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马尔科·瓦里斯科;马修·C·B·扎雷姆斯基。

关于Vietoris-Rips复合体的等变Morse理论和适当动作的宇宙空间。 （英语） Zbl 1526.20066号

牛市。伦敦。数学。Soc公司。 53，第6期，1724-1739（2021）.
A（G）-CW复合体是一种具有（G）-作用的CW复合体，对于所有开放单元（e）和所有（G中的G），如果（G不=，空集），则（G不x，=，x）对于所有（e中的x）。当且仅当所有点稳定器都是有限的时，A（G）-CW复数才是适当的。如果（G）-CW复形是余紧的，或者等价地，如果它只有有限多个细胞轨道，则称其为有限复形。
离散群（G）的真作用的普适空间是真（G）-CW复数（下划线{E} G公司\)这样，对于（G）的每个有限子群（H），（H）-不动点集（下划线{E} G公司)^{H} \）可收缩。对于任何群（G\），都存在表示适当作用的泛空间，并且在（G~）同伦之前是唯一的。一个中心问题是，给定的群\（G\）是否具有有限的适当动作的普遍空间。在[D.Meintrup公司和T.希克《纽约数学杂志》。8, 1–7 (2002;兹比尔0990.20027)]证明了双曲群具有有限的泛作用空间。此外，由于P.Ontaneda公司[拓扑44，No.1，47-62（2005；Zbl 1068.53026号)]因此，CAT（0）群对于适当的动作具有有限的通用空间。
双曲群和CAT（0）群的自然同时推广是由渐近CAT（0）群给出，由A.卡尔[出版材料，Barc.55，No.1，67-91（2011；Zbl 1271.20057号)]（见本文中的定义1.2）。
渐近CAT（0）群包含所有双曲群和所有CAT（O）群，在取有限乘积、有限子群上的合并自由乘积、沿有限子群的HNN扩张和相对双曲超群下是封闭的。
作者的主要结果是：
{定理.}（文中定理3.5）设（G）是一个在渐近CAT（0）测地度量空间（X）上通过等距适当且紧地作用的群。考虑任意点（x中的x{0}）的轨道（G\cdotx{0{），其诱导度量来自（x）。然后，对于任何足够大的（t in mathbb{R}），Vietoris-Rips复合体（mathcal{VR}（虚拟现实）_{t} （G\cdotx{0}）是普适作用空间的有限模型{E} G公司\).
{推论}（文中定理1.1）所有渐近CAT（0）群都有有限的泛作用空间。
这一结果的证明依赖于等变版本的M.贝斯特维纳和N.布雷迪离散莫尔斯理论（参见《发明数学》129，第3期，445-470（1997；Zbl 0888.20021号)]). 这种发展需要谨慎制定适当的等变定义和语句，并检查结构的等变。正如作者所指出的，这是一个独立的兴趣。这种方法在很大程度上依赖于[M.C.B.扎雷姆斯基《美国数学杂志》。144，编号51177–1200（2022；Zbl 1504.57043号)]，但完全独立于那里证明的结果。
此等变版本适用于Vietoris-Rips复合体。这里采用的Vietoris-Rips复合体的定义不是典型的定义。典型的定义产生了一个单纯复形，其重心细分等于我们的，因此这两个定义自然是同胚的。在这里，定义是根据偏序集制定的，偏序集世界中的语言和工具证明了主要结果的论证是方便的。
前面证明了两个关键结果（命题2.1和3.4），从而得出了主要结果。
论文最后提出了两个有趣的问题（参见论文末尾的相关讨论）。
1.是否存在一个比渐近CAT（0）弱的自然条件，对于该自然条件，上述定理的证明仍然有效？找到一个类似于CAT（0）或渐近CAT（O）的条件也是非常有趣的，该条件在拟积分下是不变的，并且上述定理的结果是正确的。
2.如果\（G\）是渐近的CAT（0），甚至是CAT（0）群，那么它自己的Vietoris Rips复形\（\mathcal{VR}（虚拟现实）_{t} （G）\）关于单词metric是\（\下划线{E} G公司\)足够大（t）？
审核人：迪米特里奥斯·瓦索斯（阿提纳）

引用于1文件

MSC公司：

20层65 几何群论
20楼67 双曲群和非正曲群
2007年7月57日 群论中的拓扑方法
55兰特 代数拓扑中群空间和（H\）-空间的分类

关键词：

等变莫尔斯理论;Vietoris-Rips综合体;宇宙空间;渐近CAT（0）群;渐近CAT（0）空间

引文：

Zbl 0990.20027号;Zbl 1068.53026号;Zbl 1271.20057号;Zbl 0888.20021号;Zbl 1504.57043号
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\textit{M.Varisco}和\textit{M.C.B.Zaremsky}，公牛。伦敦。数学。Soc.53，No.6，1724-1739（2021；Zbl 1526.20066）
全文： 内政部 arXiv公司

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