逆向问题科学与工程。作者手稿；PMC 2021年6月14日提供。
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NIHMSID公司：美国国立卫生研究院1670426
病态逆时双曲/抛物系统数值计算中时间显式映射格式的稳定后向性
*
阿尔弗雷德·S·卡拉索
*马里兰州盖瑟斯堡国家标准与技术研究所应用与计算数学部，邮编：20899。
*马里兰州盖瑟斯堡国家标准与技术研究所应用与计算数学部，邮编：20899。
摘要
本文发展了稳定的显式行军差分格式，它可以成功地求解有限的与振动热弹性板和耦合声热流相关的耦合双曲/抛物系统的一类多维、不适定、时间倒退问题。通过在每个时间步长应用补偿平滑算子来消除不稳定性，从而实现稳定。收敛性分析仅限于线性、自治、自伴空间微分算子的透明情况，以及几乎是最好的在这类问题中，获得了向后时间重构的误差界。然而，实际的计算方案可以应用于更一般的问题，包括具有可变时变系数以及非线性的示例。
稳定的显式格式是无条件稳定的，无论是在时间上向前还是向后，但每一步的平滑操作都会导致偏离真实解的失真。这是稳定处罚结果表明，在许多令人感兴趣的问题中，畸变很小，足以产生有用的结果。
使用512×512像素图像来说明向后时间延拓。这些图像与高度不规则的非平滑强度数据相关，这些数据严重挑战了不适定重建程序。一些计算实验表明，基于（−∆）的高效FFT合成平滑算子第页用真实的p>（第页）2，可以成功应用于广泛的问题。
关键词：热弹性系统在时间上向后，耦合声热流在时间上向前，稳定的显式推进方案，误差范围，数值实验
AMS主题分类。35L15、35K15、35R25、65N12、65N21
1.引言。
继续在[1–三]本文构造了稳定的显式行军差分格式，该格式可以成功地求解有限的一类多维、不适定、时间倒退问题，用于与振动热弹性板和耦合声热流相关的耦合双曲/抛物方程。通过在每个时间步长应用补偿平滑算子来消除不稳定性，从而实现稳定。收敛性分析仅限于线性、自治、自伴空间微分算子的透明情况，以及几乎是最好的在这类问题中，获得了向后时间重构的误差界。然而，实际的计算方案可以应用于更一般的问题，包括具有可变时变系数以及非线性的示例。指导性计算实验表明，基于（−∆）的高效FFT合成平滑算子第页用真实的p>（第页）2，甚至可以成功地应用于定义在非矩形区域中的一些非线性反向问题。
论文组织如下。在第2节，一个明确的例子突出了从噪声数据向后重建中固有的不确定性。在第3节对于热弹性板初值问题，构造了稳定的显式推进格式。在第4节，定理1和2建立了正向和反向显式格式的误差估计。这些估计描述了其中显式方案可能有用的问题类别。第5节描述了线性热弹性问题反向重建的一个有指导意义的计算实验。第6节讨论基于拉普拉斯算子的平滑算子的使用，即使在二阶椭圆空间微分算子的问题中我具有可变系数。第7节描述了一个非线性热弹性问题的反向重建实验，该问题超出了第3节到6.第8节构造了线性自伴耦合波和扩散方程的稳定显式格式，并在定理5和定理6中建立了误差估计。第9节描述了线性耦合声热流的反向重建实验，而第10节研究非矩形区域内的非线性耦合声热流。最后，在第11节.
从1957年第一版开始[4]，其中讨论了声热流耦合方程，以及[5]关于流体动力流动和辐射扩散，人们对耦合双曲/抛物线系统越来越感兴趣[6–9]. 对这种耦合系统的半群性质的高度兴趣随后被动态热弹性方程所激发[10–21]. 众所周知，几种类型的热弹性问题可以与全纯半群相关，而耦合的声热流导致指数稳定的非全纯半组。时间反演热弹性问题也引起了大量的分析兴趣，其核心是先验约束下的后向唯一性和连续依赖性问题[22–27], [29第270页]。然而，对于此类反向问题的有效数值计算的可能性似乎知之甚少。下面讨论了具有重要应用的不适定反问题的其他几个例子[7], [28]、和[29].
众所周知[4第59页]，对于不适定初值问题，所有一致的时间推进差分格式，无论是显式的还是隐式的，都是必要的无条件不稳定，并导致爆炸噪声放大。下面介绍的稳定显式格式是无条件的稳定的，但略有不一致，导致偏离真实解的失真。这是稳定处罚结果表明，在许多感兴趣的问题中，该误差很小，足以产生有用的结果。
在上述系统中，计算探索向后时间延拓的一个特别有效的工具是使用8位灰度512×512像素图像作为初始数据。如所示，许多图像是由高度非平滑的强度数据定义的。在耦合双曲/抛物线系统中，需要三个不同的图像作为初始值。在随后的正向进化中，除了经历严重模糊外，这三幅图像相互融合，从而在正时间得到解决方案T型这些图像通常无法识别。考虑到当时相关非平滑强度数据中的模糊和混合T型，及时恢复原始未失真图像t吨在三个图像中的时间=0T型在存在数值噪声的情况下，为任何不适定重建算法提供了一个具有挑战性的测试。
强度值u图(x个,年)与(x个,年)在里面512 × 512像素斯波克先生的图像。强度值范围为0到255,导致表面高度不光滑。这些图像为不适定重建方法提供了极好的测试示例。
2.不精确数据反向重建的不确定性。
考虑适定初值问题
在一些巴拿赫空间X（X）符合规范‖‖X（X）.假设系统是不可逆的，因此时间反转问题不成立。某个时间给定数据的反向解决方案时间>0通常仅存在于高度受限的精确解决方案数据周(x个,T型)，满足一定的平滑度和其他不易表征的要求。这种精确的数据在实践中很少有，必须使用近似值克(x个)这样的话，对于一些已知的小型δ >0。但是，给定的数据克(x个)可以近似几种不同的精确解周我(x个,T型)时间T型到内部δ在正常情况下周我(x个,T型)可能与完全不同的初始数据有关周我(x个，0），由于时间反转问题中对数据的不连续依赖。通过基于先验知识限制可容许解的类别，可以恢复连续依赖性，例如要求周(x个，0）满足规定的界限，。假设克(x个)和已知常数M（M）和δ，使用，与解的存在性兼容。
这个稳定的向后问题可以表述如下：找到所有的解决方案周t吨=哦，0<t≤T型，因此
如所示[29–35]在许多情况下，对数凸性参数可以用来证明如果周1(x个,t吨),周2(x个,t吨)有两种解决方案吗等式（2.2）于[0，T型]，如果v（v）(x个,t吨) =周1(x个,t吨) −周2(x个,t吨)，然后
在等式（2.3），Hölder指数µ(t吨)满足0≤µ(t吨)≤1，带µ(t吨)>0用于t>时间>0,µ(0) = 0,µ(T型)=1，和µ(t吨)↓0单调为t吨↓ 0.对于任何给定的固定t>时间>0，差异||v（v）(·,t吨)||X（X）将很小，前提是δ足够小。在某种程度上等式（2.3）是尖锐的，该不等式的右侧表示基本不确定性当时正在进行反向重建t<t，根据给定的噪声数据克(x个)时间T型.
