托比亚斯·巴特尔（编辑）;汉宁·克劳斯（编辑）;韦斯纳，斯托亚诺斯卡（编辑） 小作坊：同伦理论和表象理论中的色彩现象和对偶性。2018年3月4日至10日举行的小型车间摘要。 （英语） Zbl 1409.00065号 Oberwolfach代表。 15，第1期，507-529（2018）. 小结：这家小型工作室专注于色现象和二元性，将其作为代数、几何和拓扑的统一主题。总体目标是在各个领域的专家之间建立富有成果的思想交流，促进对代数几何、同伦理论和表示理论中出现的基本范畴的局部和全局结构的研究。研讨会以介绍性发言开始，将不同背景的研究带入同一页，随后强调了这些领域的最新进展，并强调了发现的结果和结构的跨学科性质。此外，在整个星期的重点小组工作中，以及在确定该主题有希望的长期目标的晚间讨论中，探索了新的方向。主题包括支持理论及其在三角范畴中局部化理想分类中的应用，重要结构结果的等变和同伦增强，下降和伽罗瓦理论，对偶的许多概念，Picard和Brauer群，以及计算技术。 MSC公司： 00亿05 讲座摘要集 00B25型 杂项特定利益的会议记录 55-06 与代数拓扑学有关的会议记录、会议、集合等 18-06 与范畴理论有关的会议记录、会议、收藏等 55单位35 代数拓扑中的抽象与公理同伦理论 18埃克斯 范畴代数 55页 同伦理论 14层42层 动机上同调；动力同伦理论 16日90分 结合代数中的模范畴 20C20米 模块化表示和字符 软件：GCLC公司;Mod-p群上同调;REPSN公司;奎伦斯普林;谋杀;锂离子电池;CHomP公司;Z轴 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Barthel}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.15，No.1，507--529（2018；Zbl 1409.00065） 全文： 内政部 参考文献： [1] P.Balmer，{it张量三角范畴中素理想的谱}，J.Reine-angew。数学。588, (2005) 149-168. ·Zbl 1080.18007号 [2] P.Balmer，{张量三角几何}，《ICM学报》，海得拉巴（2010），第二卷，85–112·兹伯利1235.18012 [3] 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Pevtsova本扩展摘要的目的是简要介绍小型工作室开始时关于“同伦理论和表象理论中的色现象和对偶性”的两堂课调查内容。我的任务是关注故事的（模块化）表现部分。我把“表象理论中的色现象”狭义地解释为对有限群方案的稳定模范畴和相关范畴中厚的局部化子范畴的结构的描述。使用保罗·巴尔默（Paul Balmer）介绍的语言，人们可以将其重新表述为关于相应类别的谱的问题，或者更一般地说，关于它们相对于张量三角几何的属性的问题。我们从一些术语开始。定义在域k上的有限群格式G是一个可表示函子：G:{comm k-代数}→ ｛group｝使得表示代数k[G]作为k上的向量空间是有限维的。对于下面的内容，我们假设k具有正特征p。将坐标代数对偶，我们得到｛\it group代数｝kG，它是有限维共交换Hopf代数。这种对应关系给出了范畴有限群～有限维coschemes交换Hopf代数的等价性。这些结构的示例包括有限群、限制李代数和代数群的Frobenius核。有限群格式G的表示等价于其群代数kG的表示。由于后者是Frobenius，因此可以构造G的所有和有限维表示的稳定模范畴Stmod G和Stmod G Mini-Workshop:Chrometic Phenomena和Duality517，它们是张量三角范畴。因此，人们可以在这种背景下研究张量三角几何或{\tt-geometric}。遵循tt-几何的基本原理，我们寻求构造一个{\it-support}映射支持：Stmod G→ 表示拓扑空间X，它捕获了我们范畴的基本结构。这就是当我们设置X=Proj H*（G，k）时上同调进入画面的地方。根据Friedlander和Suslin的一个定理，（分次交换）上同调环H*（G，k）是有限生成的k-代数；因此，X是有限类型的射影变体。例如，通过I.Dell'Ambrogio的工作可知，对于用于分类stmod G中张量理想的支持映射，即stmod G的{紧}对象的范畴，它足以表明它满足以下属性列表。