科恩、利隆;阿诺·阿夫隆 中庸之道——不切实际的逻辑。 （英语） Zbl 1475.03082号 合成 196，第7号，2671-2693（2019）. 摘要：近年来，人们已经做出了许多努力来构建用于机械化一般数学推理的形式化系统。这些系统大多基于比一阶逻辑（FOL）更强的逻辑。然而，有充分的理由避免在该任务中使用完全二阶逻辑（SOL）。在这项工作中，我们研究了一种介于FOL和SOL之间的逻辑，它似乎是两者的一种特别有吸引力的替代品：祖先逻辑。这是通过使用传递闭包操作符对FOL进行扩充而获得的逻辑。虽然到目前为止，对这种逻辑的研究主要是模型理论，但这项工作致力于证明理论（这与数学机械化的任务更为相关）。给出了两个祖传逻辑的自然Gentzen型证明系统：一个用于自反传递闭包，另一个用于非自反闭包。我们表明，这些系统对于祖先的逻辑来说是合理的，并提供证据证明它们确实包含了实践中使用的这种逻辑的所有形式的推理。通过在这两个系统之间提供转换算法，可以证明这两个体系是等效的。最后，我们研究了两个主要的证明理论性质：截消和构造一致性证明。 引用于6文件 MSC公司： 03B60号 其他非经典逻辑 05年3月 切割消除和正规形定理 03A05号 逻辑和基础的哲学和批判性方面 关键词：祖先逻辑;证明理论;绅士式系统;切割消除 软件：Nuprl公司;米扎尔 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Cohen}和\textit{A.Avron}，综合196，第7期，2671-2693（2019；Zbl 1475.03082） 全文： 内政部 参考文献： [1] Aho，A.V.和Ullman，J.D.（1979年）。数据检索语言的普遍性。第六届ACM SIGACT-SIGPLAN编程语言原理研讨会论文集（第110-119页）。ACM公司。 [2] Avron，A。；Kamaredine，Fairouz D.（编辑），传递闭包与数学机械化，第28期，149-171（2003），荷兰·doi:10.1007/978-94-017-0253-9_7 [3] Avron，A.（2004）。将集合理论形式化为实际使用的理论。《数学知识管理》（第32-43页）。斯普林格·Zbl 1109.03056号 [4] Avron，A.（2008）。基于静态集合项的形式化集合理论框架。《计算机科学支柱》（第87-106页）。斯普林格·Zbl 1133.03342号 [5] Campbell，J.J.A.、Dos Reis，J.C.G.、Wenzel，P.S.M.和Sorge，V.（2008）。智能计算机数学。 [6] 科恩、利隆；阿诺·阿夫隆；Kohlenbach，U.（编辑）；等。，祖先逻辑：一项证明理论研究，137-151（2014），柏林，海德堡·Zbl 1429.03113号 [7] Constable，R.L.、Allen，S.F.、Bromley，M.、Cleaveland，R.、Cremer，J.F.和Harper，R.W.等人（1986年）。用Nuprl证明开发系统实现数学。上鞍河：普伦蒂斯·霍尔。 [8] Da Silva，J.J.、D’Ottaviano，I.M.L.和Sette，A.M.（1999）。逻辑之间的转换。纯数学和应用数学课堂讲稿，203435-448·Zbl 0924.03013号 [9] D’Ottaviano，I.M.L.和Feitosa，H.A.（2012）。论哥德尔对直觉主义逻辑的模态解释。通用逻辑：选集。巴塞尔：Birkhä用户。 [10] 艾宾浩斯，H.-D.、弗鲁姆，J.和艾宾浩，H.-D（1995）。有限模型理论（第2卷）。纽约：斯普林格·Zbl 1081.03026号 ·doi:10.1007/3-540-28788-4 [11] 费金，R.（1974）。广义一阶谱和多项式时间可识别集。R.Karp（编辑），SIAM-AMS Proceedings 7，（第27-41页）。Immerman公司。 [12] Gentzen，G.（1969年）。Neue fassung des widerspruchsfreiheits beeises für die reine zahlenthorie，forchungen zur logik。4:19-44. （M.E.Szabo，英文翻译）。格哈德·根岑的作品集，阿姆斯特丹。 [13] Gentzen，G.（1935年）。Untersuchungenüber是logische schließen。i.Mathematische Zeitschrift，39（1），176-210·Zbl 0010.14501号 ·doi:10.1007/BF01201353 [14] Gentzen，G.（1943年）。Beweisbarkeit und unbeweisbargeit von anfangsfällen der transfiniten industration in der reinen zahlenthorie.《数学年鉴》，119140-161·Zbl 0028.10201号 ·doi:10.1007/BF01564760 [15] 亨金，L。；Henkin，L.（编辑），关于无限长公式的一些评论（1961年），纽约·Zbl 0121.25308号 [16] Kamareddine，F.D.（2003年）。35年的数学自动化（第28卷）。纽约：斯普林格·Zbl 1055.68002号 ·doi:10.1007/978-94-017-0253-9 [17] Martin，R.M.（1943年）。形式逻辑的同构系统。符号逻辑杂志，8（1），1-23·Zbl 0060.02105号 ·doi:10.2307/2267976 [18] Martin，R.M.（1949年）。关于唯名论和递归函数的注释。符号逻辑杂志，14（1），27-31·Zbl 0041.35204号 ·doi:10.2307/2268974 [19] Myhill，J.（1952年）。从祖先理论导出的数论。符号逻辑杂志，17（3），192-197·Zbl 0047.01402号 ·doi:10.2307/2267692 [20] Pohlers，W.（2009年）。证明理论：迈向无懈可击的第一步。纽约：斯普林格·Zbl 1153.03001号 [21] Prawitz，D。；Malmnäs，P-E；Arnold Schmidt，H.（编辑）；Schütte，K.（编辑）；Thiele，HJ（编辑），《经典逻辑、直觉主义逻辑和最小逻辑之间某些联系的调查》，215-229（1968），北荷兰人·Zbl 0188.01104号 ·doi:10.1016/S0049-237X（08）70527-5 [22] Rudnicki，P.（1992年）。mizar项目概述。1992年校样和程序类型研讨会论文集（第311-330页）。 [23] Shapiro，S.（1991）。没有基础主义的基础：二阶逻辑的一个例子。牛津：牛津大学出版社·Zbl 0732.03002号 [24] Smith，P.（2008）。祖先的算术和艾萨克森的论文。分析，68（297），1-10·兹比尔1142.03034 ·doi:10.1093/analys/68.1.1 [25] Takeuti，G.（2013）。证明理论。米诺拉：信使多佛出版社。 [26] Troelstra，A.S.和Schwichtenberg，H.（2000）。第43号基本证明理论。剑桥：剑桥大学出版社·Zbl 0957.03053号 ·doi:10.1017/CBO9781139168717 [27] Yasuhara，M.（1966年）。广义量词的句法和语义特性。符号逻辑杂志，31（4），617-632·Zbl 0192.03702号 ·doi:10.2307/2269697 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。