A novel perspective for parameter estimation of seemingly unrelated nonlinear regression

Özlem Türkşen

doi:10.1080/02664763.2021.1877638

J应用统计。2021; 48(13-15): 2326–2347.

2021年1月28日在线发布。数字对象标识：10.1080/02664763.2021.1877638

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PMID：35707106

一种新的相依非线性回归参数估计方法

奥兹勒姆·蒂尔克什

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摘要

当输入和响应具有非线性关系时，非线性回归通常用作建模工具，以获得输入和响应变量之间的函数形式。在考虑多响应数据集的响应之间的相关性的情况下，构建预测的非线性模型应该更好。为此，看似无关的非线性回归（SUNR）在文献中得到了广泛的应用。SUNR的参数估计过程是基于非线性最小二乘法的(荷兰统计局)方法，基于L（左）₂-规范。然而，在参数估计过程中可以使用不同的范数。本研究的新颖之处在于提出了最小绝对偏差的适用性(小伙子)方法，在中定义L（左）₁-标准，带有荷兰统计局同时从多目标角度获得SUNR模型参数估计的方法。在本研究中，提出的多目标SUNR模型称为MO-SUNR。采用软计算方法对MO-SUNR模型进行了优化。为了MO-SUNR模型的应用目的，给出了两个数据集示例。结果表明，MO-SUNR通过同时评估小伙子和荷兰统计局方法。

关键词：非线性回归、看似无关的非线性回归（SUNR）、参数估计、多目标优化、软计算

1.简介

许多现实世界的问题需要数学建模来分析问题。由于响应和输入变量的物理行为，数学建模的大量研究都指向非线性建模。非线性回归是分析输入变量对响应的影响的最常用的非线性模型之一[2,23]. 一些非线性回归模型可能有多个响应变量。如果这些反应相互关联，则不应单独或相互独立地进行调查。在这种情况下，应将看似无关的非线性回归（SUNR）应用于数据集，以在考虑响应相关性的情况下对响应进行建模。SUNR的详细信息可以在以下研究中找到[11]. 关于[9,10]考虑了响应同时但不连续相关时非线性回归模型参数的估计。建议的估算程序基于Zellner的[26]除了非线性响应函数外，看似无关的回归。此外，在[26].

SUNR已应用于各个领域，例如森林科学、药理学和药代动力学研究、风险分析。在森林科学中，对傅的研究进行了比较研究等. [7]. 利用中国南方马尾松（Pinus Massoniana Lamb）的数据，将非线性误差方差模型方法与SUNR方法进行了比较，建立了一个非线性加性生物量模型系统。贝林等等l、[4]应用非线性回归和SUNR两种估计方法，拟合黑荆条生物量组分和总生物量的非线性回归模型，其中SUNR的统计特性优于非线性回归。奥泽利克等. [20]使用SUNR与人工神经网络进行比较研究，通过使用从该森林环境中获得的数据测量，预测土耳其西地中海地区布鲁蒂翁松的地上生物量成分。桑奎塔等. [22]表明使用SUNR的同时估计比非线性回归估计对生物量成分和总生物量提供了更有效的估计。维达格多等. [25]利用SUNR方法拟合了东北天然林蒙古栎的加性生物量模型。在药理学和药代动力学研究中，波尚和康奈尔[三]给出了一个迭代过程，用于估计未知模型参数的向量，同时考虑通过协方差矩阵的响应相关性，并通过使用来自房室示踪剂实验的数据来说明该过程。梁等. [16]使用SUNR分析药理学研究中的浓度-反应关系。在风险分析中，McElroy和Burmeister[19]使用迭代SUNR获得资产敏感性及其相关APT风险价格的联合估计。达斯[5]使用SUNR估算期权价格模型。林[17]提出了一种组合模型，称为误差分量SUNR（EC-SUNR），用于预测外汇汇率。可以看出，EC-SUNR模型改进了外汇汇率预测的性能。在计量经济学研究中，SUNR的应用可以在Amemiya的书中找到[1]和法官等. [13].

在关于SUNR的整个研究中，除考虑非线性响应之间的关系外，SUNR参数估计过程与非线性回归相似。将响应的相关性与SUNR中残差的协方差矩阵考虑在内。一般来说，非线性最小二乘法(荷兰统计局)方法是最古老和广泛使用的统计工具之一L（左）₂-范数用于SUNR的参数估计。这个荷兰统计局基于最小化残差平方和。此外，最小绝对偏差(小伙子)，基于L（左）₁-规范，可以作为荷兰统计局在不做任何假设的情况下，从不同的角度估计SUNR模型参数。为此小伙子方法用于SUNR的模型参数估计过程，即使最优选的估计方法是荷兰统计局用于文献中的SUNR。SUNR的参数估计程序小伙子或荷兰统计局由于绝对残差函数和平方残差函数的非线性和复杂结构，因此具有挑战性。为了避免计算困难，在SUNR优化阶段应优先使用基于无导数优化算法的软计算方法。为此，提出了一种基于种群的无导数优化算法——遗传算法（GA）的混合算法[12,18,21]和Nelder-Mead Simplex（NMS）算法，这是一种无导数的简单局部搜索算法[27]，在本研究中优选使用。该混合算法首次用于Türkšen和Tez的研究[24]并称为GAMS。需要注意的是，GANMS结合了GA和NMS算法的优点，具有有效的搜索机制。