（1） 支撑k=X，支撑（0）=∅；（2） “2/3”。如果M1→ 平方米→ 立方米→ 是Stmod G中的三角形，则supp M2⊂supp M1мsupp M3；(3) ⊕. 对于任意M，N∈Stmod G，supp MíN=supp Mмsupp N；（4） 换档。supp M=支持Ω−M∈Stmod G的1M，以及Ω−1海勒轮班；（5） 实现。对于任何闭子集Y⊂X，∃M∈stmod G，使得supp M=Y；（6） 检测。支撑M=∅⇔ StMod G中的M～=0；（7） 张量积性质。对于任何M，N∈Stmod G，supp M⊗N=supp Måsupp N。在Balmer的术语中，这意味着这个支持理论对于Stmod G是通用的。为了实现Stmod G的通用支持理论的显式构造，我们不是构造一个，而是构造两个支持理论。第一个是Friedlander和Pevtsova的π支撑理论，它依赖π点的概念。这种构造的灵感来自于Carlson关于初等阿贝尔p-群的秩变化。另一种方法根植于经典上同调支持簇，是通过局部上同调函子Γp:Stmod G的Benson-Iyengar-Krause支持理论→ p∈项目H*（G，k）的Stmod G。在与Benson、Iyengar和Krause的联合工作中，我们证明了这两个理论对于有限群方案是一致的，从而在这种情况下产生了一个通用的支持理论。作为应用，我们以通常的方式对Stmod G中的局部化（和共局部化）张量理想进行了分类：即，我们证明了H*（G，k）518Oberwolfach Report 9/2018的Stmod G～Projsubsets存在一对一的对应子类。对于这个结果，我们需要发展另一种新技术，即“约化为闭点”，将X=Proj H*（G，k）中点p的函子ΓpandΓm与剩余域k=k（p）和XK中位于p上的闭点m联系起来。这个关系来自交换代数，导致了另一个应用，这是我两次讲座的最后一个主题：即，stmod G的Gorenstein对偶性。对色同伦理论的分类介绍Tomer Schlank，我做了两次关于色同伦的介绍性演讲。以对称单体∞类谱的Balmer谱为出发点进行了讨论。我们从这个出发点来讨论有限络合物的类型，以及K（n）-局部谱的概念。然后，我将莫拉瓦E-理论定义为K（n）-局部球的伽罗瓦闭包（在Rognes意义上）。这样就可以从纯粹的范畴观点（而不是使用Landweber精确函子定理和形式群理论）来表示色同伦理论的主要成分。这些成分包括：（1）En-local类别和En-localisation。（2） 莫拉瓦稳定剂组及其对莫拉瓦E（n）理论的作用。（3） 彩色断裂方块。（4） 色收敛定理。（5） 望远镜定位。（6） 望远镜推测。（7） vn-self映射和K（n）-局部球体。（8） K（n）-局部范畴的模糊性。最后，利用双元性（更具体地说，是有限群分类空间的悬挂谱的K（n）-局部化的对偶性），我将理论与形式群定律的概念联系起来。格罗森迪克对偶性简化了——简单介绍一下阿蒙·内曼。格罗森迪克对偶性的基础有两条经典的途径：一条是格罗森狄克和哈特肖恩[3]和（很晚的）康拉德[1]，另一条是德利涅[2]和威尔第[8]以及（很晚）利普曼[5]。共识是，两者都不令人满意。直到最近，还没有人知道建立这一理论的清晰方法。大约三年前，情况发生了巨大变化。然而：尽管主要的文章已经出版，但只有少数专家意识到了这一发展——介绍结果的论文都不太关注旧定理的简单证明，而是关注新见解带来的技术进步。在演讲中，我采取了相反的策略：Mini-Workshop:Coloric Phenomena和Duality519定理是对Hartshorne[3]中发现的相对较小的技术改进，重点是简洁、现代的证明方法。也许更值得注意的是，除了一个例外，格罗森迪克二元性的现代道路早在20世纪90年代中期就已经铺就并准备好使用了。关键的新成分，消除了最后剩下的障碍，很可能只是一小步，特别是当作为整体的一部分呈现时。事实上：在2017年9月我在麦格理大学（Macquarie University）的一次演讲中，史蒂夫·拉克（Steve Lack）在一次类别理论家研讨会上展示了结果，他问我们为什么花了这么长时间才看清我们的路。在Oberwolfach的演讲中，我试图解释这一点。事后看来，这种新的见解似乎微不足道，但需要相当大的想象力。