这句话出自数学家之手克罗内克(1823-1891),他坚持可建造性数学对象。他相信所有的数学都可以用整数s和有限个运算。他强烈反对使用不合理的数字,超越的数字、上限和下限,以及Bolzano-Weierstrass定理(嗯,许多新数学都是由卡尔·魏尔斯特拉斯就这一点而言),当这些设备制造出不存在的物体时,他感到。这种极端的数学哲学观点使他与许多数学家发生了争执,甚至阻止了海因里希·海涅(第页,共页)Heine-Borel定理)上的傅里叶级数和论文由康托超限数字和集合论(并不是因为他个人不喜欢康托,正如康托的一些传记作者所断言的那样,而是因为他强烈反对康托的思想)克里勒日记1889年费迪南·冯·林德曼提供了一个证明π据说克罗内克给了冯·林德曼一句反唇相讥的恭维:“你的美丽证明有什么用,因为π不存在!"

这种极端的观点,在他那个时代使克罗内克成为许多敌人,实际上是由毕达哥拉斯他惊愕地称自己发现的无理数为“无法说出”(这就是为什么这个词苏德用来指毕达哥拉斯人发现的非理性根,它最终来源于拉丁语中的“耳聋”)。莱布尼兹他自己谈到“迷宫般的连续体“当提到哲学问题时实数s充满了。事实上,“实数”这个词有点用词不当,因为它们实际上相当于不 真实 的! 事实上,可以证明几乎所有实数都是超越的,无可争辩的、和甚至无法命名!在克罗内克成功地展示了所有这些之后的一个世纪里,数学家们发现,克罗内克的地位并不像他的同时代人认为的那样站不住脚。

首先,我们从Cantor和理查德·戴德金克罗内克对此表示强烈反对。德德金德成功地用今天所称的实数定义了一个实数Dedekind剪裁s、 康托成功地证明了实数不是-可数的,它们是高阶的无穷使用对角线论点以他的名字命名。由于是整数,有理数s、 以及代数数s都是可数的,那么这意味着大多数实数实际上是超越的。

然而,在二十世纪初,开始有迹象表明,实数的概念在其发展过程中出现了严重的错误。波莱尔1927年指出,如果你把一个实数看作是一个无限的数字序列,那么你可以把无限的信息放入一个数字中。他想出了一个数字,叫做博雷尔常数,可以作为神谕来回答对它提出的任何是/否的问题。今天,博雷尔的论点可以这样表述:让我们对待每一个可能的问题ASCII码文本就像它是一个单独的数字一样,例如“真的数字存在吗?”将对应于十六进制数字0x446F207265616C206E786973743F,或十进制138800822090401078970502436377327。然后我们取,比方说,以4为基数的波尔常数的第1388008220904010789705024363787327位。如果数字是0,则数字与有效问题不对应;如果数字是1,则问题无法回答(例如“这个问题的答案是‘否’吗?”);如果答案是‘不’,则数字为2;如果答案为‘是’,则为3。如此“无所不知“实数当然存在于所有实数的集合中。但随后Borel提出了一个令人不安的问题:“为什么我们要相信这个实数可以回答所有可能的是/否问题?”?“他得出的结论是,他不相信,没有理由相信,这样的事情竟然存在,这完全是荒谬的!

1936年,阿兰·图灵发表了具有里程碑意义的论文”关于可计算数字,以及对Entscheidungs问题的应用“他可以说是迈出了发明计算机在这篇著名的论文中,他发现,除其他外,大多数实数实际上都是无可辩驳的!他意识到,正如Borel对问题进行编号一样,可以对他的所有图灵机器、所有计算机进行编号(如果丘吉尔论文以面值计算),其中一个整数称为描述编号这意味着图灵定义的“可计算数”是可数的,因此根据康托的定义,大多数实数是非可数无穷大的,它们也必须是不可数的!图灵本人明确地展示了一个特定的实数,图灵常数,这在这个意义上是不可计算的,在很大程度上是博雷尔构造他的数字的方式。以描述号为313322531173313325317的图灵机为例(我在描述编号节点,使用图灵自己的通用图灵机). 如果该机器停止,或与有效的图灵机器不对应(在这种情况下,我们说它对应于没有状态的TM),那么313322531173325317二元的数字是0,否则是1。(在这种特殊情况下,图灵常数的位必须是1,因为对应于该DN的机器是一台在磁带上交替打印1和0的机器。)

此外,人们甚至不能说出名字,甚至不能提及大多数实数。如果您修复形式语言公理系统(实际上是一样的)如果你用它来表示实数,那么所有可能的名称或引用的集合仍然是可数的。由于你有无数实数可供命名或引用,那么几乎所有实数都不仅是超越的和不可变的,你甚至不能唯一地指定它们中的任何一个,这种类型的特定实数是无法定义的,甚至无法单独选择出来的!

所以克罗内克现在对抗实数似乎并不那么疯狂,是吗?为什么我们要相信实数是“真实的”,如果我们甚至不能计算它们,甚至不能给它们起名字,或者唯一地引用它们?是的,实数的无穷大比毕达哥拉斯想象的还要难以表达。

此外,从物理角度来看,实数似乎更加站不住脚。物理常数曾被测量到精度超过20位小数。有许多迹象表明,宇宙模型是一个连续的地方无穷小短距离和短时间的存在是不正确的。例如,麦克斯韦方程组表明电通量密度在点电荷的位置电子是无限的!唯一的办法是理查德-费曼可以绕过他公式中出现的无穷大量子电动力学就是使用数学上的多维技术重整化人们不禁会想,费曼对数学的傲慢态度可能掩盖了一些基本的东西。弦论另一方面,它的开发部分是为了消除在量子场论例如量子电动力学(但不幸的是,目前存在的弦论似乎还没有消除所有这些无穷大)。根据量子力学,无限精确的测量需要无限的能量,但在此之前很久,你正在测量的东西就会经历引力坍缩量子力学,实际上就是它的名字,表明宇宙不是连续的,而是量子化的。我们有电荷量子化,物质量子化甚至能量量子化角动量,为什么不量化空间和时间本身?也许这就是为什么量子引力太难了。

所以,也许即使上帝创造了宇宙,上帝也只创造了整数,而其他一切都是人类的工作!

资料来源:

利奥波德·克罗内克传记网址:http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/数学家/Kronecker.html

格里高里·蔡廷, "元数学!“于http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/omega.html

登录登记在这里写点什么或联系作者。