在本研究中，旨在通过使用小伙子和国家实验室多目标视角下的方法。研究的主要目的是表明，SUNR模型可以根据不同的度量标准，基于L（左）₁-规范和L（左）₂-范数，无任何假设，并同时优化这些指标。提出的参数估计过程称为多目标SUNR，表示为MO-SUNR。MO-SUNR模型由两个希望最小化的目标函数组成：（i）残差绝对值之和，（ii）残差平方和。目标函数的同时最小化也是通过一种软计算方法实现的，该方法是一种无导数的多目标优化算法。无导数多目标优化算法对于非线性多目标优化问题具有灵活的优点，例如不需要定义模型参数的初值，目标函数不需要可微。基于此，非支配排序遗传算法-II（NSGA-II）是一种常用的基于种群的无导数多目标优化算法[6]，用于残差函数的同时优化。利用NSGA-II进行多目标优化，得到Pareto解集。Pareto解集有许多参数估计的可选优选向量，这些向量称为非支配解。为了对折衷参数估计作出明确的决策，通过与理想解相似的排序偏好技术（TOPSIS）算法将多标准决策过程应用于Pareto集，该算法在[28]. 本文的其余部分安排如下：第2节简要介绍了SUNR模型。第3节详细介绍了所建议MO-SUNR模型的建模和优化阶段。第4节说明了文献中两个数据集的应用。最后，第5节给出了结论。

2.SUNR模型的参数估计程序

非线性回归模型的一般形式可以写成

{Y（Y）}_{我} = （f） (X（X）, θ) + ε_{我}, 我 = 1, 2, \dots, n个

(1)

哪里 $n个$ 是观察次数， $θ = [θ_{1} θ_{2} \dots θ_{第页}]$ 是未知参数的向量， ${ε_{我}}^{'} 秒, 我 = 1, 2, \dots, n个$ 假设为独立且同分布（i.i.d.）的误差项， $X（X）$ 表示维的固定输入向量 $k个 \times 1$ 和 $（f） (X（X）, θ)$ 是的非线性函数 $θ$ 更具体地说，假设有一组 $米$ 非线性回归函数

{Y（Y）}_{我 j个} = {（f）}_{j个} ({X（X）}_{j个}, θ_{j个}) + ε_{我 j个}, 我 = 1, 2, \dots, n个, j个 = 1, 2, \dots, 米

(2)

在哪儿 $θ_{j个}$ 是一个 ${第页}_{j个} \times 1$ 未知参数向量， ${X（X）}_{j个} = [{X（X）}_{1 j个} {X（X）}_{2 j个} \dots {X（X）}_{k个 j个}]^{'}$ 是输入向量， ${Y（Y）}_{我 j个}$ 和 $ε_{我 j个}$ 分别表示响应和错误 $n个米$ 元素。这里 $ε_{我 j个}, 我 = 1, 2, \dots, n个, j个 = 1, 2, \dots, 米$ ，假设是独立的，每个都有均值0、相同的分布函数和正定的方差-方差矩阵 $\sum$ 因此 $j个$ 响应模型可以写成向量形式

{Y（Y）}_{j个} = {（f）}_{j个} (θ_{j个}) + ε_{j个}, j个 = 1, 2, \dots, 米

(3)

一套 $米$ 非线性回归函数可以用方便的向量形式安排为一次回归

Y（Y） = （f） (Θ) + e（电子）

(4)

在哪儿 $Θ = [{θ_{1}}^{'} : {θ_{2}}^{'} : \dots : {θ_{米}}^{'}]$ 是一个 $\sum_{j个 = 1}^{米} {第页}_{j个} \times 1$ 未知常数参数的矢量， $Y（Y） = [{Y（Y）}_{1}^{'} : {Y（Y）}_{2}^{'} : \dots : {Y（Y）}_{米}^{'}]$ 是一个 $n个米 \times 1$ 响应向量，其中每个列向量表示为 ${Y（Y）}_{j个} = [{Y（Y）}_{1 j个} {Y（Y）}_{2 j个} \dots {Y（Y）}_{n个 j个}]$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$ . The $e（电子） = [{ε_{1}}^{'} : {ε_{2}}^{'} : \dots : {ε_{米}}^{'}]$ 和 $（f） (Θ) = [{（f）}_{1} (θ_{1}) {（f）}_{2} (θ_{2}) \dots {（f）}_{米} (θ_{米})]^{'}$ 是 $n个米 \times 1$ 误差向量和非线性回归函数向量。方程（4）中给出的非线性回归的方差-方差矩阵为

E类 ({e（电子） e（电子）}^{'}) = Ω = \sum \otimes 我_{n个}

（5）

哪里 $\sum = [σ_{小时 j个}]$ , $小时, j个 = 1, 2, \dots, 米$ 是对称正定矩阵， $我_{n个}$ 是 $n个$ 通过 $n个$ 单位矩阵和 $\otimes$ 表示Kronecker或直接产品。

SUNR模型众所周知的参数估计过程由以下三个主要步骤组成：

步骤1：使用NLS对非线性回归模型进行个别优化.

