算》。方法应用。机械。工程34955-985·Zbl 0478.65031号 [149] Noor，A.K.和Peters，J.M.（1980），结构非线性分析的简化基础技术，AIAA J.18，455-462。 [150] Noor，A.K.、Balch，C.D.和Shibut，M.A.（1984），非线性稳态热分析的简化方法，国际。J.数字。方法工程20，1323-1348·Zbl 0557.65076号 [151] Novati，G.、Mahadevan，L.和Koumoutsakos，P.（2019年），《通过深度信息学习控制滑翔和栖息》，Phys。修订版流体493902。 [152] Ohlberger，M.和Rave，S.（2013），通过冻结方法对参数化演化方程进行非线性约化基近似，C.R.Math。阿卡德。科学。教区351901-906·Zbl 1281.65117号 [153] Ortali，G.、Demo，N.和Rozza，G.（2022），流体动力学工程问题数据驱动POD框架内的高斯过程回归方法，数学。工程4，1·Zbl 1500.76072号 [154] Pagliantini，C.（2021），哈密顿系统的动力学约化基方法，数值。数学148409-448·Zbl 1471.65217号 [155] Park，K.H.、Jun，S.O.、Baek，S.M.、Cho，M.H.、Yee，K.J.和Lee，D.H.（2013），用于空气结构设计优化的人工神经网络降阶模型，J.Aircraft 501106-1116。 [156] Patera，A.T.和Rozza，G.（2007），参数化偏微分方程的简化基近似和后验误差估计，MIT-Papalardo机械工程研究生专著，麻省理工学院。 [157] Peherstorfer，B.和Willcox，K.（2015a），动态数据驱动的降阶模型，计算。方法应用。机械。Engrg291，21-41·Zbl 1425.65205号 [158] Peherstorfer，B.和Willcox，K.（2015b），通过低阶更新对非线性系统进行在线自适应模型简化，SIAM J.Sci。计算37，A2123-A2150·Zbl 1323.65102号 [159] Peherstorfer，B.和Willcox，K.（2016a），基于非侵入投影的模型简化的数据驱动算子推断，计算。方法应用。机械。Engrg306196-215·Zbl 1436.93062号 [160] Peherstorfer，B.和Willcox，K.（2016b），《动态数据驱动模型简化：从不完整数据中调整简化模型》，高级模型。模拟。工程师科学3，11·兹比尔1436.93062 [161] Peherstorfer，B.、Butnaru，D.、Willcox，K.和Bungartz，H.-J.（2014），局部离散经验插值法，SIAM J.Sci。计算36，A168-A192·Zbl 1290.65080号 [162] Peng，L.和Mohseni，K.（2016a），强迫和耗散哈密顿系统的几何模型简化，2016年IEEE第55届决策与控制会议（CDC），IEEE，第7465-7470页。 [163] Peng，L.和Mohseni，K.（2016b），哈密顿系统的辛模型约简，SIAM J.Sci。计算38，A1-A27·Zbl 1330.65193号 [164] Peterson，J.S.（1989），《不可压缩粘性流计算的简化基础方法》，SIAM J.Sci。统计师。计算结果107777-786·Zbl 0672.76034号 [165] Pichi，F.、Ballarin，F、Rozza，G.和Hesthaven，J.S.（2021），计算流体动力学中分岔现象的人工神经网络方法。可从arXiv:2109.10765获取。 [166] Polyuga，R.V.和Van Der Schaft，A.（2010），通过无穷远处的矩匹配对端口哈密顿系统进行结构保持模型简化，AutomaticaJ。IFAC46，665-672·Zbl 1193.93085号 [167] Polyuga，R.V.和Van Der Schaft，A.（2011），port-Hamiltonian系统的结构保持力矩匹配：Arnoldi和Lanczos，IEEE Trans。自动化。控制561458-1462·兹比尔1368.93076 [168] Porsching，T.A.和Lee，M.L.（1987），初值问题的简化基方法，SIAM J.Numer。分析241277-1287·Zbl 0639.65039号 [169] Prud’Homme，C.、Rovas，D.V.、Veroy，K.