Testing exponentiality based on the extropy of record values

Peihan Xiong; Weiwei Zhuang; Guoxin Qiu

doi:10.1080/02664763.2020.1840535

J应用统计。2022; 49(4): 782–802.

2020年10月31日在线发布。数字对象标识：10.1080/02664763.2020.1840535

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PMID：35707810

基于记录值的极值检验指数性

熊培汉,^一威威庄,^一和邱国欣^a、，^b条

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GUID:58382519-6072-42F0-AAB4-37705B3E2034

摘要

在本文中，我们首先基于记录值的极值给出了指数分布的特征，然后介绍了指数性的良好性检验。蒙特卡罗模拟用于计算针对不同样本大小和显著性水平的拟议测试的临界值。为了证明所提出的测试的优势，我们采用了58个竞争测试，并计算了针对不同类型危险函数的不同备选方案的调整功率。功率结果表明，如果备选方案的故障率增加或浴缸的故障率减少-增加，特别是当样本量较小时，我们提出的测试具有更好的调整功率。最后，通过监控第页-测试值。

关键词：调整功率、极值、指数检验、蒙特卡罗模拟、记录值

数学学科分类（2010）初级62G30、次级63E10、62B10

1.简介

指数分布是统计工作中最常用的连续分布之一。指数分布由于其无记忆性，在可靠性理论、寿命试验和随机过程中得到了广泛的应用。在这种情况下，区分随机样本是否来自指数分布非常重要。那是因为n个独立同分布（iid）无序观测 ${X（X）}_{1}, {X（X）}_{2}, \dots, {X（X）}_{n个}$ 从绝对连续的累积分布函数（cdf）F类，我们想测试

{H（H）}_{0} : F类 \in 费用 (λ) v.s.版本。 {H（H）}_{1} : F类 \notin 费用 (λ),

哪里 $费用 (λ)$ 表示具有cdf的指数分布类

F类 (x个 | λ) = \{\begin{cases} 1 负极 {e（电子）}^{负极 λ x个}, & x个 \geq 0, \\ 0, & x个 < 0, \end{cases}

(1)

和 $λ > 0$ 是一个未知参数。为此，文献中有许多指数性的良好性测试，例如Zamanzade和Arghami[57]努格哈比和阿尔哈米[41]基于顺序统计矩，Noughabi和Balakrishnan[42]基于Phi-dixture、Grané和Fortiana[20]基于相关性和协方差，托拉比等。[52]基于经验分布函数等。在开发这些指数性良好性测试的技术中，指数分布的表征起着重要作用，可以作为一个基本成分。在这些测试中，我们有一些基于归一化间距的测试（例如爱泼斯坦测试[15]，科查尔[27])，阶矩统计（例如Henze[22])，均匀分布的随机变量（例如Marange和Qin[34])，和相同分布的随机变量（例如努格哈比和阿尔哈米[39])以及其他许多人。但据我们所知，还没有人使用基于记录值的极值的特征来构建指数性测试。我们将在本文中填补这一空白。

对于随机变量X（X）具有概率密度函数（pdf）（f），其极值由Lad定义等。[30]作为

J型 (X（X）) = 负极 \frac{1}{2} \int_{负极 \infty}^{\infty} {（f）}^{2} (x个) d日 x个 .

(2)

学者们发现了许多有趣的性质，例如邱[45]、邱和贾[46,47]还有Jose和Sathar[25]. 此外，邱和贾[47]还有努格哈比和贾拉希费雷斯[43]提出了一些极值估计量，并将其应用于均匀性检验。我们的动机来自于我们之前的研究，其中给出了一个证明，表明指数分布可以由上记录值的极值唯一地表征（未发表的观察结果）。然后利用邱和贾给出的极值估计[46]，我们提出了一种新的指数性检验方法。在这个数据丰富的时代，用最少的数据确定分布仍然很重要。例如，在许多寿命测试中，数据采集可能非常耗时且成本高昂。我们将进一步证明，当样本量较小时，我们的测试尤其有效。

本文的其余部分组织如下。在节中2，提出了一种新的检验统计量来检验指数性。此外，还显示了我们针对不同样本大小提出的测试的临界值。章节三首先列出了现有的竞争对手测试和广泛使用的指数测试替代方法。然后，我们解释了为什么我们使用调整后的权力而不是惩罚权力或内在权力来比较我们提出的测试与竞争对手测试的表现。我们通过模拟研究完成了这一部分，这表明我们的测试对于增加或浴缸故障率的替代品具有很好的调整能力，并且在样本量较小时显著优于其他替代品。即使对于降低或单峰故障率的备选方案，我们建议的测试也不总是最差的测试。章节4给出了三个实例来说明所提出的测试和部分的优越性和鲁棒性5本文得出结论。读者可以在附录中看到Python测试统计的实现。完整的工作代码可以在补充文件中找到。

2.测试统计

让 ${X（X）}_{1}, {X（X）}_{2}, \dots, {X（X）}_{n个}, \dots$ 是绝对连续cdf中的iid随机变量序列F类和pdf（f）.表示j个第阶统计依据 ${X（X）}_{j个 : n个}$ , $1 \leq j个 \leq n个$ ，这是j个序列中第个最小值 ${X（X）}_{1}, {X（X）}_{2}, \dots, {X（X）}_{n个}$ .定义上限记录时间的序列 $U型 (k个)$ 作为 $U型 (1) = 1; U型 (k个 + 1) = 最小值 {j个 : j个 > U型 (k个); {X（X）}_{j个} > {U型}_{k个}^{X（X）}}, k个 = 1, 2, \dots$ 和k个第个上限记录值为 ${U型}_{k个}^{X（X）} = {X（X）}_{U型 (k个)}, k个 = 1, 2, \dots$ 。的pdfk个第个上记录值 ${U型}_{k个}^{X（X）}$ 由提供

{（f）}_{{U型}_{k个}^{X（X）}} (x个) = \frac{{[负极 日志 \bar{F类} (x个)]}^{k个 负极 1}}{Γ (k个)} （f） (x个), 负极 \infty < x个 < \infty,

(3)

哪里 $\bar{F类} (x个) = 1 负极 F类 (x个)$ 、和 $Γ (k个) = (k个负极 1)!$ 是完整的伽玛函数。读者可以参考阿诺德等。[2]用于定义和应用上限记录值。

根据(2)和(三)，的极值 ${U型}_{k个}^{X（X）}$ 可以写成

J型 ({U型}_{k个}^{X（X）}) = 负极 \frac{1}{2} \int_{负极 \infty}^{\infty} {（f）}_{_{{U型}_{k个}^{X（X）}}}^{2} (x个) d日 x个 = 负极 \frac{1}{2 Γ^{2} (k个)} \int_{负极 \infty}^{\infty} {[负极 日志 \bar{F类} (x个)]}^{2 k个 负极 2} {（f）}^{2} (x个) d日 x个 .

(4)

如果X（X）具有指数分布，cdf由(1)，那么我们还有

J型 ({U型}_{k个}^{X（X）}) = 负极 \frac{1}{2 Γ^{2} (k个)} \int_{0}^{\infty} (λ x个)^{2 k个 负极 2} λ^{2} {e（电子）}^{负极 2 λ x个} d日 x个 = 负极 \frac{λ Γ (2 k个 负极 1)}{2^{2 k个} Γ^{2} (k个)} .

使用(2)我们再次看到 $J型 (X（X）) = 负极 λ / 4$ 因此，如果X（X）具有指数分布，cdf由(1)那么，对所有人来说 $k个 = 1, 2, \dots$ ，它认为

J型 ({U型}_{k个}^{X（X）}) = \frac{Γ (2 k个 负极 1)}{2^{2 k个 负极 2} Γ^{2} (k个)} J型 (X（X）) .

相反，如果上述等式适用于所有情况 $k个 = 1, 2, \dots$ ，我们可以证明X（X）必须具有带速率参数的指数分布 $负极 4 J型 (X（X）)$ 这在以下定理2.1中进行了说明。充分性的证明类似于邱中定理3.7的证明[45]，此处省略。

定理2.1

非负随机变量X（X）具有速率参数的指数分布 $λ > 0$ 当且仅当

J型 ({U型}_{k个}^{X（X）}) = \frac{Γ (2 k个 负极 1)}{2^{2 k个 负极 2} Γ^{2} (k个)} J型 (X（X）), k个 = 1, 2, \dots,

接下来，我们利用定理2.1介绍我们的指数性检验统计量。为此，我们让

{E类}_{k个} = J型 ({U型}_{k个}^{X（X）}) 负极 \frac{Γ (2 k个 负极 1)}{2^{2 k个 负极 2} Γ^{2} (k个)} J型 (X（X）) .