通过使用荷兰统计局方法， ${\hat{θ}}_{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$ . The荷兰统计局参数估计 $j个$ 式（3）中给出的第个响应是通过最小化以下目标函数得到的 $θ_{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$

φ_{j个}^{N个 L（左） S公司} (θ_{j个}) = ({Y（Y）}_{j个} - {（f）}_{j个} (θ_{j个}))^{'} ({Y（Y）}_{j个} - {（f）}_{j个} (θ_{j个})) .

(6)

第二步：以数值方式获得残差的协方差矩阵。

预测的 $j个$ 响应函数可以写成

{\hat{Y（Y）}}_{j个} = {（f）}_{j个} ({\hat{θ}}_{j个}) + {\hat{ε}}_{j个}, j个 = 1, 2, \dots, 米 .

(7)

在哪儿 ${\hat{θ}}_{j个}$ 是荷兰S估计 $θ_{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$ 然后，用数字计算残差的协方差矩阵，其中协方差矩阵的元素表示为 ${\hat{σ}}_{小时 j个}$ , $小时, j个 = 1, 2, \dots, 米$ ，通过以下方式获得

{\hat{σ}}_{小时 j个} = \frac{1}{n个} {\hat{ε}}_{小时} {\hat{ε}}_{j个}, 小时, j个 = 1, 2, \dots, 米 .

(8)

第三步：构建SUNR模型并实现单一优化.

获取的Aitken类型估计 $Θ$ ，表示为 $\hat{Θ}$ 。此估计步骤通过最小化以下目标函数来实现 $Θ$

ψ_{N个 L（左） S公司} (Θ) = (Y（Y） - （f） (Θ))^{'} Ω_{N个 L（左） S公司}^{- 1} (Y（Y） - （f） (Θ)) .

(9)

在这里， $Ω = \sum_{N个 L（左） S公司} \otimes 我_{n个}$ ，因此 $Ω^{- 1} = {\sum^{- 1}}_{N个 L（左） S公司} \otimes 我_{n个}$ 。很明显 $\sum_{N个 L（左） S公司}$ 对于最小化方程式（9）具有关键作用。如果 $\sum_{N个 L（左） S公司}$ 通常情况下，对 $\sum_{N个 L（左） S公司}$ ，表示为 ${\sum^{^}}_{N个 L（左） S公司}$ 应使用。有几种方法可以获得 ${\sum^{^}}_{N个 L（左） S公司}$ 就像Kim和Bee的研究一样[14]和克拉瓦利斯等. [15]. 然而，在本研究中，残差的协方差矩阵是按照看似无关的回归的最初应用进行数值计算的。因此 ${\sum^{^}}_{N个 L（左） S公司}$ 按方程式（8）计算。

方程（9）中给出的目标函数可以重写为

ψ_{N个 L（左） S公司} (Θ) = (Y（Y） - （f） (Θ))^{'} ({\sum^{^}}_{N个 L（左） S公司}^{- 1} \otimes 我_{n个}) (Y（Y） - （f） (Θ)) .

(10)

基于遗传算法的SUNR参数估计过程单目标优化模型国家实验室如下所示

\begin{array}{l} \underset{Θ}{最小值} ψ_{N个 L（左） S公司} (Θ) \\ Θ \in R（右） . \end{array}

(11)

为了优化方程（11）中给出的模型，应用了GANMS（遗传算法和Nelder-Mad单纯形的混合）。GANMS由GA的探索能力和NMS的开发特点组成。在GANMS的开始，GA探索了一个包含全球解决方案的前景广阔的领域。然后，通过遗传算法获得的参数估计值被视为NMS算法的初始参数值，NMS算法利用搜索区域来寻找最优参数估计值。GANMS不需要任何假设，例如初始值。优选优化算法的灵活性使得计算变得更容易，并且它向最小目标函数值具有更好的一致收敛性。优化过程取决于选择合适的GANMS调谐参数。有关GANMS的详细信息，请参见[24].

3.建议的参数估计程序：MO-SUNR模型

所提出的非线性回归模型相关响应的参数估计程序，称为MO-SUNR模型，同时考虑了小伙子和荷兰统计局方法：多目标视角。MO-SUNR模型基于误差函数的同时优化，误差函数被视为目标函数。MO-SUNR的拟议估算程序如下：

第一步：对非线性回归模型进行个别优化.

获得每个非线性响应函数的单独参数估计， ${\hat{θ}}_{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$ ，通过使用小伙子和荷兰统计局方法，。

这个荷兰统计局估计 ${\hat{θ}}_{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$ 通过优化方程（6）中给出的目标函数获得。对于小伙子估计，通过最小化以下目标函数来估计参数 $θ_{j个}$ , $j个 = 1, 2, \dots, 米$

φ_{j个}^{L（左） A类 D类} (θ_{j个}) = | {Y（Y）}_{j个} - {（f）}_{j个} (θ_{j个}) | .

