八人游戏的Sprague-Grundy价值观

介绍

这些是特殊情况尼姆游戏---所谓的Take-and-Break游戏.
给定堆大小n个和两名球员轮流移动。在每回合中，玩家必须减少一定数量的重压，并且把它分成几个小堆。不能合法移动的球员将输掉比赛。因此，大小为0的堆总是丢失并获得值G（0）=0。通常，大小为n的堆的值G（n）=min{N个₀\U型_j个G（继任者_位置_j个)}用j表示所有可能的成功位置。
这些Take-and-Break游戏的规则被编码成一个数字字符串的形式d日₀.d日₁d日₂d日_三...其中第i个数字d日_我指示如果所选堆的尺寸减小了我.数字d日_我被解释为二进制值，包含二次幂2^k个当且仅当允许将堆划分为k个非空堆。当然d日₀从不包含1或2。八角游戏是这些游戏的一个子集，两个玩家都有相同的动作选项和在每次移动时都被限制为将堆最多分为两部分，因此限制了任何数字d日_我为大气1+2+4 < 8.
在稀疏空间现象的范围类型（0）的情况下，这套Sprague-Grundy值G（n）可以分为稀疏集及其补语，称为公共集合。稀疏集的值很少出现，通常只有有限值。如果这些罕见的值消失，那么G（n）的内在序列必须是周期的。值G（n）属于稀疏集（在范围内）当且仅当population_count（G（n）AND m）AND 1=0用于固定的游戏特定比特串米.

在这个网页（及其子页面）上，所有八进制记数游戏的结果0.???,4.???--这里有一个?表示任何八进制数字0-7-- ,0.61111....、格兰迪斯·盖姆和0^n个7具有n≤25--最后一个符号表示必须始终将堆减少n个标记和0、1或2堆可能会保留下来。

A类纲要包含所有2*8^三=1024最多3个位置的八进制游戏，以找到或匹配其标准形式。

下一个a列出所有167个标准表格查找基本属性和相同的按sgv序列排序的列表.
在这个列表的每一行中，从左到右显示一个游戏名称，它的周期和前周期长度，它的最大sg值，它的丢失位置数，以及它的sgv序列的前40个值。如果游戏的周期和前周期长度之和大于250，则留空。在这93个案例中，游戏被称为非平凡游戏，如下表所示。