从定理2.1可以看出 ${E类}_{k个} = 0$ 为所有人 $k个 = 1, 2, \dots,$ 当且仅当X（X）是指数型的。因此， ${E类}_{k个}$ 可以用作指数的基本概念，可以用作指数性的测试统计量。假设 ${\hat{E类}}_{k个}$ 是的估计量 ${E类}_{k个}$ 通过随机抽样 ${X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{n个}$ 基于X（X），则为的小值或大值 ${\hat{E类}}_{k个}$ 可以被视为非赞助人的症状，因此我们拒绝零假设 ${H（H）}_{0}$ 。为了简单起见，我们采用k个 = 2并考虑 ${\hat{E类}}_{2}$ 作为我们在即将到来的讨论中对指数性的测试统计。

推导 ${\hat{E类}}_{2}$ ，我们首先回忆起邱和贾[46]引入了样本估计 $J型 (X（X）)$ 通过 $J型问 2_{米 n个}$ ，即。

J型 问 2_{米 n个} = 负极 \frac{1}{2 n个} \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{{c（c）}_{我} 米 / n个}{{X（X）}_{(我 + 米) : n个} 负极 {X（X）}_{(我 负极 米) : n个}},

哪里 ${X（X）}_{1 : n个} \leq {X（X）}_{2 : n个} \leq \dots \leq {X（X）}_{n个 : n个}$ 订单统计是基于 ${X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{n个}$ .窗口大小米是小于的正整数n个/2, ${X（X）}_{(我负极米) : n个} = {X（X）}_{1 : n个}$ 如果 $我负极米 \leq 1$ , ${X（X）}_{(我 + 米) : n个} = {X（X）}_{n个 : n个}$ 如果 $我 + 米 \geq n个$ 、和

{c（c）}_{我} = \{\begin{cases} 1 + \frac{我 负极 1}{米}, & 1 \leq 我 \leq 米, \\ 2, & 米 + 1 \leq 我 \leq n个 负极 米, \\ 1 + \frac{n个 负极 我}{米}, & n个 负极 米 + 1 \leq 我 \leq n个 . \end{cases}

(5)

另一方面k个 = 每侧2个(4)，我们有

\begin{aligned} J型 ({U型}_{2}^{X（X）}) & = 负极 \frac{1}{2} \int_{负极 \infty}^{\infty} {日志}^{2} \bar{F类} (x个) {（f）}^{2} (x个) d日 x个 \\ = 负极 \frac{1}{2} \int_{0}^{1} {日志}^{2} (1 负极 v（v）) （f） ({F类}^{负极 1} (v（v）)) d日 v（v） \\ = 负极 \frac{1}{2} \int_{0}^{1} {日志}^{2} (1 负极 v（v）) {[\frac{d日 {F类}^{负极 1} (v（v）)}{d日 v（v）}]}^{负极 1} d日 v（v） . \end{aligned}

(6)

因此，如果我们遵循瓦西塞克的想法[53]，即替换分配函数F类通过经验分布函数 ${F类}_{n个}$ ，并使用差分算子代替微分算子，然后求 ${F类}^{负极 1} (v（v）)$ 在方程式中(6)可以通过订单统计的函数进行估计。形式上，对于随机样本 ${X（X）}_{1}, \dots, {X（X）}_{n个}$ 从X（X）, $J型 ({U型}_{2}^{X（X）})$ 可以通过以下方式进行估算

\hat{J型 ({U型}_{2}^{X（X）})} = 负极 \frac{1}{2 n个} \sum_{我 = 1}^{n个} {日志}^{2} (1 负极 \frac{我}{n个 + 1}) \frac{2 米 / n个}{{X（X）}_{(我 + 米) : n个} 负极 {X（X）}_{(我 负极 米) : n个}} .

因此，对于 ${E类}_{2}$ 可以写成

\begin{aligned} {\hat{E类}}_{2} & = \overset{图6}{J型 ({U型}_{2}^{X（X）})} 负极 J型 问 2_{米 n个} \\ = 负极 \frac{1}{2 n个} \sum_{我 = 1}^{n个} {日志}^{2} (1 负极 \frac{我}{n个 + 1}) \frac{2 米 / n个}{{X（X）}_{(我 + 米) : n个} 负极 {X（X）}_{(我 负极 米) : n个}} + \frac{1}{2 n个} \sum_{我 = 1}^{n个} \frac{{c（c）}_{我} 米 / n个}{{X（X）}_{(我 + 米) : n个} 负极 {X（X）}_{(我 负极 米) : n个}} \\ = 负极 \frac{1}{2 n个} \sum_{我 = 1}^{n个} [2 {日志}^{2} (1 负极 \frac{我}{n个 + 1}) 负极 {c（c）}_{我}] \frac{米 / n个}{{X（X）}_{(我 + 米) : n个} 负极 {X（X）}_{(我 负极 米) : n个}}, \end{aligned}

哪里 ${c（c）}_{我}$ 定义如下(5).米是小于的正整数n个/2和 ${X（X）}_{(我负极米) : n个} = {X（X）}_{1 : n个}$ 如果 $我负极米 \leq 1$ , ${X（X）}_{(我 + 米) : n个} = {X（X）}_{n个 : n个}$ 如果 $我 + 米 \geq n个$ .

由于 ${\hat{E类}}_{2}$ 取决于样本和窗口大小米其渐近分布过于复杂，无法进行理论分析。通过Monte-Carlo方法，我们生成了10000个大小的样本n个 = 从零分布和 $(1 负极 α)$ 将第个分位数作为显著性水平的临界值α.表格1和2给出不同样本大小在显著性水平上的临界值 $α = 0.01$ 和0.05。

表1。

的临界值 $| {\overset{图6}{E类}}_{2} |$ 在显著性水平 $α = 0.01$ .

$米 ∖ n个$	5	10	20	30	40	50	100
1	16.3654	10.3114	5.2411	2.9477	2.1246	2.0420	1.0722
2	2.1829	1.2912	0.6804	0.5653	0.4638	0.4117	0.3128
三		0.7706	0.4564	0.3885	0.3370	0.3171	0.2642
4		0.6378	0.3677	0.3347	0.2877	0.2830	0.2420
5		0.5769	0.3228	0.2872	0.2759	0.2595	0.2284
6			0.2896	0.2575	0.2606	0.2527	0.2216
7			0.2962	0.2436	0.2359	0.2336	0.2150
8			0.3087	0.2194	0.2330	0.2272	0.2116
9			0.3160	0.2100	0.2094	0.2114	0.2068
10			0.3443	0.2068	0.1949	0.2048	0.2019
15				0.2706	0.1710	0.1554	0.1835
20					0.2264	0.1495	0.1649
30							0.1321
40							0.1011
50							0.1462

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表2。

的临界值 $| {\hat{E类}}_{2} |$ 在显著性水平 $α = 0.05$ .

$米 ∖ n个$	5	10	20	30	40	50	100
1	3.4962	2.0378	1.1865	0.8843	0.7161	0.6529	0.5083
2	0.8303	0.5588	0.3864	0.3469	0.3144	0.2958	0.2531
三		0.3847	0.2906	0.2693	0.2522	0.2466	0.2207
4		0.3365	0.2468	0.2365	0.2244	0.2202	0.2044
5		0.3391	0.2048	0.2132	0.2126	0.2084	0.1953
6			0.1884	0.1942	0.1992	0.1985	0.1881
7			0.1761	0.1773	0.1865	0.1883	0.1835
8			0.1935	0.1613	0.1727	0.1789	0.1813
9			0.2121	0.1470	0.1613	0.1710	0.1772
10			0.2335	0.1412	0.1488	0.1630	0.1736
15				0.1901	0.1165	0.1185	0.1593
20					0.1686	0.1049	0.1445
30							0.1099
40							0.0759
50							0.1119

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3.功率比较

许多学者开发了一系列现有的指数性测试。这里有几个，崔等。[9]，易卜拉希米等。[13]努格哈比和阿尔哈米[38,39]Baratpour和Habibi Rad[4]提出了测试统计电视E,总费用, $T型 {V（V）}_{1}$ , $T型 {A类}_{1}$ 和 $C类 K（K） {L（左）}_{n个}$ 通过使用不同的熵估计器来估计非对称Kullback-Leibler距离。扎曼扎德和阿尔哈米[57]努格哈比和阿尔哈米[41]推导了其估计量的非参数分布函数，并进一步提出了检验统计量 $T型 {V（V）}_{2}$ , $T型 {E类}_{2}$ , $T型 {A类}_{2}$ 和TZ公司Baringhaus和Henze研究了其他指数性测试[5]努格哈比和阿尔哈米[38,39]Ascher进行了功率比较[三]、亨泽和美坦尼斯[23]和托拉比等。[52]. 我们总共采用了58项测试作为我们建议测试的合适竞争对手。据托拉比介绍等。[52]根据指数分布的特征，现有测试可分为以下12类。我们在表中总结了这58项竞争对手测试三基于马兰奇和秦的类似工作[34]. 这些测试的详细信息可以在Ascher中找到[三]、亨泽和美坦尼斯[23]和托拉比等。[52].

