摘要
我们研究了形式的混合泛函的渐近行为$I_{T}(T)=F_{T{(xi_{Tneneneep(T))+{int_{0}^{T}}g_{Tneneneei(xi_}T}){0.1667em}天\xi_{T}(s)$,$t\ge 0美元$,作为$T\到\输入$.在这里$\xi_{T}(T)$是随机微分方程的强解$d\xi_{T}(T)=a_{T{(xi_{T}(T)){0.1667em}日期+dW_{T}(T)$,$T>0$是一个参数,$a{T}=a{T{(x)$是可测量的函数$\左|a_{T}(x)\右|\le C_{T{$为所有人$x\in\mathbb{R}$,$W_{T}(T)$是标准的维纳过程,$F_{T}=F_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,是连续函数,$g_{T}=g_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,是局部有界的函数,并且一切都是实值的。极限过程的显式形式$I_{T}(T)$是在非常不规则的依赖下建立的$g_{T}$和$a_{T}$关于参数T型.
1引言
考虑随机微分方程哪里$T>0$是一个参数,$a_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,是实值可测函数,对于某些常数$L_{T}>0$以及所有人$x\in\mathbb{R}$ $\左|a_{T}(x)\右|\le L_{T{$、和$W_{T}=\{W_{T}(T),T\ge0\}$,$T>0$,是定义在完全概率空间上的一系列标准Wiener过程$(\varOmega,\mathrm{\Im},\operatorname{\mathsf{P}})$.
从中的定理4可知[19]对于任何人来说$T>0$和$x_{0}\in\mathbb{R}$,方程式(1)具有唯一的强路径解$\xi_{T}=\{xi_{T}(T),T\ge 0\}$,该解是一个齐次强马尔可夫过程。
我们假设漂移系数$a_{T}(x)$在方程式中(1)可能对参数有非常不规则的依赖性。例如,漂移系数可以是“δ“-某些点的类型序列$x{k}$作为$T\到\输入$,或者可以等于$\sqrt{T}\sin((x-x_{k})\sqrt})$也可以有其他类型的简并。方程中系数的这种非正则依赖性(1)首次出现于[5]和[4],其中Itó随机微分方程正规化不稳定解的极限行为为$t\to\infty$进行了调查。在那些论文中,系数的特殊依赖性$a_{T}(x)=\sqrt{T} 一个(x\sqrt{T})$关于参数T型在以下情况下被考虑$a(x)美元$是上的绝对可积函数$\mathbb{R}$.假设情况就是这样,让$\int_{\mathbb{R}}a(x)\hs空格{0.1667em}dx=\λ$.条件的充分性$\lambda=0$关于分布的渐近等价性$\xi_{T}$和$W_{T}(T)$成立于[5],并且在中证明了此条件的必要性[1]. 如果$\lambda\ne 0$,然后我们可以从[4]解的分布$\xi_{T}$方程式的(1)弱收敛为$T\到\输入$马尔可夫过程的相应分布$\hat{\xi}(t)=l\left(\zeta(t)\right)$,其中$1(x)=c_{1} x个$对于$x>0$和$1(x)=c_{2} x个$对于$x\le 0美元$;$\泽塔(t)$是Itó方程的强解$d\zeta(t)=空格{0.1667em}分宽(t)$,其中$\bar{\sigma}(x)=\sigma{1}$对于$x>0$和$\bar{\sigma}(x)=\sigma{2}$对于$x<0$、和${\int_{0}^{t}}空格{0.1667em}个=0$过程的转变密度的明确形式$\hat{\xi}(t)$获得。此外,在[10],事实证明哪里$\贝塔(t)$是的某种功能$\泽塔(t)$以及条件的必要性$\lambda\ne 0$为弱收敛建立为$T\到\输入$解决方案的$\xi_{T}$方程式的(1)到流程$\hat{\xi}(t)$.
