Dedekind的问题

一个简单的布尔函数将n个二进制输入映射到单个二进制输出。有2^n个可能的输入状态,每个状态都映射到输出为0或1。因此,可能的函数数这个表格的数字是2^(2^n)。这些都可以通过以下方式实现基本逻辑运算AND、OR和NOT。所有可能的布尔函数的一个重要子集是MONOTONE功能,包括可以使用只是AND和OR操作(没有NOT操作)。有关更详细的信息描述,请参见生成单调布尔函数.Dedekind问题是确定不同单调数M(n)n个变量的函数。虽然Dedekind首先考虑了这一点1897年的问题,仍然没有简明的封闭式表达对于M(n)。截至1999年,已知以下值n个M(n)---  -----------------------0 21                         32                         63                        204                       1685                      75816                   78283547             24146820409988   56130437228687557907788已经做了很多工作来证明M(n)的上界和下界,但没有已知的封闭式表达式。划分不同单调函数数的一种方法n个变量中的一个是根据不同的映射到输出值1的输入状态。例如,在情况n=5,我们有#第个事件,共个事件k有k态k有k状态0           1                   17          6051           1                   18          5802           5                   19          5303          10                   20          4704          20                   21          3875          35                   22          3106          61                   23          2157          95                   24          1558         155                   25           959         215                   26           6110         310                   27           3511 387 28 2012         470                   29           1013         530                   30            514         580                   31            115         605                   32            116 621总计7581正如你所料,这是一个对称分区。另一种方式分裂M(n)的数量取决于所需的“最小割数”以指定函数。单调函数的最小割集包括在该函数的输入状态集合中,减去“冗余”状态。(给定两个状态X和Y,状态X对于Y iff是多余的X U Y=Y。)例如,可以划分5个变量的函数上限如下:#不同功能的k配k切肉0          11 32个2        2853       10904       20205       21466       13807        4908        1159         2010          2总计7581如果我们有一个关于不同单调数的一般公式函数(n个变量)和k个mincuts,我们就有了一个解决方案Dedekind问题。设M(n,k)表示这个数。显然M(n,0)=1和M(n、1)=2^n。此外,我注意到那个M(n,2)=(2^n)(2^n-1)/2-(3^n-2)M(n,3)=(2^n)(2^n-1)(2*n-2)/6-(6*n-5*n-4*n+3^n)有人知道k>3的M(n,k)的类似公式吗?后记:有关答案,请参阅Dedekind问题的研究进展.

返回数学页主菜单