表3。

现有竞争对手测试。

测试	统计的	参考
熵估计量
Choi公司等。	电视E	Choi公司等。[9]
Choi公司等。	总费用	Choi公司等。[9]
易卜拉欣等。	$T型 {V（V）}_{1}$	易卜拉欣等。[13]
努格哈比和阿尔哈米	$T型 {A类}_{1}$	努格哈比和阿尔哈米[38]
Baratpour和Habibi Rad	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	Baratpour和Habibi Rad[4]
熵估计量的修正矩
公园和公园	$T型 {V（V）}_{2}$	公园和公园[44]
Park和Parki	$T型 {E类}_{2}$	公园和公园[44]
努格哈比和阿尔哈米	$T型 {A类}_{2}$	Noughabi和Arghami[41]
扎曼扎德和阿尔哈米	TZ公司	扎曼扎德和阿尔哈米[57]
Phi发散
努格哈比和巴拉克里什南	TKL公司	努格哈比和巴拉克里什南[42]
努格哈比和巴拉克里什南	真实航向	努格哈比和巴拉克里什南[42]
努加比和巴拉克里希南	TJ公司	努格哈比和巴拉克里什南[42]
努格哈比和巴拉克里什南	TT公司	努格哈比和巴拉克里什南[42]
努格哈比和巴拉克里什南	${T型}_{χ}$	努格哈比和巴拉克里什南[42]
exp分布的特征
Noughabi和Arghami（统一（0，1））	${T型}_{1}$	努格哈比和阿尔哈米[39]
Noughabi和Arghami（费舍尔 ${F类}_{(2, 2)}$ )	${T型}_{2}$	努格哈比和阿尔哈米[39]
努格哈比和阿尔哈米（统一（-1，1））	${T型}_{三}$	努格哈比和阿尔哈米[39]
Noughabi和Arghami（籽粒密度）	${T型}_{4}$	努格哈比和阿尔哈米[40]
Volkova（罗斯伯格表征）	$我_{1}$	沃尔科娃[54]
Volkova和Nikitin（Ahsanullah角色化）	$我_{2}$	沃尔科娃和尼基丁[55]
基于间距
科查尔	${K（K）}_{n个}$	科查尔[27]
爱泼斯坦	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	爱泼斯坦[15]
格内登科F检验	$问_{n个} (第页)$	格涅坚科等。[19]、阿斯切尔[三]
改进的格内登科F检验	$问_{n个}^{*} (第页)$	哈里斯[21]
基于洛伦兹曲线和基尼指数
洛伦兹	${L（左）}_{n个} (第页)$	Gail和Gastwirth[17]
吉尼	${G公司}_{n个}$	盖尔和加斯特沃思[18]
经验分布函数
科尔莫戈罗夫·斯米尔诺夫	$K（K） {S公司}_{n个}$	利利福斯[32]
柯伊伯	V（V）	达戈斯蒂诺和斯蒂芬斯[11]
芬克尔斯坦和谢弗斯	${S公司}^{*}$	达戈斯蒂诺和斯蒂芬斯[11]
克拉梅尔·冯·米塞斯	${W公司}_{n个}^{2}$	达戈斯蒂诺和斯蒂芬斯[11]
安德森·达林	${A类}^{2}$	达戈斯蒂诺和斯蒂芬斯[11]
托拉比等。	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	托拉比等。[52]
托拉比等。	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	托拉比等。[52]
基于残差平均函数
克拉梅·冯·米塞斯	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	巴林豪斯和亨泽[6]
科尔莫戈罗夫·斯米尔诺夫	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	巴林豪斯和亨泽[6]
Aboukhamseen和Aly	${T型}_{1, n个}$	Aboukhamseen和Aly[1]
Aboukhamseen和Aly	${T型}_{2, n个}$	Aboukhamseen和Aly[1]
Aboukhamseen和Aly	${T型}_{1, n个} (γ)$	Aboukhamseen和Aly[1]
Aboukhamseen和Aly	${T型}_{2, n个} (γ)$	Aboukhamseen和Aly[1]
经验拉普拉斯变换
巴林豪斯和亨泽	$B类 {H（H）}_{n个}$	巴林豪斯和亨泽[5]
亨泽	$H（H） {E类}_{n个}$	亨泽[22]
经验特征函数
Epps和皮带轮	$E类 {P（P）}_{n个}$	Epps和皮带轮[14]
Henze和Meintanis	${T型}_{(n个, 一)}^{(1)}$	亨泽和美坦尼斯[23]
亨泽和美坦尼斯	${T型}_{(n个, 一)}^{(2)}$	亨泽和美坦尼斯[23]
基于相关性和协方差
夏皮罗一威尔克	W公司	夏皮罗和威尔克[49]
斯蒂芬斯对SW的修改	${W公司}_{秒}$	斯蒂芬斯[50]
Fortiana和Grané	$问_{n个}$	福蒂亚纳和格拉内[16]
蒙塔泽里和托拉比	COV公司	蒙塔泽里和托拉比[36]
其他测试
考克斯和奥克斯	$C类 {O（运行）}_{n个}$	考克斯和橡树[10]
莫兰	${M（M）}_{n个}$	莫兰[37]，奇里纳[51]
阿特金森	${M（M）}_{n个} (第页)$	Mimoto和Zitikis[35]
Hollander和Proschan	J型	Hollander和Proschan[24]
德什潘德	${J型}_{b条}$	德什潘德[12]
金伯	${D类}_{秒第页}$	金伯[26]
彼得拉	${P（P）}_{n个}$	盖尔和加斯特沃思[18]
马朗和秦	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	马朗和秦[34]
马朗和秦	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	马朗和秦[34]

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基于熵估计的测试。
基于熵估值器修正矩的测试。
基于Phi散度的测试。
基于指数分布特征的测试。
基于间距的测试。
基于洛伦兹曲线和基尼指数的测试。
基于经验分布函数的测试。
基于残差均值函数的测试。
基于经验拉普拉斯变换的测试。
基于经验特征函数的测试。
基于相关性和协方差的测试。
其他测试。

对于替代分布，我们使用Henze和Meintanis提出的相同分布[23]以及他们的参数选择。这些分布的定义如下。感兴趣的读者可以参考Torabi中的图2等。[52]对于几个参数值的故障率函数的形状θ正如Henze和Meintanis所指出的[23]这些概率分布族通常用作指数模型的替代品，包括故障率增加（IFR）、故障率减少（DFR）、单峰故障率增加-减少（UFR）以及浴缸故障率减少-增加（BFR）的密度。

威布尔分布，表示为 $W公司 (θ)$ ，pdf由提供
$（f） (x个) = θ {x个}^{θ 负极 1} 经验 (负极 {x个}^{θ}), θ > 0, x个 > 0$
伽马分布，表示为 $Γ (θ)$ ，pdf格式由
$（f） (x个) = \frac{1}{Γ (θ)} {x个}^{θ 负极 1} 经验 (负极 x个), θ > 0, x个 > 0$
对数正态分布，表示为 $L（左） N个 (θ)$ ，pdf由提供
$（f） (x个) = \frac{1}{θ x个 \sqrt{2 π}} 经验 \{负极 \frac{{日志}^{2} x个}{2 θ^{2}}\}, θ > 0, x个 > 0$
半正态分布，表示为海南，pdf由提供
$（f） (x个) = \sqrt{\frac{2}{π}} 经验 \{负极 \frac{{x个}^{2}}{2}\}, x个 > 0$
均匀分布，表示为U型，pdf由提供 $（f） (x个) = 1, 0 \leq x个 \leq 1$
修正极值分布，表示为 $E类 V（V） (θ)$ ，cdf由给出
$F类 (x个) = 1 负极经验 {θ^{负极 1} (1 负极 {e（电子）}^{x个})}, θ > 0, x个 > 0$
线性递增失效率分布，表示为 $L（左） F类 (θ)$ ，pdf由提供
$（f） (x个) = (1 + θ x个) 经验 \{负极 x个负极 \frac{θ}{2} {x个}^{2}\}, θ > 0, x个 > 0$
Dhillon定律，表示为 $D类 L（左） (θ)$ ，cdf由给出
$F类 (x个) = 1 负极经验 \{负极 {[日志 (x个 + 1)]}^{θ + 1}\}, θ > 0, x个 > 0$
Chen分布，表示为 $C类 H（H） (θ)$ ，cdf由给出
$F类 (x个) = 1 负极经验 {2 (1 负极 {e（电子）}^{{x个}^{θ}})}, θ > 0, x个 > 0$