此外,在[5]和[4],一种研究“尴尬”术语的概率方法$\sqrt{T}{\int_{0}^{T}}a(\xi_{T}(s)\sqrt{T})\hspace{0.1667em}个$在方程式中(1)已开发。这种方法通过一系列连续函数来表示这个“尴尬”的术语$\varPhi_{T}(x)$属于$\xi_{T}(T)$和鞅族${\int_{0}^{t}}{\varPhi^{prime}{{t}}(\xi_{t}){0.1667em}分宽_{T} (s)$,进一步应用Itó公式。经过上述转换后,根据该方法,我们可以将斯科罗霍德的收敛子序列原理应用于$\xi_{T_{n}}(T)$和$W_{T_{n}}(T)$(请参见[17],第一章,§6),以便在结果陈述中达到极限。
注意,本文也使用此方法来研究积分泛函的渐近行为。
据了解[2],§16,解的渐近行为$\xi_{T}$方程式的(1)与调和函数的渐近行为密切相关,即关于Lebesgue测度,几乎处处满足以下常微分方程的函数:
很明显$f_{T}(x)$有这个表格哪里${c_{T}^{(1)}}$和${c_{T}^{(2)}}$是一些常数族。
后一个函数具有连续导数${f^{prime}_{T}}(x)$,及其二阶导数${f^{prime\prime}_{T}}(x)$关于Lebesgue测度几乎处处存在,并且是局部可积的。请注意${c_{T}^{(1)}}$是标准化常数和${c_{T}^{(2)}}$是极限定理中的集中常数(参见[18], §6). 此外,为了简单起见,我们假设(2),${c_{T}^{(1)}}\等于1$和${c_{T}^{(2)}}\等于0$.
在本文中,我们假设系数$a_{T}(x)$方程式的(1)存在一系列函数$G_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,具有连续导数${G^{\prime}_{T}}(x)$和局部可积二阶导数${G^{prime\prime}_{T}}(x)$也就是说,关于勒贝格测度$T>0$和$x\in\mathbb{R}$,以下不等式成立:
另外假设函数$G_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,按条件介绍$(A_{1})$满足以下假设:
让$\左\{G_{T}\右\}$是函数的类$G_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,满足条件$(A_{1})$和(i)-(ii)。形式的方程类(1)其系数$a_{T}(x)$承认$G_{T}(x)$,$x\in\mathbb{R}$,来自班级$\左\{G_{T}\右\}$将用表示$K\左(G_{T}\右)$.这门课很容易理解$K\左(G_{T}\右)$不依赖于常数${c_{T}^{(1)}}$和${c_{T}^{(2)}}$在代表中(2).
很明显,如果存在常量$\增量>0$和$C>0美元$这样的话$0<\delta\le{f^{prime}_{T}}(x)\leC$为所有人$x\in\mathbb{R}$,$T>0$,然后是相应的方程式(1)属于这个班$K\左(G_{T}\右)$对于$G_{T}(x)=f_{Tneneneep(x)$。我们将这个子类表示为$K_{1}$。请注意,该类$K\左(G_{T}\右)$特别包含在某些点上的方程式$x{k}$,我们有收敛性${f^{\prime}_{T}}(x_{k})$或收敛${f^{\prime}_{T}}(x_{k})\到0$作为$T\到\输入$例如,考虑方程式(1)带有$a_{T}(x)=\压裂{c_{0}发送}{1+{x}^{2} T型}$。很容易获得${f^{\prime}_{T}}(x)=\frac{1}{\left(1+{x}^{2} 吨\右)}^{c{0}}$,如果$c_{0}>-\压裂{1}{2}$,则此类方程属于该类$K\左(G_{T}\右)$具有$G_{T}(x)={x}^{2}$(这里,在点$x\ne 0$,我们有${f^{prime}_{T}}(x)\到0$对于$c_{0}>0$,${f^{prime}_{T}}(x)到infty$对于$-\压裂{1}{2}<c_{0}<0$、和${f^{\prime}_{T}}(x)\等价1$对于$c_{0}=0$).
