八进制对策的Sprague-Grundy值

介绍

这些是尼姆游戏---所谓的休息和休息游戏.
给一堆大小n两个球员轮流快走。在每一回合中,玩家必须减少一定数量的血容量把它分成几个小堆。不能合法移动的玩家将输掉比赛。因此大小为0的堆总是存在的丢失并得到值G(0)=0。通常,大小为n的堆的值为G(n)=min{N0\美国jG(继任者职位j)}用j表示所有可能的继任者职位。
这些游戏的规则是编码成一个数字串的形式d0.d1d2d...第i个数字在哪里d指示在多少个非空堆中,如果选定堆的尺寸减小了.数字d被解释为一个二进制值,包含二次幂2k当且仅当允许将堆划分为k非空堆。当然d0从不包含1或2。八进制游戏是这些游戏的一个子集,其中两个玩家都有相同的动作选项和在每次移动时被限制为最多将堆分成两部分,因此限制任何数字d成为大气1+2+4<8.
在稀疏空间现象的范围类型(0)的情况下,这套衣服Sprague-Grundy值G(n)可分为稀疏集而它补码,称为公共集稀疏集的值很少出现,通常只有有限的。如果这些稀有值消失,那么G(n)的infinte序列必须是周期性的。值G(n)属于稀疏集(在范围内)当且仅当人口计数(G(n)和m)且1=0对于一个固定的游戏特定的位串.

在这个网页(及其子网页)的结果所有八进制记数游戏0。???,4。???--这里是?表示任何八进制数字0-7个-- ,0.61111。。。。,格伦迪斯游戏和0n7具有n<=25--最后一个符号表示必须将堆减少n令牌和0、1或2堆可能会保留-。

A简编包含所有2*8个=1024个最多3位八进制游戏寻找或匹配其标准形式。

下一个a列出所有167个标准表格查找基本属性按sgv序列排序的列表.
在这个列表的每一行中,从左到右是一个游戏名称,它的句点和前置长度,它的最大sg值,它丢失的位置数和它的sgv序列的前40个值。如果一场比赛的周期和预赛时长之和大于250,则留空。在这93种情况下,这个游戏被称为非平凡的,它列在下表中。