、Machels，L.、Maday，Y.、Patera，A.T.和Turinici，G.（2002），参数化偏微分方程的可靠实时解：缩减基输出界方法，J.Fluids Enrg124，70-80。 [170] Quarteroni，A.、Manzoni，A.和Negri，F.（2016），偏微分方程的简化基方法，Springer·Zbl 1337.65113号 [171] Quarteroni，A.、Rozza，G.和Manzoni，A.（2011年），参数化PDE和应用的认证约化基近似，《数学工业杂志》1，3·兹比尔1273.65148 [172] Raissi，M.、Perdikaris，P.和Karniadakis，G.E.（2019），《基于物理的神经网络：用于解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架》，J.Compute。物理378、686-707·Zbl 1415.68175号 [173] Rasmussen，C.E.和Williams，C.K.I.（2005），机器学习的高斯过程，自适应计算和机器学习，麻省理工学院出版社。 [174] Ravindran，S.S.（2000），使用适当正交分解优化流体控制的降阶方法，国际。J.数字。方法流体34，425-448·Zbl 1005.76020号 [175] Reis，T.和Stykel，T.（2008），耦合系统模型降阶综述，《模型降阶：理论、研究方向和应用》，工业数学第13卷，Springer，第133-155页·Zbl 1154.93013号 [176] Reiss，J.，Schulze，P.，Sesterhenn，J.和Mehrmann，V.（2018），移位本征正交分解：多重输运现象的模式分解，SIAM J.Sci。计算40，A1322-A1344·Zbl 1446.65212号 [177] Rewienski，M.（2003），非线性动力系统模型降阶的轨迹分段线性方法。麻省理工学院博士论文。 [178] Rim，D.，Moe，S.和Leveque，R.J.（2018），双曲偏微分方程模型简化的输运反转，SIAM/ASA J.不确定。数量6，118-150·Zbl 1398.65084号 [179] Rosenblatt，F.（1958），《感知器：大脑中信息存储和组织的概率模型》，《心理学》。版次656386-408。 [180] Rowley，C.W.和Marsden，J.E.（2000），对称系统的重构方程和Karhunen-Loève展开，Phys。D142，1-19·Zbl 0954.35144号 [181] Rowley，C.W.，Kevrekidis，I.G.，Marsden，J.E.和Lust，K.（2003），自相似动力系统的简化和重构，非线性16，1257-1275·Zbl 1066.37036号 [182] Rozza，G.（2005），具有后验误差界和自适应性的子域中椭圆方程的简化基方法，应用。数字。数学55403-424·Zbl 1112.65122号 [183] Rozza，G.（2014），参数化偏微分方程和应用所控制问题的简化基方法基础，《分离表示和基于PGD的模型简化：基础和应用》（Chinesta，F.和Ladevèze，P.编辑），CISM国际机械科学中心第554卷，斯普林格，第153-227页·Zbl 1312.93027号 [184] Rozza，G.，Huynh，D.B.P.和Patera，A.T.（2008），仿射参数化椭圆强迫偏微分方程的简化基近似和后验误差估计：在输运和连续介质力学中的应用，Arch。计算。方法工程15，229-275·兹比尔1304.65251 [185] Rozza，G.、Huynh，D.B.P.、Nguyen，N.C.和Patera，A.T.（2009），《传热现象的实时可靠模拟》，摘自与InterPACK09和第三届能源可持续性会议同期举行的ASME 2009传热夏季会议，美国机械工程师学会，第851-860页。 [186] Rozza，G.，Malik，H.，Demo，N.，Tezzele，M.，Girfoglio，M.、Stabile，G.和Mola，A.（2018），计算流体动力学参数工业问题降阶方法的进展，载于ECCOMAS ECFD 7：第六届欧洲计算力学会议论文集（ECCM 6）和第七届欧洲计算流体动力学会议（ECFD 7）（Owen，R.等人，eds），第59-76页。 [187] Rumelhart，D.E.、Hinton，G.E.和Williams，R.J.（1986），通过反向传播错误学习表征，《自然》323536·Zbl 1369.68284号 [188] Ryckelynck，D.