对于方程类$K\左(G_{T}\右)$,我们将渐近行为研究为$T\到\输入$下列函数的分布:其中流程$\xi_{T}(T)$,$W_{T}(T)$通过方程式关联(1),$g_{T}(x)$是一系列可测量的局部有界实值函数,并且$F_{T}(x)$是一系列连续实值函数。
本文是[13–15]. 注意泛函分布的行为${\beta_{T}^{(1)}}(T)$,${\beta_{T}^{(2)}}(T)$解决方案$\xi _{T}$的方程式(1)来自班级$K_{1}$在中学习[6]和[9]. 案例中$W_{T}(T)$替换为$\eta_{T}(T)$,其中$\eta_{T}(T)$是一类具有以下特征的连续鞅$\langle\eta_{T}\rangle(T)至T$作为$T\到\输入$,学习于[8]. 纸张[7]致力于对来自[8]. 功能人员的类似问题$I_{T}(T)$在方程的情况下(1)带有$a_{T}(x)\等于0$在中被考虑[18]和中[11],对于班级$K_{1}$.英寸[13–15]函数分布的行为${\beta_{T}^{(1)}}(T)$,${\beta_{T}^{(2)}}(T)$、和$I_{T}(T)$具有漂移系数的特殊依赖性$a_{T}(x)=\sqrt{T} 一个(x\sqrt{T})$关于参数T型主要考虑以下情况$\left|xa(x)\right|\le C$为所有人$x\in\mathbb{R}$.泛函分布的行为${\beta_{T}^{(1)}}(T)$研究时间:[13],${\beta_{T}^{(2)}}(T)$研究时间:[14]、和$I_{T}(T)$于年接受调查[15]. 该领域已知结果的更详细审查见[13–15]. 请注意,功能${\beta_{T}^{(1)}}(T)$,${\beta_{T}^{(2)}}(T)$、和$\β_{T}(T)$是功能性的特殊情况$I_{T}(T)$(请参见[15],引理4.1)。
备注1.1。
在本文中,我们经常将Itó公式应用于该过程$\varPhi(\xi_{T}(T))$,其中$\xi_{T}(T)$是方程的解(1),导数${\varPhi^{\prime}}(x)$函数的$\varPhi(x)$假设是连续的,二阶导数${\varPhi^{\prime\prime}}(x)$假设关于Lebesgue测度存在,并且是局部可积的。然后它从[三]概率为1$t\ge 0美元$,以下等式成立:
备注1.2。
让$\xi_{T}$是方程的解(1)、和$G_{T}(x)$是满足条件的函数族$(A_{1})$.定理1来自[12]意味着流程系列$(T)=G(T)$是弱紧的。这个结果的证明是基于等式哪里反过来,后一个等式来自Remark1.1此外,它是在定理1的证明中建立的[12]对于任何常数$L>0$和$\varepsilon>0$,而且,对任何人来说$k>1$对于某些常数$C_{k}$和C类,哪里$\lambda=\eta$或$\lambda=\泽塔$(请参见[2],§6,定理4)。
备注1.3。
在这里和整篇文章中,过程的弱收敛意味着连续函数空间的一致拓扑中的弱收敛$C[0,L]$对于任何$L>0$。具有概率为1的连续轨迹的过程将简单地称为连续。
论文组织如下。章节2包含主要结果的语句。在节中三,它们已被证明。第节收集了辅助结果4.
2主要成果说明
在下文中,我们表示为$C,\hs空间{0.1667em}长,\hs空格{0.1667em}牛,\空间{0.1667em}C_{无}$任何不依赖于T型和x个假设,对于某些局部有界函数$q_{T}(x)$和任何常数$N>0$,以下条件成立:哪里${f^{\prime}_{T}}(x)$是函数的导数$f_{T}(x)$由等式定义(2).
定理2.1。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$ 和 $G_{T}(x_{0})\到y_{0{$ 作为 $T\到\输入$.假设存在可测的局部有界函数 $a_{0}(x)$ 和 $\西格玛{0}(x)$ 这样:
然后是随机过程 $\zeta_{T}(T)=G_{T}(\xi_{T}(T))$ 弱收敛,如 $T\到\输入$,解决方案 $\泽塔(t)$ 等式的。 (6).