它依赖于使用构成研讨会核心主题的彩色工具来研究某张地图，并将这些工具应用于表面上毫无价值的形态。更具体地说，被证明是最近进步关键的形态已经存在了50年，被当时一些最杰出的数学家视为无用。读者可以参考[7]了解更广泛的调查，也可以参考[4,6]了解已发表的[为专家撰写的]最新进展。工具书类 [13] Brian Conrad，《Grothendieck对偶与基数变化》，《数学讲义》，第1750卷，施普林格出版社，柏林，2000年·Zbl 0992.14001号 [14] Pierre Deligne，｛\it Cohomology｝｛\it a support propre en construction du foncteur｝f！，残差和二重性，数学课堂讲稿，第20卷，斯普林格-弗拉格出版社，1966年，第404-421页。 [15] 罗宾·哈特肖恩（Robin Hartshorne），《剩余与二元性》，1963/64年哈佛大学关于a.Grothendieck工作研讨会的讲稿。附有P.Deligne的附录。数学课堂讲稿，第20期，施普林格-弗拉格，柏林，1966年·Zbl 0212.26101号 [16] Srikanth B.Iyengar，Joseph Lipman和Amnon Neeman，二元理论中两个扭曲的反像伪函子之间的关系，合成。数学。151（2015），第4期，735-764·Zbl 1348.13022号 [17] Joseph Lipman，《导出函子和Grothendieck对偶的注释》，方案图的Grothendieck对偶基础，《数学讲义》，1960年，施普林格，柏林，2009年，第1-259页·Zbl 1467.14052号 [18] Amnon Neeman，印第安纳大学数学系，{它的痕迹和残留物}。J.64（2015），第1期，217-229·Zbl 1362.13015号 [19] ，{格罗森迪克对偶变得简单}，（进行中）·Zbl 1442.14062号 [20] Jean-Louis Verdier，{相干带轮扭转逆像的基变换}，《代数几何》（Internat.Colloq.，Tata Inst.Fund.Res.，Bombay，1968），牛津大学出版社，伦敦，1969年，第393-408页。520Oberwolfach Report 9/2018我目前最喜欢的对偶图片（tmf和H*，*的局部上同调定理（A（2）））J.P.C.Greenlees（与R.R.Bruner，J.Rognes联合工作）这次演讲的目的是考虑与素数2的tmf有关的对偶性质，特别是为了明确和形象地说明这对系数环意味着的对偶性。tmf的tmf*Gorenstein对偶的局部上同调定理给出了tmf*的局部上同谱序列。其形式为HJ*（tmf*）⇒∑-22π*（Ztmf）。这里，Ztmf表示tmf和J=（β1，β2）的Anderson对偶是tmf*的理想，其自由基是正度元素的理想tmf>0，其中β1（8度）本质上是Bott元素，β2（192度）是周期元素。图中明确显示了这对系数环意味着什么。H*，*（A（2））的局部上同调定理。系数环tmf∗可由Adams谱序列计算，代数A（2）=hSq1，Sq2，Sq4i的E2项（即上同调H*，*（A（2。这种对偶性的结果是二元代数HJ h*（h*，*（a（2））的局部上同调谱序列⇒∑−（23,0）H*，*（A（2））∨，其中Jh=（h0，g，w1，w2）是一个双齐次理想，其根是H*，∗（A（1））的增强理想，其中（23，0）是指Adams分级。展示了一张图片，展示了这对二元代数H*，*（A（2））所暗示的惊人的二元性。工具书类 [21] R.R.Bruner，J.P.C.Greenlees和J.Rognes“tmf和H*，*的局部上同调定理（A（2））在制备中，31pp·Zbl 1504.55005号 [22] R.R.Bruner和J.Rognes“系数环tmf*”，编制中 [23] J.P.C.Greenlees“域上的同伦不变交换代数”CRM IRTATCA讲座（2015），（即将发表）61pp，arXiv:1601.024737·Zbl 1399.13016号 [24] J.P.C.Greenlees和V.Stojanoska“Anderson和Gorenstein二元性”预印本（2017年），第21页，arXiv:1705.02664迷你工作室：染色现象和二元性521同伦群Nat'alia Castellana的分层和二元（与Tobias Barthel、Drew Heard、Gabriel Valenzuela联合工作），而k是一个具有特征的领域，p.Benson-Iyengar-Krause（参见[4]）利用支持理论技术，发展了一个由Notherian交换环构成的三角范畴的分层概念，该概念同时捕获了厚子范畴和局部化子范畴的分类。