对于测试的功率比较，Cavus等。[8]注意到，为了比较测试的性能，必须同时考虑功率和I类错误概率。因此，他们引入了以下惩罚权力，其定义为：

γ = \frac{1 负极 β}{\sqrt{1 + |1 负极 \frac{α_{1}}{α_{0}}|}},

(7)

哪里 $α_{1}$ 和β分别为I类和II类错误概率，以及 $α_{0}$ 是标称水平。Cavus公司等。[8]一个例子表明，惩罚权力与调整权力相比具有优势（张和布斯[58])和内在动力（劳埃德[33]). 然而，在指数性测试的情况下，大多数测试统计数据，包括电视E,总费用, $T型 {V（V）}_{1}$ , $T型 {A类}_{1}$ , $E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$ , $E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$ , ${H（H）}_{n个}^{(1)}$ , ${H（H）}_{n个}^{(2)}$ 而我们提出的测试，其理论分布过于复杂，无法通过分析获得。由于无法计算这些测试的I型错误概率，因此惩罚功率和劳埃德固有功率在我们的研究中均无效。因此，我们转而使用张和布斯的调整后权力来比较我们的提案和竞争对手的测试。对于测试统计T型具有标称水平 $α_{0}$ ，其调整功率定义为：

\hat{第页} = \frac{1}{k个} \sum_{我 = 1}^{k个} 我 ({T型}_{1 我} \geq {c（c）}_{α}),

哪里 ${c（c）}_{α}$ 是测试统计的临界值T型来自 $(1 负极 α_{0})$ 真零假设下测试统计值的分位数， ${T型}_{11}, {T型}_{12}, \dots, {T型}_{1 k个}$ 是测试统计值T型对于k个替代假设下的蒙特卡罗模拟，以及 $我 (A类)$ 是集合的指示函数A类显然，在零假设下调整后的权力只是α因为这种方式 ${C类}_{α}$ 被选中。然后，可以公平地比较替代分布下不同测试的调整功率。根据这个定义，我们估计了 ${\hat{E类}}_{2}$ 重复10000次大小样本n个 = 10%、20%、50%，标称水平为5%。如上所述 ${\hat{E类}}_{2}$ 取决于窗口大小m。因此米必须在计算其值之前指定，以使其获得良好（而非最佳）的调整功率。我们对不同样本大小进行了模拟，并建议 $米 = [n个 / 2]$ IFR和UFR分布和 $米 = [\sqrt{n个}]$ 用于DFR和BFR分布。结果如表所示4–9用粗体表示每列的最佳三次调整幂。竞争对手测试的一些调整后的力量来自Torabi等。[52]马兰奇和秦[34].

表5。

不同指数测试的调整功率， $α_{0} = 0.05$ ,n个 = 10

		UFR（超滤）				DFR公司		BFR公司
		LN（0.8）	LN（1.5）	DL（1）	DL（1.5）	W（0.8）	G（0.4）	瑞士（0.5）
1	电视E	24	19	17	33	4	11	7
2	总费用	25	4	20	46	2	三	1
三	$T型 {V（V）}_{1}$	26	6	20	45	2	5	三
4	$T型 {A类}_{1}$	26	1	21	50	1	0	0
5	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	17	15	14	34	三	7	5
6	$T型 {V（V）}_{2}$	23	14	17	36	三	17	11
7	$T型 {E类}_{2}$	23	20	17	35	4	21	14
8	$T型 {A类}_{2}$	23	24	15	33	5	25	18
9	TZ公司	23	29	16	31	7	29	21
10	TKL公司	24	1	19	46	1	0	0
11	真实航向	1	47	1	0	23	66	55
12	TJ公司	1	47	1	0	23	66	55
13	TT公司	1	48	1	0	23	66	54
14	${T型}_{χ}$	三	47	2	0	21	59	47
15	${T型}_{1}$	28	5	20	47	7	51	36
16	${T型}_{2}$	30	三	22	50	4	37	25
17	${T型}_{三}$	28	5	20	47	7	50	36
18	${T型}_{4}$	29	1	21	48	1	0	0
19	$我_{1}$	21	6	13	31	10	46	35
20	$我_{2}$	19	9	13	33	11	50	38
21	${K（K）}_{n个}$	20	1	16	41	1	0	0
22	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	7	20	5	9	10	51	36
23	$问_{n个} (第页)$	6	31	6	14	12	45	37
24	$问_{n个}^{*} (第页)$	10	20	6	10	7	14	12
25	${L（左）}_{n个} (第页)$	14	32	12	31	14	55	43
26	${G公司}_{n个}$	14	39	13	33	14	49	37
27	$K（K） {S公司}_{n个}$	16	32	13	30	10	41	31
28	V（V）	17	25	12	29	9	35	25
29	${S公司}^{*}$	19	35	14	36	12	46	34
30	${W公司}_{n个}^{2}$	18	35	14	35	11	45	34
31	${A类}^{2}$	13	37	10	27	17	67	54
32	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	24	1	20	46	1	0	0
33	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	2	47	1	2	21	65	54
34	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	18	26	15	35	6	28	20
35	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	16	38	13	32	12	45	34
36	${T型}_{1, n个}$	12	38	9	24	14	46	35
37	${T型}_{2, n个}$	14	40	10	29	15	50	40
38	${T型}_{1, n个} (γ)$	14	24	11	27	9	35	25
39	${T型}_{2, n个} (γ)$	13	10	11	27	8	18	16
40	$B类 {H（H）}_{n个}$	17	40	13	34	14	47	37
41	$H（H） {E类}_{n个}$	17	40	13	35	14	47	37
42	$E类 {P（P）}_{n个}$	15	40	14	35	14	47	37
43	${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$	19	5	17	41	2	2	0
44	${T型}_{n个, 2.5}^{(2)}$	19	19	16	40	5	21	14
45	$C类 {O（运行）}_{n个}$	16	34	15	37	17	68	53
46	${M（M）}_{n个}$	10	31	7	22	21	74	62
47	${M（M）}_{n个} (0)$	26	19	19	46	11	62	46
48	${M（M）}_{n个} (0.99)$	16	40	12	32	15	50	38
49	J型	23	1	18	44	1	0	0
50	${J型}_{0.5}$	23	1	17	40	1	0	0
51	${D类}_{秒第页}$	26	27	17	39	10	51	36
52	${W公司}_{n个}$	8	36	7	10	11	26	20
53	${W公司}_{秒}$	15	38	11	30	13	35	27
54	$问_{n个}$	12	36	10	25	12	34	27
55	COV公司	31	2	22	49	1	1	0
56	${P（P）}_{n个}$	14	39	11	28	14	45	36
57	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	29	24	21	50	5	21	15
58	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	14	1	13	31	1	0	0
59	${\overset{图6}{E类}}_{2}$	5	三	2	5	2	60	54