(12)

由于难以最小化误差函数，因此使用GANMS实现方程（12）的最小化。

步骤2：以数字方式获取残差协方差矩阵.

通过数值计算残差的协方差矩阵小伙子和荷兰统计局方法，遵循方程式（8）。获得的协方差矩阵被视为 ${\sum^{^}}_{L（左） A类 D类}$ 和 ${\sum^{^}}_{N个 L（左） S公司}$ .

步骤3:组成MO-SUNR模型并实现多目标优化.

根据小伙子和荷兰统计局方法。然后，利用多目标优化算法实现同时优化。的最小化函数荷兰统计局方法，基于L（左）₂范数，如方程式（10）所示。目标函数小伙子方法，基于L（左）₁规范，可以定义为

ψ_{L（左） A类 D类} (Θ) = ({\sum^{^}}_{L（左） A类 D类}^{- 1} \otimes 我_{n个}) | Y（Y） - （f） (Θ) | .

（13）

同时优化 $ψ_{L（左） A类 D类}$ 和 $ψ_{N个 L（左） S公司}$ 通过求解下面给出的多目标优化问题来实现：

\begin{array}{l} \underset{Θ}{最小值} ψ_{L（左） A类 D类} (Θ) \\ \underset{Θ}{最小值} ψ_{N个 L（左） S公司} (Θ) \\ Θ \in R（右） . \end{array}

(14)

方程（14）中给出的多目标模型使用NSGA-II进行优化，NSGA-II是一种基于软计算的著名多目标优化算法。NSGA-II在一次运行中发现了一组非支配性解决方案，而不需要研究人员提供任何偏好信息[29]. NSGA-II的调整参数是根据特定问题的专家知识定义的。MO-SUNR的解将是一组参数估计向量，而不是SUNR中的单个解。因此，考虑到 $ψ_{L（左） A类 D类} (Θ)$ 和 $ψ_{N个 L（左） S公司} (Θ)$ 具有同等重要性。

第四步：决策

选择参数估计的折衷向量， $Θ_{MO-SUNR公司}^{*}$ ，通过使用TOPSIS方法从Pareto解集中获得。TOPSIS方法首先由黄和尹开发[30]. 它基于表示与参考点接近程度的聚合函数。其工作原理是基于所选择的折衷解与理想解之间的距离最短，与负理想解之间距离最远[29]. 这里应该注意的是，目标函数由小伙子和荷兰统计局方法对于做出一个折衷解决方案的公平决策同样重要。

MO-SUNR拟议估算程序的算法步骤流程图如图所示1.

我	${X（X）}_{我}$	${Y（Y）}_{我 1}$	${Y（Y）}_{我 2}$
1	0.33	–	0.03
2	2	0.84	0.10
三	三	0.79	0.14
4	5	0.64	0.21
5	8	0.55	0.30
6	12	0.44	0.40
7	24	0.27	0.54
8	48	0.12	0.66
9	72	0.06	0.71

		参数估计值
目标函数	估算方法	${\hat{θ}}_{1}$	${\hat{θ}}_{2}$	${\hat{θ}}_{三}$
$φ_{1}$	小伙子	0.5550	0.0314	0.1711
	荷兰统计局	0.5451	0.0306	0.1646
$φ_{2}$	小伙子	0.0637	0.0069	0.0928
	荷兰统计局	0.0606	0.0068	0.0932

		性能指标
		${\hat{Y（Y）}}_{1}$		${\hat{Y（Y）}}_{2}$
目标函数	参数估计值	RMSE公司	MAB公司	RMSE公司	MAB公司
$ψ_{L（左） A类 D类}$	${\hat{Θ}}_{L（左） A类 D类 - S公司 U型 N个 R（右）}$	0.0520	0.0407	0.0064	0.0048
$ψ_{N个 L（左） S公司}$	${\hat{Θ}}_{N个 L（左） S公司 - S公司 U型 N个 R（右）}$	0.0865	0.0705	0.2299	0.1987

参数估计值	RMSE公司	MAB公司	RMSE公司	MAB公司
	性能指标
	${\hat{Y（Y）}}_{1}$		${\hat{Y（Y）}}_{2}$
${\hat{Θ}}_{L（左） A类 D类 - S公司 U型 N个 R（右）} = [0.9413 0.0888 0.0066]$	0.0520	0.0407	0.0064	0.0048
${\hat{Θ}}_{N个 L（左） S公司 - S公司 U型 N个 R（右）} = [0.8807 0.0905 0.1090]$	0.0865	0.0705	0.2299	0.1987
${\hat{Θ}}_{MO-SUNR公司}^{*} = [\begin{matrix} 0.9241 & 0.0878 & 0.0078 \end{matrix}]$	0.0446	0.0347	0.0108	0.0094