最多3个位置的非平凡八进制游戏

游戏sgv序列类型位串稀有的最后的最大n最大G指数迷路的终极的深度期间前期除了

.004个0000011112220333。。。0000111111111。。。18485415869181226 62795082053232 82706611905099
.0050001011222033411。。。11110101001011。。。148659134182835227 10593022366--3713078
.006个000011222033111。。。0000000001111。。。48783267104903226 65802668320340 11763216433620
.007号000112203311104。。。000011111111。。。224765029983228 168924890292737 161705218954
.014年0010010122123401。。。001111111111。。。2037 64126231 36516986034513342126438
0.015年0011010212230142。。。001111111111。。。237 11973235 101235039723574027036
0.0160010122201014422。。。000101111111。。。21442180340840229 110440130945218147478930408
.024号0001122304112532。。。0? 225 123713081016626 28624
.026个0001122304112533。。。0? 225 379033322067427 2235172
.034号0011022314014312。。。011111111111。。。1079 374473234 2562637610270596840
.04号000011220331110。。。000011111111。。。224765029984228 168924890292838 161715218954
.054号0010122234411163。。。01011111111111。。。38 796-4133671802162841001517919323561618
0.055秒0011122231114443。。。011111111111。。。6 43-85121201482592
.06秒0001122031122334。。。0? 225 333833355038937 7537483
.064号0001223341115533。。。001111111111。。。68542104273309231 5232755115542
.104个0100010221224104。。。111101111111。。。20 284-29186892397--4178117702821977695989
.106个010001222140106。。。11011011111111。。。15 1103-311937780317--1534332822614047446538426379725
.114个0110011201202120411。。。011111111 01111。。。13686767098692226 16102050145811154
.125美元0102110213011302。。。0? 225 65792 33500174150 28575440
.126个010021332104503。。。101101110011。。。20444102973539230 2222265978--58702391
.127个0102210441220144。。。110000011111。。。693 27106-56247341190209841355144657811
.135个01120112011203110312。。。0? 225 471653344615491 16773774
.136个0110021302110223。。。0? 225 410293315361740 2769772
.140100102122104144。。。000111111111。。。1896 178727232 851839780623172 2199576735
.142个01002221110332410。。。11100011101111。。。1357 117323234 44117142768844--411815
.143个0101222010422150。。。01011111111111。。。94172561883228 14826789789138110087243
.146个0100222411133244。。。010101111111。。。5817307166229 1521200428954324505
.156个0110222441113224。。。011011111111。。。15 357-231032224334934798
.16节010012214014214140。。。001111111111。。。53 13935-2322979078372157714945910535116
.161个0102102132132430。。。001111111111。。。489 23784234 153274450403614429107747
.162个0100223110422610。。。0? 225 657493110759063 24565333
.163个0102231042261042。。。000011111111。。。280049733553435225 39456 33326322417 7050063
.164个0100122344511632。。。00000011001111。。。33383732952802225 205433402756
.165个0102132134436231。。。011011111111。。。(17#+87) --25620222597155051814
.166个0100223411662244。。。01011111111111。。。176 4281234 173356161798312850
.167个0102234116224411。。。01011111111111。。。60 1303237 64332129728227645
.172个0110223011322440。。。01011001111111。。。2352 51381231 3872116001133103947116905
.174个0110213221445642。。。011011111111。。。57 674239 82312784191354212547
.204个0010120101231212。。。1010111011111。。。2245 83860231 44538455--143454
.205个0012010123123134。。。1111001011111。。。112 33944004237 913114909246--63095619
.206个0010123201012323。。。00011011111111。。。103395668113229 80319154690319 51849861529
.207个0012120301245312。。。1011010011111。。。154 433920236 12660119768867--776549
.224个0012012312314304。。。00000001111111。。。162986732426611225 254652010364126 198802
.244个0010123234515673。。。01000111111111。。。653677596617227 671811553700311295819
.245个0012123451567321。。。001011111111。。。151 1352235 142105493409352140663
.264个0012345163251867。。。01001111111111。。。1992 46544231 94648811083121205974
.314个0120120212312453。。。00000011111111。。。18014739657176226 3105463684856 277020507380
.324个0102130134023421。。。1111001011111。。。126 129608237 1097776114395--386895
.334个0120120312312435。。。0000010101111。。。304014433554031225 327782892951147 159618
.336美元0120312403120341。。。000111111111。。。223 53899234 90459150360514630169971
.342个0101232010323450。。。0? 225 355763332102668 636295
.344个0101232451462321。。。000111111111。。。8679313574228 1347115856822307675
.346个0101232451672321。。。0? 225 1033093111218122
.354个0120124312352435。。。0111111 011111。。。132 3227-1131152270511801006191644
.356个0120212451675128。。。011011111111。。。7 43-198621914273152
.36个0102102132132430。。。001111111111。。。516 11798234 20817621878461442917168
.362个01023410223415237。。。000111111111。。。529 43110234 131161463885411227239495
.364个0102132134534231。。。01111011111111。。。977 13573224233 56467842294736011
.366个0102345162345768。。。001111111111。。。827 643528232 533609293376221115356
.37个0120123123403421。。。0011101111111。。。1583 20626233 3637775706553134071008822
.371个0123103240234012。。。00000001110111。。。1498113 225 174742762630142 4089115399203
.374个0120124312352435。。。001111111111。。。246 2354235 2301948126963926861
.376个0120312435243514。。。001111111111。。。510 1140540-17634161225058664226824842
.404号0001122334115633。。。01101101011111。。。369 8024234 263539812627472864621382
.414个0011022344011322。。。0? 225 1923423338046021 238588
.416个0011223411663221。。。010101111111。。。1014 10965233 72681671091561611367
.444个0001122334115633。。。011011111111。。。364 72416309234 21241398137392170177024
.45毫米0011223114432211。。。011111111111。。。11 198-8372137204988
.454个0011223411663221。。。01011111111111。。。17 124-41144561172148586062071516094901916
.56个0102241132446621。。。01101101111111。。。46 1795-642277822740514432664026
.564个0102244113254768。。。0011001111111。。。1687 13275231 14591397236982218757
.6条0012012312340342。。。0011101111111。。。1584 20627233 3637775706554144081008823
.604个0012012312345345。。。0? 225 1926243350537015 7943720
.606个0012340123451234。。。001111111111。。。53811268412360228 159824541676018 73293636038
.64个0012341532154268。。。001111110111111。。。488 156751233 262191163580621470403814
.644个001234516325896a。。。001111111111。。。31 511-6433321604442325632
.74个0101232414623215。。。01101101111111。。。1386 15929231 5127610360622137102
.744个0101232451672321。。。00011011111111。。。876 11268232 7333825607002243665
.76个0102341623416732。。。0000000011011。。。2192485208068226 1692528902242223822819
.764个0102345162345768。。。0011011011111。。。12078941007228 5110117968040221423305
.774个0123145671328954。。。001011111111。。。352 3519234 25732851025238
.776个0123416321674581。。。01001111011111。。。503 7348234 29654871018381