对于G有限，该机制用于证明StMod（kG）、K（InjkG）和D（C*（BG，K））的分层结果。对于G a连通紧致李群，Benson和Greenlees[3]证明了D（C*（BG，k））是由H*（BG，k）的正则作用分层的。在本次讲座中，将介绍由Broto-Live-Oliver[6]介绍的紧致李群在素数p上的分类空间的同伦推广的分层结果的新例子。他们推广了先前的结果，表明该陈述仅取决于G的p-局部信息（在群论意义上）。对于交换环谱R，我们为R模的范畴写ModR。对于M，N∈ModR，我们写出R的单体乘积的M⊗RN，以及M和N之间R模态射的谱的HomR（M，N）。给定一个空间X，我们写下悬浮谱∑∞+X的X+和F（X+，R）的C*（X，R），即X+上R值共链的谱。如果R是交换环谱，那么C*（X，R）也是交换环谱。R=Hk通常是离散交换环k的Eilenberg-MacLane谱；我们只写C*（X，k）。如果稳定∞范畴的子范畴T⊆C在有限结肠炎、收缩和去悬浮下闭合，则称其为厚；如果T在所有过滤结肠炎（分别是所有过滤极限）下闭合，称其为局部化（分别是同位化）。如果π*R是Noetherian，则交换环谱R称为Noether谱。形态f:R→ 交换环谱的S在ModRand-ModS之间诱导了三重邻接（Ind，Res，Coind），其中Ind:ModR→ ModSis感应−⊗RS，Res:ModS→ 沿f和Coind:ModR的ModRis限制→ 由HomR（S，−）给出的ModSis合成。我们用res表示均匀双谱Spech（π*（S））之间的诱导态射→ 规范（π*（R））。函子F:C→ 如果D反映了等价性，则称其为保守值。Noether交换环谱f:R的一种态射→ 如果任意两个模M，N∈ModR存在p∈res-suppS（Ind M）∈res-cosuppS。下面是满足Quillen提升的环谱的一个激发性例子。522Berwolfach Report 9/2018设G是紧李群，k是特征p的域，E（G）是G的初等交换p-子群的共轭类的一组代表。群上同调的Quillen分层的强形式的一个结果是，下列态射满足Quillen提升，YC*（BG，k）→C*（比利时，k）。E∈E（G）我们分离出沿f:R同态下降分层和共层的充分条件→ 下一个定理中的S。定理4。假设f:R→ S是满足Quillen提升的Noetherian环谱的一个态射，因此沿f的归纳和共归纳是保守的。如果ModSis标准分层，那么ModR也是如此。如果f另外允许R模收缩，那么规范costacratition也会沿着f下降。在[6]中，Broto、Levi和Oliver引入了强大的p-局部紧群概念，作为p-紧群[7]以及有限群上的融合系统F概念的一个常见推广[5]。p-局部紧群G=（S，F）由离散p-toral群S上的饱和融合系统组成。该定义提供了紧李群（S，F）p-局部结构的组合模型。为了恢复分类空间的p-completion，需要额外的结构。但是，后者是唯一确定的（参见[8]），这使得可以构造与G相关的（p完成的）分类空间BG，从而使饱和融合系统适合于同伦技术。Broto、Levi和Oliver提供了紧李群给出的例子，这些紧李群对有限循环空间的成分群和p-完备没有限制。检查同态φG:C*（BG，Fp）满足定理4的条件→ C*（BS，Fp）主要依赖于转移态射的构造来证明Ind和Coind是保守函子。定理5。任何p-局部紧群G=（S，F）允许稳定转移C*（BS，Fp）→ C*（BG，Fp）的C*（FG，Fp）-模块。该定理的一个结果是，上同调环H*（BG，Fp）对于任何p-局部紧群都是Noetherian，推广了有限群和紧李群以及p-紧群的经典结果（参见[7]）。然后我们使用Rector的一般形式[9]将F-同构推广到p-局部紧群。这使我们能够根据奎伦的原始论点，从F-同构定理推导出奎伦分层的强形式。定理6。