Variables acceptance reliability sampling plan for items subject to inverse Gaussian degradation process

Ji Hwan Cha; F. G. Badía

doi:10.1080/02664763.2020.1723505

J应用统计。2021; 48(3): 393–409.

2020年2月7日在线发布。数字对象标识：10.1080/02664763.2020.1723505

预防性维修识别码：PMC9041933年

PMID：35706536

逆高斯退化过程项目的变量接受可靠性抽样计划

纪焕查^一和F.G.巴迪亚^b条

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摘要

到目前为止，在文献中，已经根据不同的寿命试验计划制定了各种验收可靠性抽样计划。在大多数可靠性抽样计划中，接受或拒绝相应批次的决策程序是根据测试中观察到的项目的寿命或在预先指定的测试时间内观察到的故障数量制定的。然而，这些项目经常会出现降级现象，在这种情况下，可以将观察到的项目降级水平用作决策统计。在本文中，我们基于项目退化过程的信息制定了一个变量接受抽样计划，假设退化过程遵循逆高斯过程。结果表明，所制定的抽样方案提高了以试验验收为条件的项目的可靠性性能，可靠性抽样试验后的项目寿命随机大于试验前的项目寿命。此外，还对基于降解的抽样方案与基于寿命试验的常规抽样方案进行了比较研究。

关键词：变量抽样计划、退化测试、逆高斯过程、混合分布、随机排序

1.简介

在验收可靠性抽样计划中，根据试验中观察到的项目的寿命，或在预先规定的试验时间内观察到的故障次数，考虑到生产商的风险和消费者的风险，决定拒收或接受相应批次。见斯蒂芬斯[26]和蒙哥马利[21]用于对验收抽样计划的理论和实践进行一般性和基本性介绍。爱泼斯坦[9]爱泼斯坦和索贝尔[11–13]布鲁格伦和休特[8]、费尔班克斯[14]费蒂格和曼恩[15]和施耐德[23]制定了不同的验收可靠性抽样计划，假设项目寿命服从指数或威布尔分布。Tsai和Wu中可以找到各种寿命分布的更高级类型的可靠性抽样计划[28]巴拉克里希南等。[6]、Aslam和Jun[2]和阿斯拉姆等。[1,3–5]. 最近，Cha讨论了验收抽样测试对测试中接受的大量项目的可靠性特征的统计影响[9]. Cha中也讨论了可修复项目的可靠性抽样计划[10]还有Lee和Cha[20].

然而，在实践中，项目经常会出现退化现象。在这种情况下，大多数系统和组件会随着时间的推移而退化，当退化累积超过可接受的水平（通常称为阈值）时就会发生故障。例如，光学物品的光强度逐渐降低，最终由于老化而降至不可接受的质量水平（例如，参见Huang和Askin[18]). 此外，对于等离子显示面板（PDP）和真空荧光显示器（VFD）等显示设备，确定性特征是亮度或亮度，当此类特征变量降至阈值以下时，将定义故障。另一个例子是，一些电气设备的电压或电流等性能指标逐渐降低，最终降至某一阈值水平以下。在这些情况下，代替基于寿命试验的传统抽样计划，可以在退化试验中观察项目的退化程度，并根据此信息决定是否接受或拒绝相应批次。正如传统可靠性抽样计划中经常做的那样，如果根据在预先规定的测试时间内观察到的故障数量作出决定，则只使用测试期间每个项目是否存活的简单信息。此外，当今高度可靠的产品可能需要很长时间才能失效，并且进行寿命测试需要很长的时间。然而，当项目出现退化现象时，可以在相对较短的时间内收集退化数据，因为可以从运行项目中观察到退化程度。在这种情况下，如果使用测试中每个项目降解水平的详细信息，决策将更加准确，因此，可以设计一个测试时间更短、测试项目数量更少的抽样测试。这就是本研究的动机，在本文中，我们根据项目退化过程的信息制定了一个变量接受抽样计划。

到目前为止，文献中已经提出了一些基于退化模型的初始可靠性抽样方案。例如，在Yang[30]以及Sohn和Jang[25]采用退化路径模型制定验收抽样计划。当时的（可能转化的）退化路径 ${t吨}_{我}$ ，表示为 $年_{我}$ ，由建模 $年_{我} = 克 ({t吨}_{我}, θ_{1}, \dots, θ_{第页}) + ε_{我}$ ，其中 $克 ({t吨}_{我}, θ_{1}, \dots, θ_{第页})$ 是真正的退化 ${t吨}_{我}$ 和 $ε_{我}$ 是错误项。在他们的研究中，他们假设 $克 ({t吨}_{我}, θ_{1}, \dots, θ_{第页})$ 是线性形式 $ε_{我}$ s是独立的，遵循正态分布。然后，应用退化路径模型，Sohn和Jang[25]制定了一个抽样计划，该计划基于预先确定的使用后预期性能达不到一定水平的样本中的项目数量。基于退化路径模型，Yang[30]通过最小化总测试成本，同时满足II型误差和可用样本量的约束，制定了最佳测试计划。另一方面，在蔡等。[27]假设维纳退化过程，提出并分析了加速应力验收试验。在上述所有退化模型中，给定时间点的退化值分布遵循正态分布，理论上，退化值可以为负值。此外，更重要的是，退化路径不是单调的。然而，在实践中，退化的值总是正的，并且其路径是单调的，因为退化是累积的。因此，在本文中，我们开发了一种新的可靠性抽样计划，假设项目服从逆高斯（IG）退化过程。众所周知，IG过程的样本路径总是正的和单调的，它是一个有吸引力的和灵活的概率模型（Wang和Xu[29]和秦等。[22]).