否	${X（X）}_{1}$	${X（X）}_{2}$	${Y（Y）}_{1}$	${Y（Y）}_{2}$
1	0	0	1.988	2.0545
2	0	0.25	1.7497	1.7354
三	0	0.5	1.5669	1.5879
4	0	0.75	1.4897	1.4983
5	0	1	1.4015	1.3797
6	0.25	0	2.2843	2.0212
7	0.25	0.25	1.9691	1.7419
8	0.25	0.5	1.8337	1.6017
9	0.25	0.75	1.6629	1.4323
10	0.25	1	1.6198	1.3486
11	0.5	0	2.5125	2.0036
12	0.5	0.25	2.3142	1.809
13	0.5	0.5	2.0865	1.551
14	0.5	0.75	2.0551	1.4808
15	0.5	1	1.8451	1.3359
16	0.75	0	2.7475	1.9675
17	0.75	0.25	2.5244	1.7645
18	0.75	0.5	2.37	1.6357
19	0.75	0.75	2.2122	1.4148
20	0.75	1	2.0965	1.3668
21	1	0	2.9846	1.9896
22	1	0.25	2.7765	1.7658
23	1	0.5	2.608	1.572
24	1	0.75	2.4968	1.4724
25	1	1	2.4214	1.4058
26	0	0	2.0571	2.0471
27	0	0.25	1.8289	1.7845
28	0	0.5	1.6277	1.6516
29	0	0.75	1.4874	1.4809
30	0	1	1.3327	1.3818
31	0.25	0	2.2864	2.0292
32	0.25	0.25	2.0823	1.8054
33	0.25	0.5	1.8265	1.6066
34	0.25	0.75	1.6829	1.4521
35	0.25	1	1.6108	1.3891
36	0.5	0	2.4797	1.9684
37	0.5	0.25	2.2728	1.7531
38	0.5	0.5	2.0972	1.6408
39	0.5	0.75	1.9884	1.4816
40	0.5	1	1.8585	1.3714
41	0.75	0	2.731	2.0242
42	0.75	0.25	2.5499	1.8194
43	0.75	0.5	2.3772	1.6244
44	0.75	0.75	2.2508	1.5108
45	0.75	1	2.1411	1.3621
46	1	0	2.9925	2.0603
47	1	0.25	2.7871	1.8253
48	1	0.5	2.6391	1.6056
49	1	0.75	2.4815	1.4888
50	1	1	2.3673	1.3413

		参数估计值
目标函数	估算方法	${\hat{θ}}_{11}$	${\hat{θ}}_{21}$	${\hat{θ}}_{31}$	${\hat{θ}}_{41}$	${\hat{θ}}_{12}$	${\hat{θ}}_{22}$	${\hat{θ}}_{32}$
$φ_{1}$	小伙子	0.8539	0.9968	1.1418	−0.7931	–	–	–
$φ_{1}$	荷兰统计局	1.0127	1.0077	0.9903	−1.0263	–	–	–
$φ_{2}$	小伙子	–	–	–	–	1.0450	0.9709	−1.0979
$φ_{2}$	荷兰统计局	–	–	–	–	1.0639	0.9573	−1.1357