4.0040010123231454323。。。001111111111。。。891443090760228 19962053240623050686
4.0070012123454132825。。。01111110101111。。。2259 186900230 9384712929121240392
4.0260012345613274165。。。01000111111111。。。39289433532520225 16817408174121
4.0440010123234541673。。。000111111111。。。184 1688235 2931713968397318849
4.0450012123454167828。。。011111 01111111。。。34 497237 9315355901532214155
4.0640012345613285764。。。01101011111111。。。52 470-1111911421420161329427245
4.3240120312435241352。。。0111011011111。。。271 5956235 256654707219904
4.3270124312435213524。。。0111111101111。。。71111084182228 22477409767101290657
4.344012021246164812a。。。011101111111。。。14 271-351902164519984
4.3640120312435243521。。。001111111111。。。(6+992) --33214124221621168714
4.3670124312435213524。。。001111111111。。。142 3508236 101644662287911023739
4.4040012314324523513。。。001110111111。。。132 1852-2082298721632117840145687298264471
4.4060012345621874598。。。011011111111。。。23 205-50231573212124429409732
4.440012341632167458。。。01001111011111。。。504 7349234 29654882118382

.6111。。。0012312341321461。。。01011111111111。。。171 2026236 73153368886882121401399

格兰迪的0001021021021321。。。001111111111。。。1287 48399022238 2972154435858942 122250808030
夫妻0001201231234034。。。0011101111111。。。1585 20628232 3352135301626154091008824

格兰迪的游戏:唯一的选择是将任何堆(大小大于2)分成两个不同大小的堆。
夫妻永远是永恒的:唯一的选择是将任何大于2的堆分成两堆。它是官员的移位变体(也被表示为.6)和两次移位的变体.37。此外,在这个非平凡的八进制博弈表中,另外四个博弈等价于:776和4.44,0.04和0.007。因此,加上格兰迪的游戏和0.6111…,它总共包含99=93+4+2个条目。

列出这些不平凡的八进制游戏,最多有3个排序依据

游戏4.44,0.04,0.37和“永远的情侣”在这6个列表中被省略了(查找0.776,0.007,0.6和0.6)。

图例:

游戏
游戏名称
sgv序列
顺序G-值起始于n=0
类型
稀疏空间现象:0=范围内/1=域内(稀疏位置空间)
位串
无限0-1序列描述具有最低有效位的稀疏空间
位掩码
有限二进制数,描述具有最低有效位的稀疏空间,镜像位串的1补码
稀有的
已知稀有值的个数。稀疏集大小
最后的
已知的最大稀有值指数
最大n
搜索的最大值n
最大G
最大发现值克(n)
指数
已知最大值指数
迷路的
已知损失sg值的数量,即指数数量n具有G(n)=0
最终的
sg值丢失的最大已知索引
深度
计算当前值所需的最大先前值数G-价值
期间
最小周期长度
前期
最小预周期长度
除了
前一个异常sg值
错过
如果将按其长度的倍数移位,则preperiod中未被期间覆盖的值的数目
汽车
sgv序列最大自相关的漂移<周期长度
科雷尔
最大自相关系数(位移由auto给出)
长度
mex移位寄存器的长度/深度(<=last+t),用于在最后一个稀有值发生后模拟游戏

结构已知的非平凡八进制对策

游戏期间* 前期* 错过密度稀有的最后+t最大G深度汽车科雷尔解决了的
.45毫米20498670.134511200837 1956
.156个349 347919190.55161536023243660.83671967
0.055秒1482591290.4980646820280.83781976
.644个442 325622080.678131514646042070.72851976
.356个142731564190.87757461919260.91551976
.165个1550 51812510.0484- 2525976200.92771976
.127个446578156220.3354693271095613551-01988年10月-??
.56个1443266402918580.8935461797647405590.60421988年10月-??
.16节149459 10535136340.0345531393723215770.91481988年10月-??
.376个4226824811041570.48685101140543176505866-01988年10月-??
.454个60620715 1609490191472408720.914817127414858980.34242000年12月31日
.104个11770282 1977695981636697360.827620287294178120.49932001年7月1日
.106个328226140474 465384263797 15110631153431520.35482002年5月21日
.054号10015179 1932356161707765460.88383879941162841080.58092002年5月27日
.354个1180 1006191679124610.786413232301137051930.75172002年5月28日
*给出了最小(前)周期的长度

证明周期长度p对于这样一个博弈,在计算上,验证这个等式就足够了G(i+p)=G(i)只为t+max{最后,深度}许多连续sg值具有t游戏名称的非零位数的最大索引(在稀疏位置空间的情况下p应该是偶数)。
还有65人和8人未结算的2位分别是3位八进制游戏(还有格兰迪的游戏和0.6111…)。