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表6。

不同指数测试的调整功率， $α_{0} = 0.05$ ,n个 = 20

		国际财务报告
		G（1）	W（1.4）	G（2）	海南	U（0,1）	信道（1）	CH（1.5）	左前（2）	左前（4）	企业价值（0.5）	企业价值（1.5）
1	电视E	5	27	42	14	52	10	62	18	27	9	26
2	总费用	5	37	50	24	88	18	83	30	42	18	48
三	$T型 {V（V）}_{1}$	5	37	51	23	87	18	82	30	42	18	48
4	$T型 {A类}_{1}$	5	47	63	30	80	20	87	36	52	20	52
5	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	5	33	38	28	92	21	86	34	48	21	59
6	$T型 {V（V）}_{2}$	5	31	45	19	83	15	76	25	35	15	40
7	$T型 {E类}_{2}$	5	29	42	17	79	13	73	22	31	13	35
8	$T型 {A类}_{2}$	5	24	35	13	69	9	64	17	25	9	28
9	TZ公司	5	17	27	7	54	6	50	11	5	21	45
10	TKL公司	5	49	63	31	84	23	91	41	56	22	59
11	真实航向	5	1	1	2	15	1	50	2	三	1	4
12	TJ公司	5	1	1	2	15	1	5	2	三	1	4
13	TT公司	5	0	0	1	6	1	1	1	1	1	1
14	${T型}_{χ}$	5	1	1	1	22	1	9	1	2	1	4
15	${T型}_{1}$	5	35	55	18	52	13	72	23	34	13	34
16	${T型}_{2}$	5	36	55	18	55	14	74	25	36	14	35
17	${T型}_{三}$	5	35	55	17	51	13	72	24	35	13	34
18	${T型}_{4}$	5	46	62	28	69	19	83	35	50	19	49
19	$我_{1}$	5	27	46	12	28	9	60	17	26	9	22
20	$我_{2}$	5	29	47	14	39	10	67	20	34	11	28
21	${K（K）}_{n个}$	5	44	53	33	88	25	91	42	57	25	64
22	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	5	8	10	7	31	6	21	7	11	7	12
23	$问_{n个} (第页)$	5	22	25	18	62	12	65	22	32	13	39
24	$问_{n个}^{*} (第页)$	5	6	9	5	8	6	11	6	6	6	6
25	${L（左）}_{n个} (第页)$	5	34	46	21	57	14	78	27	40	14	40
26	${G公司}_{n个}$	5	35	46	21	70	15	84	29	42	15	46
27	$K（K） {S公司}_{n个}$	5	28	40	18	52	13	67	24	35	13	35
28	V（V）	5	26	37	16	66	12	68	22	32	12	35
29	${S公司}^{*}$	5	35	49	22	70	16	82	29	43	15	46
30	${W公司}_{n个}^{2}$	5	34	47	21	66	14	79	28	42	14	43
31	${A类}^{2}$	5	30	45	17	62	12	76	24	36	12	37
32	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	5	49	60	31	78	24	91	40	55	23	58
33	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	6	6	10	2	18	2	29	4	7	2	8
34	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	5	35	46	24	72	18	79	32	44	18	48
35	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	5	35	47	22	70	16	83	30	43	16	47
36	${T型}_{1, n个}$	5	27	36	18	63	13	70	24	36	13	38
37	${T型}_{2, n个}$	5	32	44	21	71	14	80	28	42	14	45
38	${T型}_{1, n个} (γ)$	5	28	36	21	74	16	70	26	38	15	42
39	${T型}_{2, n个} (γ)$	5	29	38	21	79	15	78	27	41	15	46
40	$B类 {H（H）}_{n个}$	5	36	48	21	65	14	84	28	42	14	44
41	$H（H） {E类}_{n个}$	5	37	48	21	62	14	84	28	42	15	43
42	$E类 {P（P）}_{n个}$	5	36	48	21	66	15	84	28	42	15	45
43	${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$	5	45	55	33	86	25	91	42	56	25	63
44	${T型}_{n个, 2.5}^{(2)}$	5	42	50	31	85	23	91	39	54	23	61
45	$C类 {O（运行）}_{n个}$	5	37	54	19	50	13	81	25	37	13	37
46	${M（M）}_{n个}$	5	29	46	13	37	9	70	19	29	9	26
47	${M（M）}_{n个} (0)$	5	44	64	22	50	16	81	29	41	16	39
48	${M（M）}_{n个} (0.99)$	5	34	47	19	63	13	83	27	40	13	43
49	J型	5	47	62	29	78	22	89	39	53	22	55
50	${J型}_{0.5}$	5	43	60	26	65	19	84	35	48	19	49
51	${D类}_{秒第页}$	5	33	51	17	51	12	66	23	33	13	31
52	${W公司}_{n个}$	5	21	20	19	72	13	63	25	34	13	43
53	${W公司}_{秒}$	5	32	40	22	75	14	84	28	42	14	49
54	$问_{n个}$	5	32	38	23	86	17	85	30	42	17	54
55	COV公司	5	47	66	25	56	18	83	33	44	18	44
56	${P（P）}_{n个}$	5	35	46	22	62	14	80	30	43	15	45
57	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	5	47	63	27	67	19	82	36	51	19	51
58	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	5	41	45	34	92	26	93	42	56	26	66
	${\hat{E类}}_{2}$	5	29	2	37	100	83	99	73	89	83	74

在单独的窗口中打开

表7。

不同指数测试的调整功率， $α_{0} = 0.05$ ,n个 = 20

		UFR（超滤）				DFR公司		BFR公司
		LN（0.8）	LN（1.5）	DL（1）	DL（1.5）	W（0.8）	G（0.4）	瑞士（0.5）
1	电视E	52	45	30	61	6	31	18
2	总费用	40	19	26	65	2	24	14
三	$T型 {V（V）}_{1}$	43	26	27	67	三	32	19
4	$T型 {A类}_{1}$	49	0	35	81	1	0	0
5	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	18	43	16	48	8	25	16
6	$T型 {V（V）}_{2}$	43	42	25	62	6	51	33
7	$T型 {E类}_{2}$	45	50	25	60	9	56	39
8	$T型 {A类}_{2}$	45	59	24	55	13	63	46
9	TZ公司	42	64	22	45	17	66	50
10	TKL公司	41	0	33	79	1	0	0
11	真实航向	1	70	1	1	34	89	79
12	TJ公司	1	70	1	1	33	89	79
13	TT公司	1	71	1	0	34	89	80
14	${T型}_{χ}$	4	70	三	2	28	77	64
15	${T型}_{1}$	51	10	31	74	16	86	73
16	${T型}_{2}$	50	7	31	75	13	82	67
17	${T型}_{三}$	50	9	31	74	16	85	70
18	${T型}_{4}$	53	0	36	80	1	0	0
19	$我_{1}$	48	11	29	67	18	80	68
20	$我_{2}$	45	16	28	68	20	82	70
21	${K（K）}_{n个}$	25	0	23	66	1	0	0
22	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	10	30	7	14	11	67	48
23	$问_{n个} (第页)$	9	59	9	33	20	68	56
24	$问_{n个}^{*} (第页)$	17	30	10	16	7	13	11
25	${L（左）}_{n个} (第页)$	27	55	22	64	23	82	70
26	${G公司}_{n个}$	24	67	19	62	24	76	63
27	$K（K） {S公司}_{n个}$	30	58	20	56	17	71	56
28	V（V）	32	44	19	54	13	62	47
29	${S公司}^{*}$	33	61	20	66	20	75	61
30	${W公司}_{n个}^{2}$	33	62	23	65	20	76	61
31	${A类}^{2}$	34	62	21	63	26	89	78
32	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	33	0	30	74	5	0	0
33	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	8	71	4	20	34	89	79
34	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	28	55	22	62	14	62	47
35	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	27	66	21	63	22	75	61
36	${T型}_{1, n个}$	23	63	20	52	21	73	59
37	${T型}_{2, n个}$	25	65	21	60	24	77	64
38	${T型}_{1, n个} (γ)$	22	47	23	50	15	61	47
39	${T型}_{2, n个} (γ)$	19	24	22	52	14	42	36
40	$B类 {H（H）}_{n个}$	26	67	21	64	24	77	63
41	$H（H） {E类}_{n个}$	29	66	20	64	24	79	63
42	$E类 {P（P）}_{n个}$	25	67	20	64	24	76	63
43	${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$	27	18	25	67	4	33	23
44	${T型}_{n个, 2.5}^{(2)}$	22	38	21	61	10	50	37
45	$C类 {O（运行）}_{n个}$	33	60	25	72	28	91	80
46	${M（M）}_{n个}$	31	52	21	67	31	94	85
47	${M（M）}_{n个} (0)$	47	42	34	81	20	90	77
48	${M（M）}_{n个} (0.99)$	26	67	20	63	25	77	64
49	J型	46	0	35	79	1	0	0
50	${J型}_{0.5}$	50	0	35	77	1	0	0
51	${D类}_{秒第页}$	56	46	34	71	14	79	62
52	${W公司}_{n个}$	12	60	10	23	15	45	34
53	${W公司}_{秒}$	20	61	16	53	18	53	42
54	$问_{n个}$	18	61	15	50	19	56	43
55	COV公司	61	三	43	84	0	0	0
56	${P（P）}_{n个}$	24	64	20	61	22	73	61
57	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	40	56	31	78	15	59	62
58	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	19	三	18	54	2	7	81
	${\hat{E类}}_{2}$	4	0	2	6	1	95	95

