Monitoring of zero-inflated binomial processes with a DEWMA control chart

Vasileios Alevizakos; Christos Koukouvinos

doi:10.1080/02664763.2020.1761950

J应用统计。2021; 48(7): 1319–1338.

2020年5月7日在线发布。数字对象标识：10.1080/02664763.2020.1761950

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PMID：35706893

用DEWMA控制图监测零膨胀二项式过程

瓦西莱奥斯·阿列维扎科斯和克里斯托斯·库库维诺斯

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摘要

控制图广泛用于监测高产工艺的质量特性。在计数数据中存在大量零观测值的过程中，零膨胀二项式（ZIB）模型比普通二项式模型更合适。在ZIB模型中，随机冲击发生的概率θ以及在发生随机冲击时，样本大小中不合格项目的数量n个遵循比例二项分布第页在本文中，我们对基于ZIB分布的指数加权移动平均控制图（ZIB-EWMA）进行了更详细的研究，并提出了一种基于双指数加权移动均值统计量的ZIB数据监控控制图。这两个控制图用于检测θ或第页既可以单独使用，也可以同时使用两个参数。通过仿真研究，我们将所提出的图表与ZIB-Shewhart、ZIB-EWMA和ZIB-CUSUM图表的性能进行了比较。最后，通过一个示例展示了ZIB图的实际应用。

关键词：平均运行长度（ARL）、零膨胀二项式（ZIB）分布、ZIB-DEWMA图、ZIB-EWMA图、ZIP-Shewhart图

1 介绍

在许多工业过程中，感兴趣的质量特征以属性的形式出现。在这种过程中，在二项式分布的假设下，休哈特第页和净现值图表通常分别用于监控不合格产品的比例和数量[20]. 这两种类型的图表由于其简单性而被广泛使用。它们仅基于一系列点中的最新观察结果，但不幸的是，它们在检测小位移和中等位移方面效率低下。为了克服这一点，许多作者受到佩奇的影响[23]和罗伯茨[28]，开发了记忆型二项式控制图。Chang和Gan[7]和Wu等人[33]研究了基于二项分布的累积和（CUSUM）图。莫利斯和帕切科[21]提出了一种用于二项式数据的上侧组合CUSUM-Shewhart格式。甘[9]Yeh等人。[35]呈现指数加权移动平均（EWMA）图和Khoo[17]介绍了用于监测二项过程的移动平均图。

如今，在许多高产工艺中，由于技术进步的出现，不合格项目的比例很低，因此数据中出现了过多的零观测值。这种过多的零导致分布过于分散，从而导致对过程的低估[31，32]. 因此，基于二项式分布的控制图不能被有效地使用，因为它们具有更严格的控制限制，这导致更高的误报率。在这些过程中，零膨胀二项式（ZIB）模型更合适[15第351-354页]。根据Noorosana等人[22]在ZIB模型下，冲击随机发生θ然后，每个抽样子组大小中不符合项的数量n个由随机冲击引起，遵循带参数的二项式分布第页.

据我们所知，基于ZIB分布开发的控制图很少。Sim和Lim[31]提出了两个上方的休哈特型控制图，其控制上限基于杰弗里斯( $n个 {第页}_{J型}$ 图表）或Blyth–Still's( $n个 {第页}_{英国标准}$ 图表）比例间隔第页不符合项。此外，他们还使用二选二控制规则来提高其性能。Fatahi等人。[8]开发了一个截短的控制图，其中包含监控ZIB过程的概率控制限。他们还表明，可以进行性能分析，以监测两个ZIB参数之一以及同时监测两个参数中的位移。Noorosana等人。[22]引入了用于监视ZIB数据的双面EWMA图表（ZIB-EWMA），他们发现它比 $n个 {第页}_{J型}$ 和 $n个 {第页}_{英国标准}$ 图表。Yawsaeng和Mayuresawan[34]针对参数提出了几种不同置信区间方法的休哈特型控制图第页ZIP分发的。Areepong和Sukparungsee[5]和Bualuang等人[6]研究了ZIB过程的双移动平均（DMA）控制图。拉基茨和卡斯塔利奥拉[24]研究了基于未知参数ZIB分布的休哈特型控制图的性能[25，26]用于检测ZIB参数向上或向下偏移的拟议单边CUSUM方案第页（邮政编码）。他们将上方ZIB-CUSUM图与上方ZIB-Shewhart图和双侧ZIB-EWMA图进行了比较，发现他们提出的图比其他图在小位移方面更有效第页.金和李[18]开发了可变采样间隔CUSUM（VSI-CUSUM）图，用于监测ZIB参数的向上偏移第页他们发现它比ZIB-CUSUM图表更有效[25，26]适用于小到中班。最后，在Ali et al[4]马哈茂德和谢[19]。

许多研究人员开发了不同类型的EWMA图以提高其性能。Shamma和Shamma[30]首先介绍了一种双EWMA（DEWMA）图，它是两个具有相同平滑常数的EWMA图的混合，以更快地检测平均值的偏移。危险品[10，11]提出了混合EWMA（HEWMA）图，它也是两个EWMA图的混合，其中平滑常数可以取不同的值。Zhang等人。[37]阿列维扎科斯和库库维诺[三]使用DEWMA方案监视属性数据。关于EWMA和DEWMA方案的其他近期工作可以在Raza等人的工作中找到[27]，Abbas等人[1]，Abbasi等人。[2]，Zamam等人。[36]和Hussain等人。[12，13]。

在本文中，我们更详细地研究了上面的ZIB-EWMA图，并且我们还提出了一个上面的DEWMA图来监视ZIB进程。由于研究了所有以前的ZIB控制图，以监测参数的变化第页假设冲击概率θ如果是固定的，则研究所建议的图表和ZIB-EWMA图表，不仅可以分别检测每个ZIB参数中的向上偏移，还可以同时检测两个参数中的偏移。向上转移意味着产生了更多不合格项目，应采取措施消除恶化的原因。另一方面，向下转移意味着过程可能已经得到了改进，人们应该采取行动来保持改进的原因。然而，在本文中，我们只研究向上的情况。