论文组织如下。在第2节中，我们为存在退化现象的项目制定了一个新的可靠性抽样计划。定义了可靠性退化测试程序，并规定了验收和拒收规则。考虑到生产者风险和消费者风险，确定了考虑这两类风险的抽样计划的参数值。提出了一种高效、方便地确定抽样方案参数的方法。还进行了一项研究，将建议的抽样方案与传统抽样方案进行了比较。在第3节中，我们研究了第2节中制定的抽样计划对通过测试程序的总体中项目的可靠性特征的影响。为此，我们在某种随机意义下比较了退化测试程序前后的种群。在第4节中，给出了一些结论性意见。

2.基于降级的验收抽样计划

通常，由于现代可靠性项目的寿命相对较长，基于寿命试验的可靠性抽样试验通常需要较长的时间，因为在试验期间应观察项目的失效情况。本文提出的抽样方案的优点之一是，在没有项目失效的情况下，可以根据退化数据进行可靠性抽样测试。

如Cha所述[9,10]还有Lee和Cha[20]由于生产过程中的许多因素（例如所用材料的质量），总体的可靠性特征可能会有所不同。这种可变性将通过使用变量来描述 $Θ$ 因此 $Θ$ 表示生成的项目总体的可靠性水平。

这些物品会出现退化现象 ${W公司 (t吨), t吨 \geq 0}$ 表示物品累积退化的过程，其中 $W公司 (t吨)$ 是截至时间的累计降解总量 $t吨$ 注意，大多数可靠性项目随着时间的推移而恶化，并且随着运行时间的增加而累积退化（磨损）。因此，有理由假设 $W公司 (t吨)$ 在中单调增加 $t吨$ 如前所述，该降解过程应取决于 $Θ$ 和 ${{W公司}_{θ} (t吨), t吨 \geq 0}$ 表示以下项目的累积退化过程 $Θ = θ$ 也就是说， ${{W公司}_{θ} (t吨), t吨 \geq 0}$ 是给定总体的相应条件退化过程 $Θ = θ$ 和 ${W公司}_{θ} (t吨)$ 是截至时间的累计降解总量 $t吨$ 鉴于 $Θ = θ$ ，即。 ${W公司}_{θ} (t吨) = (W公司 (t吨) | Θ = θ)$ 。一般来说，如果某个项目的降级级别超过某个级别，则该项目无法正确执行其所需的功能。因此，我们假设当累计降级超过预定阈值水平时，项目失败 $κ > 0$ 一般来说，即使累计降级超过此水平，项目也可以运行，但在这种情况下，项目实际上没有用处，可以视为失败。例如，即使电气/光学部件的相应信号（电压、电流或光强度）因老化而降低到不可接受的水平，该部件仍然可以工作。然而，在这种情况下，该项目无法执行所需的功能，可以视为失败。

最近，Wang和Xu将IG过程作为一种有吸引力且灵活的降解建模模型进行了报道[29]. 他们已经证明，在某些应用中，IG过程模型比Wiener和gamma过程模型更适合于退化建模。秦等。[22]通过在能源管道可靠性分析中的应用，也证明了IG过程在退化建模中的灵活性。这两项工作基于一个简单的IG过程模型。叶和陈[31]研究了用于降解建模的IG过程的物理解释，并通过对简单IG模型的扩展，进一步介绍了三种具有随机效应的IG模型。IG过程具有独立增量的性质，每个增量都有一个IG分布（参见，例如Kahle等。[19]、王和徐[29]). 由于上述原因，在本文中，我们假设条件降解过程 ${{W公司}_{θ} (t吨), t吨 \geq 0}$ 遵循以下IG流程：

{W公司}_{θ} (t吨) \sim 我 G公司 (μ (θ) Λ (t吨), η Λ {(t吨)}^{2}),

(1)

哪里 $η > 0$ , $μ (θ)$ 严格来说是在增加 $θ$ , $Λ (t吨)$ 是单调递增函数和IG(一,b条)用pdf表示IG分布

（f） (年) = \sqrt{\frac{b条}{2 π 年^{三}}} 经验 {负极 \frac{b条 {(年 负极 一)}^{2}}{2 一^{2} 年}}, 年 > 0

关于IG过程中参数的估计，可以参考Wang和Xu[29]其中，研究了IG过程中未知参数的最大似然估计量，并使用bootstrap评估最大似然估计器的可变性。此外，将模型拟合到实际退化数据集，并进行了相应的良好度测试。表示方式 ${T型}_{θ}$ 给定项的生存期 $Θ = θ$ 由于IG过程具有单调路径（参见，例如Wang和Xu[29])，的生存功能 ${T型}_{θ}$ 由指定

\begin{aligned} {\bar{F类}}_{θ} (t吨) & = P（P） ({T型}_{θ} > t吨) = P（P） ({W公司}_{θ} (t吨) \leq κ) \\ = \int_{0}^{κ} \sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ) Λ (t吨))}^{2} w个}} d日 w个, \end{aligned}