对于任何p-局部紧群G，都存在F-同构H*（BG，Fp）→ limH*（比利时，法国←−p） ，Fe Mini Workshop：染色现象和对偶523，其中Fei是S的初等阿贝尔子群上F的全子类。此外，G的变化允许Quillen分层的一种强形式：VG～=aVE，G+，E∈E（G），其中E（G）表示S的初等阿贝尔子群的F-同构类的一组代表。我们的主要结果是前三个定理的组合。定理7。如果G是p-局部紧群，则ModC*（BG，Fp）是规范分层和代价层积的。尤其是ModC*（BG，Fp）↔规范子集ofh（H*（BG，Fp））↔∼ModC*（BG，Fp）和ModcompactC*（保加利亚，F）的彩色化子目录↔Spech的专业化封闭子集（H*（BG，Fp））。p最后，Benson和Greenlees[2]证明了C*（BG，Fp）是任何有限群G的绝对Gorenstein环谱。使用[1]中的方法，我们将此结果推广到p-紧群。作为直接结果，这意味着p-紧群存在局部上同调谱序列。定理8。设G是维数w的p-紧群，则G是绝对Gorenstein，即对于维数d的每个p∈Spech（H*（BG，Fp） [25] T.Barthel，D.Heard，G.Valenzuela，{结构环谱的局部对偶}，《纯粹与应用代数杂志》222 2018，433-463·Zbl 1384.55008号 [26] D.Benson，J.Greenlees，拓扑和模表示中的局部化和对偶，J.Pure Appl。《代数》212（2008），1716-1743·Zbl 1161.20005号 [27] D.Benson，J.Greenlees，{为}G{紧}{李群}分层}BG{上的cochains派生范畴，J.Pure Appl。《代数》218（2014），642-650·Zbl 1291.18014号 [28] D.Benson，S.Iyengar，H.Krause，{分层三角分类}，J.Topol。4 (2011), 641-666. ·Zbl 1239.18013号 [29] C.Broto，R.Levi，B.Oliver，《聚变系统的同伦理论》，J.Amer。数学。Soc.16（2003），779-856·Zbl 1033.55010号 [30] C.Broto，R.Levi，B.Oliver，｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it Lie群和｝p｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it｝｛\it。白杨。11 (2007), 315-427. ·兹比尔1135.55008 [31] W.G.Dwyer，C.Wilkerson，李群和有限循环的同伦不动点方法，数学年鉴。第二辑139（1994），395-442·Zbl 0801.55007号 [32] R.Levi，A.Libman，{离散}p{toral群}上融合系统分类空间的存在性和唯一性，L.London。数学。Soc.91（2015），47-70·Zbl 1346.55015号 [33] D.L.Rector，{it-Noetherian上同调环与有限扭转环空间}，J.Pure Appl。《代数》32（1984），191-217 524《Oberwolfach报告》9/2018真A-谱中厚张量理想的分类Justin Noel（与Tobias Barthel、Markus Hausmann、Niko Naumann、Thomas Nikolaus、Nat Stapleton联合工作）在这个联合项目[BHNNNS]中，当A是有限阿贝尔群时，我们对真A-光谱[LMS86]中的tt-ireals进行分类。这种类型的原始结果是当A是平凡群时的情况，这是Hopkins和Smith著名的厚子范畴定理[HS98]（另见[Hop87，Rav92]）。新分类结果的主要前提是：（1）根据素张量理想的Balmer谱Spc（C）的Thomason子集[Bal05，Bal10b]，tt-i在刚性张量三角范畴C中的一般分类。（2） 识别Balmer光谱Spc（SHG）的基础集，用于[BS17]中的真实G-光谱。为了完成（紧）真G-谱的tt-ideals分类，识别Spc（SHG）的标准基本开口就足够了。也就是说，基本开口可以通过紧G-谱来枚举。