定理2.2。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$,并让定理的假设 2.1 保持。假设对于可测局部有界函数 $g_{T}(x)$,存在一个可测的局部有界函数 $g_{0}(x)$ 这样,函数
满足假设 $(A_{3})$然后是随机过程 ${\beta_{T}^{(1)}}(T)={\int_{0}^{T}}g{T}(xi_{T{(s))空间{0.1667em}个$ 弱收敛,如 $T\到\输入$,到流程
哪里 $\泽塔(t)$ 是等式的解。 (6).
定理2.3。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$,并让定理的假设 2.1 保持。假设对于可测局部有界函数 $g_{T}(x)$,存在一个可测量的局部有界函数 $g_{0}(x)$ 这样的话
为所有人 $N>0$然后是随机过程 ${\beta_{T}^{(1)}}(T)={\int_{0}^{T}}g{T}(xi_{T{(s))空间{0.1667em}个$ 弱收敛,如 $T\到\输入$,到流程
哪里 $\泽塔(t)$ 和维纳过程 $\hat{W}(t)$ 通过公式。 (6).
定理2.4。
让 $\xi_{T}$ 是方程的解(1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$,并让定理的假设 2.1 保持。假设对于可测局部有界函数 $g_{T}(x)$,存在一个可测的局部有界函数 $g_{0}(x)$ 这样,函数
满足假设 $(A_{3})$然后是随机过程 ${\beta_{T}^{(2)}}(T)空间{0.1667em}={\int_{0}^{T}}g_{T{(xi_{Tneneneep(s))空间{0.1667em}分宽_{T} (s)$,其中 $\xi_{T}(T)$ 和 $W_{T}(T)$ 通过等式进行关联。 (1),弱收敛,作为 $T\到\输入$,到流程
哪里 $\泽塔(t)$ 是等式的解。 (6).
定理2.5。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自课堂 $K\左(G_{T}\右)$,并让定理的假设 2.1 保持。假设对于连续函数 $F_{T}(x)$ 和局部有界可测函数 $g_{T}(x)$,存在一个连续函数 $F_{0}(x)$ 和局部有界可测函数 $g_{0}(x)$ 这样,对所有人来说 $N>0$,
并让函数 $g_{T}(x)$ 和 $g_{0}(x)$ 满足定理的假设 2.4然后是随机过程
哪里 $\xi_{T}(T)$ 和 $W_{T}(T)$ 通过公式。 (1),弱收敛,如 $T\到\输入$,到流程
哪里 $\泽塔(t)$ 和维纳过程 $\hat{W}(t)$ 通过公式。 (6).
下一个定理主要来自[11]; 然而,为了读者的方便和结果的完整性,我们提供了它的证明。
定理2.6。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\left(G_{T}\right)$ 对于 $G_{T}(x)=f_{T}(x)$,并让 $0<\delta\le{f^{prime}_{T}}(x)\leC$ 和 $f_{T}(x_{0})\到y_{0{$ 作为 $T\到\输入$此外,让 $\zeta_{T}(T)=f_{T{(xi_{Tneneneep(T))$,
$F_{T}(x)$ 是连续函数, $g_{T}(x)$ 是局部平方积分函数,且过程 $\xi_{T}(T)$ 和 $W_{T}(T)$ 通过等式关联。 (1).
二维过程 $\左(\zeta_{T}(T),I_{Tneneneep(T)\右)$ 弱收敛,如 $T\到\输入$,到流程 $\左(\ zeta(t),I(t)\右)$,其中 $I(t)=F_{0}(\zeta(t))+{\int_{0{^{t}}g_{0neneneep(\zeta:hs)空格{0.1667em}天\泽塔$、和 $\泽塔(t)$ 是Itó方程的弱解 $\zeta(t)=y_{0}+{\int_{0{^{t}}\sigma_{0neneneep(\ zeta(s))\hs空格{0.1667em}分宽(s)$,当且仅当存在常量 ${c_{T}^{(1)}}$ 和 ${c_{T}^{(2)}}$ 在里面(2)这样,就像 $T\到\输入$:
-
1 对于所有x,
哪里 $\varphi_{T}(x)$ 是函数的反函数 $f_{T}(x)$;
-
3主要结果证明
定理的证明2.1.重写公式(三)作为哪里功能${q_{T}^{(1)}}(x)$满足引理的条件4.2因此,对于任何$L>0$,作为$T\到\输入$很明显$\eta_{T}(T)$是一类具有二次特征的连续鞅哪里
功能${q_{T}^{(2)}}(x)$满足引理的条件4.2因此,对于任何$L>0$,作为$T\到\输入$.