本文的其余部分组织如下。章节2介绍了ZIB分布的基本属性以及ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的构造。在节中三在第节中，我们研究了两种图表的运行长度分布、控制内（IC）设计、控制外（OOC）性能和稳态ARL4，将这两个图表与ZIB-Shewhart和ZIB-CUSUM图表进行比较。在节中5最后一节给出了一些结论性结果。

2 基于ZIB分布的控制图

在本节中，我们将介绍ZIB分布，然后，我们将详细描述上部EWMA和DEWMA图表的构造，以监视ZIB进程。

2.1、。ZIB分布

ZIB分布概括了二项式分布，并用于对具有更多零的计数数据进行建模。在ZIB模型下，假设随机冲击与概率无关θ发生随机冲击时，可发现不合格项。规模子组中不符合项的数量n个遵循不合格单位比例的二项分布第页如果没有发生随机冲击，则不合格项目的数量为零。让X（X）是遵循ZIB分布的随机变量。定义见[15]，的概率质量函数（pmf）X（X）由提供

（f） (x个; θ ， n个 ， 第页) = {\begin{cases} 1 负极 θ + θ {(1 负极 第页)}^{n个} ， & x个 = 0 ， \\ θ (\binom{n个}{x个}) {第页}^{x个} {(1 负极 第页)}^{n个 负极 x个} ， & x个 = 1 ， 2 ， \dots ， n个 . \end{cases}

(1)

零膨胀参数（或冲击概率）越小θ就是说，存在的零观测值越多。如果 $θ = 0$ ，则ZIB分布在x个=0.另一方面，如果 $θ = 1$ ，ZIB分布与带参数的二项式分布一致n个和第页零观察值，即大小分组中无故障n个如果没有发生随机冲击，或者在发生随机冲击时观察到零观测值，则可能存在。平均值或期望值和方差X（X）由给出（参见[22])

\begin{aligned} E类 (X（X）) & = n个 第页 θ ， \\ V（V） 一 第页 (X（X）) & = n个 (n个 负极 1) {第页}^{2} θ + n个 第页 θ (1 负极 n个 第页 θ) . \end{aligned}

(2)

当ZIB参数θ和第页未知，可以使用初步随机样本进行估计 ${X（X）}_{1} ， {X（X）}_{2} ， \dots ， {X（X）}_{N个}$ 大小为N个来自ZIB进程。参数的最大似然估计（MLE）θ和第页可以通过求解以下方程组从数值上获得[16]:

\begin{aligned} \hat{θ} & = \frac{N个 负极 {（f）}_{0}}{N个} \frac{1}{1 负极 {(1 负极 第页)}^{n个}} ， \\ \hat{第页} & = \frac{\bar{X（X）}}{n个 \hat{θ}} ， \end{aligned}

(3)

哪里 $\hat{θ}$ 和 $\hat{第页}$ 是MLE， $\bar{X（X）}$ 是样本平均值 ${（f）}_{0}$ 是零个观测值的数目。此外，参数的估计θ和第页可以使用由[22]. 矩量法估计量（MME）由下式给出

\begin{aligned} \hat{θ} & = \frac{(n个 负极 1) {(\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨})}^{2}}{n个 N个 (\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}^{2} 负极 \sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨})} ， \\ \hat{第页} & = \frac{\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}^{2} 负极 \sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}}{(n个 负极 1) \sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}} . \end{aligned}

(4)

应该注意的是N个必须足够大才能获得非零观测值。否则，ZIB参数θ和第页无法估计。此外，初步样本越大N个即，实现了更准确的估计。

发件人(4)，我们得出结论 $\hat{θ}$ 和 $\hat{第页}$ 根据Fatahi等人。[8]，其协方差计算公式为

\begin{aligned} C类 o（o） v（v） (\hat{第页} ， \hat{θ}) & = \frac{1}{n个 N个} E类 (\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}) 负极 \frac{1}{n个 N个} E类 (\frac{\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}^{2} 负极 \sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}}{\sum_{t吨 = 1}^{n个} {X（X）}_{t吨}}) \\ \times E类 (\frac{{(\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨})}^{2}}{\sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}^{2} 负极 \sum_{t吨 = 1}^{N个} {X（X）}_{t吨}}) . \end{aligned}

2.2. ZIB-EWMA控制图

Noorosana等人。[22]首先介绍了EWMA控制图，以使用稳态（渐近）控制极限来监测ZIB数据

让 ${X（X）}_{t吨} \overset{我我 d日}{\sim} Z轴我 B类 (θ ， n个，第页)$ ， $t吨 = 1 ， 2 ， \dots$ 平均值 $n个第页 θ$ 。当 $θ = θ_{0}$ 和 $第页 = {第页}_{0}$ 。ZIB-EWMA统计定义为

{Z轴}_{t吨} = λ {X（X）}_{t吨} + (1 负极 λ) {Z轴}_{t吨 负极 1} ， t吨 = 1 ， 2 ， \dots ，

(5)

哪里 $0 < λ \leq 1$ 是平滑因子 ${Z轴}_{0} = n个 {第页}_{0} θ_{0}$ .值较小λ建议用于检测过程中的小偏移，而λ对于较大的班次，首选[20]. 统计数据 ${Z轴}_{t吨}$ 也可以表示为

{Z轴}_{t吨} = λ \sum_{我 = 0}^{t吨 负极 1} (1 负极 λ)^{我} {X（X）}_{t吨 负极 我} + (1 负极 λ)^{t吨} n个 {第页}_{0} θ_{0} .