对于这样的G-谱X，通过确定子群的每个素数p和每个共轭类H⊆G的最小n≥0，从而确定相应的开度，使得K（n）*（ΦHX）6=0（如果不存在这样的有限n，我们将使该值为∞）。最后一个数字，我们将其表示为tp（ΦHX），称为ΦHX的类型。Balmer和Sanders表明，当G是p-群时，总是可以简化为这种情况。此外，当G是一个阿贝尔p-群时（我们将在下文中假设），它们表明只要确定X的类型与ΦGX的类型如何不同就足够了。所以我们首先建立了一个不等式，它限制了类型的变化。为了证明不等式是尖锐的，我们需要找到合适的例子。更详细地说，我们证明了tp（ΦGX）+dim（H1（BG；Fp））≥tp（X）。这最终是对Tate上同调的Kuhn蓝移定理进行推广的结果[Kuh04]。该推广确定了Borel等变Lubin-Tate理论几何不动点的无环性。这改进了[MNN15]的结果，该结果表明，如果群不是由n个或更少元素生成的阿贝尔p-群，那么高度n的Borel等变Lubin-Tate理论E的几何不动点将是可压缩的。这个新的推广建立在[HKR00]对E0（BG）的模理论描述的基础上。为了证明这个不等式是尖锐的，并且完成了分类，我们需要找到一个不等式是等式的X。我们观察到，在[Aro98，ADL16，AL17]的工作中已经构建了这种复合物。参考文献[ADL16]Gregory Arone、William G.Dwyer和Kathryn Lesh。配位络合物的布列登同源性。{\it Doc.Math.}，21:1227-1268，2016年。迷你车间：彩色现象和双重性525[AL17]格雷戈里·阿隆和凯瑟琳·莱斯。Γ-kon分解空间的共向子群的不动点。2017年。网址：http://front.math.ucdavis.edu/1701.06070。[Aro98]格雷戈里·阿隆。悬浮映射和Mitchell有限谱的Ak-free上同调迭代。｛\it Math.Res.Lett.｝，5（4）：485-4961998。[Bal05]保罗·巴尔默。张量三角范畴中素理想的谱。{it 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May.{等变同伦和上同调理论}，{CBMS}{数学区域会议系列}第91卷。1996年为华盛顿特区数学科学会议委员会出版。由M.Cole、G.Comezaána、S.Costenoble、A.D.Elmendorf、J.P.C.Greenlees、L.G.Lewis，Jr.、R.J.Piacenza、G.Triantafillou和S.Waner贡献。[Rav92]道格拉斯·拉文内尔。《数学研究年鉴》第128卷，稳定同伦论中的幂零性和周期性。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1992年。Jeff Smith的附录C。同伦理论中的内蕴模Jesper Grodal对于G是一个有限群，k是特征p的域，内蕴模是一个kG-模M，使得M⊗M*～=k（proj）是kG-模块。不可分解内蕴模的同构类构成了一个群Tk（G），并与稳定模范畴Pic（stmod（kG））的Picard群相一致。它们作为“几乎一维模块”出现在表征理论的许多部分中。由于Dade[Dad78a，Dad78b]，Alperin[Alp01]和Carlson-Thevenaz[CT04，CT05]的开创性工作，我首先简要解释了S a有限p-群的这些模的分类。然后，我根据我的预印本[Gro16]解释了如何计算G的任意有限群的这个群。限制图Tk（G）的图像→ Tk（S）是G的一个p-Sylow子群，通过对Tk（S）的上述计算的详细阐述，至少作为一个抽象群。因此，描述任意526Oberwolfach Report 9/2018有限群G的Tk（G）的主要问题在于理解核Tk（G,S）=ker（Tk（G）→ Tk（S））。该子群由有限生成的kG-模M组成，其对S的限制形式为M|S～=k（自由），即“Sylow-trivial”模。以下定理描述了这一组：定理1。[Gro16，Thm.A]固定一个特征为p的有限群G和k A场除以G的阶，并让Op∗（G）表示非平凡p-子群上的轨道范畴。群Tk（G，S）通过阿贝尔群Φ的以下同构来描述：Tk（G，S）−～→ H1（Op*（G））；k×）。逆映射对于一个1-余循环构成一个内蕴模，就所谓的扭曲Steinberg复数而言，它是非常明确的，也可以被视为一个“导出归纳”映射。