当操作员A类在里面等式（2.1）是Hilbert空间中的自治线性自伴算子X（X），那么µ(t吨)=吨/吨这是最理想的情况。然而，在其他非自治或非线性问题中µ(t吨)通常是次线性的，并且µ(t吨)归零为t吨↓ 可能是0。例如，在Navier-Stokes方程中就是这种情况[34]. 利率µ(t吨)↓0，反映了正向演化方程的速率周t吨=哦在里面等式（2.1）忘记了过去，也因此忘记了从对现在不完善的认识中重建过去的困难。
如下面的显式示例所示，即使是一个简单的线性一维演化方程，只要有非负光滑解，也可能会出现相当困难的后向恢复问题。使用常量抄送>0，考虑初值问题
其精确解是周准确的(x个,t吨)=1+经验{（1−电子计算机断层扫描)/c（c）}科斯x个.让克(x个)≡1，并设v（v）(x个,t吨)=经验{（1−电子计算机断层扫描)/c（c）}科斯x个，所以周准确的=克+v（v）.
使用c（c）=5，考虑后向重建周准确的(x个,t吨)根据近似数据克(x个)≡1 atT型=1，给定规定的界限||周准确的(·, 0) ||∞≤M（M）= 2. 我们有.
候选重建u个(x个,t吨)≡1完全有效，且满足误差估计
哪里µ(t吨) = (电子计算机断层扫描−1）/(电子计算机断层扫描−1) ≈电子−c（c）(T型−t吨)这里，尽管事实上t吨=T型=1，我们有δ <1.6×10−13，我们发现δµ(t吨)
>0.6英寸t吨=0.25，由于µ(t吨). 这种快速的准确性损失t吨↓ 0，最终导致假光滑非负初始值的重构周准确的(x个，0）=1+cosx个，于t吨= 0.
3.不可逆热弹性板初值问题的稳定显式格式。
设Ω为中的有界域R（右）2边界平滑∂Ω. 让<,>和‖‖2，分别表示上的标量积和范数.让我表示线性、二阶、时间无关，正定的Ω上具有齐次Dirichlet边界条件的自伴变系数椭圆微分算子∂Ω. 让是正交本征函数的完备集我靠Ω，让，令人满意
是相应的特征值。
以下耦合双曲抛物方程组模拟了一个简化的均匀热弹性板问题铰接的边界条件。几个作者已经研究过这个问题[11,13–15,18–20,23,24]. 使用我, λ米,ϕ米如中所示等式（3.1）、和正常数α,β，考虑Ω×（0，T型],
使用我= −∆,周= ∆z、 v（v）=zt吨，上述系统对应于热弹性板问题ztt公司= −∆2z−α∆u、 u个t吨=β∆u个+α∆zt吨，使用u个=z=∆z=0开∂Ω.
初始值问题等式（3.2）当时间方向反转时，变为不适定。我们通过考虑可能的消极的时间步长∆t吨在显式差分格式中等式（3.8）如下所示。使用λ米如中所示等式（3.1），正常数α、 β和操作员我如中所示等式（3.2），修复ω >0和p>（第页）1.给定∆t吨，定义ν, Λ,Q、 ζ米,第页米，如下所示：
为了稳定平滑算子的当前理论发展，例如问，族{λ米,ϕ米}英寸等式（3.1）假设为已知或预计算。然而，如中所示第7节和10下面，在许多实际计算中，基于替代椭圆算子的不同平滑算子我†可以使用已知的特征对，例如负拉普拉斯对。自p>（第页）1通常具有非整数值，两个运算符∧第页和问在里面等式（3.3），必须根据特征对{λ合成米，直径米}第页，共页我。使用ζ米,第页米如中所示等式（3.3），为每个定义,
让G、 S公司、和P（P），为以下3×3矩阵
让W公司是三分量向量[u个,v（v）,周]T型.我们可以重写等式（3.2）作为等效的一阶系统，
我们将研究一个显式时间推进有限差分格式，用于等式（3.6）其中，仅离散时间变量，而空间变量保持连续。具有给定的正整数N个，设|∆t吨| =T型最大值/N个是时间步长，让W公司n个表示W公司(·,n个∆t吨),n个= 0,1,···N个.如果W公司（·，t吨)是唯一的解决方案等式（3.6），那么
其中“截断错误”，使用。使用G公司和S公司如中所示等式（3.5），让R（右）是线性算子R（右）=S公司+ ∆tSG（变速器总成）.使用平滑操作符S公司，我们考虑近似W公司n个具有，其中
带有∆t>时间>0和数据U型0时间t吨=0，中的前进方案等式（3.8）旨在解决一个适定性问题。然而，使用∆t吨<0，连同适当的数据U型0时间T型最大值，从T型最大值在里面等式（3.8）试图解决一个不适定问题。还有待观察U型n个可以是一个有用的近似值W公司n个，通过正确选择ω、 第页、和|∆t吨|. 为三个分量向量定义以下规范，例如W公司(·,t吨)和U型n个,
我艾玛1使用p>1,和ζ米,第页米,如中所示
等式（3.3）,固定一个正整数J，并选择ω≥ (ζJ型)1−p。那么,
证明：中的不平等等式（3.10）对1≤有效米≤J型，鉴于等式（3.1）。对于m>J,
自从。此外，，自1起+x个≤电子x个真的x个因此，对于m>J时，.量化宽松政策。
我艾玛2ω，p，ζJ型,如引理1，R如
等式（3.8）,我们有。中的显式方案
等式（3.8）
是无条件稳定的，并且
证明：在系统中U型n个+1=SU公司n个+ ∆tSGU（变速器总成）n个，在正交本征函数中展开ϕ米，使用.让,,，其中。然后，使用第页米如中所示等式（3.3）,
因此，
接下来，使用2xy公司≤x个2+年2,
和
同样，
和
因此ν= (3 +α+α2+ 2β),ζ米=ν(1 + λ米),
这意味着等式（3.12）关于使用引理1。量化宽松政策
如果W公司(t吨)是的独特解决方案等式（3.6）0≤t吨≤T型最大值，我们从等式（3.7）0≤n个≤N个− 1,
我艾玛三。让W(t吨)是唯一的解决方案
等式（3.6）然后，使用S和P作为
等式（3.5）,中规范的定义
等式（3.9）,和0≤n个≤N个,
证明：截断误差不等式在里面等式（3.21）自然遵循中的定义等式（3.9）.正交本征函数的展开ϕ米属于我，并使用不等式1−电子−x个≤x个真的x个，我们得到
这证明了等式（3.21）最后一个不等式是第二个不等式的必然结果。量化宽松政策。
4.前向和后向问题中的稳定惩罚。
涉及热传导的偏微分系统中的显式时间差分通常要求对时间步长∆有严格的Courant稳定性限制t吨.稳定平滑算子S公司在中的显式方案中等式（3.8）导致无条件稳定，但代价是在每个时间步长引入一个小错误。我们现在必须评估这一错误的累积影响。如果最后一次的累积误差T型最大值由于稳定显式格式足够小，因此在精细网格上计算多维问题时具有相当大的优势。