(6)

使用上述方程，统计的IC期望值和方差 ${Z轴}_{t吨}$ 可以计算为

\begin{aligned} E类 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类) & = n个 {第页}_{0} θ_{0} ， \\ V（V） 一 第页 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类) & = \frac{λ}{2 负极 λ} [1 负极 (1 负极 λ)^{2 t吨}] [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})] . \end{aligned}

(7)

时变控制极限( $单位 C类我_{t吨}$ 和 $我 C类我_{t吨}$ )和中心线(氯)双边ZIB-EWMA图表的

\begin{aligned} 单位 C类 我_{t吨} & = n个 {第页}_{0} θ_{0} + 我 \sqrt{\frac{λ}{2 负极 λ} [1 负极 (1 负极 λ)^{2 t吨}] [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} ， \\ C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} ， \\ 我 C类 我_{t吨} & = n个 {第页}_{0} θ_{0} 负极 我 \sqrt{\frac{λ}{2 负极 λ} [1 负极 (1 负极 λ)^{2 t吨}] [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} ， \end{aligned}

(8)

哪里我>0是控制界限的宽度。对于大值t吨，中的控制极限(8)收敛到渐近控制极限：

\begin{aligned} 单位 C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} + 我 \sqrt{\frac{λ}{2 负极 λ} [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} ， \\ C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} ， \\ 我 C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} 负极 我 \sqrt{\frac{λ}{2 负极 λ} [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} . \end{aligned}

(9)

当控制下限小于零时，我们将其设置为零。在本文中，我们感兴趣的是检测θ和/或第页; 所以我们只使用下面给出的控制上限

单位 C类 我_{t吨} = n个 {第页}_{0} θ_{0} + 我 \sqrt{\frac{λ}{2 负极 λ} [1 负极 (1 负极 λ)^{2 t吨}] [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} .

(10)

通过绘制统计数据构建ZIB-EWMA图表 ${Z轴}_{t吨}$ 与样本数相比我o时间t吨。如果绘制的点位于 $单位 C类我_{t吨}$ 由提供(10)，该过程被视为失控（OOC）。否则，该过程称为IC，且无移位 $θ_{0}$ 和/或 ${第页}_{0}$ 已发生。

2.3. ZIB-DEWMA控制图

让 ${X（X）}_{t吨} \overset{我我 d日}{\sim} Z轴我 B类 (θ ， n个，第页)$ ， $t吨 = 1 ， 2 ， \dots$ 平均值 $n个第页 θ$ .当流程为IC时，则 $θ = θ_{0}$ 和 $第页 = {第页}_{0}$ ZIB-DEWMA统计通过方程组定义：

\begin{aligned} {Y（Y）}_{t吨} & = λ {X（X）}_{t吨} + (1 负极 λ) {Y（Y）}_{t吨 负极 1} ， \\ {Z轴}_{t吨} & = λ {Y（Y）}_{t吨} + (1 负极 λ) {Z轴}_{t吨 负极 1} ， \\ {Y（Y）}_{0} & = {Z轴}_{0} = n个 {第页}_{0} θ_{0} ， \end{aligned}

(11)

哪里 $0 < λ \leq 1$ 是平滑因子。结合统计数据 ${Y（Y）}_{t吨}$ 和 ${Z轴}_{t吨}$ ，统计数据 ${Z轴}_{t吨}$ 可以写为

{Z轴}_{t吨} = λ^{2} \sum_{我 = 1}^{t吨} (t吨 负极 我 + 1) (1 负极 λ)^{t吨 负极 我} {X（X）}_{我} + t吨 λ (1 负极 λ)^{t吨} n个 {第页}_{0} θ_{0} + (1 负极 λ)^{t吨} n个 {第页}_{0} θ_{0} .

(12)

IC期望值和统计的方差 ${Z轴}_{t吨}$ 由提供

E类 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类) = n个 {第页}_{0} θ_{0}

(13)

和

\begin{aligned} λ^{4} [1 + (1 负极 λ)^{2} 负极 (t吨 + 1)^{2} (1 负极 λ)^{2 t吨} \\ V（V） 一 第页 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类) = \frac{+ (2 {t吨}^{2} + 2 t吨 负极 1) (1 负极 λ)^{2 t吨 + 2} 负极 {t吨}^{2} (1 负极 λ)^{2 t吨 + 4}]}{[1 负极 (1 负极 λ)^{2}]^{三}} \\ \times [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})] . \end{aligned}

(14)

时变控制极限( $单位 C类我_{t吨}$ 和 $我 C类我_{t吨}$ )和中心线(氯)双边ZIB-DEWMA图表的

\begin{aligned} 单位 C类 我_{t吨} & = n个 {第页}_{0} θ_{0} + 我 \sqrt{V（V） 一 第页 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类)} ， \\ C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} ， \\ 我 C类 我_{t吨} & = n个 {第页}_{0} θ_{0} 负极 我 \sqrt{V（V） 一 第页 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类)} ， \end{aligned}

(15)

哪里我>0是控制界限的宽度 $V（V）一第页 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类)$ 计算公式为(14). 对于大值t吨，渐近控制极限由下式给出

\begin{aligned} 单位 C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} + 我 \sqrt{\frac{λ (2 负极 2 λ + λ^{2})}{(2 负极 λ)^{三}} [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} ， \\ C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} ， \\ 我 C类 我 & = n个 {第页}_{0} θ_{0} 负极 我 \sqrt{\frac{λ (2 负极 2 λ + λ^{2})}{(2 负极 λ)^{三}} [n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} . \end{aligned}

(16)

当控制下限小于零时，我们将其设置为零。由于我们感兴趣的是检测θ和/或第页，我们仅使用由

单位 C类 我_{t吨} = n个 {第页}_{0} θ_{0} + 我 \sqrt{V（V） 一 第页 ({Z轴}_{t吨} | 我 C类) .}

(17)

与ZIB-EWMA图表一样，ZIB-DEWMA图表是通过绘制统计数据来构建的 ${Z轴}_{t吨}$ 相对于样本数量我或时间t吨。如果绘制的点是一个过程，则该过程被视为OOC ${Z轴}_{t吨}$ 躺在 $单位 C类我_{t吨}$ 由提供(17). 否则，该过程被视为IC。

在本文中，假设样本大小n个是固定的，并且ZIB参数的值θ和第页根据一期大样本进行估算。

三。 ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA控制图的设计

在本节中，我们研究了ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的运行长度分布，假设IC值 $θ_{0}$ 属于θ和 ${第页}_{0}$ 属于第页此外，我们还研究了两种图表的IC设计、失控（OOC）性能和稳态ARL。由于本节中有许多表格，我们将它们放在“在线补充”中，以便读者更容易关注绩效研究的结论和建议。

控制图最常用的性能度量是平均运行长度（ARL）。ARL是为使图表发出信号而必须绘制的预期点数[20]. 换句话说，ARL是指在统计数据显示超出控制限之前，必须在控制图上绘制的图表统计数据的预期数量。当过程为IC时，有效的控制图应具有较大的ARL值（表示为ARL $_{0}$ )以避免许多错误警报。另一方面，当流程为OOC时，ARL（表示为ARL $_{1}$ )应较小，以便快速检测移位。ARL的大值 $_{0}$ 和ARL的小值 $_{1}$ 优先用于控制图。