否	${\hat{Θ}}_{M（M） O（运行） - S公司 U型 N个 R（右）}$			$[ψ_{L（左） A类 D类} (\hat{Θ}) ψ_{N个 L（左） S公司} (\hat{Θ})] \times 10^{三}$		否	${\hat{Θ}}_{M（M） O（运行） - S公司 U型 N个 R（右）}$			$[ψ_{L（左） A类 D类} (\hat{Θ}) ψ_{N个 L（左） S公司} (\hat{Θ})] \times 10^{三}$
1	0.8807	0.0905	0.0109	4.4361	0.1337	61	0.8986	0.0890	0.0097	4.0952	0.1361
2	0.9413	0.0888	0.0066	3.0638	0.1954	62	0.9283	0.0879	0.0075	3.5023	0.1592
三	0.9071	0.0903	0.0092	3.7785	0.1456	63	0.9377	0.0889	0.0069	3.1495	0.1864
4	0.9084	0.0904	0.0091	3.7597	0.1472	64	0.9402	0.0887	0.0067	3.1039	0.1913
5	0.8998	0.0898	0.0097	3.9994	0.1381	65	0.9380	0.0890	0.0069	3.1301	0.1883
6	0.8826	0.0904	0.0108	4.3419	0.1338	66	0.9368	0.0879	0.0069	3.2827	0.1748
7	0.9325	0.0880	0.0072	3.3887	0.1665	67	0.9378	0.0880	0.0068	3.2448	0.1780
8	0.9285	0.0877	0.0075	3.5173	0.1584	68	0.9268	0.0878	0.0077	3.5536	0.1564
9	0.8845	0.0903	0.0107	4.3066	0.1339	69	0.9414	0.0886	0.0066	3.0775	0.1941
10	0.9376	0.0880	0.0068	3.2648	0.1767	70	0.9362	0.0879	0.0069	3.3022	0.1732
11	0.9243	0.0876	0.0078	3.6418	0.1517	71	0.9365	0.0879	0.0069	3.2909	0.1741
12	0.8832	0.0903	0.0107	4.3697	0.1337	72	0.8842	0.0904	0.0107	4.2923	0.1340
13	0.9266	0.0878	0.0077	3.5692	0.1557	73	0.8928	0.0892	0.0101	4.2193	0.1345
14	0.9374	0.0879	0.0069	3.2727	0.1757	74	0.9237	0.0875	0.0079	3.6700	0.1504
15	0.9382	0.0878	0.0068	3.2566	0.1774	75	0.9344	0.0880	0.0071	3.3387	0.1706
16	0.9384	0.0884	0.0068	3.1867	0.1832	76	0.8944	0.0891	0.0100	4.1843	0.1348
17	0.9240	0.0875	0.0079	3.6590	0.1510	77	0.9276	0.0872	0.0076	3.6020	0.1540
18	0.9032	0.0900	0.0094	3.9058	0.1409	78	0.9376	0.0888	0.0069	3.1649	0.1852
19	0.9335	0.0880	0.0072	3.3609	0.1690	79	0.9372	0.0888	0.0069	3.1749	0.1842
20	0.9248	0.0878	0.0078	3.6065	0.1534	80	0.8971	0.0891	0.0098	4.1245	0.1356
21	0.8991	0.0898	0.0097	4.0196	0.1376	81	0.9254	0.0878	0.0078	3.5921	0.1542
22	0.9053	0.0902	0.0093	3.8367	0.1433	82	0.9342	0.0880	0.0071	3.3496	0.1698
23	0.9059	0.0902	0.0093	3.8188	0.1440	83	0.9388	0.0885	0.0068	3.1693	0.1850
24	0.9250	0.0876	0.0078	3.6220	0.1528	84	0.9380	0.0890	0.0069	3.1374	0.1877
25	0.9349	0.0889	0.0071	3.2292	0.1794	85	0.9035	0.0903	0.0094	3.8710	0.1423
26	0.9384	0.0883	0.0068	3.1940	0.1824	86	0.9378	0.0889	0.0069	3.1458	0.1869
27	0.9297	0.0879	0.0074	3.4661	0.1615	87	0.9042	0.0904	0.0094	3.8449	0.1431
28	0.9111	0.0903	0.0089	3.6837	0.1499	88	0.9385	0.0894	0.0068	3.0787	0.1935
29	0.9007	0.0904	0.0096	3.9239	0.1405	89	0.9353	0.0879	0.0070	3.3221	0.1718
30	0.8959	0.0890	0.0099	4.1611	0.1351	90	0.9367	0.0880	0.0069	3.2786	0.1751
31	0.9417	0.0886	0.0066	3.0728	0.1947	91	0.9312	0.0877	0.0073	3.4522	0.1625
32	0.9381	0.0887	0.0068	3.1603	0.1860	92	0.9341	0.0880	0.0071	3.3518	0.1694
33	0.9062	0.0902	0.0092	3.8126	0.1443	93	0.8988	0.0892	0.0097	4.0757	0.1364
34	0.8997	0.0902	0.0097	3.9633	0.1393	94	0.9279	0.0877	0.0076	3.5336	0.1574
35	0.8874	0.0906	0.0105	4.2100	0.1347	95	0.9310	0.0879	0.0074	3.4389	0.1637
36	0.8987	0.0896	0.0097	4.0445	0.1371	96	0.8982	0.0895	0.0098	4.0581	0.1368