最多3个位置的非平凡八角游戏

游戏	sgv序列	类型	位字符串	稀有的	最后的	最大n	最大G	指数	迷路的	最终的	深度	周期	前周期	除了

.004	0000011112220333...	0	0001111111111...	184854	15869181	2²⁶	6279	50820532	32	827066	11905099
.005	0001011222033411...	1	1110101001011...	148659	134182835	2²⁷	1059	3022366	-	-	3713078
.006	0000111222033111...	0	0000000101111...	487832	67104903	2²⁶	6580	26683203	40	117632	16433620
.007	0001112203311104...	0	0001110111111...	22476	5029983	2²⁸	1689	248902927	37	16170	5218954
.014	0010010122123401...	0	0111111111111...	2037	64126	2³¹	365	169860345	13	342	126438
.015	0011010212230142...	0	0111111111111...	237	11973	2³⁵	101	2350397235	7	40	27036
.016	0010122201014422...	0	0010111111111...	21442	180340840	2²⁹	1104	401309452	18	1474	78930408
.024	0001122304112532...	0	?			2²⁵	12371	30810166	26	28624
.026	0001122304112533...	0	?			2²⁵	37903	33220674	27	2235172
.034	0011022314014312...	0	1111111111111...	1079	374473	2³⁴	256	26376	10	270	596840
.04	0000111220331110...	0	0001110111111...	22476	5029984	2²⁸	1689	248902928	38	16171	5218954
.054	0010122234411163。。。	0	1011111111111...	38	796	-	41	33671802	三	三	16284	10015179	193235616	18
.055	0011122231114443...	0	1111111111111...	6	43	-	8	51	2	1	20	148	259	2
.06	0001122031122334...	0	?			2²⁵	33383	33550389	37	7537483
.064	0001122334115533...	0	0111111111111...	6854	2104273309	2³¹	523	275511554	三	2
.104	0100010221224104...	1	1110111111111...	20	284	-	29	186892397	-	-	4178	11770282	197769598	9
.106	0100012221440106...	1	1011011111111...	15	1103	-	31	1937780317	-	-	15343	328226140474	465384263797	25
.114	0110011202120411。。。	0	1111111101111。。。	136867	67098692	2²⁶	1610	20501458	11	154
.125	0102110213011302...	0	?			2²⁵	65792	33500174	150	28575440
.126	0100213321042503...	1	0111001110001...	20444	102973539	2³⁰	2222	265978	-	-	58702391
.127	0102210441220144...	1	1000001111111...	693	27106	-	56	24734	1190	20984	13551	4	46578	11
.135	0112011203110312...	0	?			2²⁵	47165	33446154	91	16773774
.136	0110021302110223...	0	?			2²⁵	41029	33153617	40	2769772
.14	0100102122104144...	0	0011111111111...	1896	178727	2³²	85	1839780623	172	2199	576735
.142	0100222110332410...	1	1100011101111...	1357	117323	2³⁴	441	17142768844	-	-	411815
.143	0101222010422150...	0	1011111111111...	9417	2561883	2²⁸	148	26789789	13	81	10087243
.146	0100222411133244...	0	1010111111111...	5817	307166	2²⁹	1521	200428954	三	三	324505
.156	0110222441113224...	0	1101111111111...	15	357	-	23	1032	2	三	243	349	3479	8
.16	0100122140142140...	0	0111111111111...	53	13935	-	23	229790	7	837	21577	149459	105351	16
.161	0102102132132430...	0	0111111111111...	489	23784	2³⁴	153	2744504036	14	429	107747
.162	0100223110422610。。。	0	?			2²⁵	65749	31107590	63	24565333
.163	0102231042261042...	0	0001110111111...	2800497	33553435	2²⁵	39456	33326322	417	7050063
.164	0100122344511632...	0	0000011001111...	333837	32952802	2²⁵	20543	3402756	三	三
.165	0102132134436231...	0	1101111111111...	(17#+87)	-	-	25	620	2	2	2597	1550	5181	4
.166	0100223411662244...	0	1011111111111...	176	4281	2³⁴	173	3561617983	三	三	12850
.167	0102234116224411...	0	1011111111111...	60	1303	2³⁷	64	332129728	2	2	7645
.172	0110223011322440...	0	1011001111111...	2352	51381	2³¹	387	2116001133	10	3947	116905
.174	0110213221445642...	0	1101111111111...	57	674	2³⁹	82	312784191354	2	三	12547
.204	0010120101231212...	1	0101110111111...	2245	83860	2³¹	445	38455	-	-	143454
.205	0012010123123134...	1	1110010111111...	112	33944004	2³⁷	91	3114909246	-	-	63095619
.206	0010123201012323...	0	0011011111111...	10339	5668113	2²⁹	803	191546903	19	5184	9861529
.207	0012120301245312...	1	0110100111111...	154	433920	2³⁶	126	60119768867	-	-	776549
.224	0012012312314304...	0	0000001111111...	1629867	32426611	2²⁵	25465	20103641	26	198802
.244	0010123234515673...	0	1000111111111...	65367	7596617	2²⁷	6718	115537003	三	三	11295819
.245	0012123451567321...	0	0101111111111...	151	1352	2³⁵	142	10549340935	2	1	40663
.264	0012345163251867...	0	1001111111111...	1992	46544	2³¹	946	488110831	2	1	205974
.314	0120120212312453...	0	0000011111111...	180147	39657176	2²⁶	3105	4636848	56	2770	20507380
.324	0102130134023421...	1	1110010111111...	126	129608	2³⁷	109	7776114395	-	-	386895
.334	0120120312312435...	0	0000100101111...	3040144	33554031	2²⁵	32778	28929511	47	159618
.336	0120312403120341...	0	0011111111111...	223	53899	2³⁴	90	4591503605	14	630	169971
.342	0101232010323450...	0	?			2²⁵	35576	33321026	68	636295
.344	0101232451462321...	0	0011111111111...	8679	313574	2²⁸	1347	1158568	2	2	307675
.346	0101232451672321...	0	?			2²⁵	103309	31112181	2	2
.354	0120124312352435...	0	1111110111111...	132	3227	-	113	1152	2	三	705	1180	10061916	44
.356	0120212451675128...	0	1101111111111...	7	43	-	19	86	2	三	19	142	7315	2
.36	0102102132132430...	0	0111111111111...	516	11798	2³⁴	208	1762187846	14	429	17168
.362	01023410234152237。。。	0	0011111111111...	529	43110	2³⁴	131	1614638854	11	227	239495
.364	0102132134534231...	0	1111011111111...	977	13573224	2³³	564	6784	2	2	94736011
.366	0102345162345768...	0	0111111111111...	827	643528	2³²	533	609293376	2	2	1115356
.37	0120123123403421...	0	0111011111111...	1583	20626	2³³	363	7775706553	13	407	1008822
.371	0123103240234012...	0	0000001110111...	1498113		2²⁵	17474	27626301	42	40891	15399203
.374	0120124312352435...	0	0111111111111...	246	2354	2³⁵	230	19481269639	2	三	6861
.376	0120312435243514。。。	0	0111111111111。。。	510	1140540	-	176	341612	2	三	505866	4	2268248	42
.404	0001122334115633...	0	1101101011111...	369	8024	2³⁴	263	5398126274	7	286	4621382
.414	0011022344011322...	0	?			2²⁵	192342	33380460	21	238588
.416	0011223411663221...	0	1010111111111...	1014	10965	2³³	726	8167109156	三	16	11367
.444	0001122334115633...	0	1101111111111...	364	72416309	2³⁴	212	4139813739	三	2	170177024
.45	0011223114432211...	0	1111111111111...	11	198	-	8	37	2	1	37	20	498	8
.454	0011223411663221...	0	1011111111111...	17	124	-	41	14456117	2	1	4858	60620715	160949019	16
.56	0102241132446621。。。	0	1101101111111。。。	46	1795	-	64	22778	2	2	7405	144	326640	26
.564	0102244113254768...	0	0110011111111...	1687	13275	2³¹	1459	139723698	2	2	18757
.6	0012012312340342...	0	0111011111111...	1584	20627	2³³	363	7775706554	14	408	1008823
.604	0012012312345345...	0	?			2²⁵	192624	33505370	15	7943720
.606	0012340123451234...	0	0111111111111...	53811	268412360	2²⁸	1598	245416760	18	732	93636038
.64	0012341532154268...	0	0111110111111...	488	156751	2³³	262	1911635806	2	1	470403814
.644	001234516325896a。。。	0	0111111111111...	31	511	-	64	333	2	1	604	442	3256	32
.74	0101232414623215。。。	0	1101101111111。。。	1386	15929	2³¹	512	76103606	2	2	137102
.744	0101232451672321...	0	0011011111111...	876	11268	2³²	733	382560700	2	2	43665
.76	0102341623416732...	0	0000000110011...	219248	5208068	2²⁶	16925	28902242	2	2	3822819
.764	0102345162345768...	0	0111001111111...	12078	941007	2²⁸	5110	117968040	2	2	1423305
.774	0123145671328954...	0	0101111111111...	352	3519	2³⁴	257	3285	1	0	25238
.776	0123416321674581...	0	1001111011111...	503	7348	2³⁴	296	5487	1	0	18381

