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1994 调和级数部分和的{$p$}-adic研究
大卫·W·博伊德
实验。数学。 3(4): 287-302 (1994).

摘要

设$H_n=1+\half+\cdots+{1\overn}$是调和级数的$n$-部分和。Wolstenholme的一个经典结果表明,如果$p>3$是素数,$H_{p-1}$的分子可以被$p^2$整除。这里我们考虑,对于给定的素数$p$,$p$除以$H_n$分子的$n$的集合$J_p$。该集合$J_p$先前已被确定为$p=2,3,5,7$。我们的结果之一是$J_{11}$正好包含$638$个整数,其中最大的是$31$个十进制数字。我们确定所有$p<550$的$J_p$,但有三个例外:$83$、$127$和$397$。

计算基于一个新的量$H_{pn}-H_n/p$的$p$自由收敛公式。我们基于分支过程描述了集合$J_p$的概率模型。该模型预测$|J_p|=O(p^2(\log\log p)^{2+\eps})$,并且有无限多的$p$与$|J_p|\gep ^2(.log\log p)^2$。这加强了Eswarathasan和Levine早先的猜测,即$|J_p|$对所有$p$都是有限的。该模型的另一个预测是,将有无限多对$(n,p)$,其中$p^3$除以$H_n$的分子,但只有有限多对$p^4$除以$H_n$。

据推测,有无限多个$p$,其中$|J_p|=3$。我们给出了一个概率论据,表明这些素数在所有素数集合中的密度为$1/e$,并通过测定所有这些素数来实验证实这一点。

引用

下载引文

大卫·博伊德(David W.Boyd)。 “对调和级数部分和的{$p$}-adic研究。” 实验。数学。 (4) 287 - 302, 1994

信息

出版时间:1994年
欧几里得项目首次提供:2003年3月24日

zbMATH公司:838.11015
数学科学网:MR1341721型

学科:
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次要:11公里99,60J80型

权利:版权所有©1994 A K Peters,Ltd。

第3卷•第4期•1994
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