（2009），涉及内部变量的力学模型的超简化，国际。J.数字。方法工程77，75-89·Zbl 1195.74299号 [189] Salam，A.（2005），关于辛Gram-Schmidt-like算法的理论和数值方面，Numer。算法39，437-462·Zbl 1111.65038号 [190] Sammon，J.W.（1969），数据结构分析的非线性映射，IEEE Trans。计算。C-18、401-409。 [191] Sanderse，B.（2020），《采用节能有限体积法的不可压缩流的非线性稳定降阶模型》，J.Compute。物理421、109736·Zbl 07508361号 [192] Sanz-Serna，J.M.和Calvo，M.P.（1994），《数值哈密顿问题》，《应用数学和数学计算》第7卷，查普曼和霍尔出版社·Zbl 0816.65042号 [193] Sapsis，T.P.和Lermusiaux，P.F.J.（2009），连续随机动力系统的动力正交场方程，Phys。D2382347-2360·兹比尔1180.37119 [194] Schein，A.，Carlberg，K.T.和Zahr，M.J.（2021），通过约束优化投影在动力系统模型约简中保持一般物理性质，国际。J.数字。方法。Engrg122、3368-3399。 [195] Schmid，P.J.（2010），数值和实验数据的动态模式分解，《流体力学杂志》656，5-28·Zbl 1197.76091号 [196] Schölkopf，B.，Smola，A.和Müller，K.-R（1997），人工神经网络（ICANN’97）中的核主成分分析（Gerstner，W.et al.，eds），Springer，第583-588页。 [197] Semeraro，O.、Bellani，G.和Lundell，F.（2012），使用POD和Koopman模式对受限湍流射流进行时间分辨PIV测量的分析，实验流体53，1203-1220。 [198] Sesterhenn，J.和Shahirpour，A.（2019），《特征动态模式分解》，理论。计算。流体动力学33，281-305。 [199] Shashkov，M.（1996），一般网格上的保守有限差分方法，符号和数值计算系列，CRC出版社·Zbl 0844.65067号 [200] Stegeman，P.，Ooi，A.和Soria，J.（2015），《不同喷嘴压力比的欠膨胀自由射流的正确正交分解和动态模式分解》，载于《大规模分离流的不稳定性和控制》（Theofilis，V.和Soria.，J.编辑），《流体力学及其应用》第107卷，Springer，第85-90页。 [201] Taddei，T.（2020），《模型降阶的注册方法：数据压缩和几何降阶》，SIAM J.Sci。计算42，A997-A1027·Zbl 1439.65196号 [202] Tenenbaum，J.B.、De Silva，V.和Langford，J.C.（2000），《非线性降维的全球几何框架》，科学290，2319-2323。 [203] Tezzele，M.、Ballarin，F.和Rozza，G.（2018a），《利用活动子空间和POD-Galerkin方法对心血管问题进行参数和模型联合简化》，《心血管系统数学和数值建模及应用》，SEMA SIMAI Springer系列，Springer，第185-207页。 [204] Tezzele，M.，Demo，N.，Gadalla，M.，Mola，A.和Rozza，G.（2018b），《通过主动子空间和动态模式分解实现参数船体形状设计流体动力学的模型降阶》，载于《未来船舶的技术与科学：2018年NAV会议录：第19届国际船舶与海事研究会议》，IOS出版社，第569-576页。 [205] Uzunca，M.、Karasözen，B.和Yöldñz，S.（2021），Korteweg-de-Vries方程的保结构降阶建模，数学。计算。模拟188193-211·Zbl 07428995号 [206] Van Der Maaten，L.和Hinton，G.（2008），使用t-SNE可视化数据，J.Mach。学习研究9，2579-2605·Zbl 1225.68219号 [207] Van Der Schaft，A.（2006），《Port-Hamiltonian系统：介绍性调查》，载于2006年国际数学家大会，欧洲数学学会，第1339-1365页·Zbl 1108.93012号 [208] Veroy，K.，Prud'Homme，C.，Rovas，D.V.和Patera，A.T.