4.004	0010123231454323...	0	0111111111111...	8914	43090760	2²⁸	1996	20532406	三	三	23050686
4.007	0012123454132825...	0	1111110101111...	2259	186900	2³⁰	938	47129291	2	1	240392
4.026	0012345613274165...	0	1000111111111...	392894	33532520	2²⁵	16817	4081741	2	1
4.044	0010123234541673...	0	0011111111111...	184	1688	2³⁵	293	17139683973	三	三	18849
4.045	0012123454167828...	0	1111101111111...	34	497	2³⁷	93	15355901532	2	1	4155
4.064	0012345613285764...	0	1101011111111...	52	470	-	111	19114	2	1	420	16132	94272	45
4.324	0120312435241352...	0	1110110111111...	271	5956	2³⁵	256	654707	2	三	19904
4.327	0124312435213524。。。	0	1111111011111...	7111	1084182	2²⁸	2247	7409767	1	0	1290657
4.344	012021246164812a。。。	0	1110111111111...	14	271	-	35	190	2	三	164	51	998	4
4.364	0120312435243521...	0	0111111111111...	(6#+992)	-	-	33	2141	2	三	4221	62	11687	14
4.367	0124312435213524...	0	0111111111111...	142	3508	2³⁶	101	64466228791	1	0	23739
4.404	0012314324523513...	0	0111101111111...	132	1852	-	208	229872163	2	1	17840	145	6872982644	71
4.406	0012345621874598...	0	1101111111111...	23	205	-	50	231573	2	1	212	44	294097	32
4.44	0012341632167458...	0	1001111011111...	504	7349	2³⁴	296	5488	2	1	18382

