高维旋转

如果你曾经玩过旋转变换在Mathematica的命令中，您可能会对它以任意维数返回答案的速度之快印象深刻。毕竟文档for此命令明确表示它“可以有效地指定n个-标注旋转组SO公司(n个).” 由于组中的元素可以通过对元素的生成器求幂来计算，在这种情况下是正交矩阵，因此Mathematica一开始就知道如何对任意维数的正交矩阵求幂，而且很快就能做到这一点。

事实证明，有一种更简单的方法来评估组中的任意元素，而不是显式地对每个单独的矩阵进行幂运算。为了说明这是如何工作的，首先快速回顾旋转矩阵及其生成器之间的关系。对于二维平面中最简单的旋转情况，旋转矢量与初始矢量的关系如下

$(\begin{matrix} {x个}^{'} \\ 年^{'} \end{matrix}) = (\begin{array}{c} 余弦一 & - 罪一 \\ 罪一 & 余弦一 \end{array}) (\begin{matrix} x个 \\ 年 \end{matrix})$

通过角度进行右手旋转一此旋转的生成器由矩阵表示 $(\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})$ .这个矩阵的平方是单位矩阵的负数，它的立方体是它自己的负数

$\begin{array}{l} 经验 [一 (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})] = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + 一 (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) - \frac{一^{2}}{2!} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) - \frac{一^{三}}{三!} (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) + \dots \\ = 余弦一 (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) + 罪一 (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array}) \\ 经验 [一 (\begin{array}{c} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{array})] = (\begin{array}{c} 余弦一 & - 罪一 \\ 罪一 & 余弦一 \end{array}) \end{array}$

导致上述旋转矩阵。旋转的生成器可以写为外部产品沿x个-轴和年-轴，

$(\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}) = \hat{年} {\hat{x个}}^{T型} - \hat{x个} {\hat{年}}^{T型}$

其中，每个项右侧的转置向量向左乘以向量的每个分量，以生成相加的矩阵。由于最终结果现在是一个通用的向量语句，因此可以立即将其扩展到更高的维度。等效三维生成器为

${L（左）}_{12} = \hat{年} {\hat{x个}}^{T型} - \hat{x个} {\hat{年}}^{T型} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{array}{c} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})$

其中下标表示这是从x个-轴朝向年-轴。请注意，在形成此生成器时，第一个索引以负号显示为非传递向量。剩下的两个右旋发电机是

$\begin{array}{l} {L（左）}_{23} = \hat{z} {\hat{年}}^{T型} - \hat{年} {\hat{z}}^{T型} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \end{matrix}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}) \\ {L（左）}_{31} = \hat{x个} {\hat{z}}^{T型} - \hat{z} {\hat{x个}}^{T型} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}) = (\begin{array}{c} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

因为有三个坐标轴，两两组合的数量也是三个，所以在三维中可以进行识别

${L（左）}_{1} = {L（左）}_{23} {L（左）}_{2} = {L（左）}_{31} {L（左）}_{三} = {L（左）}_{12}$

并将旋转描述为围绕相应的轴。旋转矩阵可以围绕每个轴单独计算，就像二维平面中的旋转一样，结果如下

$\begin{array}{l} 经验 [一_{1} {L（左）}_{1}] = (\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 余弦一_{1} & - 罪一_{1} \\ 0 & 罪一_{1} & 余弦一_{1} \end{array}) \\ 经验 [一_{2} {L（左）}_{2}] = (\begin{array}{c} 余弦一_{2} & 0 & 罪一_{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ - 罪一_{2} & 0 & 余弦一_{2} \end{array}) \\ 经验 [一_{三} {L（左）}_{三}] = (\begin{array}{c} 余弦一_{三} & - 罪一_{三} & 0 \\ 罪一_{三} & 余弦一_{三} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}) \end{array}$

在三维中，也可以考虑绕长轴旋转一个角度 $一 = \sqrt{一_{1}^{2} + 一_{2}^{2} + 一_{三}^{2}}$ .这种旋转的发生器是线性组合 $一 \cdot L（左） = 一 n个 \cdot L（左）$ ,哪里n个是旋转轴方向的单位矢量。这种广义旋转的旋转矩阵是通过对矩阵求幂得到的