在单独的窗口中打开

表8。

不同指数测试的调整功率， $α_{0} = 0.05$ ,n个 = 50

		国际财务报告
		G（1）	W（1.4）	G（2）	海南	U（0,1）	信道（1）	CH（1.5）	左前（2）	左前（4）	企业价值（0.5）	企业价值（1.5）
1	电视E	5	55	82	23	91	13	97	34	54	14	53
2	总费用	5	64	81	42	100	33	100	54	73	33	85
三	$T型 {V（V）}_{1}$	5	65	84	43	100	32	100	55	74	33	86
4	$T型 {A类}_{1}$	5	80	95	48	99	32	100	64	83	33	83
5	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	5	62	66	54	100	44	100	68	85	44	96
6	$T型 {V（V）}_{2}$	5	64	85	38	100	28	100	51	71	29	82
7	$T型 {E类}_{2}$	5	58	82	31	100	21	99	43	64	22	75
8	$T型 {A类}_{2}$	5	32	61	11	98	6	93	18	34	6	42
9	TZ公司	5	5	17	1	62	0	46	1	4	三	5
10	TKL公司	5	87	97	61	100	45	100	76	91	46	93
11	真实航向	5	2	1	4	58	三	22	5	9	三	17
12	TJ公司	5	2	1	4	58	三	22	5	9	三	17
13	TT公司	5	1	0	三	45	2	12	三	5	2	12
14	${T型}_{χ}$	5	0	0	0	53	0	16	1	2	0	5
15	${T型}_{1}$	5	67	92	29	85	18	98	42	62	19	59
16	${T型}_{2}$	5	69	92	31	88	20	98	45	64	21	62
17	${T型}_{三}$	5	67	92	29	85	18	98	42	62	19	59
18	${T型}_{4}$	5	81	95	52	95	35	100	64	84	35	84
19	$我_{1}$	5	65	90	25	62	15	96	39	60	15	51
20	$我_{2}$	5	67	91	28	72	17	98	43	75	17	57
21	${K（K）}_{n个}$	5	85	90	71	100	57	100	83	95	57	98
22	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	5	13	19	9	67	8	45	12	16	8	21
23	$问_{n个} (第页)$	5	56	65	43	96	30	98	56	73	30	81
24	$问_{n个}^{*} (第页)$	5	11	24	5	9	6	25	6	9	6	7
25	${L（左）}_{n个} (第页)$	5	76	91	46	93	30	100	62	81	30	81
26	${G公司}_{n个}$	5	79	90	54	99	38	100	69	87	38	90
27	$K（K） {S公司}_{n个}$	5	64	83	39	93	26	98	54	73	26	75
28	V（V）	5	59	79	35	99	23	99	50	71	24	76
29	${S公司}^{*}$	5	76	90	49	99	34	100	66	84	34	88
30	${W公司}_{n个}^{2}$	5	75	90	48	98	32	100	64	83	32	86
31	${A类}^{2}$	5	74	92	45	99	29	100	61	81	30	85
32	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	5	88	94	65	99	50	100	79	92	49	94
33	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	5	37	62	13	78	7	94	24	44	6	46
34	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	5	71	86	50	99	36	100	65	82	36	88
35	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	5	77	90	53	99	37	100	69	87	37	90
36	${T型}_{1, n个}$	5	65	81	43	99	30	99	58	78	30	83
37	${T型}_{2, n个}$	5	75	88	50	99	36	100	68	86	36	90
38	${T型}_{1, n个} (γ)$	5	60	74	43	100	31	99	56	75	31	83
39	${T型}_{2, n个} (γ)$	5	68	80	48	100	35	100	63	82	35	88
40	$B类 {H（H）}_{n个}$	5	79	91	53	98	37	100	69	87	37	89
41	$H（H） {E类}_{n个}$	5	79	91	53	98	37	100	69	87	37	89
42	$E类 {P（P）}_{n个}$	5	80	91	54	98	38	100	69	87	38	90
43	${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$	5	81	90	64	100	48	100	77	91	48	96
44	${T型}_{n个, 2.5}^{(2)}$	5	80	85	64	100	49	100	78	92	49	95
45	$C类 {O（运行）}_{n个}$	5	82	96	45	91	30	100	60	80	30	78
46	${M（M）}_{n个}$	5	75	95	32	77	21	99	48	67	21	63
47	${M（M）}_{n个} (0)$	5	83	97	41	82	29	100	56	74	28	71
48	${M（M）}_{n个} (099)$	5	79	90	52	98	36	100	68	87	36	89
49	J型	5	86	96	57	99	41	100	74	89	41	91
50	${J型}_{0.5}$	5	84	96	53	97	38	100	70	86	38	87
51	${D类}_{秒第页}$	5	69	91	35	100	23	99	48	69	24	73
52	${W公司}_{n个}$	5	61	57	55	100	41	100	69	86	42	93
53	${W公司}_{秒}$	5	74	80	57	100	42	100	72	89	43	94
54	$问_{n个}$	5	73	79	59	100	47	100	74	89	47	96
55	COV公司	5	82	96	43	87	30	99	60	78	29	74
56	${P（P）}_{n个}$	6	75	87	49	96	33	100	64	83	33	85
57	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	5	85	94	57	98	41	100	73	89	41	91
58	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	5	77	83	62	100	48	100	76	91	47	96
	${\hat{E类}}_{2}$	5	56	三	73	100	98	100	95	99	98	99

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表4。

不同指数测试的调整功率， $α_{0} = 0.05$ ,n个 = 10

		国际财务报告
		G（1）	W（1.4）	G（2）	海南	U（0,1）	信道（1）	瑞士（1.5）	左前（2）	左前（4）	企业价值（0.5）	企业价值（1.5）
1	电视E	5	17	23	10	28	8	36	13	18	8	18
2	总费用	5	27	34	18	53	14	59	22	29	14	31
三	$T型 {V（V）}_{1}$	5	26	33	18	52	14	56	21	28	14	30
4	$T型 {A类}_{1}$	5	29	36	20	51	14	61	24	31	14	33
5	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	5	23	27	18	60	14	56	22	29	14	33
6	$T型 {V（V）}_{2}$	5	21	27	14	44	11	46	17	22	11	23
7	$T型 {E类}_{2}$	5	19	25	13	41	11	43	16	20	10	21
8	$T型 {A类}_{2}$	5	17	23	11	37	9	39	14	18	9	19
9	TZ公司	5	16	22	10	33	8	36	13	16	8	17
10	TKL公司	5	27	34	18	50	14	60	23	31	14	33
11	真实航向	5	1	0	1	5	1	2	1	1	1	2
12	TJ公司	5	1	0	1	5	1	2	1	1	1	2
13	TT公司	5	0	0	1	1	1	0	0	0	1	1
14	${T型}_{χ}$	5	2	2	2	14	2	8	2	三	2	4
15	${T型}_{1}$	5	24	33	15	32	12	49	19	25	11	24
16	${T型}_{2}$	6	27	36	16	35	13	52	20	26	13	26
17	${T型}_{三}$	5	24	33	15	32	12	49	19	25	11	24
18	${T型}_{4}$	5	27	35	18	40	13	54	22	29	13	29
19	$我_{1}$	5	13	20	8	15	6	28	10	14	6	12
20	$我_{2}$	5	16	22	10	24	7	36	12	17	7	16
21	${K（K）}_{n个}$	5	26	32	19	56	15	61	25	32	15	34
22	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	5	6	7	6	17	5	12	7	7	6	8
23	$问_{n个} (第页)$	5	10	11	9	31	8	29	10	13	7	16
24	$问_{n个}^{*} (第页)$	5	5	6	5	9	5	8	5	6	5	6
25	${L（左）}_{n个} (第页)$	5	17	22	11	31	8	43	14	20	9	21
26	${G公司}_{n个}$	5	16	21	11	37	9	47	14	20	9	23
27	$K（K） {S公司}_{n个}$	5	16	21	11	28	8	36	14	19	8	19
28	V（V）	5	15	20	11	35	8	38	14	19	8	19
29	${S公司}^{*}$	5	19	26	13	40	10	48	17	23	10	24
30	${W公司}_{n个}^{2}$	5	18	24	12	36	9	44	16	22	9	22
31	${A类}^{2}$	5	13	18	8	28	7	36	12	17	7	16
32	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	5	27	36	18	47	16	60	23	31	14	32
33	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	5	1	1	1	2	1	三	1	1	1	1
34	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	5	21	25	15	42	11	46	19	25	12	27
35	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	5	17	22	11	36	8	44	17	22	8	22
36	${T型}_{1, n个}$	5	13	17	10	30	7	35	12	17	7	17
37	${T型}_{2, n个}$	5	16	21	11	35	8	42	14	20	8	21
38	${T型}_{1, n个} (γ)$	5	16	19	12	40	10	39	15	20	10	21
39	${T型}_{2, n个} (γ)$	5	16	20	12	43	9	43	15	21	9	22
40	$B类 {H（H）}_{n个}$	5	17	24	11	33	8	45	14	21	8	21
41	$H（H） {E类}_{n个}$	5	17	24	11	33	8	46	14	21	8	21
42	$E类 {P（P）}_{n个}$	5	16	22	11	35	9	47	13	19	9	22
43	${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$	5	26	31	18	52	15	60	23	31	15	35
44	${T型}_{n个, 2.5}^{(2)}$	5	25	30	17	51	14	59	23	30	14	34
45	$C类 {O（运行）}_{n个}$	5	16	25	10	30	9	45	14	19	8	19
46	${M（M）}_{n个}$	5	9	14	6	17	5	29	8	11	5	12
47	${M（M）}_{n个} (0)$	5	24	34	14	32	11	51	18	25	11	25
48	${M（M）}_{n个} (0.99)$	5	16	23	10	31	8	44	13	19	8	20
49	J型	5	25	33	17	47	13	57	22	29	13	31
50	${J型}_{0.5}$	5	21	28	14	34	10	47	18	24	11	23
51	${D类}_{秒第页}$	5	19	27	12	24	9	39	15	20	9	18
52	${W公司}_{n个}$	5	10	10	9	32	7	24	11	14	7	17
53	${W公司}_{秒}$	5	16	22	10	37	8	46	14	20	8	22
54	$问_{n个}$	5	15	19	11	42	8	44	14	19	8	22
55	COV公司	5	26	36	16	35	12	53	21	28	12	26
56	${P（P）}_{n个}$	5	16	20	10	31	8	41	13	19	8	19
57	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	5	27	37	17	37	13	55	21	29	13	29
58	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	5	22	24	17	60	13	53	20	27	13	32
	${\hat{E类}}_{2}$	5	15	14	18	93	56	82	43	65	58	33