为了比较两个或多个控制图的性能，最好设置一个通用ARL $_{0}$ 用于这些图表。ARL较小的图表 $_{1}$ 特定偏移的值被认为更有效，并且可以比其他竞争图表更快地检测到特定偏移。

3.1. 行程长度分布

为了计算ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的运行长度分布，我们使用蒙特卡罗模拟方法。仿真算法包括以下五个步骤：

第1步：生成10000个随机变量 ${X（X）}_{t吨} ， t吨 = 1 ， 2 ， \dots ， 10 ， 000$ 从ZIB(θ，n个，第页)使用统计软件R进行分布。

第2步：给定适当的值λ和我，使用以下公式计算ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的控制上限(10)以及(17)分别为。然后，根据(6)和(12)与的相应值进行比较 $单位 C类我_{t吨} ， t吨 = 1 ， 2 ， \dots ， 10 ， 000$ 计算运行长度。

步骤3：在运行步骤1和2的10000次迭代后，与特定ZIB参数和(λ，我)计算组合。

第4步：使用“双截面”方法和“反向回归”的思想，控制极限的宽度我对应于所需 $一个 R（右）我_{0} \approx 370$ 通过重复步骤获得(1)至(三)和设置 $θ = θ_{0}$ 和 $第页 = {第页}_{0}$ .

第5步：低于精确值(λ，我)组合到所需的ARL $_{0}$ 、ARL $_{1}$ 中特定移位的值 $θ_{0}$ 和/或 ${第页}_{0}$ 通过执行步骤计算(1)至(三).

如上所述，我们使用10000个复制来生成所需的ARL $_{0}$ 我们指出沙弗和金[29]表明5000次复制足以产生所需的ARL $_{0}$ 误差水平较小。

3.2. IC设计

由于没有标准的ZIB分布，因此ZIB分配无法标准化，在我们的模拟研究中，我们考虑了IC冲击概率的不同值 $θ_{0} \in {0.1 ， 0.2 ， 0.4}$ ，样本大小 $n个 \in {100 ， 200 ， 500}$ 以及不合格单元的IC比例 ${第页}_{0} \in {0.01 ， 0.02 ， 0.05}$ 。我们还设置 $λ \in {0.05 ， 0.10 ， 0.25 ， 0.40 ， 0.60}$ 因为这些值是针对文献中的EWMA图表推荐的[20]。

表S1显示了计算的我ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的值，以便ARL $_{0}$ 接近370。这些值用于图表的设计。例如，如果我们想为数据遵循带参数的ZIB分布的流程设计一个ZIB-DEWMA图表( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.2、100、0.05），并让 $λ = 0.05$ ，然后是值我=1.607给出了ARL $_{0}$ 接近370。从表S1中，我们观察到，对于ZIB参数的固定值λ增加我也会增加，以实现所需的ARL $_{0}$ 此外，对于ZIB参数的固定值和λ，的我ZIB-EWMA图表的值大于对应的我为了获得ARL，ZIB-DEWMA图表的值 $_{0}$ 接近370。

3.3. OOC性能

为了研究ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的OOC性能，我们使用以下组合(λ，我)如表S1所示，给出了ARL $_{0}$ 接近370。我们感兴趣的是只检测其中一个ZIB参数的向上偏移，假设另一个参数已知或保持不变，同时检测两个ZIB参数。

3.3.1. 监测参数的变化第页

当过程为OOC且假设冲击概率为固定值时θ，然后 ${第页}_{1} = δ_{第页} {第页}_{0}$ 在这种情况下，我们假设冲击概率 $θ = θ_{0}$ 是已知的或固定的，只有不符合项的比例发生变化。在我们的研究中，我们使用了移位 $δ_{第页} \in {1.1 ， 1.2 ， 1.3 ， 1.5 ， 1.7 ， 2 ， 2.5}$ .仅在换班期间的OOC绩效结果 ${第页}_{0}$ ZIB-EWMA图表如表S2–S4所示，而ZIB-DEWMA图表的相应结果如表S5–S7所示。此外，图表的IC性能( $δ_{第页} = 1$ )这些表中提供了运行长度的标准偏差（SDRL）。根据表S2-S7，我们得出以下结论：