对于适定正问题中的稳定罚分，我们得到了以下结果。
T型神灵1使用∆t>时间>0,让Wn个
成为的独特解决方案
等式（3.6）
在t=n个∆t.让Un个
是中前向显式格式的对应解
等式（3.8）,让p，ζJ型,ω、 如引理1所示。如果ER(t吨) ≡U型n个−W公司n个,表示t=n时的误差∆t吨，n=0,1,2，…，N，我们有
证明：让.然后，，同时.因此
因此，使用引理2，并让t吨= (n个+ 1)∆t吨,
接下来，使用引理3估计，一个获得等式（4.1）从等式（4.3）.量化宽松政策。
在正向问题中，我们可以假设给定的数据U型0= [（f）,克,小时]T型以足够高的准确度已知，可以设置呃（0）=0英寸等式（4.1）.选择ω= (ζJ型)1−第页在引理1中，等式（4.1）减少到
因此，在中使用显式方案时等式（3.8），仍存在非零残差作为∆t吨↓ 0。这是稳定处罚，由每个时间步长的平滑产生，并单调增长为t吨↑T型最大值显然，如果T型最大值较大时，累积畸变可能会变得不可接受的大t吨↑T型最大值在这种情况下，稳定的显式格式是无用的。另一方面，如果T型最大值是小的，例如涉及小值的问题t吨，可以选择p>（第页）2和大型ζJ型但足够小那个相当小。在这种情况下，稳定罚款在0≤t吨≤T型最大值。例如T型最大值= 10−3,第页=2.75，以及ζJ型= 104，我们发现对于这类重要但有限的问题，时间步长∆上没有限制性的Courant条件t吨在中的显式方案中等式（3.8）在精细网格上的多维问题的适定性正演计算中提供了一个显著的优势。
在不适定向后问题中还有一个额外的惩罚。如中所述第2节，在从t吨=T型最大值，解只存在于满足某些平滑约束的受限数据类。这种数据很少有足够高的准确性。我们假设给定的数据在t吨=T型最大值，不同于这些未知的确切数据W公司(·,T型最大值)少量：
这导致了以下结果。
T型神灵2使用∆t吨<0,让Wn个
是前向适定问题的唯一解
等式（3.6）
位于=T型最大值−n个|∆t吨|.让Un个
是中的后向显式方案的解
等式（3.8）,初始数据U(0) =U型b条= [（f）b条,克b条,小时b条]如中所示
等式（4.5）.设p，ζJ型，ω，如引理1所示。如果，表示s处的误差=T型最大值
−n|∆t|，,我们有，δas in
等式（4.5）,
证明：让.然后，，同时.因此
因此，使用引理2和t吨= (n个+1）|∆t吨|,
与前面的定理一样，我们现在可以使用引理3来估计并获得等式（4.6）从等式（4.8）.量化宽松政策。
比较以下适定性案例中的结果是有益的等式（4.4），其不适定结果由等式（4.6）.为此，我们必须重新评估等式（4.6）同时t吨中使用的值等式（4.4）.带∆t>时间>0,t吨=k个∆t吨、和W公司k个=W公司(k个∆t吨)，让U型k个现在表示在t吨=k个∆t吨.让呃(t吨) =U型k个−W公司k个,k个= 0,1,2,··· ,N个，使用T型最大值=N个∆t吨。再次选择ω= (ζJ型)1−第页，我们从等式（4.6）,
这里，由于误差的放大，稳定惩罚增加了一个附加项δ在给定数据中t吨=T型最大值，如所示等式（4.5）。这两个术语都单调地增长为t吨↓ 0，在时间中倒退t吨=T型最大值.
再一次，用大T型最大值，中的非零残差等式（4.9）作为|∆t吨|↓0，会导致较大的误差，在这种情况下，反向显式格式是无用的。然而，有一类重要的不适定向后问题T型最大值和小δ，其中等式（4.9）导致几乎最优结果。除了等式（4.5），假设W公司(x个，0）满足规定跳跃M（M）这些先验约束表示如下
我们现在选择ζJ型依据M（M）和δ，并定义β(t吨)如下
根据这些定义，等式（4.9）现在变成了
中右边的第二个任期等式（4.12）表示噪声数据的不适定后向延拓的基本不确定性，对于满足规定边界的解，如等式（4.10）。如中所述第2节，使用β(t吨) =吨/吨最大值，不确定性M（M）1−β(t吨)
δβ(t吨)众所周知最可能的对于自治自伴问题[31], [32]. 中的第一个学期等式（4.12）也存在于正向问题中，这是计算多维问题时必须付出的代价，使用简单的显式格式，对时间步长∆没有严格的Courant限制t吨。在许多感兴趣的问题中ζJ型在里面等式（4.11），以及适当的值p＞2，可以使第一项足够小，以便在等式（3.6）。例如，参数值为T型最大值= 10−3,M（M）= 102,δ= 10−3,第页=2.75，我们有M/δ= 105=经验{ζj个T型最大值}、和(ζJ型)−第页
<6.79 × 10−12。然后，我们将从等式（4.12）,
备注1。上述分析在一般域Ω∈中有效R（右）2，假设知道完整的特征对{λ米,ϕ米}椭圆算子的我，以启用平滑运算符的合成问在里面等式（3.3）。如中所述第6节如下图所示第7节在几个特殊域中，一个等价的平滑算子问†可能随时可以在该特定领域中使用，并且可以免除{λ的完整知识米,ϕ米}.
然而，在其他情况下，预计算足够大的数字K（K）特征对{λ米,ϕ米}线性自伴椭圆算子我在一般域Ω上，很可能是有保证的。如果操作员我是一类更一般的，可能是运算符的代表问使用第一个K（K）特征对我，并用它来稳定非线性微分算子的显式格式，可以合成一个有用的平滑多个时间反转非线性方程。椭圆特征值问题的计算方法在[36–38].
备注2。在不适定向后问题的大多数实际应用中M（M）和δ在里面等式（4.10）很少准确地知道。在许多情况下，参数对的交互式调整(ω,第页)在定义中问在里面等式（3.3）基于精确解的先验知识，对于获得有用的重建至关重要。这个过程类似于手动调谐调频电台或手动调焦双筒望远镜，同样需要用户识别“正确”的解决方案。
5.热弹性板向后时间重建的线性计算实验。
带Ω的开放式单位正方形0<x，y<2π，且0≤t吨≤T型最大值= 7.5× 10−3，我们考虑Ω×（0，T型最大值),ztt公司= −∆2z−α∆u、 u个t吨=β∆u个+α∆zt吨.给，u个(x个,年,t吨)表示温度，z(x个,年,t吨)位移，zt吨(x个,年,t吨)速度，α= 1,β=2，和u个=z= ∆z=0开∂Ω × [0,T型最大值]. 请参见[11,14,15,18].
