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欧拉级数变换

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欧拉级数变换是一种有时会加速汇聚对于交替系列给出一个带和的收敛交错级数

S=sum_（k=0）^infty（-1）^ka_k，
(1)

阿布拉莫维茨和斯特根（1972年，第16页）将欧拉的转变定义为

S=sum_（k=0）^infty（（-1）^kDelta ^ka_0）/（2^（k+1）），
(2)

哪里三角洲是远期差额操作人员

增量^ka_0=sum_（m=0）^k（-1）^m（k；m）a_（k-m）
（3）

和（k；m）是一个二项式系数。

Knopp（1990年，第244页）提出的另一种公式将转换定义为

S=总和（k=0）^系数（del^ka_0）/（2^（k+1）），
(4)

哪里德尔 是反向差操作人员

del ^ka_0=总和（m=0）^k（-1）^m（k；m）a_m。
(5)

Knopp（1990，p.263）给出了应用转换时不同类型收敛行为的示例：

sum_（n=0）^infty（（-1）^n）/（2^n）=1/2sum_
(6)

加快收敛速度，

sum_（n=0）^infty（（-1）^n）/（3^n）=1/2sum_
(7)

给出相同的收敛速度，以及

sum_（n=0）^infty（（-1）^n）/（4^n）=1/2sum_
(8)

收敛速度较慢。

要了解Euler变换的工作原理，请考虑Knopp的差分运算符约定，并编写

S公司=u_0-u_1+u_2-。。。
(9)
=1/2u_0+1/2[（u_0-u_1）-（u_1-u_2）+（u_2-u_3）-…]。
(10)

现在对括号中的序列重复该过程，以获得

S=1/2u_0+1/4（u_0-u_1）+1/4[（u_0-2u_1+u_2）-（u_1-2u_2+u_3）+（u_2-2u_3+u_4）-…]，
(11)

并继续无穷大。这证明了推导过程中的每一个有限步骤，尽管它实际上并没有证明最后一步，因为“继续无穷大”涉及到极限的使用。

另请参见

交替系列,系列

与Wolfram一起探索| Alpha

工具书类

M.Abramowitz和I.A.Stegun。（编辑）。《数学函数与公式、图表和数学表格手册》，第9版。纽约：多佛，1972年第16页。Knopp，K。理论无穷级数的应用。纽约：多佛，1990年。

引用的关于Wolfram | Alpha

欧拉级数变换

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“欧拉级数变换。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EulersSeriesTransformation.html

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