对于固定值λ以及特定样本大小n个，作为 $θ_{0}$ 和/或 ${第页}_{0}$ 增加，两个图表都更有效，即ARL $_{1}$ 值减小。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、200、0.01）和 $δ_{第页} = 1.1$ 、ARL $_{1}$ 用于带有的ZIB-EWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=2.768是242.23，而当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、200、0.02）和 $δ_{第页} = 1.1$ 、ARL $_{1}$ 对于带有的ZIB-EWMA $λ = 0.05$ 和我=2.702为224.48。此外，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.2、100、0.05）和 $δ_{第页} = 1.7$ 、ARL $_{1}$ 对于ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.60$ 和我=3.800为28.45，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.4、100、0.05）和 $δ_{第页} = 1.7$ ，ARL $_{1}$ ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.6$ 和我=3.1505为15.09。
对于固定值λ以及ZIB参数的特定IC值 $θ_{0}$ 和 ${第页}_{0}$ ，作为n个这两个图表都比较敏感。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、100、0.01）和 $δ_{第页} = 1.5$ 、ARL $_{1}$ ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=1.594为97.34，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、200、0.01）和 $δ_{第页} = 1.5$ 、ARL $_{1}$ ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=1.604为83.74。
对于这两个图表，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、100、0.01），值为 $λ = 0.05$ 优先于更大的值λ然而，当n个或 ${第页}_{0}$ 略微增加（例如，n个=200或 ${第页}_{0} = 0.02$ )，控制图 $λ = 0.60$ 比数值较小的图表更有效λ在检测较大位移时。对于更大的增长n个和/或 ${第页}_{0}$ ，控制图 $λ = 0.60$ 在整个换档范围内更加敏感。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1，100，0.02）或（0.1，200，0.01），ZIB-EWMA图表 $λ = 0.05$ 比ZIB-EWMA更有效 $λ = 0.60$ 对于小到中等位移，而对于其他三个ZIB参数 $θ_{0} = 0.1$ ，带有的ZIB-EWMA图表 $λ = 0.60$ 以较小的值超过其他图表λ在整个换档范围内。上述行为存在，但与 $θ_{0}$ 增加。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1，200，0.02），ZIB-EWMA图表 $λ = 0.60$ 和我=5.482优于其他ZIB-EWMA图表，数值较小λ在整个换档范围内。对于( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.2、200、0.02），ZIB-EWMA图表 $λ = 0.60$ 和我=4.323比ZIB-EWMA图表更敏感 $λ = 0.05$ 和我=2.541适用于中班到大班，反之亦然，适用于小班。最后，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.4，200，0.02），ZIB-EWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=2.371比ZIB-EWMA图表更有效 $λ = 0.60$ 和我=3.381适用于小到中班，反之亦然。
何时( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、100、0.01），ZIB-DEWMA图表在小到中度偏移方面优于ZIB-EWMA图表，而在其余三倍偏移方面 $θ_{0} = 0.1$ 在整个班次范围内，ZIB-EWMA图表比ZIB-DEWMA图表更为敏感。作为的价值 $θ_{0}$ 增加，ZIB-DEWMA图表比ZIB-EWMA图表更有效的偏移范围增加。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、100、0.02），ZIB-EWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=2.766比ZIB-DEWMA图表更有效 $λ = 0.05$ 和我=整个换档范围内为1.605。何时( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.2、100、0.02），ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=1.586比ZIB-EWMA图表更敏感 $λ = 0.05$ 和我=2.593适用于 $δ_{第页} \in {1.1 ， 1.2}$ while when（当）( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.4，100，0.02），ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=1.605优于ZIB-EWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=2.433适用于 $δ_{第页} \in {1.1 ， 1.2 ， 1.3 ， 1.5 ， 1.7}$ .
对于 $λ = 0.05$ 或0.10，IC SDRL值（称为SDRL $_{0}$ )ZIB-DEWMA图表的值略大于ZIB-EWMA图表的相应值，而对于 $λ = 0.25 ， 0.40 ， 0.60$ ，它们大致相等。

3.3.2. 监测参数的变化θ

当流程为OOC且假设不合格项目比例为固定值时第页，然后 $θ_{1} = δ_{θ} θ_{0}$ 在这里，我们假设 ${第页}_{0}$ 是已知的或固定的，只有冲击概率发生变化。在本研究中，我们使用了移位 $δ_{θ} \in {1.25 ， 1.50 ， 1.75 ， 2}$ .仅在换班期间的OOC绩效结果 $θ_{0}$ ZIB-EWMA图表的相应结果如表S8至S10所示，而ZIB-DEWMA图表的相应结果如表S11至S13所示。此外，SDRL值如表所示。从表S8-S13中，我们观察到以下情况：

对于固定值λ以及特定样本大小n个，这两个图表都更加敏感，因为 ${第页}_{0}$ 和/或 $θ_{0}$ 增加。
对于固定值λ和特定IC值θ和第页，这两个图表都更有效，因为n个增加。
控制图 $λ = 0.05$ 以更大的值超过其他控制图λ.
在整个班次范围内，ZIB-DEWMA图表比ZIB-EWMA图表更为敏感。
OOC SDRL（简称SDRL $_{1}$ )ZIB-DEWMA图表的值小于ZIB-EWMA图表的值。

3.3.3. 监测两个参数的变化

在大多数应用程序中，假设一个ZIB参数是固定的，而另一个参数从其IC值偏移是不完全正确的。在这种情况下，两个ZIB参数同时从其IC值偏移，如下所示： $δ_{第页} \in {1.1 ， 1.3 ， 1.5 ， 1.7 ， 2}$ 和 $δ_{θ} \in {1.25 ， 1.50 ， 1.75 ， 2}$ 。我们还考虑 $θ_{0} \in {0.1 ， 0.2 ， 0.4}$ 和 $(n个， {第页}_{0}) \in {(100 ， 0.01) ， (200 ， 0.02)}$ ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表在两个参数变化下的OOC性能结果如表S14至S19所示，我们从中观察到以下情况：

对于固定值λ和的特定值(n个， ${第页}_{0}$ )、ARL $_{1}$ 值随着 $θ_{0}$ 增加。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、100、0.01）和( $δ_{第页}$ ， $δ_{θ}$ )=（1.3、1.50），ARL $_{1}$ ZIB-EWMA图表的 $λ = 0.05$ 和我=2.855为59.51，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.2、100、0.01）和( $δ_{第页}$ ， $δ_{θ}$ )=（1.3，1.50），ARL $_{1}$ ZIB-EWMA图表的 $λ = 0.05$ 和我=2.692是35.59。
对于固定值λ和特定值 $θ_{0}$ ，作为的值 $(n个， {第页}_{0})$ 增加，两个图表都更有效。例如，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.4100，0.01）和( $δ_{第页}$ ， $δ_{θ}$ )=（1.5,1.75），ARL $_{1}$ ZIB-DEWMA图表的 $λ = 0.05$ 和我=1.599等于7.65，而当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.4、200、0.02）和( $δ_{第页}$ ， $δ_{θ}$ )=（1.5,1.75），ARL $_{1}$ ZIB-DEWMA图表的 $λ = 0.05$ 和我=1.579等于4.32。
通常，对于这两个图表，值为 $λ = 0.05$ 优先于较大的值λ然而，当( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、200、0.02），控制聊天 $λ = 0.60$ 比数值较小的图表更敏感λ对于大换班 ${第页}_{0}$ 同时在 $θ_{0}$ 例如，对于ZIB参数的后一个值，带有 $λ = 0.60$ 和我=4.6735比ZIB-DEWMA图表更敏感 $λ = 0.05$ 和我=1.598用于 $(δ_{第页} ， δ_{θ}) \in {(1.7 ， 1.25) ， (2 ， 1.25) ， (2 ， 1.50) ， (2 ， 1.75)}$ 对于其他换档范围，反之亦然。
对于( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.11000.01）或（0.21000.01）以及 $λ = 0.05$ ，ZIB-DEWMA图表的表现优于ZIB-EWMA图表，但在以下情况除外： ${第页}_{0}$ 发生。ZIB-DEWMA图表相对于ZIB-EWMA图表的优势随着λ也会增加。另一方面，对于( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.4、100、0.01），ZIB-DEWMA图表在每个值的整个偏移范围内都优于ZIB-EWMA图表λ.
对于( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、200、0.02）和 $λ = 0.05$ ，ZIB-DEWMA图表比ZIB-EWMA图表更有效 ${第页}_{0}$ （比如， $δ_{第页} \in {1.1 ， 1.3}$ )每次换班时同时进行 $θ_{0}$ 对于更大范围的偏移，ZIB-DEWMA图比ZIB-EWMA图更敏感 $θ_{0}$ 或λ增加。