放v（v）=zt吨,周= ∆z，现在指的是周(x个,年,t吨)作为位移，我们得到了等效的一阶系统
在这个计算实验中，初始值（f）(x个,年),小时(x个,年),克(x个,年)，是定义在。这些是8位灰度512×512图像，强度值从0到255不等。我们可以解释核磁共振脑成像（f）(x个,年)，表示高于（或低于）参考水平的温度，以十分之一度为单位测量。同样，美国空军的分辨率图表图像小时(x个,年)，可能表示平衡偏差，以十分之一毫米为单位测量，而卫星图像克(x个,年)可以用适当的单位表示速度。
线性热弹性实验第5节显示了前向进化到时间T时初始数据的严重失真和模糊最大值，然后使用稳定的显式格式在等式（3.8）.
所有三个初始值都是Ω上的非负函数。但是，当正值为t、 u个(x个,年,t吨),v（v）(x个,年,t吨),周(x个,年,t吨)，可能会形成实质性的负值，这是等式（5.1）.准确了解这些负值对于成功的反向恢复至关重要。我们写作
具有类似的分解v（v）(x个,年,t吨)和周(x个,年,t吨).
带∆x个= ∆年= (2π)/512，均匀的空间网格放置在Ω上。利用等式（5.1），可以使用基于FFT算法的高精度傅里叶方法进行空间离散化。使用∆t吨= 3 × 10−7，并选择T型最大值= 25000∆t吨= 7.5 × 10−3，对[0，T型最大值]. 的结果值u个+(x个,年,T型最大值),周+(x个,年,T型最大值),v（v）+(x个,年,T型最大值)，显示为的中间行中的三个图像.
显然，中间一行的三张图像中的每一张都被其他两张图像损坏了，同时出现了严重的模糊u个(x个,年,T型最大值),v（v）(x个,年,T型最大值),周(x个,年,T型最大值)，虽然不可避免地受到离散化误差和数值噪声的影响，但被认为是对等式（5.1）在t吨=T型最大值.
使用这些数据以及∆x个, ∆年、和∆t吨，中的稳定显式格式等式（3.8）向后运行25000个时间步T型最大值这里，Ω是一个矩形区域我负拉普拉斯算子，是一个显著的优势。的特征对我并且FFT算法可以用于合成平滑算子问在里面等式（3.3）如上述备注2所述，参数对的交互式调整(ω,第页)在定义中问根据之前对解决方案的了解，发现这很有帮助。这对ω= 3.0 × 10−8,第页=3.275，生成了下图所示的重建.给，u个+(x个,年, 0),v（v）+(x个,年, 0),周+(x个,年，0），被选为重建的解决方案，这是基于正确的初始值是Ω上的非负函数的先验知识。放大这两幅图中的图像很有帮助。
温度数据向前演变到时间T时，随着负值的发展，出现严重失真最大值,在线性热弹性实验中
第5节。如中所述
第2节,时间T的不精确输入数据最大值
导致t点后向恢复出现微小差异= 0.
显然，已经从严重模糊的数据中实现了实质性重建。由于操作员我在这个实验中是线性的、自治的和自伴的，误差估计在等式（4.12）第5.2节适用。使用T型最大值=7.5×10−3,ω= 3.0× 10−8,第页=3.275，我们从ω= (ζJ型)(1−第页)，那个ζJ型=2027和ζJ型T型最大值= 15.2. 因此(ζJ型)−第页{经验(ζJ型T型最大值) − 1}<5.91 × 10−5，表示右侧第一项的小值等式（4.12）这种“稳定惩罚”是为避免在不适定初值问题中使用逐步推进格式时导致的爆炸性计算不稳定性而付出的代价[4，第59页]。
提请注意定义MRI脑图像的实际强度数据的失真和随后的恢复。作为u个+(x个,年,T型最大值),u个−(x个,年,T型最大值)指示，输入数据的时间T型最大值产生显著的负值，同时显示原始数据在时间上的实质性转变t吨= 0. 时间恢复数据的绘图t吨=0与处的原始绘图不相同t吨= 0. 这种差异是由第二项权利在等式（4.12）。如中所述第2节从对现在的不完善认识中重建过去，必然存在不确定性。
6.替换平滑运算符。当我具有可变系数。
如备注1所述[三–5]变系数椭圆算子特征对的预设知识我或预计算足够多的此类对。然而，通常可以使用替代平滑操作符问†基于具有已知特征对的不同椭圆算子。
设∆表示拉普拉斯算子，单位为Ω，齐次Dirichlet边界条件为∂Ω使用ν、 L（左），∧，如公式（3.3），设Γ=ν(我−∆). 对于任何真实的问题>1和ϵ >0，定义。
拉普拉斯特征函数的闭式表达式适用于在应用中非常重要的特定域，包括矩形、圆形和球体[39]. 在这些域上，构造平滑算子可能是有利的问∆基于拉普拉斯算子，代替平滑算子问在里面等式（3.3）.这样的程序对于那些微分算子是可行的我其结果如下有效的给定任何ω >0和p>（第页）1，|存在ϵ>0和真实值q个≥第页，这样对所有人来说并且足够小t吨|,
线性算子在（exp{‑ω|∆t吨|Λ第页})，在.中的不平等等式（6.2）如果可以显示{−ω|∆t吨|Λ第页})，英寸H（H）可以扩展为所有具有.
等式（6.2）似乎在许多计算实验中得到了验证。在热核的高斯估计理论中，已知一些性质类似的结果。参见示例[40–43]以及其中的参考文献。
让S公司∆和P（P）∆为以下3×3矩阵
拉普拉斯稳定显式格式对应于等式（3.8）由提供
以下结果适用于。
我艾玛4让p，ζJ型,ω与引理1一样，设R和R∆
分别是中的运算符
等式（3.8）
和
等式（6.4）.选择ϵ>0和q≥p、 这样所有人
根据中的假设
等式（6.2）.然后，
，中的显式方案
公式（6.4）
是无条件稳定的，并且Un个满足
证明：让F类是任何三维矢量[（f）,克,小时]T型.然后，
关于使用等式（6.2）因此，，结果来自引理2。量化宽松政策。
备注3。如备注2所述，并在第7节，有用的对(ϵ,q个)在拉普拉斯稳定方案中等式（6.4）通常是在相对较少的试验后交互式发现的。在许多数值实验中，典型值满足2<q<4, 10−10≤ϵ≤ 10−6.
我艾玛5让W(t吨)是唯一的解决方案
等式（3.6）然后，使用S∆
和P∆
如中所示
等式（6.3）,中的定义
等式（3.9）,和0 ≤n个≤N个,
证明：该证明来自于∆的正交本征函数的展开，如引理3的证明。量化宽松政策。
使用引理4和5，以及定理1和2中的参数，可以得到拉普拉斯稳定显式格式的以下相应结果等式（6.4）.
