Bruce导演
1818年，卡尔·F·高斯接受了对汉诺威王国大部分地区进行测地线测量的任务，或者换句话说，测量地球表面的一部分。该项目涉及许多困难，首先需要反思测量的一般概念。
高斯的朋友兼合作者、天文学家贝塞尔认为，一个具有高斯数学能力的人不应该参与这样一个实际项目，高斯回答说：
“世界上所有的测量值都不值{1}永恒真理科学得以真正发展的定理。然而，你不是根据绝对值来判断，而是根据相对值来判断。毫无疑问，我的三角形系统与Krayenhoff的三角形系统相连接，从而与法语和英语相连接。无论你对这项工作的评价多么低，在我看来，它都比那些被它打断的职业要高……你会同意我的看法，当一个人在许多琐事上没有任何实际帮助时，只有当一个人意识到要追求一个非常重要的目标时，才能消除失去时间的感觉…
“除了短暂的空闲时间之外，我还有什么可以让我自己更重视的工作呢？”
你如何测量地球表面？甚至不要考虑使用码尺。首先想想衡量意味着什么。除非你首先能够确定这两个事物是否可公度，否则你无法用另一个事物来衡量一个事物。如果你经历了过去几周的教学讨论，你就会知道，两个量值是否可以相互比较并不总是不言而喻的。
为了理解这一点，请看一个由欧几里德、阿基米德、库萨和开普勒研究的类似问题，关于这个问题已经有很多评论：测量圆的周长。
人们可以用另一个圆或圆的一部分来测量一个圆，但不能用直线或任何其他曲线来测量。一个整圆可以测量另一个整圆周，只与尺寸有关，即一个圆大于或小于测量它的圆。但是，要沿着圆的周长进行测量，必须对圆进行分割。然后可以通过分割的部分测量周长。
第一个也是最明显的除法是减半。这将创建两个半圆和一个直线直径。阿基米德认为，通过将直径分成小部分，人们可以测量圆的周长，但库萨证明了，[如果你学习了上周的教学法，你就会向自己证明]，直径和圆是不可公度的。一个人无法衡量另一个人。因此，为了测量圆，我们必须将圆周本身分成更小的部分。
如果我们继续把圆对折，再对折，我们会把圆周分成越来越小的部分。零件数量为2的幂。（即2、4、8、16……）但是，如果我们想测量周长中不是2的幂的部分，就必须发现其他类型的除法。
如果我们把圆展开，把它折成四分之一，我们就得到了两个直径，这两个直径在圆的中心相交。现在折叠圆，使圆周上的一点接触中心。这将形成一条新的直线，比直径短，与圆周相交两个点。一旦这个褶皱形成，很容易找到另外两个褶皱，它们也会在中心相遇，形成两条线，形成一个三角形。（对你来说，通过实验来发现这一点要比我不用图表来描述它容易得多。）这将圆分为三部分。
通过一个更复杂的过程，圆的周长可以分为五个部分，其中的描述需要在此离题，但将在未来的简报中讨论。
长期以来，人们一直认为，开普勒证明，不可能将圆圈分成七个部分。直到高斯，人们才相信这是圆周长可分性的最终边界。高斯发现圆圈可以分成17个部分，其他部分也可以。但就今天的讨论而言，重要的是，分裂过程有一个边界。并不是所有的划分都是可能的，因为划分对于测量来说是必要的，所以测量需要一个人去发现，如果可能的话，去克服这些边界。
为了进行测地线测量，高斯必须确定如何划分地球表面，这带来了许多类似的问题，尽管比我们上面的例子更复杂。例如，高斯必须测量一个面积，而不是测量一条曲线。这个区域位于一个曲面上，在一级近似中是一个球体，但实际上更接近于椭球体。这些曲面是如何划分的？这些分裂一旦被发现，如何在地球表面上进行测量？这些问题和其他问题将在未来的教育学期刊中讨论。