3.3.4、。稳态ARL

上表中报告的计算出的ARL值适用于开始时发生向上偏移的情况，称为零状态ARL。在许多情况下，该过程长时间保持IC，没有任何错误信号，偏移发生在稍后。这种行为称为稳态性能。这里，我们计算ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表的稳态ARL值 $λ = 0.05$ 和( $θ_{0}$ ，n个， ${第页}_{0}$ )=（0.1、100、0.01）假设一个或两个参数的偏移发生在采样或时间t吨=10、25、50和100。将稳态ARL值与零状态ARL值进行比较(t吨=1). 结果如表S20至S22所示。我们观察到，对于这两个图表，稳态ARL值都高于对应的零状态ARL值。对于ZIB-EWMA图表，当偏移发生在t吨=25、50或100可忽略不计，因为其控制上限为t吨=25近似等于其渐近控制上限(9). 相应地，对于ZIB-DEWMA图表，当偏移发生在t吨=50或100，因为其控制上限为t吨=50近似等于其渐近控制上限(16). 此外，尽管ZIB-DEWMA图表对两个参数偏移下的某些偏移比ZIB-EWMA图表更敏感，但其中一些偏移的ZIB-EWMA图表的稳态ARL值小于ZIB-DEVMA图表的相应ARL值。发生这种情况的原因是 $δ_{第页} = 1.7$ 和的每个值 $δ_{θ}$ 以及( $δ_{第页}$ ， $δ_{θ}$ )=(2.0, 2.00).

4 比较

在本节中，我们比较了ZIB-EWMA的零状态性能[22]、ZIB-Shewhart[24]、ZIB-CUSUM[25，26]以及拟议的ZIB-DEWMA图表。所有控制图都设计有一个上方控制限值。以下几行简要介绍了ZIB-Shewhart和ZIB-CUSUM图表。

拉基茨和卡斯塔利奥拉[24]提出了一个上方ZIB-Shewhart控制图，其控制上限由下式给出

单位 C类 我 = n个 {第页}_{0} θ_{0} + K（K） \sqrt{[n个 (n个 负极 1) {第页}_{0}^{2} θ_{0} + n个 {第页}_{0} θ_{0} (1 负极 n个 {第页}_{0} θ_{0})]} ，

（18）

哪里K（K）>0是用于设置ARL的常量 $_{0}$ 到所需的值。已知参数的上方ZIB-Shewhart图的ARL和SDRL值由下式给出

一个 R（右） 我 = \frac{1}{β} ， S公司 D类 R（右） 我 = \frac{\sqrt{1 负极 β}}{β} ，

(19)

哪里 $β = P（P） ({X（X）}_{t吨} \geq 单位 C类我) = 1 负极 {F类}_{Z轴我 B类} (单位 C类我负极 1 | θ ， n个，第页)$ 。对于 $θ = θ_{0}$ 和 $第页 = {第页}_{0}$ ，我们获得ARL $_{0}$ 和SDRL $_{0}$ 值。如果观察到任何情况，则该过程被视为OOC ${X（X）}_{t吨}$ 等于或大于UCL。

Rakitzis等人[25，26]提出了CUSUM方案，用于检测参数的向上或向下偏移第页。上方的ZIB-CUSUM图表基于绘制统计数据

{C类}_{t吨} = 最大值 ({C类}_{t吨 负极 1} + {X（X）}_{t吨} 负极 k个 ， 0) ， t吨 = 1 ， 2 ， \dots ，

（20）

哪里k个称为参考值 ${C类}_{0} = {c（c）}_{0}$ 是起始值 $0 \leq {c（c）}_{0} \leq 小时$ （通常 ${c（c）}_{0} = 0$ ). ZIB-CUSUM图表为任何 ${C类}_{t吨} \geq 小时$ ，其中小时选择以获得所需的ARL $_{0}$ 值。

ZIB-Shewhart图表的ARL值由以下公式计算(19)而其他图表则采用蒙特卡洛方法。为了得出有效的结论，将所有控制图与一个共同的基础进行比较，即ARL的共同值 $_{0}$ 研究了只有一个ZIB参数移位而另一个参数是固定的情况下竞争图的性能，以及两个参数移位的情况。对于ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表，平滑因子λ被选择为等于0.05作为控制图 $λ = 0.05$ 在检测小位移时非常敏感，而ZIB-CUSUM图表在 $δ_{第页} = 1.2$ （请参见[26]). 比较研究的结果见表1–三，其中粗体表示最小的ARL $_{1}$ 每个班次的值。

表1。

年班次下ZIB-Shewhart、ZIB-CUSUM、ZIP-EWMMA和ZIB-DEWMA图表的性能比较 ${第页}_{0}$ .

