交换群和半群求和问题的可定义性

我们研究了阿贝尔群和半群中求和问题的描述复杂性。一般来说，求和问题的输入由阿贝尔半群组成G中，由其乘法表和子集显式表示X（X）属于G公司任务是确定所有元素的总和十、。

从算法上讲，这是一个非常简单的问题。如果X（X）按照一定的顺序，然后我们可以按照该顺序处理这些元素，并以简单的方式计算总和。然而，使这个基本问题如此有趣的是，从逻辑可定义性的角度来看，它的可处理性要微妙得多。如果我们考虑半群G公司作为一个抽象结构和X（X）作为一个抽象集，如果没有线性顺序，因此也没有逐个处理元素的规范方法，那么就不清楚如何在任何逻辑中定义总和，因为这些逻辑没有能力对线性顺序进行量化。事实上，平凡求和算法不能在任何多项式时间逻辑中表达，事实上，也不能在任何计算模型中表达，该计算模型以同构-不变的方式处理抽象数学结构，而不会违反多项式资源边界。

就逻辑可定义性而言，这一基本数学问题的令人惊讶的困难是为什么本·罗斯曼在十多年前问道，它是否可以用逻辑无选择多项式计数时间（CPT）来表示。请注意，到目前为止，CPT是一种逻辑的最强大的候选者，这种逻辑可能能够定义有限结构的每个多项式时间属性。

本文阐明了重要多项式时间逻辑中阿贝尔群和半群求和问题可定义性的地位。在我们的第一个主要结果中，我们表明该问题可以定义为带计数的定点逻辑（FPC）。由于FPC包含在CPT中，这解决了Rossman的问题。我们的证明基于动态规划方法，并大量使用FPC的计数机制。在我们的第二个主要结果中，我们给出了一个匹配的下界，并表明计数算子的使用是不可避免的：求和问题，即使在阿贝尔群上，也不能在不计数的情况下在纯定点逻辑中定义。我们的证明基于概率论。