37	0.9105	0.0904	0.0089	3.6938	0.1495	97	0.9343	0.0880	0.0071	3.3393	0.1702
38	0.9065	0.0903	0.0092	3.7974	0.1449	98	0.9364	0.0879	0.0069	3.2955	0.1739
39	0.8983	0.0890	0.0098	4.1112	0.1359	99	0.9290	0.0879	0.0075	3.4949	0.1598
40	0.9103	0.0904	0.0090	3.7035	0.1490	100	0.8942	0.0891	0.0100	4.1805	0.1349
41	0.9320	0.0880	0.0072	3.4041	0.1654	101	0.9378	0.0881	0.0068	3.2443	0.1783
42	0.9333	0.0880	0.0072	3.3687	0.1680	102	0.9386	0.0893	0.0068	3.0835	0.1930
43	0.8988	0.0902	0.0097	3.9778	0.1388	103	0.9325	0.0877	0.0072	3.4253	0.1645
44	0.9320	0.0876	0.0073	3.4436	0.1631	104	0.8967	0.0891	0.0099	4.1323	0.1354
45	0.9387	0.0879	0.0068	3.2382	0.1790	105	0.8999	0.0903	0.0097	3.9523	0.1397
46	0.9387	0.0880	0.0068	3.2236	0.1804	106	0.8985	0.0892	0.0098	4.0847	0.1363
47	0.9380	0.0891	0.0069	3.1166	0.1895	107	0.9246	0.0876	0.0078	3.6328	0.1522
48	0.9310	0.0877	0.0073	3.4549	0.1623	108	0.9016	0.0905	0.0096	3.8964	0.1414
49	0.9275	0.0879	0.0076	3.5259	0.1578	109	0.9352	0.0879	0.0070	3.3306	0.1713
50	0.9261	0.0878	0.0077	3.5761	0.1551	110	0.9285	0.0880	0.0075	3.4910	0.1601
51	0.9382	0.0882	0.0068	3.2149	0.1815	111	0.9380	0.0889	0.0069	3.1400	0.1874
52	0.8960	0.0891	0.0099	4.1457	0.1352	112	0.9385	0.0890	0.0068	3.1239	0.1890
53	0.9099	0.0904	0.0090	3.7122	0.1485	113	0.9044	0.0902	0.0094	3.8588	0.1426
54	0.8991	0.0897	0.0097	4.0302	0.1374	114	0.8913	0.0890	0.0102	4.2550	0.1342
55	0.9096	0.0903	0.0090	3.7245	0.1483	115	0.9000	0.0903	0.0097	3.9507	0.1400
56	0.9403	0.0887	0.0067	3.0989	0.1921	116	0.8830	0.0903	0.0107	4.3907	0.1337
57	0.9371	0.0888	0.0069	3.1793	0.1840	117	0.9329	0.0880	0.0072	3.3832	0.1671
58	0.9401	0.0887	0.0067	3.1154	0.1903	118	0.8845	0.0904	0.0107	4.2740	0.1342
59	0.9364	0.0878	0.0069	3.3150	0.1724	119	0.9272	0.0878	0.0076	3.5423	0.1569
60	0.9063	0.0904	0.0092	3.7911	0.1451	120	0.8981	0.0895	0.0098	4.0648	0.1367
121	0.9241	0.0878	0.0078	3.6278	0.1523	136	0.9005	0.0904	0.0096	3.9356	0.1403
122	0.9237	0.0875	0.0079	3.6652	0.1506	137	0.9006	0.0903	0.0096	3.9371	0.1401
123	0.9044	0.0902	0.0094	3.8535	0.1427	138	0.8839	0.0905	0.0107	4.2782	0.1341
124	0.8989	0.0902	0.0098	3.9773	0.1389	139	0.9089	0.0904	0.0090	3.7308	0.1477
125	0.9384	0.0883	0.0068	3.2020	0.1819	140	0.9317	0.0878	0.0073	3.4296	0.1638
126	0.8807	0.0905	0.0109	4.4131	0.1337	141	0.9387	0.0892	0.0068	3.0927	0.1924
127	0.9268	0.0878	0.0076	3.5512	0.1564	142	0.9376	0.0892	0.0069	3.1257	0.1887
128	0.8809	0.0905	0.0109	4.4174	0.1337	143	0.9380	0.0882	0.0068	3.2179	0.1807
129	0.9016	0.0905	0.0096	3.8926	0.1415	144	0.8926	0.0891	0.0101	4.2355	0.1344
130	0.9085	0.0904	0.0091	3.7459	0.1473	145	0.9291	0.0879	0.0075	3.4837	0.1605
131	0.8820	0.0904	0.0108	4.3943	0.1337	146	0.9324	0.0878	0.0072	3.4152	0.1650
132	0.9387	0.0892	0.0068	3.0894	0.1927	147	0.9364	0.0878	0.0069	3.3156	0.1722
133	0.9402	0.0887	0.0067	3.1088	0.1908	148	0.9037	0.0901	0.0094	3.8798	0.1417
134	0.9324	0.0878	0.0072	3.4161	0.1650	149	0.9283	0.0879	0.0075	3.5017	0.1592
135	0.9363	0.0879	0.0069	3.3017	0.1733	150	0.9084	0.0904	0.0091	3.7391	0.1473