T型神灵三。让p，ζJ型,ω、 如引理1所示，并选择ϵ>0和q≥p、 这样的话
等式（6.2）
感到满意。使用∆t>时间>0,让Wn个
成为的独特解决方案
等式（3.6）
在t=n个∆t、 然后让Un个
是中前向显式格式的对应解
等式（6.4）.如果ER∆(t吨) ≡U型n个−W公司n个,表示t处的误差=n个∆t、 n个= 0,1,2,··· ,N、 然后
T型神灵4让p，ζJ型,ω、 如引理1所示，并选择ϵ>0和q≥p、 这样的话
等式（6.2）
感到满意。使用∆t吨<0,让Wn个
是前向适定问题的唯一解
等式（3.6）
位于=T型最大值−n个|∆t吨|.让Un个
是中后向显式格式的解
等式（6.4）,使用初始数据如中所示
等式（4.5）.如果，表示错误，个= 0,1,2,··· ,N、 我们有，δas in
公式（4.5）,
类似于等式（4.4）,(4.12)，我们对定理3和定理4有以下推论。
C类口腔的1在定理3中具有精确已知初始数据U的适定正问题中0,选择。那么,
C类口腔的2让W(t吨)是中正适定问题的精确解
等式（3.6）。使用∆t>时间>0,t吨=k个∆t、 让Wk个=W公司(k个∆t吨).已知M，δ如in
等式（4.10）,letζJ型
和β(t吨)定义为
等式（4.11）。选择，然后选择ϵ>0和q≥p、 这样的话
等式（6.2）
感到满意。让Uk个
现在表示定理4中预先计算的反向解，在t处计算=k个∆t.然后,
6.1. 非矩形区域的FFT拉普拉斯平滑。
在矩形区域Ψ中，快速傅立叶变换是合成（-∆）的有效工具第页对于正非整数第页。这在第5节然而，如中所示[三]，和将在中再次显示第10节下面，FFT拉普拉斯平滑可能适用于等式（3.2）在非矩形区域Ω中，假设光滑边界上的Dirichlet数据为零∂Ω. 将Ω封闭在矩形Ψ中，对Ψ施加均匀的网格，网格足够精细，足以很好地近似∂Ω. 离散边界∂Ωd日，由最接近的网格点组成∂Ω, 然后用以代替∂Ω . 椭圆算子我现在使用中心差分在Ω上离散。在每个时间点米在里面等式（6.4），应用运算符后我+ ∆tG公司到U型米在Ω⊂Ψ上，通过在Ψ-Ω上将解定义为零，将解扩展到所有Ψ。然后在Ψ上应用FFT算法进行合成问∆在里面等式（6.1），并生产，同时只保留U型米+1Ω。然后在下一时间步重复此过程。
然而，如果∂Ω 需要近似到高精度，和/或给出非均匀数据∂Ω 如果不能简化为齐次情况，则应使用Ω上已知或预计算的拉普拉斯本征函数来构造S公司∆也可以考虑在非均匀网格上进行更精确的离散。
7.热弹性板向后时间重建的非线性计算实验。
而在第3节,4、和6，仅限于线性、自治、自伴椭圆算子我中的稳定方案等式（6.4）可以应用于更一般的问题。带Ω的开放式单位正方形0<x，y<1，和T型最大值= 1.44 × 10−3，让我是函数上定义如下的非线性微分算子z(x个,年,t吨)Ω×（0，T型最大值):
哪里
使用α=β=3，以及，考虑系统
该系统不同于等式（3.2）操作员我是非线性的、与时间相关的和非自洽的。因此第3节,4、和6，不适用于公式（7.3）特别是等式（6.2）不适用。然而，逆向重建解决方案等式（7.3）仍然可以尝试使用拉普拉斯稳定的显式格式等式（6.4）上述系统主要是数学方面的，可能并不反映任何实际的物理问题。它旨在测试非线性存在时稳定显式格式的鲁棒性。
在本实验中用作初始值的图像显示在，与中的相同然而，USAF图表图像现在被用作温度，而MRI大脑图像被用作“位移”。带有∆x个= ∆年= 1/512，在Ω上放置一个均匀的空间网格。使用中心有限差分进行空间离散化，以及∆t吨= 2.4 × 10−7，稳定的前向计算T型最大值= 6000∆t吨= 1.44×10−3，生成了中间一行的图像.如中所示，只有非负值，u个+(x个,年,T型最大值),v（v）+(x个,年,T型最大值),周+(x个,年,T型最大值)，定义于等式（5.2），用于形成中间行图像。
非线性实验
第7节
超出了线性理论的发展范围
第3节,4,和
6,但FFT Laplacian稳定了显式格式
等式（6.4）
可以提供有用的后向重建，这在使用图像放大时很明显。然而，T的输入数据不够准确最大值,与中讨论的非线性后向问题中的不利Hölder连续性相耦合
第2节,现在导致恢复温度和t点位移的持续伪影= 0.
在线图像放大显示了这三个中间行图像中的交互程度。特别是，核磁共振成像大脑和卫星图像明显受到美国空军图表图像的影响，而核磁共振成像和美国空军图像似乎只受到卫星图像的轻微影响。实际计算数据u个(x个,年,T型最大值),v（v）(x个,年,T型最大值),周(x个,年,T型最大值)，作为等式（7.3）。这些数据可能不如。中的空间离散化仅使用了二阶精确中心差分，与在.
拉普拉斯稳定显式格式公式（6.4）应用于上述计算数据。使用之前的∆值x个,∆年，加上六倍大的值∆t吨|，该方案用于从t吨=T型最大值在这里，表现稳定的能力明确的计算量显著增大∆t吨|，以及平滑算子的高效FFT合成问∆在里面等式（6.2），在非线性不适定初值问题中提供了一个重要优势，它允许在交互式搜索合适的参数对时快速尝试重建(ϵ,q个)英寸等式（6.4）经过相对较少的试验ϵ= 6.0 × 10−12,q个=3.875，已定位，结果显示图像位于.
图像放大显示所有三个底部行图像中的显著后向恢复。特别是，美国空军海图图像对MRI大脑和卫星图像的强烈影响，如，现在已大大减少，并且所有三幅图像都已明显锐化。
然而，美国空军图表和MRI脑图像都位于受到图像中心卫星图像伪影的影响。使用较小的|∆值无法消除该伪影t吨|，也不通过定位其他参数对(ϵ,q个)可以产生类似的锐化效果。因此，非线性系统中的后向恢复等式（7.3）与年的线性系统相比，似乎不太成功等式（5.1）。这并不意外。在线性自治自伴系统中等式（5.1），Hölder指数µ(t吨)=吨/吨最大值作为t吨↓ 0，如中所述第2节此外，在，计算的输入数据t吨=T型最大值与实际情况相比，更准确地逼近真实解相反，如第2.1节中的明确示例所示，并在[35]中非线性系统反向重构的基本不确定性等式（7.3）可能要大得多，因为在t吨=T型最大值图8.1中，再加上一个更快衰减的Hölder指数µ(t吨)作为t吨↓ 0，英寸等式（2.3）.