.6111。。。	0012312341321461。。。	0	1011111111111。。。	171	2026	2³⁶	73	15336888688	2	1	21401399

格兰迪的	0001021021021321...	0	0111111111111...	1287	48399022	2³⁸	297	21544358589	42	1222	50808030
情侣	0001201231234034...	0	0111011111111...	1585	20628	2³²	335	2135301626	15	409	1008824

格兰迪的游戏：唯一的选择是将任何堆（大小大于2）分成两个大小不同的堆。
情侣互为防御：唯一的选择是将任何大于2的堆拆分为两个堆。它是官员的移位变量（也表示为.6）和两次移位变量0.37。此外，在这个非平凡的八进制游戏表中，还有四个游戏是等价的：0.776和4.44，0.04和0.007。因此，加上《格兰迪的游戏》和0.6111……，它总共包含99个=93+4+2个条目。

这些非平凡的八角游戏列表，最多有3个位置，按

在这6个列表中，游戏4.44、0.04、0.37和情侣情侣被省略了（请查找0.776、0.007、0.6和0.6）。

图例：

游戏: 游戏名称
sgv序列: 的顺序G公司-值开始于n=0
类型: 稀疏空间现象的种类：0=在范围内/1=在域内（稀疏位置空间）
位字符串: 描述具有最低有效位的稀疏空间的无穷0—1序列
位掩码: 描述具有最低有效位的稀疏空间的有限二进制数-最后，位串的镜像1-补码
稀有的: 已知稀有值的数量。稀疏集的大小
最后的: 稀有值的最大已知指数
最大值n: 搜索的最大值n个
最大G: 最大发现值G（n）
指数: 已知最大值指数
迷路的: 已知损失sg值的数量，即指数数量n个具有G（n）=0
最终的: 损失sg值的最大已知指数
深度: 计算电流所需的最大先前值数G公司-价值
周期: 最小周期长度
前周期: 最小前周期长度
除了: 前周期中的最后一个异常sg值
错过: 如果前一周期中的值会被其长度的倍数所偏移，则前一周期不包含的值的数量
汽车: sgv序列最大自相关的偏移<周期长度
畜栏: 最大自相关系数（位移由auto给出）
长度: mex-shift寄存器的长度/深度（<=last+t），用于在发生最后一个罕见值后模拟游戏

结构已知的非平凡八进制博弈

游戏	周期^*	前周期^*	错过	密度	稀有的	最后+t	最大G	深度	汽车	畜栏	解决了的
.45	20	498	67	0.1345	11	200	8	37			1956
.156	349	3479	1919	0.5516	15	360	23	243	66	0.8367	1967
.055	148	259	129	0.4980	6	46	8	20	28	0.8378	1976
.644	442	3256	2208	0.6781	31	514	64	604	207	0.7285	1976
.356	142	7315	6419	0.8775	7	46	19	19	26	0.9155	1976
.165	1550	5181	251	0.0484	-		25	2597	620	0.9277	1976
.127	4	46578	15622	0.3354	693	27109	56	13551	-	0	1988-10-??
.56	144	326640	291858	0.8935	46	1797	64	7405	59	0.6042	1988-10-??
.16	149459	105351	3634	0.0345	53	13937	23	21577	三	0.9148	1988-10年-？？
.376	4	2268248	1104157	0.4868	510	1140543	176	505866	-	0	1988-10-??
.454	60620715	160949019	147240872	0.9148	17	127	41	4858	98	0.3424	2000-12-31
.104	11770282	197769598	163669736	0.8276	20	287	29	4178	12	0.4993	2001-07-01
.106	328226140474	465384263797			15	1106	31	15343	152	0.3548	2002-05-21
.054	10015179	193235616	170776546	0.8838	38	799	41	16284	108	0.5809	2002-05-27
.354	1180	10061916	7912461	0.7864	132	3230	113	705	193	0.7517	2002-05-28