$A类 = (\begin{matrix} 0 & - 一_{三} & 一_{2} \\ 一_{三} & 0 & - 一_{1} \\ - 一_{2} & 一_{1} & 0 \end{matrix}) = 一 (\begin{matrix} 0 & - {n个}_{三} & {n个}_{2} \\ {n个}_{三} & 0 & - {n个}_{1} \\ - {n个}_{2} & {n个}_{1} & 0 \end{matrix})$

哪里 ${n个}_{1}^{2} + {n个}_{2}^{2} + {n个}_{三}^{2} = 1$ 因为这些数字是方向余弦，表示旋转轴相对于三个坐标轴的倾斜。这个矩阵的正方形和立方体是

$\begin{array}{l} {A类}^{2} = - 一^{2} 我 + (\begin{matrix} 一_{1}^{2} & 一_{1} 一_{2} & 一_{1} 一_{三} \\ 一_{1} 一_{2} & 一_{2}^{2} & 一_{2} 一_{三} \\ 一_{1} 一_{三} & 一_{2} 一_{三} & 一_{三}^{2} \end{matrix}) \\ {A类}^{三} = - (一_{1}^{2} + 一_{2}^{2} + 一_{三}^{2}) A类 = - 一^{2} A类 \end{array}$

指数矩阵可以写成

${电子}^{A类} = 我 + (\frac{罪一}{一}) A类 + (\frac{1 - 余弦一}{一^{2}}) {A类}^{2}$

其中分母规范化了系数矩阵的幂。当应用于向量时，结果为罗德里格斯旋转公式：

$\begin{array}{l} {电子}^{A类} 第页 = 第页余弦一 + 罪一 (\begin{matrix} 0 & - {n个}_{三} & {n个}_{2} \\ {n个}_{三} & 0 & - {n个}_{1} \\ - {n个}_{2} & {n个}_{1} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x个 \\ 年 \\ z \end{matrix}) \\ + (1 - 余弦一) (\begin{matrix} {n个}_{1}^{2} & {n个}_{1} {n个}_{2} & {n个}_{1} {n个}_{三} \\ {n个}_{1} {n个}_{2} & {n个}_{2}^{2} & {n个}_{2} {n个}_{三} \\ {n个}_{1} {n个}_{三} & {n个}_{2} {n个}_{三} & {n个}_{三}^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} x个 \\ 年 \\ z \end{matrix}) \\ {电子}^{A类} 第页 = 第页余弦一 + (n个 \times 第页) 罪一 + n个 (n个 \cdot 第页) (1 - 余弦一) \end{array}$

在四维空间中，人们再也无法将旋转描述为绕轴旋转，因为有两个轴垂直于每个平面，并且描述中存在歧义。在更高的维度中，垂直于每个平面的轴甚至更多，因此n个尺寸最好描述为(n个从一个单位向量到另一个单位矢量方向上的−1）维超平面。

上面关于外积的生成器的定义是向量表示法，因此可以立即扩展到描述由两个定义的任何超平面中的旋转n个-维向量。给定任意两个正交单位向量n个₁和n个₂，这意味着

${n个}_{1}^{T型} {n个}_{1} = 1 {n个}_{1}^{T型} {n个}_{2} = {n个}_{2}^{T型} {n个}_{1} = 0 {n个}_{2}^{T型} {n个}_{2} = 1$

由两个向量跨越的超平面中的旋转生成器为

${L（左）}_{{n个}_{1} {n个}_{2}} = {n个}_{2} {n个}_{1}^{T型} - {n个}_{1} {n个}_{2}^{T型}$

发电机的形成功率，

$\begin{array}{l} {L（左）}_{{n个}_{1} {n个}_{2}}^{2} = - ({n个}_{1} {n个}_{1}^{T型} + {n个}_{2} {n个}_{2}^{T型}) \\ {L（左）}_{{n个}_{1} {n个}_{2}}^{三} = - ({n个}_{2} {n个}_{1}^{T型} - {n个}_{1} {n个}_{2}^{T型}) \end{array}$

这个n个-维旋转矩阵很简单

$经验 [一 {L（左）}_{{n个}_{1} {n个}_{2}}] = 我 + ({n个}_{2} {n个}_{1}^{T型} - {n个}_{1} {n个}_{2}^{T型}) 罪一 + ({n个}_{1} {n个}_{1}^{T型} + {n个}_{2} {n个}_{2}^{T型}) (余弦一 - 1)$