我们有这种关系(4)和(5)暂停进程$\泽塔{T}(T)$和$\eta_{T}(T)$、和,根据(8)和(10),这些关系适用于进程${\alpha_{T}^{(k)}}(T)$,$k=1,2$也是如此。这意味着我们可以应用斯科罗霍德的收敛子序列原理(参见[17],第一章,§6)$(zeta{T}(T),eta{T}(T)$:给定任意序列${T^{prime}_{n}}\到infty$,我们可以选择子序列$T_{n}到infty$,概率空间$(\tilde{\varOmega},\tilde}\mathrm{\Im}},\tile{\operatorname{\mathsf{P}})$和随机过程$(颚化符{\zeta}_{T_{n}}$在该空间上定义,使其有限维分布与过程的分布一致$(zeta_{T_{n}}(T),eta_{T_}}$而且,为所有人$0\le t\le L$,其中$\波浪线{\泽塔}(t)$,$\tilde{\eta}(t)$,${\tilde{\alpha}}^{(1)}(t)$,${\tilde{\alpha}}^{(2)}(t)$是一些随机过程。
显然,关系(8)和(10)暗示${\tilde{\alpha}}^{(k)}(t)\equiv 0$,$k=1,2$,a.s.根据(5)、流程$\波浪线{\泽塔}(t)$和$\波浪线{\eta}(t)$是连续的。此外,应用引理4.5以及等式(7)和(9),我们得到哪里$\波浪线{\zeta}_{T_{n}}(T)\stackrel{\tilde{\operatorname{\mathsf{P}}}{\to}\波浪线$,$\波浪线{\eta}_{T_{n}}(T)\stackrel{\tilde{\operatorname{\mathsf{P}}}{\to}\波浪线$,$\sup_{0\le-t\le-L}|{\tilde{\alpha}_{t_{n}}^{(k)}}(t)|\stackrel{\tilder{\operatorname{\mathsf{P}}}{\to}0$,$k=1,2$,作为$T_{n}到infty$。此外,该公司成立于[12]对于任何常数$L>0$和$\varepsilon>0$,
使用后一种收敛和(11),我们得出结论,对于任何常数$L>0美元$和$\varepsilon>0$,
因此,根据普罗霍罗夫的著名结果[16],我们得出结论作为$T_{n}到infty$.根据引理4.3,我们可以在中达到极限(11)并获得哪里$\波浪线{\eta}(t)$是具有二次特征的连续鞅
现在,众所周知,后一种表示提供了Wiener过程的存在性$\hat{W}(t)$这样的话因此,该过程$(\波浪线{\泽塔}(t),\帽子{W}(t))$满足等式(6),以及流程$\波浪线{\泽塔}_{T_{n}}(T)$弱收敛,如$T_{n}到infty$,到流程$\波浪线{\泽塔}(t)$.自后续$T_{n}到infty$是任意的,因为方程(6)是弱唯一的,定理的证明2.1已完成。
定理的证明2.2很明显,对所有人来说$t>0$概率为1,哪里$\alpha_{T}(T)={\int_{0}^{T}}q_{T{(xi_{T)){0.1667em}个$和$q_{T}(x)=g_{Tneneneep(x)-g_{0}\左(g_{Tneneneei(x)\右)$.
