New global dynamical results and application of several SVEIS epidemic models with temporary immunity

Lianwen Wang; Zhijun Liu; Caihong Guo; Yong Li; Xinan Zhang

doi:10.1016/j.amc.2020.125648

应用数学计算。2021年2月1日；第390页：125648页。

2020年9月10日在线发布。数字对象标识：2016年10月10日/j.amc.2020.125648

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PMID：32934426

几种具有暂时免疫性的SVEIS流行病模型的新全局动力学结果及其应用

王连文,^一刘志军,^⁎,^一郭彩红,^b条李勇,^c（c）和张希南（Xinan Zhang）^天

作者信息文章注释版权和许可信息 PMC免责声明

亮点

•
建立了一种新的具有临时免疫的非线性SVEIS流行病模型。
•
该模型的发生率是许多非线性模型的推广。
•
提出的模型的全局动力学由一个新的几何准则完全解决。
•
充分解决了现有几种非线性SVEIS模型的全局稳定性问题。
•
估计模型参数以研究多种措施对H1N1大流行的影响。

关键词：全局稳定性，疫苗接种，暂时免疫，非线性发病率，Li-Muldowney几何准则，参数估计

摘要

本文应用Lu和Lu（2017）推广的非线性自治微分方程全局稳定性的一个新的几何判据，建立了若干具有临时免疫性的SVEIS流行病模型的全局阈值动力学，其中包括具有心理效应的饱和发病率和非单调发病率，以及具有饱和发病率和部分暂时免疫性的SVEIS模型。顺便说一句，Cai和Li（2009）、Sahu和Dhar（2012）中具有饱和发生率的SVEIS模型的全局稳定性已经完全解决。此外，利用DEDiscover模拟工具，利用中国香港2009-2010年H1N1大流行病例数据估计了Sahu和Dhar模型中的参数，验证了疫苗接种计划确实避免了大流行的后续潜在爆发波。最后，全球敏感性分析表明，应联合使用多种控制措施，大幅降低波峰，延迟第二波的到来，因此及时接种疫苗特别有效。

关键词：全局稳定性，疫苗接种，暂时免疫，非线性发病率，Li-Muldowney几何准则，参数估计

1.简介

免疫接种被认为是最成功和最具成本效益的公共卫生干预措施之一[1]例如，在世界范围内根除小痘苗，并大幅降低大多数其他疫苗可预防疾病的年发病率，如脊髓灰质炎、麻疹、乙型肝炎、黄热病[2]、霍乱[3]，腮腺炎[4]和流感[5],[6],[7],[8]目前，免疫每年可挽救200万至300万人的生命，并可防止疾病导致的虚弱疾病、残疾和死亡。然而，据估计，2018年有1940万婴儿未能获得常规免疫服务[1]由于疫苗接种率低，2017-2018年的季节性流感在美国造成约4500万人患病，2100万人就诊，81万人住院，61000人死亡[9]，而现在的负担并不乐观。幸运的是，及时的疫苗接种计划在缓解2009年H1N1流感大流行方面发挥了核心作用[8]（pH1N1）。以中国香港为例：疫情的后续潜在波动[10]通过为几个优先群体启动pH1N1疫苗接种计划，可能会有效缓解疫情[11]尽管由于缺乏针对新型流感毒株的疫苗，第一波疫情未能及时控制[12]（请参见图1).

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图1

2009-2010年中国香港报告的pH1N1病例的流行病学曲线。

诚然，免疫可能不是一劳永逸的，因为疫苗诱导的免疫通常是暂时的，疾病获得性免疫和自然免疫也是暂时的，这成为消除这些传染病的主要障碍之一。疫苗很少能为接受者提供几乎终身的再感染免疫力。感染后，易感个体首先会暴露在外，但不会感染，然后会感染。成功康复的个体获得了疾病诱导免疫。此外，凭借自然免疫力[13],[14],[15]，一部分暴露的个体没有发展成疾病，但获得了暂时的免疫力。例如，有效的先天免疫保护了90%以上的感染者结核分枝杆菌 [14].最近的一项研究[15]已经表明，与季节性流感类似，H1N1大流行株的大多数感染（高达75%）是无症状的，并给受感染者提供了临时免疫。

