有多少长度为N的二进制字符串包含子字符串“11011”？

Question

我已经试了很长时间了。例如：

N=5。然后我们可以得到11011，它只是一个子串。

但如果N=9，

我们可以有许多形式的二进制字符串

11011xxxx 2^4组合

x11011xxx 2^4组合

xx11011xx 2^4组合

xxx11011x 2^4组合

xxxx11011 2^4组合

但这是过度计算的情况。（110110110）是一个字符串，但计为2。

我们如何避免这种情况？

注：这个问题出现在2016年的ZIO中。

ZIO2016年

Answer 1

这里我们正在寻找长度为$N$的二进制字符串不包含子字符串$11011$。结果是$2^N$减这个数字。

所谓的Goulden-Jackson聚类法是推导生成函数针对此类问题。

我们考虑从字母表$$\mathcal{V}=\{0,1\}$$和坏的不允许作为我们正在寻找的单词的一部分的单词。

我们导出了一个函数$F（x）$，其系数为$x^N$，即需要的长度为$N$的单词数。根据论文（第7页），生成函数$F（x）$为\开始{align*}F（x）=\frac{1}{1-dx-\text{weight}（\mathcal{C}）}\结束{align*}$d=|\mathcal{V}|=2$，字母表的大小权重数字$\mathcal{C}$与\开始{align*}\text{weight}（\mathcal{C}）=\text{weight{（\mathcal{C}[11011]）\结束{align*}

我们根据论文计算\开始{align*}\text{weight}（\mathcal{C}[11011]）&=-x^5-\text{weight{（\mathcal{C}[11011'）\left（x^3+x^4\right）\结束{align*}

具体如下：生成函数$F（x）$用于从$\{0,1\}$生成的字数不包含子字$11011$is\开始{align*}F（x）&=\frac{1}{1-dx-\text{weight}（\mathcal{C}）}\\&=\压裂{1}{1-2x+\压裂{x^5}{1+x^3+x^4}}\\&=\压裂{1+x^3+x^4}{1-2x+x^3-x^4-x^5}\结束{align*}

由于生成函数计算长度为$N$的所有二进制字符串的数字$2^N$为\开始{align*}\压裂｛1｝｛1-2x｝=1+2x+4x^2+\cdots\结束｛align*｝

我们得出结论：包含字符串$11011$的长度为$N$的数字二进制字符串的生成函数为

\开始{align*}\压裂{1}{1-2x}-F（x） &=\压裂{1}{1-2x}-\裂缝{1+x^3+x^4}{1-2x+x^3-x^4-x^5}\\&=\压裂{x^5}{（1-2x）（1-2x+x^3-x^4-x^5）}\\&=x^5+4x^6+12x^7+31x^8+75x^9+175x^{10}\\&\qquad 399x^{11}+894x^{12}+1975x^{13}+4133x^{14}+9330x^{15}+\cdots\结束{align*}

最后一行（1）是在Wolfram Alpha的帮助下计算的，我们可以看到长度小于等于$N=15$的字符串的解的数量。

例如，包含子字符串$11011$的长度为$7$的$12$字符串是

\开始{数组}{cccc}\颜色{蓝色}{00}11011\四边形\\quad\color{blue}{0}11011\颜色{蓝色}{0}\quad&\quad11011\color{蓝色{00}\\\颜色{蓝色}{01}11011\四边形\\quad\color{blue}{0}11011\颜色{蓝色}{1}\四元和四元11011\颜色{蓝}{01}\\\颜色{蓝色}{10}11011\四边形\\quad\color{blue}{1}11011\颜色{蓝色}{0}\四元和\quad11011\颜色{蓝}{10}\\\颜色{蓝色}{11}11011\四边形\\quad\color{blue}{1}11011\颜色{蓝色}{1}\四边形&\quad11011\颜色{蓝}{11}\\\结束{数组}

Answer 2

假设$k$是11011的块数，假设$j$是块的单个重叠数（给出$11011011$），假设$l$是双重重叠数（给定$1101011$）。

然后有$\binom{k-1}{j}$种方法选择单重叠，$\binom{k-1-j}{l}$种方式选择双重叠，

$\binom{n-4k+l}{k-j-l}$选择块位置的方法（因为有$k-j-l$分隔符

和$n-5k+j+2l$剩余数字）以及$2^{n-5k+j+2l}$选择其他数字的方式。

使用Inclusion-Exclusion，这将得到$$\sum_{k=1}^{lfloor\frac{n-2}{3}\rfloor}（-1）^{k+1}\sum_{j=0}^{k-1}\sum{l=0}^{k-1-j}\binom{k-1{{j}{k-j-l}2^{n-5k+j+2l}$$。