值得注意的是，在上述非线性实验中，可以从当时的计算数据中实现更准确的向后恢复t吨=T型最大值/2.显然，尽管存在离散化误差和数值噪声t吨=T型最大值/在较小的t吨，但随着t吨增加。
总之第7节提出了两个重要观点。拉普拉斯稳定显式格式等式（6.4）可以成功地应用于一类有限的非线性问题，对于这些问题，可以选择较大的|∆值t吨|，以及FFT合成问∆，提供了显著优势。然而，无论使用何种计算方法，非线性问题中的高质量反向重建通常需要在正时高精度的输入数据t吨=T型最大值.
8.线性自伴耦合波和扩散方程的稳定显式格式。
前面的许多理论第3节,4、和6，为热弹性系统开发等式（3.2），也可应用于声热流耦合。
设Ω为中的有界域R（右）n个边界平滑∂Ω. 让< , >和2，分别表示上的标量积和范数.让我表示线性二阶，正定的Ω上具有齐次Dirichlet边界条件的自伴变系数椭圆微分算子∂Ω. 让是正交本征函数的完备集我靠Ω，让，令人满意
是相应的特征值。
具有正常数一,b条,d日，考虑Ω×（0，T型],
什么时候？我= −∆,一=c（c）2,b条=σ、 d日= (γ−1），上述系统简化为中讨论的耦合声热流的线性方程[4], [7]即，，使用周=u个=0开∂Ω, 哪里c（c）是等温声速，是导热系数，和1< γ <2是比热比。
初值问题等式（8.2）当时间方向颠倒时，会变得不适。我们通过考虑可能的消极的时间步长∆t吨在显式差分格式中等式（8.7）如下所示。使用λ米如中所示等式（8.1），正常数a、 b、d、和操作员我如中所示等式（8.2），修复ω>0和p>（第页）1.给定∆t吨，定义ρ, Λ,Q、 ζ米,q个米，如下所示：
让G公司,S公司、和P（P），为以下3×3矩阵
让W公司是三分量向量[u个,v（v）,周]T型.我们可以重写等式（8.2）作为等效的一阶系统，
如中所示第3节，研究以下显式时间推进有限差分格式对于等式（8.5）其中，仅离散时间变量，而空间变量保持连续。具有给定的正整数N个，设|∆t吨| =T型最大值/N个是时间步长，让W公司n个表示W公司(·,n个∆t吨),n个=0，1···N个.如果W公司(·,t吨)是唯一的解决方案等式（8.5），那么
其中“截断错误”，使用。使用G公司和S公司如中所示等式（8.4），让R（右）是线性算子R（右）=S公司+ ∆tSG（变速器总成）.我们考虑近似W公司n个具有，其中
带有∆t>时间>0和数据U型0时间t吨=0，前进方案等式（8.7）旨在解决一个提出得很好的问题。然而，使用∆t吨<0，连同适当的数据U型0时间T型最大值，从T型最大值在里面等式（8.7）试图解决一个不适定问题。为三个分量向量定义以下规范，例如W公司(.,t吨)和U型n个,
我艾玛6使用p>1,和ζ米,q个米,如中所示
等式（8.3）,固定一个正整数J，然后选择。那么,
证明：这是中的引理1第3节，使用ρ在里面等式（8.3）更换¦Α在里面等式（3.3）因此，对ζ米,q个米.
我艾玛7ω，p，ζJ型,如引理6所示，R如
等式（8.7）,我们有。中的显式方案
等式（8.7）
是无条件稳定的，并且
证明：在系统中，在正交本征函数中展开ϕ米，使用L⁄米= λ米ϕ米.让,,，其中。然后，使用q个米如中所示等式（8.3）,
因此，
接下来，使用2xy公司≤x个2+年2,
和
同样，
和
因此，
让.组合等式（8.17）,(8.18)和(8.19)，我们发现
使用、和ζ米=ρ(1+ λ米)>1，然后我们有因此，
这意味着等式（8.10）关于使用引理6。量化宽松政策
我艾玛8让W(t吨)成为的独特解决方案
等式（8.5）然后，使用G、S和P，如
等式（8.4）,中规范的定义
等式（8.8）,和0 ≤n个≤N个,
证明：证明与中引理3中的相同第3节.
T型神灵5使用∆t>时间>0,让Wn个
是唯一的解决方案
等式（8.5）
在t=n个∆t.让Un个
是中的前向显式方案的对应解
等式（8.7）,让p，ζJ型,ω、 如引理6所示。如果，表示t处的误差=n个∆t吨,,我们有
证明：该证明与第4节.
如定理1所示，我们可以设置呃（0）=0英寸等式（8.23），然后选择ω= (ζJ型)1−第页在引理6中。等式（8.23）然后减少到
与中的转发问题错误一样等式（4.4）.
在给定数据向后推进的不适定问题中在t吨=T型最大值，其中
我们使用了与定理2中相同的证明第4节,
T型神灵6使用∆t吨<0,让Wn个
是前向适定问题的唯一解
等式（8.5）
在.让Un个
是中后向显式格式的解
等式（8.7）,使用初始数据如中所示
等式（8.25）.设p，ζJ型,ω、 如引理6所示。如果，表示s处的误差=T型最大值−n个|∆t吨|,n个= 0,1,2,··· ,N个,然后
就像当年一样等式（4.12）在里面第4节，给定M（M）和δ如中所示等式（8.25），我们选择ζJ型= (1/T型最大值)日志(M/δ),，并定义β(t吨) =吨/吨最大值.等式（8.26）然后减少到
因此，在具有自伴空间算子的耦合声热流系统中我，中的稳定显式格式等式（8.7）生产几乎是最好的与基本不确定度不同的结果M（M）1−β(t吨)
δβ(t吨)只有稳定处罚+O（运行）（|∆t吨|)截断错误。
8.1. 当我具有可变系数。
中的所有结果第6节可以应用于线性系统等式（8.5）。使用ρ, Λ,问如中所示等式（8.3），设Γ=ρ(我− ∆). 对于任何真实的问题>1和ε>0，定义在拉普拉斯算子的本征函数的闭合形式表达式已知的域中，使用平滑算子可能是有利的问∆代替问在稳定的显式格式中等式（8.7）。这对于那些微分算子来说是可行的我其中的假设等式（6.2）是有效的，因此，通过适当的选择(ϵ,q个),，对于所有人并且足够小t吨|. 在这种情况下，引理4和5在第6节，连同定理3和定理4，以及推论1和推论2，可以重新表述，以便应用于中的拉普拉斯稳定显式格式等式（8.7）此外，如中所述第6.1节，并在第10节下面，可以使用高效的FFT算法来合成问∆即使在非矩形域Ω上定义的问题中。
9.线性耦合声热流后向恢复的计算实验。
设Ω为开单位平方0<x,年<2π.0≤0≤t吨≤T型最大值= 0.002,一= 6,b条= 1,d日=0.4，考虑以下线性自治自伴耦合声热流系统Ω×（0，T型最大值)
在这里，u个(x个,年,t吨)表示温度，周(x个,年,t吨)位移，以及v（v）=周t吨(x个,年,t吨)是速度。初始值（f）(x个,年),小时(x个,年),克(x个,年)，是顶部行中显示的三幅512×512像素图像中的系统等式（9.1）与中考虑的不同等式（5.1）在里面第6节拉普拉斯算子应用于右手边的每个变量，在公式（5.1），而在等式（9.1），只有第二个方程具有这种性质。这导致了显著不同的正向进化。从中的最后一个方程等式（9.1）很明显，可以预计美国空军分辨率图表图像中的位移变化很小周(x个,年,t吨)，在从t吨=0至t吨=T型最大值= 0.002. 同样，与d日=0.4（在中的第一个方程式中）等式（9.1），强制项数字电视对伊丽莎白·泰勒温度图像的正向演变几乎没有影响u个(x个,年,t吨)最多T型最大值= 0.002.