功能$q_{T}(x)$满足引理的条件4.2因此,对于任何$L>0$,作为$T\到\输入$。类似于(11),我们得到等式哪里$\波浪线{\zeta}_{T_{n}}(T)\stackrel{\tilde{\operatorname{\mathsf{P}}}{\to}\波浪线$和$\sup_{0\le-t\le-L}|\tile{\alpha}_{t_{n}}(t)|\stackrel{\tile{operatorname{\mathsf{P}}}{\to}0$作为$T_{n}到infty$.过程$\波浪线{\泽塔}(t)$是等式的解(12),而通过引理4.5随机过程的有限维分布${\beta_{T_{n}}^{(1)}}(T)$与过程一致${\tilde{\beta}_{T_{n}}^{(1)}}(T)$.
使用引理4.3和等式(14),我们得出结论作为$T_{n}到infty$因此,该过程${\beta_{T_{n}}^{(1)}}(T)$弱收敛,如$T_{n}到infty$,到流程${\beta}^{(1)}(t)={\int_{0}^{t}}g{0}(\zeta(s))\hs空格{0.1667em}个$,其中$\泽塔(t)$是等式的解(6)。自子序列以来$T_{n}到infty$是任意的,并且由于一个解决方案$\泽塔(t)$等式的(6)是弱唯一的,定理的证明2.2已完成。
定理的证明2.3.考虑功能将Itó公式应用于流程$\varPhi_{T}(\xi_{T{(T))$,其中$\xi_{T}(T)$是等式的解(1),我们明白了哪里
表示$P_{NT}=\operatorname{\mathsf{P}}\{\sup_{0\le-t\le-L}|\xi_{t}(t)|>N\}$很明显,对于任何常数$\varepsilon>0$,$N>0$、和$L>0$,我们有不平等和
不平等$|G_{T}(x)|\ge C|x{|}^{\alpha}$,$\alpha>0$,以及收敛(4),意味着
因此,使用定理的条件2.3,我们得到了收敛性作为$T\到\输入$.
与我们建立(11)屈服,屈服哪里作为$T_{n}到infty$为所有人$L>0$.根据(12)带有$\波浪线{\eta}(t)$定义于(13),流程$(\波浪线{\泽塔}(t),\帽子{W}(t))$满足等式(6).
按引理4.5随机过程的有限维分布${\beta_{T_{n}}^{(1)}}(T)$与流程一致${\beta}_{T_{n}}^{(1)}}(T)$.使用引理4.3,我们可以传递到极限$T_{n}到infty$英寸(16)并获得作为$T_{n}到infty$,其中和$\波浪线{\泽塔}(t)$是等式的解(6)。因此,我们有了这个定理2.3等待进程${\beta_{T_{n}}^{(1)}}(T)$作为$T_{n}到infty$.自后续$T_{n}到infty$是任意的,并且由于一个解决方案$\泽塔(t)$等式的(6)是弱唯一的,定理的证明2.3已完成。
这个过程$\gamma_{T}(T)$是一个具有二次特征的连续鞅
根据定理的条件2.4、功能${q_{T}^{2}}(x)$满足引理的条件4.2因此,对于任何$L>0$,我们有收敛性$\langle\gamma _{T}\langle(L)\stackrel{\operatorname{\mathsf{P}}}}{\to}0$作为$T\到\输入$.
以下不等式适用于任何常数$\varepsilon>0$和$\增量>0$:(请参见[2],§3,定理2),这意味着作为$T\到\输入$.