结合临时免疫和潜伏期的非线性流行病动力学模型，如SEIRS、SVEIS模型[16],[17],[18],[19]已开发用于更好地定性和定量地了解传染病的传播动力学行为。利用它们的全局渐近稳定性一直是传染病建模研究人员非常感兴趣和面临的挑战，目的是找出有效的控制干预措施[16],[17],[18],[19]虽然Lyapunov函数方法可能不适合证明其全局稳定性，但基于Li和Muldowney开发的可加复合矩阵理论的非线性自治微分方程的经典几何方法[20],[21],[22]已经成功地应用于这些流行病模型[16],[17],[20],[21],[22]例如，蔡和李[16]提出了以下具有临时免疫的非线性SEIV疫情模型：

{\begin{matrix} \frac{分布式存储}{日期} & = (1 - 第页) Π - \frac{β 硅}{φ (我)} - μ S公司 + ω V（V）, \\ \frac{判定元件}{日期} & = \frac{β 硅}{φ (我)} - (μ + σ) E类, \\ \frac{数据接口}{日期} & = σ E类 - (μ + γ) 我, \\ \frac{数字电压}{日期} & = 第页 Π + γ 我 - (μ + ω) V（V）, \end{matrix}

(1.1)

其中总人口N个由易感(S公司)，潜在的(E类)，传染性(我)和重新接种疫苗(V（V）)类。非线性入射βSI/φ(我)，使用 $φ (0) = 1$ 和φ′(我)≥0，推广饱和发病率 $β S公司我 / (1 + κ 我)$ 非单调事件捕捉心理效应 $β S公司我 / (1 + κ 我^{2})$ [23],[24].在[16]萨胡和达尔[17]进一步开发了具有部分临时免疫性的非线性SVEIS模型，如下所示：

\begin{matrix} {\begin{matrix} \frac{分布式存储}{日期} = Π - α S公司 - \frac{β 硅}{1 + κ 我} - μ S公司 + ω V（V） + (1 - q个) γ 我, \\ \frac{数字电压}{日期} = α S公司 + q个 γ 我 + ξ E类 - (μ + ω) V（V）, \\ \frac{判定元件}{日期} = \frac{β 硅}{1 + κ 我} - (μ + σ + ξ) E类, \\ \frac{数据接口}{日期} = σ E类 - (μ + γ) 我, \end{matrix} \end{matrix}

(1.2)

易感人群以恒定速度接种某种疫苗α，与模型不同(1.1)接种疫苗的新生儿比例（表示为第页). 在本文中，我们总是假设相同的参数代表相同的生物学意义，以及模型参数的详细生物学描述(1.2)在中进行了演示表1。请注意[16],[17]应用基于第二可加复合矩阵理论的几何方法[20]并在接种繁殖数下实现了唯一地方病平衡（EE）的全局稳定性 $对_{v（v）} > 1$ 以及其他一些限制。最近，Lu和Lu[18],[19]改进了经典几何方法[20],[21],[22]推广了全局稳定性问题的几何判据，并将其应用于几个非线性SEIRS模型，成功地消除了对其EE全局稳定性的一些限制条件。