声热流线性耦合实验第9节显示了前向进化到时间T时初始数据的严重失真和模糊最大值，然后使用稳定的显式格式在等式（8.7）.
带有∆x个= ∆年= (2π)/512，均匀的空间网格放置在Ω上。利用等式（9.1），可以使用基于FFT算法的高精度频谱傅里叶方法进行空间离散化。带有∆t吨= 1 × 10−7，进行了稳定的正演数值计算等式（8.7）高达T型最大值=20000∆t吨.而初始值f、 小时，克是非负函数，在正时间的相应解可以产生负值，如如图所示，只有非负部分u个+(x个,年,T型最大值),周+(x个,年,T型最大值),v（v）+(x个,年,T型最大值)，定义见等式（5.2），再次显示为的中间行中的三个图像.
中中间行的在线图像放大，表明模糊的伊丽莎白·泰勒图像没有明显受到其他两张图像的影响，而美国空军的图表图像与第一行中的原始图像几乎相同。然而，斯波克先生的速度图像已经成为第一排三幅图像的无法识别的混合图像。在，中间一行的三幅图像都是第一行图像的混合。
使用计算数据u个(x个,年,T型最大值),周(x个,年,T型最大值),v（v）(x个,年,T型最大值)和之前的∆值x个, ∆年、和∆t吨，中的稳定显式格式等式（8.7）向后运行20000个时间步T型最大值这里，Ω是一个矩形区域我=（-∆），自然会导致问∆在里面第8.1节作为中的平滑操作符等式（8.7）这很容易使用FFT算法进行合成。经过几次试验ϵ= 3.0 × 10−10,q个=3.75，位于，在t吨=0显示在中的最后一行.
显然，这是一次成功的重建，因为在t吨=T型最大值以及有利的Hölder指数µ(t吨) =吨/吨最大值，英寸公式（2.3）。请注意，恢复的美国空军海图位移图像不如t吨=T型最大值，由于以下原因导致的模糊问∆.
10.非矩形区域非线性耦合声热流的反向恢复，使用FFT拉普拉斯平滑。
我们现在强调稳定方案的多功能性等式（8.7）通过考虑非矩形区域中的非线性示例。设Ω为(x个,年)平面，
让T型最大值=0.002，并让我是函数上定义如下的非线性微分算子z(x个,年,t吨)Ω×（0，T型最大值):
哪里
使用一= 6,b条＝5，d日=0.95，以及(x个,年,t吨) ∈ Ω × (0,T型最大值)，考虑系统
如中所示第9节,u个(x个,年,t吨)表示温度，周(x个,年,t吨)位移，以及v（v）=周t吨(x个,年,t吨)是速度。初始值（f）(x个,年),小时(x个,年),克(x个,年)，是的顶行中显示的三个图像这里，四分之一圆区域Ω被封闭在单位正方形Ψ={0中<x，y<1}. 在Ψ上施加512×512均匀网格，导致离散边界∂Ωd日由最接近的网格点组成∂Ω. 这被认为是非常近似的∂Ω. 带∆x个= ∆年= 1/512, |∆t吨|=2.0×10−6，以及应用于的齐次边界条件∂Ωd日在1000∆的稳定正向计算中，使用了显式时间差分和空间变量的中心有限差分t吨。这在生成图像T型最大值=0.002，如中的中间一行所示在这里，悉尼歌剧院的速度图像现在已成为第一排三幅图像的无法识别的混合图像。与之前的实验一样T型最大值包含在形成中间行图像时未使用的负值。
非线性声热流耦合实验
第10节
超出了线性理论的发展范围
第9节
和
10。如中所述
第6.1节,封闭四分之一圆区域Ω单位正方形Ψ，允许使用FFT拉普拉斯平滑算子Q∆
使用中的方案进行反向重建
等式（8.7）.尽管T时刻的输入数据不够准确，但仍获得了有用的后向恢复最大值.
虽然在，在，加上20倍大的值∆t吨|. 因此，计算出的输入数据T型最大值在的中间一排，的准确度明显低于此外，线性自治自伴理论发展于第8节，以及中的假设等式（6.2），不适用于中的非线性系统等式（10.4）然而，正如第6.1节在目前的情况下，可以应用FFT合成平滑算子来稳定显式时间倒退。
在每个时间点米在里面等式（8.7），应用运算符后(我+ ∆tG公司)至U型米对于Ω⊂Ψ，通过将其定义为Ψ−Ω上的零，将解扩展到所有Ψ。然后将FFT算法应用于Ψ以合成问∆在里面第8.1节，并生产，同时只保留U型米+1Ω。然后在下一时间步重复此过程。
之前的∆值x个,∆年,|∆t吨|，中的方案公式（8.7）具有问∆代替问，用于使用在T型最大值。经过很少的试验，参数对ϵ= 8.0 × 10−11,第页=3.35，位于，产生了。图像放大显示出有用的重建，尽管当时输入数据的准确性有限T型最大值虽然在修复后的悉尼歌剧院图像中仍然可以看到微弱的人工制品，但从中排不可辨认的对应图像中重建该图像似乎很了不起。我们有自动变速器最大值=0.012，非线性算子我在里面等式（10.4）与非线性实验中使用的略有不同公式（7.3），其中αT最大值= 0.00432. 因此，在比年中排案件进展更大然而，在本例中获得了更高质量的重建。如前所述，与等式（10.4），操作员我在里面等式（7.3）作用于该系统中三个等式右侧的每个变量，从而产生更多的图像混合和数据置乱T型最大值在里面，发生在因此，与热弹性波传播相比，耦合声热流可能更容易在时间上倒退。
11.结束语。
本文的主要目的是打开大门，并证明在一类通常被认为难以解决的问题中成功进行后向重建的可能性。特别值得注意的是，这是使用显式推进方案完成的，因为此类方案允许通过简单地将非线性滞后于前一时间步，在精细网格上计算多维非线性问题。隐式时间差分需要迭代求解大型非线性差分方程组每个时间步这是一项艰巨而耗时的任务。这种隐式格式在不适定重建中是不切实际的，在确定最佳正则化参数之前，通常需要几个试验解。
尽管中的假设等式（6.2）起着重要作用，许多成功的计算实验似乎验证了这一点，即不等式尚未建立。使用问∆在里面非线性中未考虑问题等式（6.2）然而，在和以及中的其他非线性示例[1–三]，提出有趣的研究问题。
使用512×512像素灰度图像作为初始数据提供了具有挑战性的测试问题，并导致了指导性实验。这些实验提醒人们注意，在输入数据时必须有足够的准确性T型最大值由于非自伴或非线性空间算子的后向时间延拓中存在脆弱的Hölder连续性。
参考文献