（2003），参数化非强制和非线性椭圆偏微分方程的降基近似的后验误差界，载于第16届AIAA计算流体动力学会议论文集。AIAA论文2003-3847。 [209] Walton，S.、Hassan，O.和Morgan，K.（2013），使用适当的正交分解和径向基函数对非定常流体流动进行降阶建模，应用。数学。型号37，8930-8945·Zbl 1426.76576号 [210] Wang，Q.，Hesthaven，J.S.和Ray，D.（2019），使用人工神经网络对非定常流动进行非侵入降阶建模，并应用于燃烧问题，J.Compute。物理384，289-307·Zbl 1459.76117号 [211] Wang，Q.，Ripamonti，N.和Hesthaven，J.S.（2020），基于Mori-Zwanzig形式的参数POD-Galerkin降阶模型的递归神经网络闭合，J.Compute。物理410、109402·Zbl 1436.65093号 [212] Wang，Y.，Yao，H.和Zhao，S.（2016），基于自动编码器的降维，神经计算机184232-242。 [213] Weickum，G.，Eldred，M.S.和Maute，K.（2008），瞬态结构动力学的多点降阶建模方法及其在鲁棒设计优化中的应用，Struct。多磁盘。最佳38、599。 [214] Weinberger，K.Q.，Sha，F.和Saul，L.K.（2004），《学习非线性降维的核矩阵》，载于《第二十届第一届国际机器学习会议论文集》（ICML'04），计算机协会，第106页。 [215] Welper，G.（2017），通过转换快照插值参数相关跳跃函数，SIAM J.Sci。计算39，A1225-A1250·Zbl 1370.41050号 [216] Willcox，K.和Peraire，J.（2002），通过适当的正交分解进行平衡模型简化，AIAA J.402323-2330。 [217] Wirtz，D.、Sorensen，D.C.和Haasdonk，B.（2014），DEIM简化非线性动力系统的后验误差估计，SIAM J.Sci。计算结果36，A311-A338·Zbl 1312.65127号 [218] Wolf，T.，Lohmann，B.，Eid，R.和Kotyczka，P.（2010），使用Krylov子空间的线性端口哈密顿系统的无源性和结构保持降阶，《欧洲控制杂志》16，401-406·兹比尔1207.93008 [219] Xiao，D.，Fang，F.，Pain，C.和Hu，G.（2015），基于RBF插值的Navier-Stokes方程的非侵入降阶建模，国际。J.数字。方法液体79、580-595·Zbl 1455.76099号 [220] Xu，H.（2003），类SVD矩阵分解及其应用，线性代数应用368，1-24·Zbl 1025.15016号 [221] Yano，M.、Patera，A.T.和Urban，K.（2014），伯格方程基于时空hp-interpolation的认证约化基方法，数学。模型方法应用。Sci.241903-1935年·Zbl 1295.65098号 [222] Yu，J.，Yan，C.和Guo，M.（2019），流体问题的非侵入降阶建模：简要回顾，Proc。仪器机械。工程师G.J.Aerosp。Engrg2335896-5912。 [223] Zahm，O.，Constantine，P.，Prieur，C.和Marzouk，Y.（2020），多元向量值函数的基于梯度的降维，SIAM J.Sci。计算42，A534-A558·Zbl 1433.41007号 [224] Zancanaro，M.、Mrosek，M.，Stabile，G.、Othmer，C.和Rozza，G.（2021年），具有几何参数的湍流混合神经网络降阶建模，流体6，296。 [225] Zhang，Z.和Zha，H.（2004），通过局部切线空间对齐的主流形和非线性降维，SIAM J.Sci。计算第2631-338页·Zbl 1077.65042号 [226] Zimmermann，R.、Peherstorfer，B.和Willcox，K.（2018），几何子空间更新及其在在线自适应非线性模型约简中的应用，SIAM J.矩阵分析。申请39234-261·Zbl 1383.65034号 [227] Zou，X.，Conti，M.，Díez，P.和Auricchio，F.（2018），《生物力学中应用的非侵入性固有广义分解方案》，国际。J.数字。方法。工程113，230-251。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。