但是，在思考上述问题的同时，思考一下高斯的以下陈述并不是无益的，这些陈述摘自他的“天文学就职演讲”，高斯在演讲中反驳了所谓理论科学中激怒所谓实践的观点：
“以这种方式判断不仅表明我们多么贫穷，也表明我们的头脑多么狭隘、懒散；它表明了一种总是在工作前计算回报的倾向，一颗冷漠的心，以及对一切伟大和尊重人类的事物缺乏感情。不幸的是，人们不能否认，这种思维方式在我们这个时代并不罕见，我相信，这与最近发生在许多国家的灾难密切相关；不要误会我，我并不是说人们普遍缺乏对科学的关注，而是说所有这些都是从哪里来的，到处都在寻找自己的优势，把一切都与自己的身体健康联系起来，对伟大思想漠不关心，对于任何来自纯粹热情的努力的厌恶：我相信，这种态度如果占上风，就会在我们经历过的那种灾难中起决定性作用。”
测量和可分割性第二部分
上周，我们研究了圆周周向频率的测量。所需要的是将圆周划分为可公度的部分。结果表明，通过重复折叠可以实现2的除法和2的幂，通过以不同的方式折叠可以实现3的除法。尽可能地用5除，留给读者去完成，用7除是不可能的，读者参考了开普勒的证明（世界和谐，第一册）。在眼睛看来，圆的周长看起来很平滑，到处都一样，然而当你试图划分圆时，你会发现边界，每个新的{类型}都有。因此，数字2、3、5和7都表示相对于圆周的可分割性{类型}。
这里的单词{type}是在Cantor和LaRouche的意义上使用的。每一种{类型}的除法，都被一个不连续性隔开。用2或2的幂的除法，人们不能把圆分成3部分。可以将除法2和3结合起来，将圆划分为6个部分，但5个部分需要一个新的{type}除法。
让我们尝试其他类型的分割，相对于其他类型的曲线和曲面。
一旦圆被分割，可以通过将圆周上的点彼此连接来形成多边形，也可以通过将多边形的顶点连接到圆心来形成三角形。很容易证明，这些三角形都是相等的。因此，圆周各部分与中心的关系是相同的。
现在看一个椭圆。椭圆与圆的不同之处在于，椭圆周长的所有部分都与两点（称为焦点）有关，而不是与圆的情况相同。具体来说，从一个焦点到椭圆圆周的距离，加上从圆周到另一个焦点的距离总是相同的。如果这两个焦点聚在一起，变成一个焦点，椭圆就变成了一个圆。
再看一看椭圆。人们只能用两种方式将椭圆对折（为了方便起见，我们可以称之为水平和垂直），而圆可以用无数种方式对折。当椭圆对折时，生成的一条直线将比另一条长，这两条直线的交点（称为轴）将被称为椭圆的中心。使用此中心可以绘制与此椭圆相关的两个圆。一条线的直径较小，另一条线直径较长。前者将小于椭圆，后者将更大。
现在，将较大的圆分割成任意数量的部分，并形成与通过分割形成的多边形相关联的三角形。与圆半径相对应的三角形的边将与椭圆的周长相交，从而分割椭圆的周线。现在将椭圆周长的交点相互连接，在椭圆中形成三角形。很容易看出，与圆不同，这些三角形是不相等的，因此，由圆的这些分割形成的椭圆周长的分割是不相等。因此，椭圆不能像圆一样被分割或测量。达到了一个新的不连续性。
这种新的不连续性是由圆和椭圆之间特征曲率的差异引起的。圆的曲率是恒定的，而椭圆的曲率总是在变化。
这个测量椭圆周长的问题是物理学和天文学的一个关键问题，开普勒对此进行了研究，高斯通过应用他的复域假设进一步发展了这个问题。这些问题将在未来的教学讨论中进行调查。但现在，再迈出一步。现在考虑一个球体。用什么方法，可以将球体一分为二？这将告诉我们关于圆和椭圆的划分的基本假设是什么？