相应的累积分布函数定义为 ${F类}_{θ} (t吨) = 1 负极 {\bar{F类}}_{θ} (t吨)$ 。在方程式（1）中，为了正确表示人口的可变性，我们假设 $μ (θ)$ 在中单调增加 $θ$ .然后， $电子 [{W公司}_{θ} (t吨)] = μ (θ) Λ (t吨)$ 在 $θ$ ，对于所有人 $t吨 > 0$ 因此，在此假设下 $θ$ 对应于较差的可靠性特征，而较小 $θ$ 对应于人口的较好可靠性特征。更具体地说 $θ$ 可以用以下方式更准确地解释总体的可靠性特征。为此，我们定义了以下随机顺序和关系的概念。

定义2.1

Shaked和Shantikumar[24] —

让 ${X（X）}_{1}$ 和 ${X（X）}_{2}$ 是两个具有相应cdf的非负连续随机变量 ${F类}_{{X（X）}_{1}} (t吨)$ 和 ${F类}_{{X（X）}_{2}} (t吨)$ 分别是。将其pdf和故障率表示为 ${（f）}_{{X（X）}_{1}} (t吨)$ , ${（f）}_{{X（X）}_{2}} (t吨)$ 、和 $λ_{{X（X）}_{1}} (t吨)$ , $λ_{{X（X）}_{2}} (t吨)$ （如适用）。

如果 ${F类}_{{X（X）}_{1}} (t吨) \geq {F类}_{{X（X）}_{2}} (t吨)$ 为所有人 $t吨 \geq 0$ ，然后 ${X（X）}_{1}$ 小于 ${X（X）}_{2}$ 按照通常的随机顺序，表示为 ${X（X）}_{1} \leq_{秒 t吨} {X（X）}_{2}$ .
如果 $λ_{{X（X）}_{1}} (t吨) \geq λ_{{X（X）}_{2}} (t吨)$ 为所有人 $t吨 \geq 0$ ，然后 ${X（X）}_{1}$ 小于 ${X（X）}_{2}$ 按故障率顺序，表示为 ${X（X）}_{1} \leq_{（f）第页} {X（X）}_{2}$ .
如果 ${（f）}_{{X（X）}_{1}} (t吨) / {（f）}_{{X（X）}_{2}} (t吨)$ 减少 $t吨 \geq 0$ ，然后 ${X（X）}_{1}$ 小于 ${X（X）}_{2}$ 按似然比顺序，表示为 ${X（X）}_{1} \leq_{我第页} {X（X）}_{2}$ .

引理2.1

Shaked和Shantikumar[24] —

如果 ${X（X）}_{1} \leq_{秒 t吨} {X（X）}_{2}$ 和 $克 (\cdot)$ 是任何递增（递减）函数，那么 $克 ({X（X）}_{1}) \leq_{秒 t吨} (\geq_{秒 t吨}) 克 ({X（X）}_{2})$ .
如果 ${X（X）}_{1}$ 和 ${X（X）}_{2}$ 是两个非负随机变量，则以下结果成立
${X（X）}_{1} \leq_{我第页} {X（X）}_{2} \Rightarrow {X（X）}_{1} \leq_{（f）第页} {X（X）}_{2} \Rightarrow {X（X）}_{1} \leq_{秒 t吨} {X（X）}_{2} \Rightarrow 电子 [{X（X）}_{1}] \leq 电子 [{X（X）}_{2}] .$

让 ${（f）}_{{w个}_{θ} (t吨)} (w个)$ 表示的pdf ${W公司}_{θ} (t吨)$ 注意，如果 $θ_{1} < θ_{2}$ ，然后 $μ (θ_{1}) < μ (θ_{2})$ 、和

\begin{aligned} \frac{{（f）}_{{w个}_{θ_{1}} (t吨)} (w个)}{{（f）}_{{w个}_{θ_{2}} (t吨)} (w个)} & = \frac{\sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ_{1}) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ_{1}) Λ (t吨))}^{2} w个}}}{\sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ_{2}) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ_{2}) Λ (t吨))}^{2} w个}}} \\ = 经验 {负极 η (\frac{1}{2 μ {(θ_{1})}^{2}} 负极 \frac{1}{2 μ {(θ_{2})}^{2}}) w个} 经验 {负极 η Λ (t吨) (\frac{1}{μ (θ_{2})} 负极 \frac{1}{μ (θ_{1})})}, \end{aligned}

正在减少 $w个$ 然后，根据定义2.1， ${W公司}_{θ_{1}} (t吨) \leq_{我第页} {W公司}_{θ_{2}} (t吨)$ ，这也意味着 ${W公司}_{θ_{1}} (t吨) \leq_{秒 t吨} {W公司}_{θ_{2}} (t吨)$ （引理2.1-（ii）），同样由于定义2.1，

\begin{aligned} {\bar{F类}}_{θ_{1}} (t吨) & = P（P） ({T型}_{θ_{1}} > t吨) = P（P） ({W公司}_{θ_{1}} (t吨) \leq κ) \geq P（P） ({W公司}_{θ_{2}} (t吨) \leq κ) \\ = P（P） ({T型}_{θ_{2}} > t吨) = {\bar{F类}}_{θ_{2}} (t吨), 对于 全部的 t吨 \geq 0, \end{aligned}

或者，同等地，

{F类}_{θ_{1}} (t吨) \leq {F类}_{θ_{2}} (t吨), 对于\所有 t吨 \geq 0,

意思 ${T型}_{θ_{1}} \geq_{秒 t吨} {T型}_{θ_{2}}$ 由于引理2.1-（ii），这再次意味着 $电子 [{T型}_{θ_{1}}] \geq 电子 [{T型}_{θ_{2}}]$ 因此，在较大的值 $θ$ ，降解过程变得更加严重，即。 ${W公司}_{θ} (t吨)$ 变得更大，相应项目的寿命也变得更短。这样，效果 $θ$ 已根据项目的可靠性特征进行了解释。图1显示了参数如何 $θ$ 与项目的平均失效时间有关 $电子 [{T型}_{θ}]$ 什么时候 $μ (θ) = θ$ , $Λ (t吨) = t吨$ 具有 $η = 1$ 、和 $κ = 5$ .

