伯恩哈德·斯特芬;鲁兴，奥利弗;哈，迈克尔 高级信息学的数学基础。第1卷。归纳法。 （英语） Zbl 1395.68002号 查姆：施普林格（ISBN 978-3-319-68396-6/hbk；978-3-3169-68397-3/电子书）。xxvii，228页。(2018). 要想了解这本书的目标、内容和风格，最好的方法可能是列出14本书的摘要证明原则跨越第2、3和5章。1 增量真值表命题公式布尔组合的真值表可以专门从后者的真值表格中构建，而不是从原子或非原子的严格子公式中构建。2 公理证明通过将有效规则应用于假定为真的公理来证明公式。三。 矛盾证明：\（（\neg\mathcal A\Rightarrow\bot）\Rightarrow\mathcall A\）有效。4 对比：\（（\mathcal A\Rightarrow\mathcar B）\equiv（\neg\mathcall B\Rightarrow\neg\ mathcal A）\）有效。5 消除全称量词：\（对于M.\mathcal A（x）中的所有x\）可以通过证明\（M\）的任意成员\（x\）的\（mathcal A（x）\）来证明。6 存在量词的消除：\（\存在于M.\ mathcal A（y）\中的y\）可以通过证明\（\ mathcal-A（y））的目标特定元素\（y\）来证明。7 鸽子洞原理：给定两个有限集之间的函数\（f:a\右箭头B\），如果\（|a|>|B|\）那么\（f\）不是一对一，如果\。8 循环推理：给定\（n\leq 2 \）和\（n\）集合\（A_1\），…，\（A_n\）从小到大的基数，如果\（A_n\）的基数最多等于\（A_1\）的基数，则所有集合都是等势的。9 有根据的归纳法原理：给定一个严格且有充分依据的前序\（\sqsubset \），\（\Bigl（\forall m\ in m.\Bigl（\forall m'\ in m.m'\sqsubset-m\Rightarrow\mathcal a（m'）\bigr）\Right箭头\mathcal-a（m）\bigr）\ Rightarrow \ forall m\in m.\mathcall a（m）\）是有效的。10 最小反例原则：为了证明（mathcal A（m））对一个有充分根据的前序（\sqsubsteq）的域中的所有（m）都成立，只要从\（m\mid\neg\mathcal A（c）\}中的\（sqsubsetq）-最小元素的存在性导出一个矛盾就足够了。11 价值观归纳法原理：有效期\[\Bigl（对于所有n\in\mathbb n\Bigl（对所有m\in\mathbb Nm<n\Rightarrow\mathcal A（m）\bigr）\Rightarror\mathcall A（n）\bigr）\ Rightararrow\对于所有n\in \mathbbN\mathcal-A（n）。\]12 结构归纳法原理：给定一个在原子集（mathrm{At}）上归纳定义的集（M\）和一个运算符集（mathrm{Op}）\[\开始{对齐}\Bigl（\Bigl（\for all a\in\mathrm{At}.\mathcal a（a）\bigr）\wedget\for all o\in\mathrm{Op}，m_1，\dots，m_k\ in m.\\Bigl（m）。\结束{对齐}\]13 数学归纳法原理：有效期\[\bigl（\mathcal A（0）\wedget\forall n\in\mathbb n\mathcar A（n）\Rightarrow\mathcall A（n+1）\bigr）\Right arrow\forall n\in\ mathbb n \mathcal-A（n）。\]14 广义结构归纳原理：与（11）相同，其中\（mathcal A（n）\）解释为：对于上下文无关语法的所有非终结符\（langle X\rangle\）和\（n）steps中从\（langleX\range\）派生的所有单词\（w），属性\（mathcal A_{langleX\ rangle}\）对\（w \）有效。因此，这本书围绕命题和一阶逻辑以及集合论的基本证明原则展开，更加强调归纳法及其各种变体。除了介绍性的第一章和结束性的第六章之外，–第二章主要讨论真值表、命题逻辑和一阶逻辑中的一些语义等价、集合上初等运算的一些性质以及有限集的基数；–第三章讨论了关系，特别是等价关系，函数，（mathbb{Z}）和（mathbb{Q}）的可数性，以及（mathbb2{R}）不可数性；–第4章重点介绍了皮诺算术、术语的句法替换和巴克斯-诺尔形式；–第5章重点介绍了前序、偏序、全序和有根据的序，以及霍尔演算的元素。提供正式证明：–欧几里德算法的有效性；–有限集上基数的基本性质；–一对一、上、双射函数的基本性质；–功率集的不可数性\（\mathbb N\）；–等价关系与分区之间的等价性；–前序的基本性质；–基础完备与无限下降链不存在之间的等价性；–布尔公式的否定与合取的完备性；–自然数加法的交换性和结合性；–一组元素有2个元素；–否定范式的存在；–适当的术语替换语义；–广义结构归纳变异的有效性。那些需要学习一些逻辑或集合论的人在这本书中找不到足够的材料。那些知道一些非常基本的逻辑和集合论的人可能不会对他们所知道的东西有新的见解。有人可能会建议，这本书可以帮助那些需要找到足够动力学习计算机科学所必需的数学的学生，但“与读者的契约”声明“……一旦理解了这三部曲内容的重要性，就可以克服数学的困难。届时，你的参与将变得更加认真和专注”，这似乎与作者对他们书的看法不一致。尽管如此，作者仍然尝试并激发计算机科学的基本数学概念。例如，在他们定义了元关系之后，他们写道：“关系在信息学的许多方面发挥着重要作用。在图3.1中，我们看到了一个二元关系的图示，它将组织的员工与其组织角色联系起来……”目前尚不清楚这是否为那些被这些基本概念拒之门外的人提供了学习基本逻辑和集合理论的必要动机。通过简短地讨论引用的相等性与对象的同一性之间的区别（在Java中，为什么不呢…）来激发面向对象编程的等价关系，不太可能产生一种不存在的兴趣。有更高层次或更深入的考虑，特别是关于程序验证的考虑，但同样，谁能从中受益还不清楚，因为似乎既不是知道的读者，也不是不知道的读者。每一章的结尾都是“反思：更深入地探索涵盖的主题”，这可能是正文的一部分，而不是令人恼火的“学习成果”部分，最后是一些练习，通常在正文中宣布，作为空白供读者填补。人们经常提到“这三部曲”，其中大多数是指接下来的两卷，给读者的印象是，他们从来都不是材料的核心，材料基本上还在后面。接下来的两卷可能更充实、更有用，并使用高级在标题中更有道理。审核人：埃里克·马丁（悉尼） 引用于1审查 MSC公司： 68-01 与计算机科学相关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 00A06号 非数学工作者的数学（工程、社会科学等） 03B70号 计算机科学中的逻辑 关键词：计算机科学逻辑;计算机科学的集合论;归纳法证明 软件：哈斯克尔;伊莎贝尔/HOL;斯卡拉 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Steffen}等人，《高级信息学的数学基础》。第1卷。归纳法。商会：施普林格（2018；兹比尔1395.68002） 全文： 内政部