然后，我继续描述了一些关于Tk（G，S）的显式结果，这些结果可以从定理1作为出发点获得，也取自[Gro16]；他们将计算Tk（G，S）转化为局部群论中的标准计算：我提出了所谓Carlson-Thevenaz猜想的一个正解，提供了一个显式算法来纯粹根据p-子群的正规化子及其交集计算Tk。我还推导了其他结果，如如果p-子群复数Sp（G）是单连通的，那么Tk（G，S）等于G的一维特征，从而为许多类群提供了消失结果。Carlson-Thevenaz猜想是Tk（G，S）更一般的“中心化”和“正规化”分解的特例，它用不同方式封装的p-局部群理论来表示Tk（G，S）。例如，“中心化子分解”将Tk（g，S）分解为两部分，一部分仅取决于g中的p-融合，另一部分取决于秩1和秩2的初等交换p-子群中心化子上的一维特征。最后，我描述了一些显式计算，既显示了文献中现有的结果如何通过这些方法容易恢复，又计算了一系列新群的Tk（G，S），例如，作为测试案例，Monster零星简单群用于所有素数p。参考文献[Alp01]J.L.Alperin。内置换模块的构造。{it J.群论}，4（1）：3-102001。[CT04]J.F.Carlson和J.Th´evenaz。内平凡模块的分类。{发明数学}，158（2）：389-4112004。[CT05]J.F.Carlson和J.Th´evenaz。扭转内主模的分类。数学（2）}，162（2）：823-8832005。[Dad78a]E.C.Dade。p-群上的内置换模。《数学年鉴》。（2）}，107（3）：459-4941978。[Dad78b]E.C.Dade。p-群上的内置换模。二、。《数学年鉴》（2），108（2）：317-3461978。【Gro16】J.Grodal。有限群的内利模——基于同伦论的内利模。arXiv:1608.00499。迷你工作室：染色现象与对偶527同调剩余域Paul Balmer在棱镜代数中，人们会遇到各种张量三角范畴T。对它们的紧致刚体物体Tc的色分析相当于确定它们的三角谱Spc（Tc），其点是三角素数P⊂Tc。我们提出了另一种素数的方法，即利用模范畴mod−Tc的最大Serre⊗-理想子范畴B（Tc的Freyd包络）。我们用Krause和Stevenson[2]证明了每个三角形素数P都是Yoneda h:Tc下的前像→ 其中一个新同源素数B的mod−Tc。这个B是否唯一是一个悬而未决的问题。值得注意的是，人们可以从稳定同伦理论（包括等变版本）、代数几何（无醚性假设）、模表示理论（包括有限群方案）等标准示例中证明B是唯一的（对于给定的P）。然而，证明是针对每个例子的，我们不知道抽象的证明。由mod−Tc的所有同调素数（所有最大Serre⊗-理想）组成的相关{同调}谱Spch（T）可以无条件地（即不假设三角谱Spc（Tc）的无以伦比性）定义对大对象的支持，正如在与Favi的联合工作中所做的那样[1]。为此，我们考虑Tc上模的大类M od−Tc，其中上述mod−Tc是有限呈现的部分。存在一个受限Yoneda函子h:T→ M od−Tc不再忠实或完整（它会杀死幻影贴图），但它仍然是一个⊗-函子。对于每个（大）对象X∈T，可以将其支撑Supph（X）⊆Spch（T）定义为同调素数B的集合，这样X就不会消失在M od−Tcby hBi的Gabriel商中。这种“大支撑”缺乏良好支撑理论所需的基本性质，尤其是一般张量公式，但对于环对象来说，这是一个很好的理论（即使对于{弱}环对象：具有可能非关联、非交换乘法的对象，也承认单边单位）。开发这个大支撑的特性及其与望远镜特性的相关性，即理解T的粉碎子类别，是一项正在进行的工作。工具书类 [34] 保罗·巴尔默和佐丹诺·法维。广义张量幂等元与望远镜。伦敦。数学。Soc.（3），102（6）：1161-1185，2011年·Zbl 1220.18009号 [35] 保罗·巴尔默（Paul Balmer）、亨宁·克劳斯（Henning Krause）和格雷格·史蒂文森（Greg Stevenson）。{\t张量三角形域：Rumina-}{\t ations.}预印本，arXiv:1707.021672017。{it记者：Drew K.Heard}·Zbl 1409.18011号 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