然后,与表示法类似(11),在某个概率空间上$(\tilde{\varOmega},\tilde}\mathrm{\Im}},\tile{\operatorname{\mathsf{P}})$,对于任意子序列$T_{n}$,我们得到了等式哪里作为$T_{n}到infty$对于任何$L>0$,其中流程$(\波浪线{\泽塔}(t),\帽子{W}(t))$满足等式(6),$\波浪线{\eta}(t)$定义于(13),以及流程${\beta}_{T_{n}}^{(2)}}(T)$和${\beta_{T_{n}}^{(2)}}(T)$随机等价。
与收敛性证明类似(17),我们获得作为$T_{n}到infty$,其中
因此,该过程${\beta}_{T_{n}}^{(2)}}(T)$弱收敛,如$T_{n}到infty$,到流程${\tilde{\beta}}^{(2)}(t)$.自后续$T_{n}到infty$是任意的,并且由于${\tilde{\beta}_{T_{n}}^{(2)}}(T)$和${\beta_{T_{n}}^{(2)}}(T)$随机等价,定理证明2.4已完成。
如前所述,表示,$P_{NT}=\operatorname{\mathsf{P}}\{\sup_{0\le-t\le-L}|\xi_{t}(t)|>N\}$.对于任何常数$\varepsilon>0$,$N>0美元$、和$L>0$,我们有不平等我们可以应用定理的条件2.5和收敛(15)为了得到那个作为$T\到\输入$.事实证明$\gamma_{T}(T)$,收敛的类似物(19)holds与定理的证明完全相同2.4然后,我们可以将斯科罗霍德的收敛子序列原理应用于该过程$\左(\ zeta_{T}(T),\ eta_{T{(T$与表示法类似(11),获得任意子序列的以下等式$T_{n}$在一定概率空间中$(\tilde{\varOmega},\tilde}\mathrm{\Im}},\tile{\operatorname{\mathsf{P}})$:其中,作为$T_{n}到infty$,对于任何$L>0$,
定理的证明2.6根据Itó公式$\zeta_{T}(T)空间{0.1667em}=\hs空间{0.1667em}传真_{T} (\xi_{T}(T))$满足等式$d\zeta_{T}(T)=空间{0.1667em}分宽_{T} (吨)$,其中$\hat{\sigma}_{T}(x)={f^{\prime}_{T}}}\left(\varphi _{T}(x)\right)$,$\varphi_{T}(x)$是函数的反函数$f_{T}(x)$、和$\zeta_{T}(0)=f_{T{(x_{0})\到y_{0{$作为$T\到\输入$此外,以下等式成立:哪里$\hat美元{F}(F)_{T} (x)=F_{T}(\varphi_{T{(x))$和$\帽子{克}_{T} (x)=g_{T}(\varphi_{T{(x))$.
很容易看出,本定理的条件1意味着作为$T\到\输入$为所有人x个,而条件2意味着和作为$T\到\输入$对于任何$N>0$.
这意味着过程弱收敛的充要条件$\左(\zeta_{T}(T),I_{Tneneneep(T)\右)$作为$T\到\输入$到流程$\左(\ zeta(t),I(t)\右)$来自[11]持有$b_{T}={c_{T{^{(1)}}$和$a{T}={c_{T}^{(2)}}$.
4辅助结果
引理4.1。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$那么,对于任何 $N>0美元$ 以及任何Borel集合 $B\子集\左[-N;N\右]$,存在一个常量 $C_{L}$ 这样的话
哪里 美元\lambda(B)$ 是B的勒贝格测度,并且 $\psi\左(|x|\右)$ 是满足以下条件的有界函数 $\psi\左(|x|\右)\至0$ 作为 $|x|\到0$.
证明。
功能$\varPhi_{T}(x)$是连续的,导数${\varPhi^{\prime}_{T}}(x)$该函数的二阶导数是连续的${\varPhi^{\prime\prime}_{T}}(x)$关于Lebesgue测度存在,并且是局部有界的。因此,我们可以将Itó公式应用于该过程$\varPhi_{T}(\xi_{T{(T))$,其中$\xi_{T}(T)$是等式的解(1).
此外,关于勒贝格测度。使用后一等式,我们得出如下结论概率为1$t\ge 0美元$,其中$\zeta_{T}(T)=G_{T{(xi_{Tneneneep(T))$因此,利用随机积分的性质,我们得到
根据条件$(A_{2})$和不平等$|G_{T}(x)|\ge C|x{|}^{\alpha}$,$C>0$,$\alpha>0$,我们有
因此,使用不等式(5),我们得到对于一些常量$C_{L}$后一个不等式和等式(21)证明引理4.1。 □
引理4.2。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$.如果,对于可测局部有界函数 $q_{T}(x)$,条件 $(A_{3})$ 那么,对于任何 $L>0美元$,
作为 $T\到\输入$.
证明。
很明显,对于任何常数$\varepsilon>0$,$N>0$、和$L>0$,我们有不平等哪里$P_{NT}=\operatorname{\mathsf{P}}\{\sup_{0\le-t\le-L}|\xi_{t}(t)|>N\}$.