				ZIB-Shewhart公司	邮政编码-CUSUM	邮政编码-EWMA	ZIB-DEWMA公司
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{第页}$	伦敦大学学院=7	k个=0.68,小时=12.80	$λ = 0.05 ，我 = 2.576$	$λ = 0.05 ，我 = 1.587$
0.2	250	0.01	1	364.92	363.90	364.23	365.10
			1.1	229.91	213.42	201.98	194.92
			1.2	153.38	140.48	123.61	120.84
			1.3	107.33	101.32	84.54	85.37
			1.5	59.01	62.62	49.12	50.51
			1.7	36.62	44.30	33	35.36
			2	21.16	30.68	21.19	24.05
			2.5	11.51	20.53	13.21	15.98
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{第页}$	伦敦大学学院=11	k个=3.79,小时=8.41	$λ = 0.05 ，我 = 2.549$	$λ = 0.05 ，我 = 1.621$
0.2	500	0.01	1	377.54	371.29	377.84	377.32
			1.1	203.70	198.13	191.45	187.09
			1.2	120.11	119.66	112.93	113.49
			1.3	76.26	78.17	74.83	77.07
			1.5	36.73	41.19	41.47	45.01
			1.7	21.26	26.08	27.57	31.33
			2	11.99	15.92	17.87	21.54
			2.5	7.08	9.24	11.48	14.57
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{第页}$	伦敦大学学院=7	k个=1.39,小时=15.20	$λ = 0.05 ，我 = 2.345$	$λ = 0.05 ，我 = 1.570$
0.6	502	0.004	1	367.63	367.28	367.87	367.79
			1.1	223.15	151.48	135.43	124.69
			1.2	143.47	83.83	68.06	61.21
			1.3	96.79	55.11	41.30	37.45
			1.5	49.52	31.30	20.23	19.16
			1.7	28.64	21.94	12.83	12.29
			2	14.95	15.10	7.71	7.65
			2.5	6.94	10.04	4.53	4.68
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{第页}$	伦敦大学学院=7	k个=1.42,小时=14.51	$λ = 0.05 ，我 = 2.340$	$λ = 0.05 ，我 = 1.566$
0.6	288	0.007	1	365.71	365.77	365.10	365.82
			1.1	221.85	151.99	133.78	123.93
			1.2	142.55	83.91	67.50	60.62
			1.3	96.12	54.59	41.06	37.32
			1.5	49.13	30.77	20.09	19
			1.7	28.39	21.40	12.71	12.22
			2	14.81	14.65	7.66	7.59
			2.5	6.87	9.72	4.50	4.65

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表3。

ZIB-Shewhart、ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表在两个参数下的性能比较发生了变化。

				ZIB-Shewhart公司	邮政编码-EWMA	ZIB-DEWMA公司
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$(δ_{θ} ， δ_{第页})$	伦敦大学学院=7	$λ = 0.05 ，我 = 2.576$	$λ = 0.05 ，我 = 1.587$
0.2	250	0.01	（1.25,1.1）	183.93	81.09	71.06
			(1.25,1.2)	122.70	56.62	51.04
			(1.50,1.3)	71.55	25.41	23.42
			1.50,1.5）	39.34	17.10	16.63
			(1.75,1.7)	20.92	9.23	9.42
			(2.00,2.0)	10.58	5.49	5.72
			(2.00,2.5)	5.76	4.09	4.49
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$(δ_{θ} ， δ_{第页})$	伦敦大学学院=11	$λ = 0.05 ，我 = 2.549$	$λ = 0.05 ，我 = 1.621$
0.2	500	0.01	(1.25,1.1)	162.96	72.14	63.61
			(1.25,1.2)	96.09	48.92	43.36
			(1.50,1.3)	50.84	21.25	20.14
			1.50,1.5)	24.49	14.26	14.51
			(1.75,1.7)	12.15	7.70	8.20
			(2.00,2.0)	6	4.62	5.09
			(2.00,2.5)	3.54	3.53	4.09
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$(δ_{θ} ， δ_{第页})$	UCL公司=7	$λ = 0.05 ，我 = 2.345$	$λ = 0.05 ，我 = 1.570$
0.6	502	0.004	（1.1、1.1）	202.87	72.78	60.66
			(1.1,1.2)	130.43	41.02	35.20
			(1.2,1.3)	80.66	18.72	16.27
			(1.2,1.5)	41.26	11.05	9.78
			(1.3,1.7)	22.03	6.03	5.23
			(1.5,2.0)	9.96	2.98	2.46
			(1.5,2.5)	4.63	2.05	1.75
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$(δ_{θ} ， δ_{第页})$	伦敦大学学院=7	$λ = 0.05 ，我 = 2.340$	$λ = 0.05 ，我 = 1.566$
0.6	288	0.007	(1.1,1.1)	201.68	72.04	59.91
			（1.1、1.2）	129.59	40.76	34.78
			(1.2,1.3)	80.10	18.56	16.10
			(1.2,1.5)	40.94	10.95	9.66
			(1.3,1.7)	21.84	5.97	5.18
			(1.5,2.0)	9.87	2.96	2.43
			(1.5,2.5)	4.58	2.03	1.74

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表1显示了参数移位下图表的性能比较第页我们得出结论，对于前三个参数，ZIB-DEWMA图表在检测小位移方面具有最佳性能( $1 < δ_{第页} \leq 1.2$ )而ZIB-EWMA图表在检测中度偏移方面最为敏感( $1.3 \leq δ_{第页} \leq 1.7$ ). ZIB-Shewhart图表在检测大位移方面优于其他图表( $2 \leq δ_{第页} \leq 2.5$ ). 对于第二个三重参数，其中只有样本大小n个增加时，ZIB-DEWMA和ZIB-EWMA图表在检测非常小的( $δ_{第页} = 1.1$ )和小型( $1.2 \leq δ_{第页} \leq 1.3$ )而ZIB-Shewhart图表在检测中到大位移方面非常有效( $1.5 \leq δ_{第页} \leq 2.5$ ). 此外，对于后一个偏移范围，ZIB-CUSUM图表优于ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表。最后，对于最后两个三重参数，其中冲击概率 $θ_{0}$ 较大且不合格项目的比例较小，ZIB-DEWMA图表在整个班次范围内优于其他图表，但情况除外 $δ_{第页} = 2.5$ 其中ZIB-EWMA图表的性能略优于ZIB-DEWMA图表。

表2显示了参数移位下图表的性能比较θ。我们指出，不包括ZIB-CUSUM图表，因为它仅用于监测参数变化第页从该表中，我们得出结论，ZIB-DEWMA图表在 $θ_{0}$ 此外，ZIB-Shewhart图表不是很敏感。

表2。

年班次下ZIB-Shewhart、ZIB-EWMMA和ZIB-DEWMA图表的性能比较 $θ_{0}$ .

