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多项式的根

大于2度

因子定理

代数基本定理

寻找根的策略

整数根定理

共轭对

因子定理的证明

整数根定理的证明

在本主题中我们将看看如何找到根次数大于2的多项式。这取决于前一主题：综合事业部.

我们在那个主题中看到了所谓的因子定理。

因子定理。   x−第页是一多项式因子P（P）(x)当且仅当 第页是的根P（P）(x).

这意味着如果多项式可以分解，例如，如下所示：

P（P）(x) = (x− 1)(x+ 2)(x+ 3)

然后定理告诉我们根是1、−2和−3。

相反，如果我们知道多项式的根是−2、1和5，则多项式具有以下因子：

(x+ 2)(x− 1)(x− 5).

然后，我们可以相乘，得出具有这三个根的多项式。

下面我们将了解如何证明因子定理。

问题1.

a） 使用因子定理证明：(x+1）是一个因素x⁵+ 1.

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先自己解决这个问题！

−1是的根x⁵+ 1. 对于，（-1）⁵+ 1 = −1 + 1 = 0.
因此，根据因子定理，
[x−(−1)] = (x+1）是一个因素。

b） 使用合成除法找出其他因素。

因此，x⁵+ 1 = (x+ 1)(x⁴−x^三+x²−x+ 1)

按照同样的程序，我们可以证明：

(x+一)是一个因素x⁵+一⁵,

并且完全一般地：

(x+一)是一个因素x^n个+一^n个，其中n个很奇怪。

基本定理属于代数

以下被称为代数基本定理：

次数多项式n个至少有一个根，实数或复数。

这个看似简单的陈述让我们得出以下结论：

多项式P（P）(x)学位n个有确切地n个根真实或复杂。

如果P（P）(x)是1，那么因子定理允许我们得出以下结论：

P（P）(x) = (x−第页_n个)(x−第页_{n个− 1}). . . (x−第页₂)(x−第页₁)

例如，一个三次多项式有三个根。如果它们都是真实的，那么它的图形将看起来像这样：

因为，三根就是三根x-拦截.

注：如果我们假设图表从年-轴，则此图形开始在下面这个x-轴。为什么？因为在任何多项式中，前导项最终都会占主导地位。如果前导项为正且多项式为古怪的度，然后当x是一个大的消极的数字——也就是说，在原点的左边——那么负数的奇数幂本身就是负数。图表将位于x-轴。

至于四次多项式，它有四个根。如果它们都是真实的，那么它的图形将如下所示：

这里，最左边的图表是在上面这个x-轴。当多项式为即使度（超前系数为正），则负数的偶数幂为积极的。图形将位于x-轴。

示例1。写出具有以下根的整数系数的多项式：−1，¾。

 解决方案。由于−1是根，那么(x+1）是一个因素。至于根¾，我们会有解决方案

这些因素是（4x− 3)(x+ 1).

多项式为4x²+x− 3.

问题2。确定根为-1、1、2的多项式，并绘制其图形。

问题3。确定根为-½、-2、-2的整数系数多项式，并绘制图表。

问题。如果第页是多项式的根第页(x)，然后在划分时第页(x)由x−第页，什么余数你应该期待吗？

0.自第页是根，那么x−第页是一个因素属于第页(x).

问题4。是x=2该多项式的根：

x⁶− 3x⁵+3个x⁴− 3x^三+3个x²−3x+ 2 ?

第12课

示例2。找到的三个根

P（P）(x) =x^三−2x²− 9x+ 18,

考虑到这个根为3。

解决方案。因为3是的根P（P）(x)，然后根据因子定理，x−3是一个因素。因此，关于划分P（P）(x)由x−3，我们可以找到另一个二次因子。

我们有

这三个根是：2，−3，3。

再一次，因为x−3是一个因素属于P（P）(x)，的余数为0。

问题5。绘制此多项式的图形，

年=x^三−2x²−5x+ 6,

假设一个根是−2。

战略对于查找根

那么，寻找次数多项式根的策略是什么n个 > 2?

我们必须被给予，或者我们必须猜测，一个根第页.然后我们可以分多项式由x−第页，因此生成因素多项式的次数将减少一次。如果我们能找到这个因素的根，我们就可以继续这个过程，每次都减少次数，直到我们得到一个二次方，这个二次方总是可以求解的。

这里有一个定理可以帮助我们猜测根。

整数根定理。   如果一个整数是多项式的根，该多项式的系数为整数，其前导系数为±1，则该整数为因素常数项。

我们会证明这一点在下面.

这个整数根定理是更一般的有理根定理的一个例子：

如果有理数转/秒是系数为整数的多项式的根，然后是整数第页是常数项的一个因子，而整数秒是领先系数的一个因素。

示例3。的可能的整数根是什么x^三− 4x²+ 2x+ 4?