注:如果只有有限多个稀有值,博弈将变为终极周期。对于给定的八进制游戏,让表示允许拍摄静止物体的位数,即包含2的位数,b表示允许在两个堆中中断的位数,即包含4的位数。每个稀有值都可以禁止一个公共值。所以如果所有的s,稀有值覆盖不同(和最小值)所有移动选项的公共值,最后a+s*b+1公共值必须是sg值。对于给定的位串具有唯一的1补码表示2n-1号(2k-1)+1具有n、 k正整数,最多2个n连续罕见的各自的共同价值观(n-1号是中连续最低的0位数). 所以我们得到了最大sg值的量子化上界。因此,mex规则可以看作是长度移位寄存器最大稀有指数+t它的总和时段长度和前置时段长度必须以(a+s*b+1)最后+t.

最后以表格形式概述最大值随氮的增加而增加从最强的成长3位八进制游戏在接下来的两次幂中,n爬升的速度有多快所有三位八进制游戏。

概念稀疏位置空间.

更正

在2020年11月12日,洛杉矶的托梅克·查卡告诉我,游戏.161的标准形式与.36不同,它们的sgv序列首先在索引520处不同,而且相差无穷远。因此,我忽略了这个游戏,它总共有65个未解决的2位和3位八进制游戏(并在wwp.105中发现了另一个缺陷)。

制胜之道中的印刷错误第4章

(第1版和第2版,德语和英语):

关于.00…007游戏的更多信息

游戏位串稀有的最后的最大n最大G指数迷路的最终的

0.017----986*-
0.02700011111111。。。22476502998322816892489029273716170
0.0700011111111111。。。18483778971432235774292528231827065
0.047?>279.6万 223163908325820291765270
0.057011101011111。。。80525965142261306551697052126851
0.0670001001111111。。。3490582428602238688110374202900
0.077?011111111101。。。>2422056个 22311268825465123930307
0.087011111111111。。。4196136991742266285588109921602
0.097011111111111。。。15942786315225146312051742231943
0.0107011101111111。。。>615153个8386853223117777625502254074
0.0117011111111011111。。。17898877752022232187292636824809
0.0127011111111111。。。914425818422694534886850269456
0.0137011111111111。。。184183345925322597926824407275437
0.0147011111111011111。。。89546024150226121627955191285834
0.0157011111100111。。。279460838856122360208158733296231
0.0167?>269万 223102508044410306628
0.0177011111111111。。。54981838043722322264384211301223
0.0187011111111111。。。15521483882242232440845568311292
0.0197011111111111。。。4243046091072232876125305133216131
0.02070000000111011。。。>946372个 2231116482030643413930
0.0217011101101111。。。263675838732022341047507947341499
0.0227011111111111。。。638032126833223409641600513741646
0.0237011111101011。。。>721581个83886052231235976223533791185
0.0247?>2068425号 223109518350696371706
0.0257011111111111。。。148032777287022341145087945381775
每场比赛。0n7有G(i)=0对所有人i<=n.

|第一个位置为了什么G(i)=v

|0.0270.070.0470.0570.0670.0770.0n-1号7

1|45678n
2|68101214162号
4|1520253035405牛顿
8|55759511513515520n-5号
16|154157190230270310
32|434508437530617673
64|132015211257112513091461
128|321758943368269145884905
256|9168223371177654251956017925
512|356626575831700158579199966730
1024|1093621571858689474667-    248642
2048|-    450546325183-    -    745402
4096|-    11927691123380-    -    1747901
前面的表格是“数学游戏获胜方式”中表格的扩展,第4章,附加部分,段落“稀疏空间拼写速度”。

工具书类

理查德盖伊和塞德里克B史密斯,各种游戏的G值,程序。坎布。菲罗。第52卷(1959年),第514-526页。
Elwyn R.Berlekamp、John H.Conway和Richard K.Guy,致胜之道——为您数学剧(第1版),第一卷,第四章,学术出版社1982年。
Anil Gangoli和Thane Plambeck,关于某些八进制游戏周期性的注记,国际博弈论杂志第18卷(1989年),第311-320页。
Richard K.Guy,《组合博弈中未解决的问题》,第475-491页,在“没有机会的游戏”中,ed.R.Nowakowski,MSRI出版物第29卷,1996年
Elwyn R.Berlekamp、John H.Conway和Richard K.Guy,致胜之道——为您数学剧本(第二版),第一卷,第四章,A.K.彼得斯,2001。
组合博弈论



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阿希姆·弗拉门坎普