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表9。

不同指数测试的调整功率， $α_{0} = 0.05$ ,n个 = 50

		UFR（超滤）				DFR公司		BFR公司
		LN（0.8）	LN（1.5）	DL（1）	DL（1.5）	W（0.8）	G（0.4）	瑞士（0.5）
1	电视E	93	85	65	96	11	78	55
2	总费用	73	69	44	93	9	85	66
三	$T型 {V（V）}_{1}$	79	74	48	95	11	89	72
4	$T型 {A类}_{1}$	84	0	70	99	0	0	0
5	$C类 K（K） {L（左）}_{n个}$	24	85	21	76	19	68	49
6	$T型 {V（V）}_{2}$	91	89	57	96	20	95	84
7	$T型 {E类}_{2}$	92	92	58	95	27	96	87
8	$T型 {A类}_{2}$	85	94	43	86	34	97	88
9	TZ公司	55	93	21	42	33	95	83
10	TKL公司	76	0	65	100	0	0	0
11	真实航向	1	94	0	1	56	100	98
12	TJ公司	1	93	1	1	55	99	98
13	TT公司	1	94	0	0	57	100	100
14	${T型}_{χ}$	8	92	5	1	39	94	84
15	${T型}_{1}$	94	27	68	99	34	100	98
16	${T型}_{2}$	94	22	68	99	31	100	97
17	${T型}_{三}$	94	27	68	99	34	100	98
18	${T型}_{4}$	92	5	73	100	三	86	67
19	$我_{1}$	93	25	68	98	37	99	97
20	$我_{2}$	92	29	68	99	38	99	97
21	${K（K）}_{n个}$	38	0	39	95	0	0	0
22	$E类 P（P） {S公司}_{n个}$	19	54	11	29	13	90	69
23	$问_{n个} (第页)$	19	91	21	79	38	95	87
24	$问_{n个}^{*} (第页)$	44	57	24	43	7	13	12
25	${L（左）}_{n个} (第页)$	60	90	49	98	48	99	97
26	${G公司}_{n个}$	47	95	39	97	48	98	94
27	$K（K） {S公司}_{n个}$	71	91	46	95	38	98	92
28	V（V）	75	84	46	94	28	96	87
29	${S公司}^{*}$	73	93	52	98	43	99	95
30	${W公司}_{n个}^{2}$	76	94	52	98	44	99	95
31	${A类}^{2}$	86	93	58	99	52	100	99
32	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	51	0	50	98	0	0	0
33	${H（H）}_{n个}^{(2)}$	47	95	23	87	59	100	98
34	${\bar{K（K） S公司}}_{n个}$	62	92	43	96	35	97	90
35	${\bar{C类 M（M）}}_{n个}$	60	95	44	97	46	99	94
36	${T型}_{1, n个}$	55	93	38	94	40	98	92
37	${T型}_{2, n个}$	56	95	42	97	46	99	95
38	${T型}_{1, n个} (γ)$	51	85	35	88	29	93	83
39	${T型}_{2, n个} (γ)$	39	58	32	91	32	86	77
40	$B类 {H（H）}_{n个}$	47	95	40	97	48	99	95
41	$H（H） {E类}_{n个}$	46	95	40	97	48	99	94
42	$E类 {P（P）}_{n个}$	45	95	39	97	48	99	94
43	${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$	49	74	43	96	25	92	83
44	${T型}_{n个, 2.5}^{(2)}$	32	83	32	93	31	93	84
45	$C类 {O（运行）}_{n个}$	66	92	55	99	56	100	99
46	${M（M）}_{n个}$	77	86	60	99	56	100	99
47	${M（M）}_{n个} (0)$	84	82	70	100	48	100	99
48	${M（M）}_{n个} (0.99)$	44	95	39	96	49	99	95
49	J型	86	0	69	99	0	0	0
50	${J型}_{0.5}$	91	0	72	99	0	0	0
51	${D类}_{秒第页}$	97	83	71	99	31	99	95
52	${W公司}_{n个}$	16	93	17	61	31	84	70
53	${W公司}_{秒}$	29	93	28	88	34	88	75
54	$问_{n个}$	26	93	25	86	35	89	77
55	COV公司	96	5	80	100	0	0	0
56	${P（P）}_{n个}$	43	94	38	96	46	98	93
57	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$	63	93	52	99	39	97	98
58	$E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$	39	30	35	92	14	55	99
	${\hat{E类}}_{2}$	三	0	1	12	0	100	100

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对于IFR替代方案，我们建议的测试是最强大的测试之一。除了 $W公司 (1.4)$ , $G公司 (2)$ 和 $G公司 (1)$ （即指数分布），我们的建议是所有样本大小的所有IFR分布的最佳工作测试之一。特别是考虑小样本时(n个 = 10），我们提案的执行情况 $U型 (0, 1)$ , $C类 H（H） (1)$ , $C类 H（H） (1.5)$ , $L（左） F类 (2)$ , $L（左） F类 (4)$ 和 $E类 V（V） (0.5)$ 比竞争对手高出20%-30%。虽然随着样本量的增加，大多数测试都有更好的性能，但我们提出的测试相对于其他测试仍有相当大的优势 $C类 H（H） (1)$ , $L（左） F类 (2)$ , $E类 V（V） (0.5)$ 对于中等样本量(n个 = 20, 50). 虽然建议的测试在 $W公司 (1.4)$ 和 $G公司 (2)$ ，这不是最糟糕的。IFR替代方案的其他强大测试包括 $T型 {A类}_{1}$ ,TKL公司, ${K（K）}_{n个}$ , ${H（H）}_{n个}^{(1)}$ 和 ${T型}_{n个, 2.5}^{(1)}$ 。功能最差的测试是真实航向,TJ公司,TT公司, ${T型}_{χ}$ 和 ${H（H）}_{n个}^{(2)}$ .

对于UFR和DFR分布，建议的测试是功能最差的测试之一，因为它只适用于 $G公司 (0.4)$ 什么时候n个 = 20, 50. 我们观察到，对于所有四个UFR分布，没有一个单独的测试能够很好地稳定地工作，我们只能说，对于UFR来说，相对最强大的测试是 ${T型}_{4}$ 和COV公司所有样本大小。对于DFR发行版，最强大的测试是真实航向,TJ公司,TT公司, ${A类}^{2}$ , ${H（H）}_{n个}^{2}$ , $C类 {O（运行）}_{n个}$ 和 ${M（M）}_{n个}$ ，适用于所有样本大小。DFR功能最差的测试是 $T型 {A类}_{1}$ ,TKL公司, ${T型}_{4}$ , ${K（K）}_{n个}$ , ${H（H）}_{n个}^{(1)}$ ,J型, ${J型}_{0.5}$ 和COV公司.

对于BFR分布，我们的测试具有最强大的功能真实航向,TJ公司,TT公司, ${A类}^{2}$ , ${H（H）}_{n个}^{(2)}$ 和 ${M（M）}_{n个}$ 什么时候n个 = 10.何时n个 = 20分，50分，我们提出的测试优于所有竞争对手。我们还注意到 $E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$ 和 $E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$ 适用于中等样本量(n个 = 20、50），当样本量较小时，他们没有表现得比其他人更好(n个 = 10). BFR最不强大的测试是 $T型 {A类}_{1}$ ,TKL公司, ${K（K）}_{n个}$ , ${H（H）}_{n个}^{(1)}$ ,J型, ${J型}_{0.5}$ 和COV公司.