回答。  如果有整数根，它们是常数项4的因子；即：±1、±2、±4。

现在，1是根吗？为了回答这个问题，我们将多项式除以x−1，并希望余数为0。

余数不是0。1不是根。让我们试试−1：

余数也不是0。让我们试试2：

是的！2是根。我们有

x^三− 4x²+ 2x+ 4 = (x²−2x− 2)(x− 2)

现在我们可以通过完成平方来求二次方的根。正如我们在中发现的专题11:

x= 1 ±

因此，这三个根是：

1 +,  1 −,  2.

问题6。

a） 这个多项式的可能整数根是什么？

x^三−2x²− 3x+ 1

±1.它们是常数项的唯一因子。

b） 那个多项式有整数根吗？

不，因为1和−1都不会使多项式等于0。两者的合成除法均为±1，但余数为0。

问题7。将此多项式因子化为线性的因素。

x^三+ 2x²− 5x− 6

结合对

如果无理数一+是根，然后是它的共轭一−也是根。（请参见代数技巧，第28课。)如果复数一+双是根，那么它也是根结合,一−双.

示例4。多项式P（P）(x)具有以下根：

−2,  1 +,  5我.

什么是最小的程度P（P）(x)可能有？

 答案.5.自1起+是根，那么它的共轭物1−也是根自5日起我是根，它的共轭物也是根，−5我.

P（P）(x)至少有这5个根：

−2，1±，±5我.

问题8。构造一个具有以下根的多项式：

a） 2个+

自2起+是根，那么2−也是根因此，根据根的和和乘积定理，它们是x²− 4x+ 1.

专题10

b） 2至3我

自2−3我是根，那么2+3也是根我根据根的和和积的定理，它们是x²− 4x+ 13.

请参见专题10，示例7.

问题9。构造根为1和5的多项式我.

自5日起我是根，那么它的共轭项也是，−5我它们将是多项式的二次因子的根。这些根的和是0。这个产品是25。因此，二次因子为(x²+ 25).

接下来，因为1是根，那么(x−1）是一个因素。因此多项式为

(x− 1)(x²+ 25) =x^三−x²+ 25x− 25.

问题10。让（f）(x) =x⁵+x⁴+x^三+x²− 12x− 12. 一个根是另一个是−2我.

如果（f）(x)有整数根，它可以有多少根？

一个。这是一个五次多项式，有五个根。两个是和−二是二我和−2我.

问题11。五次多项式可能有两个实根和三个虚根吗？

不，它不是。因为虚根总是成对出现，所以如果有虚根，那么它们的数目总是偶数。

考虑带正前导项的五次多项式的图。何时x是一个很大的负数，图形位于x-轴。什么时候？x是一个大正数，它位于x-轴。因此，图形必须穿过x-轴至少一次。现在，你能画出这样的图表吗x-轴精确两次？不，你不能。奇数次多项式必须有奇数个实根。

的证明这个因子定理

x−第页是多项式的因子P（P）(x)
当且仅当
第页是的根P（P）(x).

首先，如果(x−第页)是一个因素P（P）(x)，然后P（P）(第页)会有这个因素(第页 − 第页)，即0。这将使P（P）(第页) = 0. 这意味着第页是一个根.

相反，如果第页是的根P（P）(x)，然后P（P）(第页) = 0. 但根据余数定理,P（P）(第页)=0表示在除法时P（P）(x)由x−第页，的余数为0。 x−第页因此，是一个因素P（P）(x).

这就是我们想要证明的。

的证明这个整数根定理

如果一个整数是一个多项式的根，该多项式的系数是整数，且其前导系数是±1，则该整数是因素常数项。

让整数第页是此多项式的根：

P（P）(x) = ±x^n个+一_n个−1x^n个−1+一_n个−2x^n个−2+ . . . +一₂x²+一₁x+一₀,

其中一的是整数。然后，因为第页是根，

P（P）(第页) =±第页^n个+一_n个−1第页^n个−1+一_n个−2第页^n个−2+ . . . +一₂第页²+一₁第页+一₀= 0.

转置常数项一₀、和因子第页从其余条款中：

第页(±第页^n个−1+一_n个−1第页^n个−2+ . . . +一₂第页+一₁) = −一₀

现在一的都是整数；因此，括号中的表达式是一个整数，为了方便起见，我们将其称为−问：

r（−q）= −一₀,

或者，

rq值=一₀.

因此，常数项一₀可以分解为rq值，如果第页和q个都是整数。在这些条件下，那么，第页是常数项的因子。

这就是我们想要证明的。

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