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图1。

项目平均无故障时间 $电子 [{T型}_{θ}]$ .

在本文中，批次的质量将以批次中项目的平均失效时间为特征。与往常一样，假设同一批次中的物品是通过足够稳定的制造工艺生产的，因此它们共享共同的退化过程 ${{W公司}_{θ} (t吨), t吨 \geq 0}$ 定义见（1），这是变量抽样计划中的常见假设（参见，例如Fertig和Mann[15]).

将设计抽样计划，使项目的平均失效时间应大于某一水平。测试批次的验收概率应小于规定的消费者风险 $β$ 以较低的质量水平 $米_{2}$ 该批次的拒收概率应小于指定生产商的风险 $α$ 以更高的质量水平 $米_{1}$ , $米_{1} > 米_{2}$ ，其中 $米_{1}$ 和 $米_{2}$ 分别是在两个质量水平上项目的平均故障时间。请注意，作为 $电子 [{T型}_{θ}]$ 在中是单调的 $θ$ （请参见图1)，平均故障时间之间应该有一对一的对应关系 $电子 [{T型}_{θ}]$ 和 $θ$ 因此，较低和较高的质量水平可以等效地表示为 $θ$ 具体来说，对于每个质量级别 $米_{我}$ 上面定义的，应该有一个值 $θ$ ，表示为 $θ_{我}$ ，令人满意 $电子 [{T型}_{θ_{我}}] = 米_{我}$ , $我 = 1, 2$ 分别是。因此，在下文中，较低的质量水平定义为 $θ_{2}$ 更高的质量水平定义为 $θ_{1}$ , $θ_{1} < θ_{2}$ .

我们基于降解测试的取样计划如下。注意，如前所述 $θ$ （较低质量水平）对应较大的值 ${W公司}_{θ} (t吨)$ 因此较大的退化量意味着较差的质量特性。因此，当测试项目的退化程度总和大于某一值时，合理的验收测试将拒绝相应的批次。基于这种直觉，抽样计划详述如下。从待测试批次中， $n个$ 随机选择项目，并对其进行时间间隔测试 $(0, {t吨}_{0}]$ ，其中 ${t吨}_{0}$ 是指定的测试时间。表示方式 ${W公司}_{1}$ , ${W公司}_{2}$ , … , ${W公司}_{n个}$ 对这些物质降解水平值的观察 $n个$ 项，时间 ${t吨}_{0}$ .

从很多方面来看， $n个$ 随机选择项目，并在测试时间间隔内进行测试 $(0, {t吨}_{0}]$ 。这些项目的降级数据 ${W公司}_{1}$ , ${W公司}_{2}$ , … , ${W公司}_{n个}$ 已观察到。
对于预定阈值 $ξ > 0$ ，如果 $\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} > ξ$ 则该批次被拒收；如果 $\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ$ ，该批次已被接受。

因此，建议的抽样方案具有两个参数 $(n个, ξ)$ 。请注意 ${W公司}_{我}$ , $我 = 1, 2, \dots, n个$ ，遵循独立IG分布 $我 G公司 (μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), η Λ ({t吨}_{0})^{2})$ .然后， $\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我}$ 跟随 $我 G公司 (n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}^{2} η Λ ({t吨}_{0})^{2})$ 因此，该批次的验收概率是 $θ$ 由提供

L（左） (θ) = \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 .

现在需要确定参数 $(n个, ξ)$ 这样，消费者的风险和生产者的风险可以平衡如下：

L（左） (θ_{2}) = β 和 L（左） (θ_{1}) = 1 负极 α .

（2）

在某些情况下 $n个$ 和 $ξ$ 满足（2）中的两个方程。因此，我们会发现 $n个$ 和 $ξ$ 达到最接近的接受概率 $L（左） (θ_{2}) \approx η$ 和 $L（左） (θ_{1}) \approx 1 负极 γ$ 在那些令人满意的

L（左） (θ_{2}) \leq β 和 L（左） (θ_{1}) \geq 1 负极 α .

以下结果为确定满足（2）中两个方程的参数提供了一个有效的程序。

定理2.1：

接受概率

L（左） (θ) = \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 .

正在减少 $n个$ 对于任何固定 $θ > 0$ 和 $ξ$ .

证明:

见附录。

根据上述结果 $(n个, ξ)$ 满足（2）中的两个方程可以有效地确定如下。为了我们进一步的讨论 $n个 \geq 1$ ，定义 $ξ (n个)$ 作为的值 $ξ$ 满足

L（左） (θ_{1}) = \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = 1 负极 α .

根据定理2.1， $L（左） (θ_{1})$ 减少 $n个$ 对于任何固定 $θ_{1} > 0$ 和 $ξ$ 因此，我们有 $ξ (n个) \leq ξ (n个 + 1)$ , $n个 = 1, 2, \dots$ ，这将在下面的顺序过程中给出一个下限。现在，为了找到参数 $(n个, ξ)$ 满足（2）中的两个方程，可以应用以下顺序过程：

（第1阶段）

修复 $n个 = 1$ 并找到价值 $ξ (1) > 0$ 这样的话

\int_{0}^{ξ (1)} \sqrt{\frac{η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = 1 负极 α .