因此,使用收敛(15),我们获得和作为$T\到\输入$因此,公式(22)暗示引理的陈述4.2。 □
引理4.3。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$,并让 $\zeta_{T}(T)=G_{T}(\xi_{Tneneneep(T))\stackrel{\operatorname{\mathsf{P}}{\to}\zeta(T)$ 作为 $T\到\输入$那么对于任何可测量的局部有界函数 $g(x)美元$,我们有收敛性
作为 $T\到\输入$ 对于任何常数 $L>0$.
证明。
让$\varphi_{N}(x)=1$对于$|x|\le N$,$\varphi_{N}(x)=N+1-|x|$对于$|x|\in\left[N,N+1\right]$、和$\varphi_{N}(x)=0$对于$|x|>N+1$那么,对于所有人来说$T>0$和$L>0$,
根据定理2.1,收敛(4)等待进程$\泽塔{T}(T)$因此,要完成引理的证明4.3,我们需要确定作为$T\到\输入$.
首先,假设函数$g(x)美元$是连续的。然后作为$T\到\输入$为所有人$0\le s\le L$、和$\左|g(x)\varphi_{N}(x)\右|\le C_{N{$为所有人x个因此,根据勒贝格的支配收敛定理,我们具有收敛性(23)。其次,让函数克(x)美元$是可测的和局部有界的。然后,利用吕津定理,我们得出结论:$\增量>0$,存在一个连续函数${g}^{\delta}(x)$这与克(x)美元$对于$x\notin{B}^{delta}$,其中${B}^{\delta}\subset\left[-N-1,N+1\right]$,Lebesgue测度满足不等式$\lambda({B}^{\delta})<\delta$因此,对于每个$\增量>0$,收敛(23)为函数保留${g}^{\delta}(x)$自起,对于任何$\varepsilon>0$,考虑引理4.1,我们得出结论(23)保持这样的功能克(x)美元$也。 □
引理4.4。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)来自班级 $K\左(G_{T}\右)$,并让 $\zeta_{T}(T)=G_{T}(\xi_{Tneneneep(T))\stackrel{\operatorname{\mathsf{P}}{\to}\zeta(T)$ 和 $\eta_{T}(T)={\int_{0}^{T}}{G^{prime}{T}}(\xi_{T{(s)){0.1667em}dW_{T} (s)\stackrel{\operatorname{\mathsf{P}}}{\to}\eta(T)$ 作为 $T\到\输入$然后,对于可测局部有界函数 克(x)美元$,我们有收敛性
作为 $T\到\输入$ 对于任何常数 $L>0$.
证明。
类似于引理的证明4.3,它足以获得收敛的类似结果(23)也就是说,为了得到它,为了任何$N>0$和$L>0$,作为$T\到\输入$,其中$\varphi_{N}(x)$在引理的证明中定义4.3.收敛性证明(24)对于连续函数克(x)美元$类似于中的相应定理[17],第2章,第6节。二次特征的显式$\langle\eta_{T}\rangle(T)$鞅的$\eta_{T}(T)$和条件$(A_{1})$暗示不平等用于证明收敛性(24)。这种收敛到可测量局部有界函数类的扩展是基于引理的4.1与引理的证明类似4.3。 □
引理4.5。
让 $\xi_{T}$ 是等式的解。 (1)属于该类 $K\左(G_{T}\右)$,并让随机过程 $\左(\zeta_{T}(T),\eta_{Tneneneep(T)\右)$,使用 $\zeta_{T}(T)=G_{T{(xi_{Tneneneep(T))$ 和 $\eta_{T}(T)={\int_{0}^{T}}{G^{prime}{T}}(\xi_{T{(s)){0.1667em}分宽_{T} (s)$ 随机等价于该过程 $(\tilde{\zeta}_{T}(T),\tilde{\eta}_{T}(T))$然后是流程
哪里 克(x)美元$ 和 q(x)美元$ 是可测量的局部有界函数,随机等价于过程