否	${\hat{Θ}}_{M（M） O（运行） - S公司 U型 N个 R（右）}$							$[ψ_{L（左） A类 D类} (\hat{Θ}) ψ_{N个 L（左） S公司} (\hat{Θ})] \times 10^{三}$
1	0.9146	1.0086	1.0724	−0.8626	0.8613	1.1415	−0.8147	1.8501	0.1087
2	0.9134	1.0093	1.0737	−0.8615	0.8591	1.1410	−0.8174	1.8620	0.1070
三	0.9135	1.0093	1.0734	−0.8613	0.8590	1.1418	−0.8171	1.8603	0.1071
4	0.9161	1.0090	1.0716	−0.8632	0.8605	1.1409	−0.8161	1.8576	0.1075
5	0.9150	1.0088	1.0722	−0.8630	0.8607	1.1412	−0.8148	1.8535	0.1081
6	0.9151	1.0089	1.0722	−0.8630	0.8607	1.1411	−0.8148	1.8540	0.1080
7	0.9177	1.0081	1.0702	−0.8638	0.8548	1.1474	−0.8137	1.8588	0.1075
8	0.9166	1.0074	1.0691	−0.8651	0.8598	1.1445	−0.8152	1.8475	0.1099
9	0.9168	1.0078	1.0688	−0.8644	0.8598	1.1445	−0.8160	1.8488	0.1095
10	0.9177	1.0082	1.0700	−0.8639	0.8554	1.1473	−0.8137	1.8565	0.1077
11	0.9134	1.0093	1.0742	−0.8605	0.8587	1.1415	−0.8175	1.8634	0.1070
12	0.9178	1.0082	1.0700	−0.8638	0.8552	1.1477	−0.8138	1.8564	0.1077
13	0.9168	1.0077	1.0692	−0.8643	0.8597	1.1449	−0.8160	1.8483	0.1095
14	0.9149	1.0085	1.0727	−0.8626	0.8608	1.1415	−0.8147	1.8517	0.1082
15	0.9135	1.0093	1.0744	−0.8605	0.8587	1.1415	−0.8175	1.8639	0.1070
16	0.9177	1.0082	1.0700	−0.8641	0.8554	1.1478	−0.8139	1.8549	0.1078
17	0.9142	1.0092	1.0734	−0.8611	0.8594	1.1420	−0.8168	1.8595	0.1072
18	0.9168	1.0082	1.0700	−0.8640	0.8559	1.1463	−0.8142	1.8553	0.1077
19	0.9166	1.0074	1.0692	−0.8651	0.8597	1.1444	−0.8152	1.8476	0.1098
20	0.9144	1.0087	1.0723	−0.8624	0.8612	1.1416	−0.8148	1.8500	0.1088
21	0.9149	1.0084	1.0726	−0.8626	0.8608	1.1415	−0.8147	1.8517	0.1082
22	0.9147	1.0086	1.0725	−0.8626	0.8613	1.1415	−0.8147	1.8502	0.1086
23	0.9149	1.0088	1.0721	−0.8630	0.8607	1.1412	−0.8147	1.8534	0.1081
24	0.9151	1.0088	1.0722	−0.8629	0.8607	1.1411	−0.8148	1.8538	0.1080
25	0.9152	1.0087	1.0722	−0.8630	0.8607	1.1408	−0.8148	1.8544	0.1079
26	0.9163	1.0091	1.0718	−0.8633	0.8607	1.1404	−0.8161	1.8594	0.1074
27	0.9176	1.0081	1.0699	−0.8639	0.8558	1.1475	−0.8141	1.8545	0.1079
28	0.9168	1.0074	1.0691	−0.8655	0.8596	1.1447	−0.8149	1.8471	0.1100
29	0.9174	1.0081	1.0701	−0.8638	0.8559	1.1473	−0.8138	1.8544	0.1079
30	0.9151	1.0085	1.0719	−0.8626	0.8608	1.1407	−0.8149	1.8538	0.1080
31	0.9136	1.0093	1.0736	−0.8613	0.8589	1.1418	−0.8172	1.8608	0.1071
32	0.9147	1.0086	1.0721	−0.8629	0.8613	1.1416	−0.8146	1.8499	0.1088
33	0.9149	1.0085	1.0727	−0.8625	0.8608	1.1414	−0.8147	1.8519	0.1082
34	0.9173	1.0082	1.0701	−0.8638	0.8560	1.1465	−0.8139	1.8558	0.1077
35	0.9152	1.0086	1.0719	−0.8627	0.8607	1.1418	−0.8145	1.8515	0.1084
36	0.9146	1.0086	1.0724	−0.8626	0.8613	1.1415	−0.8147	1.8500	0.1087
37	0.9161	1.0090	1.0715	−0.8632	0.8605	1.1410	−0.8161	1.8576	0.1075
38	0.9149	1.0085	1.0727	−0.8626	0.8609	1.1415	−0.8148	1.8517	0.1082
39	0.9148	1.0085	1.0727	−0.8626	0.8612	1.1416	−0.8148	1.8503	0.1084
40	0.9177	1.0082	1.0700	−0.8639	0.8553	1.1483	−0.8138	1.8543	0.1079
41	0.9164	1.0091	1.0718	−0.8638	0.8609	1.1401	−0.8159	1.8591	0.1074
42	0.9152	1.0086	1.0719	−0.8627	0.8607	1.1418	−0.8145	1.8514	0.1084
43	0.9149	1.0086	1.0720	−0.8628	0.8606	1.1422	−0.8146	1.8502	0.1086
44	0.9147	1.0082	1.0717	−0.8628	0.8611	1.1415	−0.8150	1.8497	0.1089
45	0.9166	1.0074	1.0691	−0.8651	0.8593	1.1445	−0.8152	1.8481	0.1096
46	0.9176	1.0081	1.0701	−0.8639	0.8558	1.1468	−0.8143	1.8565	0.1076
47	0.9166	1.0075	1.0691	−0.8650	0.8597	1.1444	−0.8152	1.8476	0.1099
48	0.9160	1.0090	1.0716	−0.8632	0.8605	1.1408	−0.8163	1.8578	0.1075
49	0.9149	1.0086	1.0719	−0.8628	0.8607	1.1417	−0.8148	1.8515	0.1084
50	0.9151	1.0088	1.0722	−0.8630	0.8607	1.1411	−0.8148	1.8539	0.1080

一种新的相依非线性回归参数估计方法

奥兹勒姆·蒂尔克什

摘要

1.简介

2.SUNR模型的参数估计程序

3.建议的参数估计程序：MO-SUNR模型

4.应用

表1。

表2。

表3。

表4。

表5。

表6。

表7。

表8。

5.结论

致谢

附录。

表A1。

表A2。

披露声明

参考文献