如果

\int_{0}^{ξ (1)} \sqrt{\frac{η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = β,

然后选择 $(1, ξ (1))$ 作为所需参数；否则进入第2阶段。

（第2阶段）

修复 $n个 = 2$ 并找到价值 $ξ (2)$ ，其中 $ξ (2) \geq ξ (1)$ ，因此

\int_{0}^{ξ (2)} \sqrt{\frac{4 η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{4 η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 2 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(2 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = 1 负极 α .

如果

{¦Β}_{0}^{ξ (2)} \sqrt{\frac{4 η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{4 η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 2 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(2 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = β,

然后选择 $(2, ξ (2))$ 作为所需参数；否则进入第3阶段。

（第3阶段）

修复 $n个 = 三$ 并找到价值 $ξ (三)$ ，其中 $ξ (三) \geq ξ (2)$ ，因此

\int_{0}^{ξ (三)} \sqrt{\frac{9 η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{9 η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 三 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(三 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = 1 负极 α .

如果

\int_{0}^{ξ (三)} \sqrt{\frac{9 η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{9 η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 三 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(三 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 = β,

然后选择 $(三, ξ (三))$ 作为所需参数；否则进入下一阶段4 $n个 = 4$ 、……等等。

示例2.1：

在本例中，一组参数 $(n个, ξ)$ 针对所提出的可靠性抽样方案，将其与基于寿命试验的传统可靠性抽样方案进行了比较。在本例中，使用的模型参数为 $μ (θ) = θ$ , $Λ (t吨) = t吨$ 具有 $η = 1$ 和 $κ = 3$ .

首先，按照上面描述的顺序过程 $(n个, ξ)$ 对于不同的值 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 获得并给出表1对于 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ 随着降解测试时间 ${t吨}_{0} = 1$ .

表1。

参数集 $(n个, ξ)$ 对于 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ 具有 ${t吨}_{0} = 1$ .

$θ_{1}$	$θ_{2}$	$(n个, ξ)$
0.5	1	$(n个 = 13, ξ = 8.83)$
	1.3	$(n个 = 8, ξ = 5.85)$
	1.6	$(n个 = 6, ξ = 4.59)$
	1.9	$(n个 = 5, ξ = 3.94)$
	2.6	$(n个 = 4, ξ = 3.27)$

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根据中给出的结果表1可以观察到，当两个质量水平（即 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ )，我们需要少量测试项目 $n个$ 反之亦然。这一点在直觉上很清楚，因为当质量水平之间的差异较大时，用较少的观察值可以更容易地识别质量水平良好和较差的批次。

现在，让我们考虑一个基于寿命试验的常规可靠性抽样计划，以进行比较。从待测试批次中， $n个$ 项目是随机选择的，并在时间间隔内进行测试 $(0, {t吨}^{*}]$ .让 $N个$ 是测试时间间隔内失败的项目数 $(0, {t吨}^{*}]$ .如果 $N个$ 超过阈值 $c（c）$ （整数），则该批次被拒绝；否则该批货物将被接受。因此，该批次的验收概率是 $θ$ 由提供

{L（左）}^{*} (θ) = \sum_{我 = 0}^{c（c）} (\begin{matrix} n个 \\ 我 \end{matrix}) 第页 {(θ)}^{我} (1 负极 第页 (θ))^{n个 负极 我},

哪里 $第页 (θ)$ 由定义

第页 (θ) = 1 负极 \int_{0}^{κ} \sqrt{\frac{η Λ {({t吨}^{*})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {({t吨}^{*})}^{2} {(w个 负极 μ (θ) Λ ({t吨}^{*}))}^{2}}{2 {(μ (θ) Λ ({t吨}^{*}))}^{2} w个}} d日 w个 .

现在需要确定参数 $(n个, c（c）)$ 这样，消费者的风险和生产者的风险可以平衡如下（在相同的风险水平下 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ ): ${L（左）}^{*} (θ_{1}) = 0.95$ 和 ${L（左）}^{*} (θ_{2}) = 0.10$ .在确定参数时 $(n个, c（c）)$ ，相同的值集 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 如中所示表1使用。首先，设置相同的测试时间 ${t吨}^{*} = 1$ 在降解试验中，参数 $(n个, c（c）)$ 实现同样的风险 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ 已经进行了数值搜索。然而，在这种情况下， $第页 (0.5) = 0.0005 \approx 0$ 并且不存在参数 $(n个, c（c）)$ 令人满意的 ${L（左）}^{*} (θ_{2}) = 0.10$ 和 ${L（左）}^{*} (θ_{1}) = 0.95$ 这是由于寿命测试时间相对较短，因为测试项目在 $θ_{1}$ 几乎为0，并且在短测试时间内几乎没有项目失败，因此 ${L（左）}^{*} (θ_{1}) \approx 1$ 为所有人 $c（c） \geq 0$ 具体来说，例如，当 $θ_{1} = 0.5$ , $θ_{2} = 2.6$ , ${t吨}^{*} = 1$ , $n个 = 4$ （即在相同设置下，建议的基于降解的采样计划所需的项目数，见表1)，用于 $c（c） = 0$ ，我们有 ${L（左）}^{*} (θ_{1}) = 0.9980$ 和 ${L（左）}^{*} (θ_{2}) = 0.3442,$ 和，用于 $c（c） = 1, 2, 三, 4$ 我们总是这样 ${L（左）}^{*} (θ_{1}) \approx 1$ 和 ${L（左）}^{*} (θ_{2}) = 0.7649, 0.9577, 9970, 1$ 分别是。从这个观察结果可以看出，在相同的测试资源下，传统的抽样方案无法满足要求的条件 ${L（左）}^{*} (θ_{2}) = 0.10$ 和 ${L（左）}^{*} (θ_{1}) = 0.95,$ 而建议的基于降解的采样计划满足了如下所示的这一要求条件表1因此，可以说，所提出的基于退化的采样计划以更短的测试时间和更少的测试项目数量提供了更准确的决策规则。

根据上述观察，寿命测试时间现在增加到 ${t吨}^{*} = 3$ 。对于此设置，一组参数 $(n个, c（c）)$ 对于不同的值 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 获得并给出表2对于 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ .

表2。

参数集 $(n个, c（c）)$ 对于 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ 具有 ${t吨}^{*} = 3$ .

$θ_{1}$	$θ_{2}$	$(n个, c（c）)$
0.5	1	$(n个 = 23, c（c） = 5)$
	1.3	$(n个 = 15, c（c） = 5)$
	1.6	$(n个 = 10, c（c） = 4)$
	1.9	$(n个 = 7, c（c） = 三)$
	2.6	$(n个 = 5, c（c） = 2)$

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变化的模式 $n个$ 取决于 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ 可以像以前一样解释。然而，值得注意的是，此常规寿命试验的试验时间 ${t吨}^{*} = 3$ 比降解试验中的时间长三倍 ${t吨}_{0} = 1$ 此外，测试项目的数量 $n个$ 实现同样的风险 $α = 0.05$ 和 $β = 0.10$ 对于传统的采样方案，要比基于降解的采样方案大得多。因此，从这些方面可以得出结论，建议的基于降解的抽样方案优于基于普通寿命试验的传统抽样方案。

3.验收批次可靠性特征分析

现在，我们将在某种随机意义下分析和比较退化测试程序前后项目的可靠性特征。我们表示为 $T型$ 降级测试程序之前的项目寿命。如前所述，由于许多不同的原因，总体的可靠性特征是可变的。这种可变性可以用变量来表示 $Θ$ 和 $Θ$ 遵循pdf描述的分发 $π (θ)$ 在这种情况下，种群由不同亚种群（由 $θ$ )在生存和可靠性分析中，这种总体称为混合总体，相应的分布称为混合分布（参见例如Block等。[7]芬克尔斯坦[16,17]). 在此框架中，假设参数的先验分布 $Θ$ 根据所使用的方法，分析中使用了贝叶斯推理。混合生存函数 $T型$ , ${\bar{F类}}_{米} (t吨)$ ，由给出

{\bar{F类}}_{米} (t吨) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{κ} \sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ) Λ (t吨))}^{2} w个}} d日 w个 π (θ) d日 θ,

(3)

其中，与之前一样， $κ > 0$ 是定义项目故障的预定阈值水平。在下面的定理中，将描述通过测试程序的总体中项目的分布。从该人群中随机选择的项目的寿命表示为 ${T型}_{秒}$ .的生存功能 ${T型}_{秒}$ 表示为 ${\bar{F类}}_{米秒} (t吨)$ .对于接受的批次 $Θ$ 应改为 $Θ_{秒} \equiv (Θ | \sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ 在下文中，我们用表示 $π_{秒} (θ)$ 和 $Π_{秒} (θ)$ 的pdf和Cdf $Θ_{秒}$ 分别是。在贝叶斯推断中 $Θ_{秒}$ 称为后验分布和生存函数 ${\bar{F类}}_{米秒} (t吨)$ 称为后生存功能。

定理3.1：

的生存功能 ${T型}_{秒}$ 由提供

\begin{aligned} {\bar{F类}}_{米 秒} (t吨) & = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{κ} \sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ) Λ (t吨))}^{2} w个}} d日 w个 \\ \times \frac{\int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (θ)}{\int_{0}^{\infty} {¦Β}_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (ρ) d日 ρ} d日 θ . \end{aligned}

证明:

见附录。

现在，我们将通过比较可靠性测试程序前后总体中项目的寿命来研究测试程序的影响。

定理3.2：

在抽样计划的测试程序下,

$Θ \geq_{我第页} Θ_{秒}$ ，用于任何分发 $π (θ)$ ，其中 $Θ_{秒} \equiv (Θ | \sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ ;
生存功能 ${\bar{F类}}_{米} (t吨)$ 和 ${\bar{F类}}_{米秒} (t吨)$ 具有以下关系：
${\bar{F类}}_{米秒} (t吨) \geq {\bar{F类}}_{米} (t吨), 对于\所有 t吨 \geq 0$

用于任何分发 $π (θ)$ 也就是说， $T型 \leq_{秒 t吨} {T型}_{秒}$ ，用于任何分发 $π (θ)$ .

证明:

见附录。

示例3.1：.

假设物品的降解过程遵循IG过程，并带有参数 $μ (θ) = θ$ , $Λ (t吨) = t吨$ 具有 $η = 1$ 、和 $π (θ) = 1 / 2$ ，如果 $0.2 \leq θ \leq 2.2$ ; $π (θ) = 0$ ，否则。让 $κ = 5$ , $θ_{1} = 0.5$ , $θ_{2} = 1.6$ 这两种风险规定为 $α = 0.05$ , $β = 0.10$ ，测试时间为 ${t吨}_{0} = 1$ 然后，从表1在第2节中，所需的抽样计划的特点是 $(n个 = 6, ξ = 4.59)$ 在上述设置下，生存功能 ${\bar{F类}}_{米} (t吨)$ 和 ${\bar{F类}}_{米秒} (t吨)$ 在中给出图2.来自图2，可以看出 ${\bar{F类}}_{米秒} (t吨) \geq {\bar{F类}}_{米} (t吨)$ ，对于所有人 $t吨 \geq 0$ ，保持（见定理3.1），表示 $T型 \leq_{秒 t吨} {T型}_{秒}$ .