一般来说，我们从表中看到4–9测试的性能取决于替代分布，没有任何一个测试能够击败其他所有替代测试。我们提出的测试对IFR和BFR分布具有很好的调整能力，特别是在样本量较小的情况下，效果很好。即使对于DFR和UFR替代分布，我们提出的测试也不总是最差的。因此，我们希望拟议的测试能够在实际应用中得到很好的应用。

4.真实数据应用

在本节中，我们使用三个实际数据集来展示我们提出的测试统计的适用性和稳健性。第一个数据集符合指数分布，而其余两个数据集则符合Chen分布和均匀分布。当样本呈指数分布时，所有竞争对手的测试都表现良好，第一个示例将简单演示我们的测试统计是如何工作的。为了进行比较，我们采用了一些经典统计数据，如Kolmogorov-Smirnov的 $K（K） {S公司}_{n个}$ ，柯伊伯氏V（V）克拉梅·冯·米塞斯 ${W公司}_{n个}^{2}$ 和Anderson-Darling的 ${A类}^{2}$ 它被从业者广泛使用，并在许多统计软件中可用，并且是IFR替代方案的一些最强大的竞争对手，即。 $T型 {A类}_{1}$ , ${H（H）}_{n个}^{(1)}$ 、和 ${K（K）}_{n个}$ 。在剩下的两个示例中，我们将把我们的建议与这些测试统计数据进行比较。所有测试均在5%标称水平下进行，所有模拟均采用10000次重复。

示例1：年清洁梯度地下水监测井的氯乙烯数据( $μ 克 / L（左）$ )

在第一个例子中，我们借用了Bhaumik和Gibbons的数据[7]它代表了从清理梯度监测井获得的氯乙烯数据，如下所示：

\begin{aligned} 5 .1, 1 .2, 1 .3, 0 .6, 0 .5, 2 .4, 0 .5, 1 .1, 8 .0, 0 .8, 0 .4, 0 .6, 0 .9, 0 .4, 2 .0, 0 .5, 5 .3, 三 .2, 2 .7, \\ 2 .9, 2 .5, 2 .3, 1 .0, 0 .2, 0 .1, 0 .1, 1 .8, 0 .9, 2 .0, 4 .0, 6 .8, 1 .2, 0 .4, 0 .2 . \end{aligned}

该数据集已用于许多研究，例如Krishnamoorthy等。[28]还有库尔卡尼和鲍瓦尔[29]用于建模寿命分布，如Shanker所示等。[48]用指数分布拟合得很好。这一结果得到了马兰奇和秦的验证[34]通过使用测试统计数据 $E类 E类 L（左） {R（右）}_{1}$ 和 $E类 E类 L（左） {R（右）}_{2}$ 。我们展示了图中数据的QQ图1（a）。该图还表明指数分布很适合此数据集。蒙特卡罗模拟结果表明，我们的测试基于 ${\hat{E类}}_{2}$ 用一个第页-值0.7105无法拒绝零假设，因此表明氯乙烯数据确实符合指数分布。这表明我们的测试证实了马兰奇和秦的发现[34]和Shanker等。[48].

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图1。

（a）氯乙烯数据，（b）电器故障数据的QQ图。

例2：在寿命试验中，电器的1000次循环失效次数

在这个例子中，我们考虑了来自Lawless的数据[31]它表示电器在寿命试验中发生故障的1000 s周期数。该数据包括50个观察结果，如下所示：

\begin{aligned} 0.014, 0.034, 0.059, 0.061, 0.069, 0.080, 0.123, 0.142, 0.165, 0.210, 0.381, 0.464, \\ 0.479, 0.556, 0.574, 0.839, 0.917, 0.969, 0.991, 1.064, 1.088, 1.091, 1.174, 1.270, \\ 1.275, 1.355, 1.397, 1.477, 1.578, 1.649, 1.702, 1.893, 1.932, 2.001, 2.161, 2.292, 2.326, 2.337, \\ 2.628, 2.785, 2.811, 2.886, 2.993, 3.122, 3.248, 3.715, 3.790, 3.857, 3.912, 4.100. \end{aligned}

此示例的主要重点是监视第页-测试值，以比较拟议测试和本节开头提到的测试的性能。图1（b）给出了QQ图，这表明指数分布不适合此数据集。事实上，Yousaf等。[56]表明陈分布比指数分布更适合于拟合该数据集。我们可以从表中看到10我们建议的测试是最低的第页-值，这明确拒绝了5%显著性水平上的指数性无效假设。我们还注意到，除了 ${K（K）}_{n个}$ ，其他所有竞争对手都未能在此数据集上检测到指数分布和Chen分布之间的差异。如果我们选择1%作为显著性水平，即使是基于 ${K（K）}_{n个}$ 不能拒绝零假设。这进一步显示了我们测试的优势。

示例3：转换后的氯乙烯数据

表10。

电器故障数据的指数检验结果。

测试	$\| {\hat{E类}}_{2} \|$	$K（K） {S公司}_{n个}$	V（V）	${W公司}_{n个}^{2}$	${A类}^{2}$	$T型 {A类}_{1}$	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	${K（K）}_{n个}$
第页-价值	0.0055	0.1842	0.1285	0.0979	0.0899	0.2028	0.0970	0.0356

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由于示例1中的数据集已被证明是指数分布的良好拟合，因此我们使用概率积分变换将数据转换为均匀分布。转换后的数据如下：

\begin{aligned} 0 .0518, 0 .0518, 0 .1009, 0 .1009, 0 .1917, 0 .1917, 0 .1917, 0 .2336, 0 .2336, 0 .2336, \\ 0 .2733, 0 .2733, 0 .3467, 0 .3805, 0 .3805, 0 .4126, 0 .4431, 0 .4719, 0 .4719, 0 .4993, \\ 0 .6162, 0 .6550, 0 .6550, 0 .7059, 0 .7211, 0 .7356, 0 .7623, 0 .7863, 0 .8178, 0 .8810, \\ 0 .9337, 0 .9404美元, 0 .9732, 0 .9858 \end{aligned}

在最后一个例子中，我们有兴趣进行一项自举研究，以评估所提出的测试统计量在使用均匀分布数据检测偏离指数性方面的能力和稳健性。我们首先使用基于密度的经验似然比检验（dbEmpLikeGOF）来检查转换数据的一致性。dbEmpLikeGOF给出了一个第页-值为0.7443，这表明数据与均匀分布一致。为了进行功率比较，我们选择了表中使用的所有测试统计数据10。通过随机删除24、14和4个观察结果，我们进行了引导研究，并将结果显示在表中11结果清楚地表明，我们提出的测试比其竞争对手具有更大的优势和相当大的鲁棒性，因为我们提出的试验统计在所有模拟场景下都保持了显著的高功率。当样本量较小时，这种优势更加明显(n个 = 10).

表11。

引导电源结果。

删除的观察结果	$\| {\hat{E类}}_{2} \|$	$K（K） {S公司}_{n个}$	V（V）	${W公司}_{n个}^{2}$	${A类}^{2}$	$T型 {A类}_{1}$	${H（H）}_{n个}^{(1)}$	${K（K）}_{n个}$
24	0.8897	0.1767	0.1937	0.2355	0.1771	0.3997	0.4170	0.4375
14	1	0.3528	0.6282	0.5543	0.5210	0.8603	0.9447	0.9525
4	1	0.7735	0.9478	0.9783	0.9890	0.9964	0.9865	0.9943

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5.结论

在本文中，我们提出了一种新的基于记录值外部性的指数性测试，并通过一组具有不同类型故障率函数的替代分布，将其性能与58种经典和最新的指数性测试进行了比较。使用蒙特卡罗方法进行了模拟研究，结果表明，我们提出的测试在IFR和BFR备选方案方面优于竞争对手的测试。即使在DFR和UFR替代方案的情况下，我们建议的测试也不总是最差的测试。我们还提供了三个实际例子，以表明所提出的测试可以自信地应用于实践。

补充材料

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致谢

我们感谢两位匿名评审和一位副编辑的重要和建设性意见，他们改进了演示。本研究得到了国家自然科学基金（71871208，71971204）、安徽省自然科学基金会（1908085MG236，gxbjZD54）的资助。

附录。

导入数学

将numpy导入为np

定义calE2（样本，n，m）：

sample.sort（）

Junx=范围（1，n+1）内i的总和（[np.log（1-i/（n+1））**（2*k-2）/（样本[min（i+m-1，n-1）]-样本[max（i-m-1,0）]））

Jlnx=范围（1，m+1）内i的总和（[（1+（i-1）/m）/（样本[最小（i+m-1，n-1）]-样本[最大（i-m-1,0）]）

Jlnx+=范围（m+1，n-m+1）内i的总和（[2/（样本[最小（i+m-1，n-1）]-样本[最大（i-m-1,0）]）

Jlnx+=i在范围（n-m+1，n+1）内的总和（[（1+（n-i）/m）/（样本[最小（i+m-1，n-1）]-样本[最大（i-m-1,0）]）

E2=-m/（n**2*math.gama（k）**2）*Junx+m/（2*n**2）*Jlnx

返回E2

资金筹措表

本研究得到了国家自然科学基金（71871208，71971204）、安徽省自然科学基金会（1908085MG236，gxbjZD54）的资助。

披露声明

提交人没有报告任何潜在的利益冲突。

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文章来自应用统计学杂志由以下人员提供泰勒和弗朗西斯