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Lyapunov函数

Lyapunov函数是标量函数 V（年）在区域上定义天即连续、正定、，V（y）>0为所有人y=0)，具有连续的一阶部分衍生产品在…的每一点天.的导数V（V）关于系统y^'=f（y），写为V^*（年）定义为点积

V^*（y）=del V（y）·f（y）。
(1)

Lyapunov函数的存在性V^*（y）<=0关于某个区域天包含原点，保证零点的稳定性的解决方案y^'=f（y）,而Lyapunov函数的存在性V^*（年）在某些区域上是负定的天包含原点保证了渐近稳定性的零解y^'=f（y）.

例如，给定系统

是^'=z（z）
(2)
z ^’=-y-2赫兹
(3)

和Lyapunov函数V（y，z）=（y^2+z^2）/2，我们获得

V^*（y，z）=yz+z（-y-2z）=-2z^2，
(4)

它在包含原点的每个区域上都不增加，因此零解是稳定的。

另请参见

线性稳定性,非线性稳定性

此条目由贡献马丁凯勒·雷塞尔

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博伊斯，W.E。和DiPrima，R.C。初等微分方程和边值问题，第5版。纽约：威利，第502-512页，1992年。Brauer，F.和Nohel，J.A。这个常微分方程定性理论：导论。新建约克：多佛，1989年。W·哈恩。理论利亚普诺夫直接法的应用。新泽西州恩格尔伍德克利夫斯：普伦蒂斯·霍尔，1963乔丹·D·W·。和P·史密斯。非线性常微分方程。英国牛津：克拉伦登出版社，第283页，1977R.E.卡尔曼。和Bertram，J.E。“控制系统通过Liapunov，I.连续时间系统的“第二种方法”进行分析和设计。"J.基本能量传输。美国航空航天局 82, 371-393, 1960.奥古兹托雷利，制造商编号。；拉克什米坎塔姆，V。；和Leela，S.“构造的算法Liapunov函数。"非线性分析。 5, 1195-1212, 1981.兹威林格，D.《利亚普诺夫职能》第120条手册微分方程，第3版。马萨诸塞州波士顿：学术出版社，第429-432页，1997

参考Wolfram | Alpha

Lyapunov函数

引用如下：

马丁·凯勒·雷塞尔.“Lyapunov函数。”摘自数学世界--Wolfram Web资源，创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/Lyapunov功能.html

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