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图2。

生存功能 ${\bar{F类}}_{米} (t吨)$ 和 ${\bar{F类}}_{米秒} (t吨)$ .

让 $Π (θ) \equiv \int_{0}^{θ} π (ρ) d日 ρ$ 和 $Π_{秒} (θ) \equiv \int_{0}^{θ} π_{秒} (ρ) d日 ρ$ 是相应的Cdf。Cdf和pdf如图所示图3三和和44.

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图3。

Cdf的 $Π (θ)$ 和 $Π_{秒} (θ)$ .

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图4。

pdf格式 $π (θ)$ 和 $π_{秒} (θ)$ .

数字图3三和和44显示了 $Θ$ 和 $(Θ | \sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ ，即随机变量 $(Θ | \sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ 随机小于 $Θ$ 注意，在可靠性测试程序之后 $θ$ 人口中（取决于接受程度）的变化是因为 $θ$ （质量较差）被淘汰。因此，在抽样测试合格的前提下 $θ$ 增加，而 $θ$ 减少。两个数字图3三和和44表明，经过验收的可靠性测试程序后 $Θ$ 已随机减少。例如，图4清楚地表明 $θ$ 大幅增长。由图3，我们看到了 $Π (θ) \leq Π_{秒} (θ)$ ，对于所有人 $θ \geq 0$ 这意味着，对于任何 $θ$ ，参数值的比例小于 $θ$ 与可靠性测试程序之前的总体相比，验收条件下的总体更大。

4.结束语

到目前为止，针对不同的寿命分布，已经制定了许多不同的可靠性抽样计划。然而，这些项目经常会出现退化现象，在这种情况下，退化测试中观察到的项目退化程度可以用作决策统计。在这方面，本文根据物品退化过程的信息制定了变量验收抽样计划。提出了一种确定抽样方案参数值的有效程序，该程序同时考虑了生产者风险和消费者风险。此外，还分析了本文制定的抽样方案的效果。经验证，抽样测试后，以测试中的验收为条件的项目的寿命在随机意义上大于测试前的寿命。

在本文中，作为物品的降解过程，我们假设了IG过程。如前所述，这种选择是因为IG过程模型比Wiener和gamma过程模型更适合于某些应用中的退化建模，并且具有很大的灵活性（Qin等。[22]). 然而，可以假设其他类型的退化过程，制定类似的基于退化的取样计划。

鸣谢

作者要感谢副主编和审稿人提供的有益和建设性的意见，这些意见极大地改进了本文的陈述。

附录。

定理2.1的证明

定理证明2.1-

表示方式 ${X（X）}_{(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2})}$ 随之而来的随机变量 $IG公司 (n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}^{2} η Λ ({t吨}_{0})^{2})$ 然后，对于 ${n个}_{1} < {n个}_{2}$

\begin{aligned} \frac{\sqrt{\frac{{n个}_{1}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}_{1}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 {n个}_{1} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {({n个}_{1} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}}}{\sqrt{\frac{{n个}_{2}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}_{2}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 {n个}_{2} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {({n个}_{2} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}}} \\ = \frac{\sqrt{{n个}_{1}^{2}}}{\sqrt{{n个}_{2}^{2}}} 经验 {\frac{η Λ ({t吨}_{0})}{μ (θ)} ({n个}_{1} 负极 {n个}_{2})} 经验 {\frac{η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2} ({n个}_{2}^{2} 负极 {n个}_{1}^{2}) \frac{1}{w个}}, \end{aligned}

在 $w个$ ，对于任何固定 $θ > 0$ 和 $ξ$ 。这意味着

{X（X）}_{({n个}_{1} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}_{1}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2})} \leq_{我 第页} {X（X）}_{({n个}_{2} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}_{2}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2})},

并且，由于引理2.1-（ii），我们有 ${X（X）}_{({n个}_{1} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}_{1}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2})} \leq_{秒 t吨} {X（X）}_{({n个}_{2} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}), {n个}_{2}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2})}$ 。请注意 $L（左） (θ)$ 是随机变量的cdf ${X（X）}_{(n个 α ({t吨}_{0}, θ), β (θ))}$ 然后，根据定义2.1，

\begin{aligned} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}_{1}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}_{1}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 {n个}_{1} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {({n个}_{1} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 . \\ \geq {¦Β}_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}_{2}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}_{2}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 {n个}_{2} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {({n个}_{2} μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个, \end{aligned}

对于任何固定 $θ > 0$ 和 $ξ$ .

定理证明3.1

定理证明3.1-

在测试程序之前 $Θ$ 由描述 $π (θ)$ 然而，在测试程序之后，我们发现，对于 $n个$ 从批次中随机选择的项目， $\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ$ 因此，对于接受的批次 $Θ$ 应改为 $(Θ | \sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ 注意 $(\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ | Θ = θ)$ 由提供

P（P） (\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ | Θ = θ) = \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个,

因此 $(\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ, Θ = θ)$ 由提供

\int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (θ) .