[1]Carasso公司。适定或不适定非线性抛物方程的稳定显式时间推进.反向探测。科学。工程2016;24:1364–1384.[谷歌学者] [2]Carasso公司。不适定时反粘性波动方程的稳定显式推进格式.反向探测。科学。工程2016;24:1454–1474.[PMC免费文章][公共医学][谷歌学者] [3]Carasso公司。前向或后向非线性抛物方程显式分步计算中的稳定Richardson蛙跳格式.反向探测。科学。工程2017;25:1–24.[谷歌学者] [4]莫顿KW Richtmyer RD。初值问题的差分方法第二版，纽约（NY）：Wiley；1967[谷歌学者] [5]Rouse加利福尼亚州。隐式差分法数值计算流体动力流动和辐射扩散.《社会工业杂志》。申请。数学1961年；9:127–135.[谷歌学者] [6]森本浩H与热流耦合的波动方程的稳定性.数字。数学1962;4:136–145.[谷歌学者] [7]Lattès R，Lions JL。拟可逆方法及其应用巴黎：Dunod；1967[谷歌学者] [8]狮子JL。进化耦合解的近似.伦德。垫子1968;1:141–176.[谷歌学者] [9]Carasso公司。声热流耦合与最小二乘法.数学。Comp公司1975;29:447–463.[谷歌学者] [10]罗素·DL。弹性系统间接阻尼机制研究的一般框架.数学杂志。分析。应用程序1993;173:339–358.[谷歌学者] [11]Liu Z，Renardy M。关于热弹性板方程的注记.申请。数学。莱特1995;8:1–6.[谷歌学者] [12]刘凯，刘姿。抽象线性热弹性系统的指数稳定性和解析性.Z.安圭。数学。物理1997年：48:885–904.[谷歌学者] [13]刘Z、郑S。与耗散系统相关的半群查普曼和霍尔/CRC，纽约；1999[谷歌学者] [14]Lasiecka I，Triggiani R。热弹性半群的解析性及其缺失.ESAIM程序1998;4:199–222.[谷歌学者] [15]Dell'Oro F、Muñoz Rivera JE、Pata V。应用于线性热弹性板的抽象系统的稳定性.进化方程杂志2013;13: 777–794.[谷歌学者] [16]泰博L一些耦合双曲/抛物方程的稳定性.离散和连续动力系统B系列2010;14:1601–1620.[谷歌学者] [17]郝杰、刘姿。一类抽象双曲抛物耦合方程组的稳定性.Z.安圭。数学。物理2013;64:1145–1159.[谷歌学者] [18]Benabdallah A，Naso MG公司。热弹性板的零点可控性.摘要与应用分析2001;7:585–599.[谷歌学者] [19]Avalos G，Lasiecka I。热弹性板的机械和热零位可控性及相关能量函数的奇异性.控制与控制论2003;32:473–490.[谷歌学者] [20]米勒L热弹性板快速控制的成本.渐近分析2007;51：93–100。[谷歌学者] [21]Eller M、Lasiecka I、Triggiani R。变热系数热弹性板的精确/近似可控性.离散和连续动力系统2001:7:283–302.[谷歌学者] [22]佩恩·LE·艾姆斯·KA。动态线性热弹性方程的稳定解.连续介质的稳定性及应用分析1991;1:243–260.[谷歌学者] [23]Lasiecka I、Renardy M、Triggiani R。具有旋转力的热弹性板的向后唯一性.半群论坛2001;62：217–242。[谷歌学者] [24]Koch H，Lasiecka I.线性热弹性随时间和空间变化系数的向后唯一性。在函数分析和演化方程，Gunter-Lumer体积，Birkhauser Verlag；2007:389–403. 编辑：Amann H、Arendt W、Hieber M、Neubrander F、Nicaise S和von Below J。[谷歌学者] [25]Ciarletta M公司动态热弹性逆时解的唯一性和连续依赖性.J.热学。强调2002;25:969–984.[谷歌学者] [26]Chirita S公司线性热弹性中的最终边值问题.麦加尼卡2012;47:2005–2011.[谷歌学者] [27]Passarella F、Tibullo V、Zampoli V。多孔介质动态热弹性随时间倒退的唯一性.J.热学。强调2013;36:501–515.[谷歌学者] [28]拉夫雷蒂耶夫·MM。数学物理中一些不恰当的问题纽约（NY）：斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag）；1967[谷歌学者] [29]艾姆斯KA，斯特劳恩B。非标准和不适当的问题纽约（NY）：学术出版社；1997[谷歌学者] [30]Agmon S，Nirenberg L。Banach空间中常微分方程解的性质.普通纯应用程序。数学1963;16：121–239。[谷歌学者] [31]Knops RJ。对数凸性和其他应用于连续介质力学问题的技术。In：Knops RJ，编辑。非适定问题和对数凸性专题讨论会第卷。316，数学课堂讲稿。纽约（NY）：斯普林格·弗拉格（Springer-Verlag）；1973[谷歌学者] [32]米勒·K具有指定边界的不适定问题的最小二乘法.SIAM J.数学。Anal公司1970;1:52–74.[谷歌学者] [33]米勒·K全纯半群的对数凸性结果.太平洋数学杂志1975;58:549–551.[谷歌学者] [34]旋钮RJ，佩恩LE。关于Navier-Stokes方程解的向后稳定性.架构（architecture）。老鼠。机械。Anal公司1968;29：331–335。[谷歌学者] [35]Carasso公司。从现在的不精确知识中重建过去：抛物方程向后求解的有效非唯一性.数学。方法应用。科学2012;36:249–261.[谷歌学者] [36]巴布斯卡一世，奥斯本·JE。自伴问题特征值和特征向量的有限元Galerkin逼近.数学。Comp公司1989;52:275–297.[谷歌学者] [37]尤夫林五世用多重网格方法计算自伴椭圆算子的大量特征值.J.计算。物理2003;184:321–337[谷歌学者] [38]Platte RB，Driscoll TA。用径向基函数计算椭圆算子的特征模.计算。数学。应用程序2004;48:561–576.[谷歌学者] [39]Morse PM，Feshbach H。理论物理方法纽约（NY）：McGraw-Hill；1953[谷歌学者] [40]Arendt W，Ter Elst AFM公司。带边界条件的二阶椭圆算子的高斯估计.《运营杂志》。理论1997;38:87–130.[谷歌学者] [41]Aronson总经理。抛物型方程基本解的界.牛市。美国数学。Soc公司1967;73:890–896.[谷歌学者] [42]Ouhabaz EM公司。高斯估计与半群的全形.程序。美国数学。Soc公司1995;123:1465–1474.[谷歌学者] [43]Ouhabaz EM公司。任意域上二阶复系数椭圆算子热核的高斯上界.《运营杂志》。理论2004;51:335–360.[谷歌学者] 