与罗德里格斯的旋转公式相比，上学期的符号差异是由于相邻外积的一个额外减号。这个n个×n个矩阵现在可以应用于n个-维向量，以在指定超平面中旋转后找到其最终值。

给定两个不正交的向量，可以应用Gram-Schmidt正交性过程，将第二个向量重正化，并用两个新的正交单位向量形成旋转矩阵。这正是Mathematica在任何维度上快速生成答案时所做的。求幂运算已经在通用公式中进行了，不需要对每个特定情况都进行显式运算，并形成n个×n个矩阵对于Mathematica来说是微不足道的。

为了证明这个通用公式与上述结果在三维上的一致性，只需选择满足v（v）₁ · n个=0，相对于三维旋转轴，形成其正交向量v（v）₂ = v（v）₁×n个，对两个向量进行归一化，并做一点代数运算。由于有一个完整的旋转平面来选择向量，因此任何初始选择都会导致此方法得到相同的结果。

在四维中，使用基于局部同构的方法可以显式计算一般正交矩阵的指数SO公司(4) $\sim$ SO公司（3） $\otimes$ SO公司(3) .一般系数矩阵为

$A类 = (\begin{matrix} 0 & 一_{12} & 一_{13} & 一_{14} \\ - 一_{12} & 0 & 一_{23} & 一_{24} \\ - 一_{13} & - 一_{23} & 0 & 一_{34} \\ - 一_{14} & - 一_{24} & - 一_{34} & 0 \end{matrix})$

为了方便起见，减号都保持在对角线以下。对该矩阵本身进行平方运算会产生一个对称矩阵，其解释并不立即清楚，但如果首先写入

$\begin{array}{l} A类 = \frac{1}{2} ({A类}_{+} + {A类}_{-}) \\ {A类}_{+} = (\begin{array}{c} 0 & 一_{12} + 一_{34} & 一_{13} - 一_{24} & 一_{14} + 一_{23} \\ - 一_{12} - 一_{34} & 0 & 一_{14} + 一_{23} & - 一_{13} + 一_{24} \\ - 一_{13} + 一_{24} & - 一_{14} - 一_{23} & 0 & 一_{12} + 一_{34} \\ - 一_{14} - 一_{23} & 一_{13} - 一_{24} & - 一_{12} - 一_{34} & 0 \end{array}) \\ {A类}_{-} = (\begin{array}{c} 0 & 一_{12} - 一_{34} & 一_{13} + 一_{24} & - 一_{14} + 一_{23} \\ - 一_{12} + 一_{34} & 0 & 一_{14} - 一_{23} & 一_{13} + 一_{24} \\ - 一_{13} - 一_{24} & - 一_{14} + 一_{23} & 0 & - 一_{12} + 一_{34} \\ 一_{14} - 一_{23} & - 一_{13} - 一_{24} & 一_{12} - 一_{34} & 0 \end{array}) \end{array}$

然后，很容易验证这两个矩阵是否相互转换： $[{A类}_{+}, {A类}_{-}] = 0$ .形成正方形

$\begin{array}{l} {A类}_{+}^{2} = - [(一_{12} + 一_{34})^{2} + (一_{13} - 一_{24})^{2} + (一_{14} + 一_{23})^{2}] 我 = - 一_{+}^{2} 我 \\ {A类}_{-}^{2} = - [(一_{12} - 一_{34})^{2} + (一_{13} + 一_{24})^{2} + (一_{14} - 一_{23})^{2}] 我 = - 一_{-}^{2} 我 \end{array}$

所以完整的指数矩阵是

$\begin{array}{l} {电子}^{A类} = {电子}^{{A类}_{+} / 2} {电子}^{{A类}_{-} / 2} = {电子}^{{A类}_{-} / 2} {电子}^{{A类}_{+} / 2} \\ = [余弦 (一_{+} / 2) 我 + \frac{罪 (一_{+} / 2)}{一_{+}} {A类}_{+}] \\ \times [余弦 (一_{-} / 2) 我 + \frac{罪 (一_{-} / 2)}{一_{-}} {A类}_{-}] \end{array}$

可以将此方法描述为安排以下六个参数SO公司（4）分成两个向量，记住其中一个是在处理SO公司(3).