因此 $(\sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ 由提供

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (ρ) d日 ρ .

因此 $Θ_{秒} \equiv (Θ | \sum_{我 = 1}^{n个} {W公司}_{我} \leq ξ)$ 通过以下方式获得

π_{秒} (θ) = \frac{\int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (θ)}{{¦Β}_{0}^{\infty} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (ρ) d日 ρ} .

然后通过更换 $π (θ)$ 在（3）中，我们得到了以下结果：

\begin{aligned} {\bar{F类}}_{米 秒} (t吨) & = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{κ} \sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ) Λ (t吨))}^{2} w个}} d日 w个 \\ \times \frac{\int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (θ)}{{¦Β}_{0}^{\infty} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (ρ) d日 ρ} d日 θ . \end{aligned}

定理证明3.2

定理证明3.2-

首先，为了证明 $Θ \geq_{我第页} Θ_{秒}$ ，必须显示比率 $π_{秒} (θ) / π (θ)$ 正在减少 $θ$ ，其中

\frac{π_{秒} (θ)}{π (θ)} \equiv \frac{\int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个}{\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (ρ) d日 ρ} .

注意，如果 $θ_{1} < θ_{2}$ ，然后 $μ (θ_{1}) < μ (θ_{2})$ 以及pdfs的比率

\begin{aligned} \frac{\sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}}}{\sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}}} \\ = 经验 {负极 \frac{η}{2} (\frac{1}{μ {(θ_{1})}^{2}} 负极 \frac{1}{μ {(θ_{2})}^{2}}) w个} 经验 {n个 η Λ ({t吨}_{0}) (\frac{1}{μ (θ_{1})} 负极 \frac{1}{μ (θ_{2})})} \end{aligned}

正在减少 $w个$ ，并且，由于引理2.1-（ii）和定义2.1，

\begin{aligned} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 \\ \geq \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 . \end{aligned}

因此，

\begin{aligned} \frac{π_{秒} (θ_{1})}{π (θ_{1})} 负极 \frac{π_{秒} (θ_{2})}{π (θ_{2})} & = \frac{1}{\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (ρ) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 π (ρ) d日 ρ} \\ \times (\int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{1}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个 \\ 负极 \int_{0}^{ξ} \sqrt{\frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{{n个}^{2} η Λ {({t吨}_{0})}^{2} {(w个 负极 n个 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2}}{2 {(n个 μ (θ_{2}) Λ ({t吨}_{0}))}^{2} w个}} d日 w个) \geq 0, \end{aligned}

这意味着 $π_{秒} (θ) / π (θ)$ 正在减少 $θ$ 和 $Θ \geq_{我第页} Θ_{秒}$ .

现在定义

克 (θ) \equiv \int_{0}^{κ} \sqrt{\frac{η Λ {(t吨)}^{2}}{2 π {w个}^{三}}} 经验 {负极 \frac{η Λ {(t吨)}^{2} {(w个 负极 μ (θ) Λ (t吨))}^{2}}{2 {(μ (θ) Λ (t吨))}^{2} w个}} d日 w个 .

然后，函数 $克 (θ)$ 正在减少 $θ$ 而且事实上 $Θ \geq_{我第页} Θ_{秒}$ ，我们有 $Θ \geq_{秒 t吨} Θ_{秒}$ 然后，通过引理2.1-（i），

克 (Θ) \leq_{秒 t吨} 克 (Θ_{秒}),

通过引理2.1-（ii），

{\bar{F类}}_{米} (t吨) = 电子 [克 (Θ)] \leq 电子 [克 (Θ_{秒})] = {\bar{F类}}_{米 秒} (t吨), t吨 \geq 0

为所有人 $t吨 \geq 0$ 。这就完成了定理的证明。

资金筹措表

第一作者的工作得到了韩国政府（MSIP）资助的韩国国家研究基金会（NRF）拨款（编号：2019R1A2B5B02069500）的支持。第一作者的工作还得到了基础科学研究计划的支持，该计划由韩国教育部资助的国家研究基金会（NRF）提供资金（赠款编号2019R1A6A1A11051177）。第二作者的工作得到了西班牙政府研究项目MTM2015-63978（MINECO-FEDER）和PGC2018-094964-B-100（MINECO-FEDER）的支持。

披露声明

提交人没有报告任何潜在的利益冲突。

工具书类

1Aslam M.、Balamentalli S.、Jun C.-H.和Rasool M。，Burr-XII型分布下SkSP-2型跳批抽样方案的优化设计.J.统计计算。模拟。 83（2013），第37-51页。网址：10.1080/00949655.2011.600697[交叉参考][谷歌学者]

2Aslam M.和Jun C.-H。，威布尔分布截尾寿命试验的群接受抽样方案.J.应用。斯达。 36（2009），第1021-1027页。doi:10.1080/02664760802566788[交叉参考][谷歌学者]

三。Aslam M.、Jun C.-H.和Ahmad M。，基于截尾寿命试验的一般分布两阶段群抽样方案.J.统计计算。模拟。 81（2011），第1927-1938页。doi:10.1080/00949655.2010.508745[交叉参考][谷歌学者]

4Aslam M.、Jun C.-H.和Ahmad M。，基于Birnbaum–Saunders分布寿命测试的新验收抽样计划.J.统计计算。模拟。 81（2011），第461-470页。网址：10.1080/00949650903418883[交叉参考][谷歌学者]

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文章来自应用统计学杂志由以下人员提供泰勒和弗朗西斯