^*给出了最小（前）周期的长度

证明周期长度对在这样一个游戏中，通过计算来验证方程就足够了G（i+p）=G（i）只为t+最大值{最后，深度}多个连续sg值具有t吨游戏名称的非零数字的最大索引（在位置空间稀疏的情况下对应为偶数）。
还有65人和8人未解决的2位分别为3位的比赛（还有格兰迪的游戏和0.6111……）。

备注：如果只有有限多个稀有值，游戏将成为最终周期。对于给定的八进制游戏，让一表示允许拍摄剩余静止物体的位数，即包含2的位数，然后让b条表示允许两堆中断的位数，即包含4的位数。每个稀有值都可以禁止一个公共值。因此，如果所有这些秒，稀有值涵盖不同的（和最小的）所有移动选项的通用值，然后最后a+s*b+1公共值必须是sg-value。对于给定的位字符串米具有唯一的1补表示2^n-1个（2k-1）+1具有n、 k个正整数，最多有2个^n个连续罕见的各自共同值(n-1个是中连续最低0位的数目米). 因此，我们得到了最大发生sg值的量化上界。因此，mex规则可以被视为长度为的移位寄存器最大稀有指数+t及其总和周期长度和前周期长度必须以（a+s*b+1）^最后+t.

最后以表格形式概述最大值随n的增加而增加来自增长最强劲的三位八进制游戏和，共下两次幂n的爬升速度所有三位八进制游戏。

概念稀疏位置空间.

更正

2020-11-12年11月12日，来自洛杉矶的Tomek Czajka告诉我，游戏.161的标准形式与.36不同，它们的sgv序列首先在索引520处不同，并且相差无穷远。因此，我忽略了这个游戏，这个游戏总共有65个未解决的2-和3-地点游戏（并在WW第105页中发现了另一个缺陷）。

赢的方式中的错误第4章

（第1版和第2版，德语和英语）：

p.96官员（.6）：G（10344）=256
p.101 2位游戏的游戏定位器。27:.26
p.103三地游戏的游戏定位器。314：
第105页三局游戏缺少条目。161：
p.112稀疏空间法术速度（column.000007）：G（15857）=512
p.112稀疏空间法术速度（column.000007）：。。。1101011110
p.112稀疏空间法术速度（新专栏.007）：。。。1110111000

关于.00…007游戏的更多信息

游戏	位字符串	稀有的	最后的	最大值n	最大G	指数	迷路的	最终的

.0¹7	-	-	-	-	9	86	*	-
.0²7	00011101111111...	22476	5029983	2²⁸	1689	248902927	37	16170
.0^三7	00011111111111...	184837	7897143	2²³	5774	2925282	31	827065
.0⁴7	?	> 2796000		2²³	16390	8325820	29	1765270
.0⁵7	01111010111111...	8052	596514	2²⁶	1306	55169705	21	26851
.0⁶7	00010011111111...	34905	8242860	2²³	868	8110374	20	2900
.0⁷7	?01111110111101...	> 2422056		2²³	11268	8254651	23	930307
.0⁸7	01111111111111...	4196	13699174	2²⁶	628	55881099	21	602
.0⁹7	01111111111111...	15942	786315	2²⁵	1463	12051742	23	1943
.0¹⁰7	01111101111111...	> 615153	8386853	2²³	11777	7625502	25	4074
.0¹¹7	01111111011111...	178988	7775202	2²³	2187	2926368	24	809
.0¹²7	01111111111111。。。	9144	258184	2²⁶	945	34886850	26	9456
.0¹³7	01111110111111...	18418	33459253	2²⁵	979	26824407	27	5437
.0¹⁴7	01111111011111...	8954	6024150	2²⁶	1216	27955191	28	5834
.0¹⁵7	01111111001111...	279460	8388561	2²³	6020	8158733	29	6231
.0¹⁶7	?	> 2690000		2²³	10250	8044410	30	6628
.0¹⁷7	01111111111111...	54981	8380437	2²³	2226	4384211	30	1223
.0¹⁸7	01111111111111...	155214	8388224	2²³	2440	845568	31	1292
.0¹⁹7	01111111111111...	42430	4609107	2²³	2876	1253051	33	216131
.0²⁰7	00000000111011。。。	> 946372		2²³	11164	8203064	34	13930
.0²¹7	01111101101111...	263675	8387320	2²³	4104	7507947	34	1499
.0²²7	01111111111111...	63803	2126833	2²³	4096	4160051	37	41646
.0²³7	01111111101011...	> 721581	8388605	2²³	12359	7622353	37	91185
.0²⁴7	?	> 2068425		2²³	10951	8350696	37	1706
.0²⁵7	01111111111111...	148032	7772870	2²³	4114	5087945	38	1775