下周还有更多。
测量和可分性第三部分
上周的讨论以这样一个问题结束：用什么方法可以把一个球体分成两半？让我们把这个问题与把圆分成两半的问题进行比较。这是通过将圆自身折叠来实现的，我们发现了与该过程相关的某些边界条件。我们如何将这种方法应用于分割球体的问题？
首先想想我们折叠圆圈时做了什么。我们不是简单地划分圆。我们对圆应用了一个旋转，方向与生成圆的旋转方向不同。也就是说，一个二维的圆在2+1维内旋转。n维除法受n+1维变换的影响。
现在将其应用于球体。显然，球体不能折叠，但可以旋转。或者，换句话说，如果我们将球体视为二维曲面，我们必须在2+1维中进行操作，以便将其分割。因此，如果我们在球体表面上选取一个点，并围绕该点旋转球体，球体上的每个点，除了与初始点正相反的点外，都将移动。这两点可以用圆的直径来连接，圆在球体上是一个大圆，它将球体分成两半。
现在将测量n维相对于n+1维的原理应用于三周前关于高斯测量地球表面的初步讨论。我们如何定位初始位置？相对于北半球和南半球，我们可以测量观测北极星的角度。北极星的头顶越高，我们在地球上的位置越北。要测量我们在地球表面的位置，我们必须仰望星星。因此，相对于地球表面的n个维度，这个测量是n+1维度。现在，关于我们对东西方的位置，我们必须提到地球绕其轴线的自转，即从东到西。我们不仅根据天体位置的变化，而且根据时间的变化来衡量这一点。另一个维度，（n+1）+1。
一旦确定了这个位置，我们现在以类似的方式测量其他位置，然后使用三角形测量这些位置之间的距离。为了有意义地测量地球表面，这些三角形必须很大。太大了，无法用尺子、码尺或链条测量。如果我们从地球上两个相对较近的点开始，并精确地标出它们之间的距离，那么我们可以通过测量这三个点之间形成三角形的角度来测量这两点和第三个点的距离。这是通过在每个点放置一个物体来完成的，使用望远镜可以从其他点看到，我们测量望远镜必须转动的角度，才能看到每个点。
高斯发明了一种称为日光镜的装置，它使用一个小镜子来反射太阳光，用望远镜可以从许多英里以外的地方看到太阳光。如果将三个这样的装置放置在地球表面的三个不同点上，就可以形成一个非常大的三角形，可以精确测量。这样，地球表面就可以覆盖一个三角形网络，并进行测量。
但是，当我们通过这些望远镜观察时，为了看到每个点，光线被大气层和望远镜的透镜折射（弯曲）。这使得我们所看到的与该点在地球上的实际位置不同。因此，在我们的测量中，必须考虑光的折射这一物理特性——另一个维度，[（n+1）+1]+1。
但由于我们的测量点位于不同的高度，我们使用了一个水平仪，它可以调整其相对于重力的位置。所以我们必须测量地球引力场的变化，还有另一个维度，{[（n+1）+1]+1}。
同样，当使用反映地球磁场变化的罗盘时，我们必须测量地球磁场的变化——另一个维度，{[（n+1）+1]+1}+1。等等，随着每一个新的物理原理的发现。
每一个新维度的包含都不是简单的加法，而是我们对物理时空概念的假设的转变。正如划分一个圆的想法一样，其中包含着一个更高维度的潜在假设，这是不明显的，直到想到划分球体，每个新维度都对应一个物理原理，揭示了之前“看不见的”假设，与低维度的假设有关。
但是，这些以异常和悖论形式表达的假设不会被“看到”，除非你在n+1维而不是n维中寻找它们。你无法测量你在哪里，除非是地平线，它无法被“看见”，除非是更高的维度，你正在寻求发现，但你不会找到，除非你有激情去“寻找”它。