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威尔·尼科尔斯

Collatz树/3x+1猜想

这个考拉兹猜想(也称为“3x+1”或“3n+1”问题)涉及一个简单的重复公式,但会产生一些有趣的序列。

简而言之,从一个正整数开始;如果是偶数,就除以二;如果是奇数,乘以3再加一。重复此步骤,直到结果为1。例如,从28开始生成序列28、14、7、22、11、34、17、52、26、13、40、20、10、5、16、8、4、2,最后是1。如果你继续超过1,序列无限期循环4,2,1,4,2,1。。。

这是一个开放的问题,是否所有的正整数,通过这一过程最终结束于1;虽然一个序列有可能永远增加,或者进入循环,但迄今为止还没有发现。

“反转”这个过程产生一棵Collatz树。给定一个结果1,可以用两种方式来观察结果:n/2是1还是n3+1是1。因此,1的两个可能的“前体”是2或0。当2是一个有效的前体时,0不是:因为它是偶数,它不会通过公式n3+1;取而代之的是除以2。

我们可以继续沿着这条路走下去,看看是什么导致了2;由于应用的正常运算是n/2和3n+1,所以我们可以执行2n和(n-1)/3的逆运算,看看2的前兆是什么。运算得到4(有效)和1/3(无效,因为它不是整数)

迭代有效的结果会得到一个树:

Collatz树/3x+1问题

这将显示通过前8次迭代的有效节点和无效节点。您可以找到更完整的版本(没有无效节点)在这里.

一些相关的整数序列:

  • 从下到上遍历树得到整数序列A088975号:1、2、4、8、16、5、32、10、64、3、20、21。。。
  • 从上到下遍历每一级最右边的节点得到2的幂次(1,2,4,8,16,32…),在遍历每一级最左边的节点时给出整数序列A101229号:1、2、4、8、16、5、10、3、6、12、24、48。。。
    请注意,逆3x+1公式(x-1)/3永远不会为3的倍数生成整数,因此从“6”开始,此序列中的每个数字将始终是前一个数字的两倍。
  • 每级节点数为整数序列A005186号:1,1,1,1,1,2,2,4,4,6,6,8,10,14,18,24,29。。。

 

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