每场比赛。0^n个7有G（i）=0为所有人i<=n.

| 第一个位置我对于其中G（i）=v

v（v） | .0²7 .0^三7 .0⁴7 .0⁵7 .0⁶7 .0⁷7 .0^n-1个7

1 | 三 4 5 6 7 8 n个
2 | 6 8 10 12 14 16 2个
4 | 15 20 25 30 35 40 5个
8 | 55 75 95 115 135 155 20纳米-5
16 | 154 157 190 230 270 310
32 | 434 508 437 530 617 673
64 | 1320 1521 1257 1125 1309 1461
128 | 3217 5894 3368 2691 4588 4905
256 | 9168 22337 11776 5425 19560 17925
512 | 35662 65758 31700 15857 91999 66730
1024 | 109362 157185 86894 74667 -     248642
2048 | -     450546 325183 -     -     745402
4096 | -     1192769 1123380 -     -     1747901

前面的表格是“数学游戏的致胜之道”第4章“附加”一节“稀疏空间法术速度”一段中表格的扩展。

	\|	第一个位置我对于其中G（i）=v

v（v）	\|	.0²7	.0^三7	.0⁴7	.0⁵7	.0⁶7	.0⁷7	.0^n-1个7

1	\|	三	4	5	6	7	8	n个
2	\|	6	8	10	12	14	16	2个
4	\|	15	20	25	30	35	40	5个
8	\|	55	75	95	115	135	155	20纳米-5
16	\|	154	157	190	230	270	310
32	\|	434	508	437	530	617	673
64	\|	1320	1521	1257	1125	1309	1461
128	\|	3217	5894	3368	2691	4588	4905
256	\|	9168	22337	11776	5425	19560	17925
512	\|	35662	65758	31700	15857	91999	66730
1024	\|	109362	157185	86894	74667	-	248642
2048	\|	-	450546	325183	-	-	745402
4096	\|	-	1192769	1123380	-	-	1747901

参考文献

Richard K.Guy和Cedric B.Smith，《各种游戏的G值》，Proc。外倾角。菲罗。《社会学杂志》第52卷（1959年），第514-526页。
Elwyn R.Berlekamp、John H.Conway和Richard K.Guy，《胜利的方式——为了你》数学戏剧（第1版），第一卷，第4章，学术出版社1982年。
Anil Gangoli和Thane Plambeck，关于某些八进制博弈中周期性的注记，《国际博弈论杂志》第18期（1989年），第311-320页。
理查德·盖伊（Richard K.Guy），《组合游戏中未解决的问题》（Unsolved Problems in Combinatial Games），第475-491页，《没有机会的游戏》（Games of No Chance），编辑R.Nowakowski，MSRI出版物第29卷，1996年
Elwyn R.Berlekamp、John H.Conway和Richard K.Guy，《为你赢得胜利的方式》数学剧（第二版），第1卷，第4章，A.K.Peters，2001年。
组合博弈论

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上次更新时间：2021-05-05 14:29 UTC+2

阿奇姆·弗拉门坎普