				ZIB-Shewhart公司	邮政编码-EWMA	ZIB-DEWMA公司
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{θ}$	UCL公司=7	$λ = 0.05 ，我 = 2.576$	$λ = 0.05 ，我 = 1.587$
0.2	250	0.01	1.25	291.94	129.75	109.55
			1.50	243.28	63.92	51.68
			1.75	208.53	38.37	30.93
			2	182.46	25.72	20.75
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{θ}$	伦敦大学学院=11	$λ = 0.05 ，我 = 2.549$	$λ = 0.05 ，我 = 1.621$
0.2	500	0.01	1.25	302.03	121.39	101.42
			1.50	251.69	59.34	45.71
			1.75	215.74	33.30	26.70
			2	188.77	21.97	17.69
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{θ}$	伦敦大学学院=7	$λ = 0.05 ，我 = 2.345$	$λ = 0.05 ，我 = 1.570$
0.6	502	0.004	1.10	334.21	162.65	136.06
			1.20	306.35	85.74	66.54
			1.30	282.79	52.25	39.67
			1.50	245.08	25.33	18.88
$θ_{0}$	n个	${第页}_{0}$	$δ_{θ}$	伦敦大学学院=7	$λ = 0.05 ，我 = 2.340$	$λ = 0.05 ，我 = 1.566$
0.6	288	0.007	1.10	332.46	161.22	134.21
			1.20	304.76	85.58	66.16
			1.30	281.31	51.92	39.45
			1.50	243.81	25.14	18.73

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表三显示了两个参数shift下图表的性能比较。对于前两个三元组参数，ZIB-DEWMA图表在同时检测两个参数中的小到中度偏移方面最为敏感，而ZIB-EWMA图表在较大偏移方面优于其他两个图表。对于其他两个三元组，ZIB-DEWMA图表在整个移位范围内具有最佳性能。

5 示例

在本节中，我们将提供一个示例来演示ZIB控制图的实际应用。我们使用生产特定车辆手刹拉索的制造过程数据集[14]. 更具体地说，单个电缆( ${X（X）}_{t吨}$ )分为以下样本n个=20，检验合格或不合格。数据在表中逐行显示4前100个数据用于估计θ和第页（第一阶段）和其他50个数据来演示各种ZIB控制图。

表4。

示例数据。

第一阶段										第二阶段
0	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0
0	2	0	1	0	0	0	1	0	0	0	2	1	0	0
0	0	0	0	0	0	1	1	1	0	0	2	三	0	0
0	1	0	0	0	0	0	2	0	0	0	0	4	0	0
1	0	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	三	0	0
2	0	0	0	1	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0
0	2	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	1	0
1	0	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	2	0
1	0	1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	0	三	0
0	0	2	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0	1	0

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在第一个数据集中拟合ZIB分布并使用拟合优度测试，我们发现 $\hat{θ} = 0.762$ 和 $\hat{第页} = 0.0197$ 是MLE(第页-价值 $= 0.3636$ ).

ZIB-Shewhart图作为第一阶段方法应用，以确认第一个数据集是IC。对于UCL公司=3和使用（19），ARL $_{0}$ 等于193.53。图1显示了第一阶段ZIB-Shewhart图表。由于所有点都位于伦敦大学学院，我们假设第一个数据集是IC，ZIB参数的IC值为 ${\hat{θ}}_{0} = 0.762$ 和 ${\hat{第页}}_{0} = 0.0197$ .

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图1。

一期ZIB-Shewhart控制图。

通过模拟研究，我们发现带有 $λ = 0.05$ 和我=2.077和ZIB-DEWMA图表 $λ = 0.05$ 和我=1.232有一个 $一个 R（右）我_{0} \approx 193.53$ 。我们还使用MLE方法估计θ和第页对于第二阶段数据集，我们发现它们遵循ZIB分布 $\hat{θ} = 0.3609$ 和 $\hat{第页} = 0.072$ (第页-价值=0.724). 第二阶段数据集的控制图如图所示2–4ZIB-Shewhart和ZIB-EWMA图表在13次观察后检测到偏移，而ZIB-DEWMA图表在14次观察后进行检测。此外，与其他图表相比，ZIB-DEWMA图表检测到的OOC点数要多得多。ZIB-Shewhart图表给出了4个OOC信号，而ZIB-EWMA和ZIB-DEWMA图表分别在19点和37点触发OOC信号。

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二期ZIB-EWMA控制图。

二期ZIB-Shewhart控制图。

二期ZIB-DEWMA控制图。

6 结论

零膨胀二项式（ZIB）分布推广了标准二项式分布，是一种适用于零数过多的过度分散数据的模型。该模型在制造和健康相关过程中有许多应用。ZIB模型有三个参数；冲击概率θ（越小，存在的零越多），样本大小n个以及不合格项目的比例第页.开发了多个控制图，仅用于检测参数变化第页假设n个是固定的，并且θ保持IC。

在本文中，我们更详细地研究了Noorossana等人介绍的ZIB-EWMA控制图。[22]我们还使用DEWMA方案为ZIB分布提出了一个新的控制图。研究这些图表是为了检测一个参数在另一个已知且保持不变的情况下的向上偏移，以及假设样本量为n个是常量。实际上，当两个参数都改变时，很难诊断和解释OOC信号。我们进行了蒙特卡罗模拟，以提供图表的统计设计。给定的各种参数组合 $θ_{0}$ ，n个和 ${第页}_{0}$ ，数值分析表明，当仅参数θ在某些情况下，当只有参数第页或者这两个参数都发生偏移。我们还研究了两个图表的稳态性能，发现稳态ARL值高于相应的零态ARL值。此外，我们将这两个图表的零状态性能与ZIB-Shewhart和ZIB-CUSUM进行了比较（仅在 ${第页}_{0}$ )图表。性能研究表明，当一个或两个参数发生变化时，所提出的图表是最有效的方案 $θ_{0}$ 很大并且 ${第页}_{0}$ 很小。最后，通过一个制造过程的示例演示了ZIB-Shewhart、ZIB-EWMMA和ZIB-DEWMA图表的应用。

应该指出，还有许多问题需要进一步研究。当参数θ和第页未知，必须从IC参考样品中估计。另一个问题可能是研究ZIB工艺的HEWMA图，以研究不同平滑常数对所建议图表性能的影响。此外，还可以研究使用其他性能度量的其他控制图，例如运行长度的中位数和四分位范围，以监控ZIB过程。

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文章来自应用统计学杂志由以下人员提供泰勒和弗朗西斯