Dedekind问题的进展

注释Dedekind的问题定义单调布尔集（即。，仅使用AND和OR逻辑运算即可表达的函数），以及讨论n的所有单调函数的枚举问题变量。一种方法是考虑M（n，k），它是n个变量的单调布尔函数，精确到k个最小值。下表给出了前几个值的M（n，k）共n个：M（n，k），离散单调布尔数n个变量具有k个最小割集的函数-----------------------------------------------n个k 0 1 2 3 4 5 6 7 8---   ---  ---  ---  ----  -----   -----    ------   ------  --------0     1    1    1     1      1       1         1        1         11     1    2    4     8     16      32        64      128       2562               1     9     55     285      1351     6069     263353                     2     64    1090     14000   153762   15335044                           25    2020     82115  2401910  580894655                            6    2146    304752     :         :6                            1    1380    759457     :         :7                                  490   13082708                                  115   16132509                                   20   148423010                                    2   106777111 63504412                                         32699013                                         14744014                                          5767515                                          1923816                                           532517                                           117018                                            19019                                             2020个1---  ---  ---   ---   ----   -----   ------- 总计2 3 6 20 168 7581 7828354在前面的注释中，我给出了k=0,1,2,3的M（n，k）的公式如下M（n，0）=1M（n，1）=2^nM（n，2）=（2^n）（2^n-1）/2-（3^n-2）M（n，3）=（2^n）（2^n-1）（2*n-2）/6-（6*n-5*n-4*n+3^n）这些公式给出了前面表格的水平行，包括前导零。从这些案例中可以清楚地看出一般来说，M（n，k）必须可以表示为形式的和12个M（n，k）=---总和c_M M^n不！m=2对于一些整数系数c_m注意，我问是否有人知道k>3的M（n，k）的公式。这个也是我的第7个问题头号通缉犯名单.1999年9月，我收到了Vladeta Jovovic的一封电子邮件，通知我他、G.Kilibarda和Z.Maksimovic贝尔格莱德正在准备一份文件，他们在其中给出了表达方式对于M（n，k），对于k=4到10。他们很好地把这些寄给了我表情，它们很吸引人。正如人们所料，他们是因此，k=10的总和为大约2^10=1024个术语，减去系数c_m恰好为零。当k=4时，我们寻求一个公式M（n，4），该公式给出了第四个值上表中的行，即。，0   0   0   0   25   2020    82115   2401910    58089465  ...n=0,1,2，。。。Jovovic、Kilibarda和Maksimovic发现的公式对于k=4是1/n n n n n n n nM（n，4）=---（16-12*12+24*10+4*9-18*8+6*7-36*64!  \n个n个\+ 36*5  + 11*4  - 22*3  + 6*2   )/在这些表达式。查看非零的最高权力系数，我们有k个---2 4^n-2*3^n+1*2^n3 8^n-6*6^n+6*5^n+3*4^n+。。。4 16^n-12*12^n+24*10^n+4*9^n+。。。5 32^n-20*24^n+60*20^n+20*18^n+。。。6 64^n-30*48^n+120*40^n+60*36^n+。。。7 128^n-42*96^n+210*80^n+140*72^n+。。。8 256^n-56*192^n+336*160^n+280*144^n+。。。9 512 ^n-72*384 ^n+504*320 ^n+504*288 ^n+。。。10 1024^n-90*768^n+720*640^n+840*576^n+。。。很明显，一旦模式是启动。此外，系数也很容易识别序列。我们还可以检查每种方法中最低幂的系数表达式。这些似乎与斯特林密切相关第一类数字。如果我们表示斯特林数按S{m，n}表示，索引如下n个1     2     3     4     5     6     7     8米----------------------------1      1     0     0     0     0     0     0     02      1     1     0     0     0     0     0     03      2     3     1     0     0     0     0     04      6    11     6     1     0     0     0     05     24    50    35    10     1     0     0     06    120   274   225    85    15     1     0     07    720  1764  1624   735   175    21     1     08   5040 13068 13132  6769  1960   322    28     1然后总结出最低功率的非零系数在下面术语系数-----   -----------------------------------2^n1S{k，1}3^n-2S{k，2}4^n1S{k，2}5^n6S{k，3}6^n-6S{k，3}7 ^n 6 S｛k，4｝8^n1S{k，3}-24S{k、4}9^n4S{k，4}10^n 24秒{k，4}11 ^n 20 S｛k，5｝12^n-12S{k，4}-120S{k13^n 120秒{k，5}14^n 150 S{k，5}15^n-120S{k，5}-20S{k16^n1S{k，4}-120S{k、5}+180S{k和6}17^n10S{k，5}-360S{k、6}18^n20S{k，5}-240S{k、6}19^n 750秒{k，6}20^n 60秒{k，5}+480秒{k、6}21^n-540S{k，6}22^n-240秒{k，6}23^n-720平方公里，6}+70平方公里，7}24^n-20S{k，5}-180S{k、6}-840S{k和7}25^n 36平方公里，6}+2520平方公里，7}等等。将斯特林数的系数放入桌子，我们有项系数中斯特灵数S｛k，j｝的乘数学期1 2 3 4 5 6 7 8 9 10----   ---  ---  ---  ----  ----   ----  -----  -----  ----  -----2 ^n 1个3^n-2个4 ^n 1个5分6秒6个月-6个月7分6秒8月1日至24日9 ^n 4号10分24秒11分20秒12月-12日-120日13 ^n 12014 ^n 15015分钟-120分钟-20分钟16^n 1-120 18017 ^n 10-36018 ^n 20-24019^n 750个20立方英寸60 48021^n-54022^n-240岁23 ^n-720 7024分钟-20分钟-180分钟-840分钟25 ^n 360 252026 ^n 480 420个27 ^n 120-756028^n 810-2520公元13860年29月30^n-720 658031^n-8400 70岁32 ^n 1-360-2520-1120-1---  ---  ---   ---     ---总和1-1 1-1 1有没有一种简单的方法来确定这些系数条款？这些数字的“圆度”，以及每一个列总和为+-1，表明可能有一个有用的组合解释。