表1

模型符号说明(1.2)以及他们的价值观。

符号	说明	单位	范围	基线	来源
Π	招聘率	米 $^{- 1}$	[0,6748]	130	假设
μ	自然死亡率	米 $^{- 1}$	–	$9.815 \times 10^{- 4}$	[25]
1/γ	平均感染期	米	[0.1333,0.333]	0.2333	[5],[26],[27],[28]
1/ω	免疫力下降的平均时间	米	[6,12.1655]	12.1655	[6],[7]
α	接种率	米 $^{- 1}$	[0,1]	0	[5],[7]
ξ	暴露类回收率
	由于自然免疫力	米 $^{- 1}$	[3,30]	4.2857	已安装
β	疾病传播系数	米 $^{- 1} \cdot {第页}^{- 1}$	[0,1]	$7.0219 \times 10^{- 5}$	已安装
1/σ	潜伏期	米	[0.0333,0.1667]	0.1116	已安装
κ	抑制作用	–	[0,1]	$1.3458 \times 10^{- 13}$	已安装
q个	恢复个体分数
	从疾病发展免疫	–	[0,1]	0.9287	已安装
S公司(0)	敏感等级的初始值	第页	[0, 7 × 10⁶]	1.2959 × 10⁵	已安装
V（V）(0)	接种类别的初始值	第页	[0, 7 × 10⁶]	2.7970 × 10⁵	已安装
E类(0)	暴露类的初始值	第页	[0, 7 × 10⁶]	10	假设
我(0)	传染等级的初始值	第页	–	23	[12]

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[注：m、p分别代表月和人。]

借用[16],[17],[23],[24]，我们建立了以下具有一般非线性发病率的SVEIS流行病模型：

\begin{matrix} {\begin{matrix} \frac{分布式存储}{日期} = (1 - 第页) Π - Sg公司 (我) - μ S公司 + ω V（V）, \\ \frac{数字电压}{日期} = 第页 Π + γ 我 + ξ E类 - (μ + ω) V（V）, \\ \frac{判定元件}{日期} = Sg公司 (我) - (μ + σ + ξ) E类, \\ \frac{数据接口}{日期} = σ E类 - (μ + γ) 我, \end{matrix} \end{matrix}

(1.3)

其中，假设疫苗诱导、疾病获得和自然免疫对流感等疾病的持续时间几乎相同，以及不同的感染力函数克具有以下反映某些生物学意义的特性：

（第1页） $克 \in C类 : 对_{+} \to 对_{+},$ 满足 $克 (0) = 0,$ 克(我)>0用于我 > 0.

（第2页） $克 (我) / 我 \in C类$ 单调地不增加我>0，和 $林_{我 \to 0^{+}} (克 (我) / 我) : = β < + \infty$ .

（第3页） 我|克′(我)| ≤ 克(我)的我 > 0.

值得强调的是[23],[24], $β S公司在 (1 + κ 我)$ [29]和 $β S公司我 / (1 + κ 我 + \sqrt{1 + 2 κ 我})$ [30]但不仅限于他们（第1页）-（第3页），因此我们解除了对克(我)尽管引入了（第3页）。使用此几何标准[18]，我们将彻底解决模型的全局阈值动力学(1.3)和(1.2)以其疫苗繁殖数量为特征。顺便提一下，定理4中不必要的限制[16]和定理5.5[17]自模型以来已完全删除(1.3)简化为模型(1.1)如果 $克 (我) = β 我 / φ (我)$ 和 $ξ = 0$ 特别值得注意的是，我们实现了模型的全局渐近稳定性(1.1)属于[16]非单调的发病率反映了心理效应，也保留了阈值动力学。

此外，作为模型的应用(1.2)，中国香港报道的pH1N1病例数据[12]用于估计其参数，目的是为了避免2010年大流行的后续潜在波动（正如世卫组织预测的那样[10])实施pH1N1疫苗接种计划。同时，根据疫苗接种繁殖数的全局敏感性分析，评估了几种疾病控制措施。特别是，本研究得出的结论是，联合使用隔离、接种和治疗等多种控制措施，可以更有效地降低波峰，同时显著延迟第二波的到来。

本文概述如下。在第2节，我们为模型提供了全局阈值动态的洞察力(1.3)包括其平衡点的存在性、局部和全局渐近稳定性。第3节完全解决了模型的全局动态(1.2).第4节对模型的疫苗接种繁殖数进行参数估计和全局灵敏度分析(1.2)以寻求有效的控制措施。最后，我们以结论和讨论部分结束本文。

2.模型的全局阈值动态(1.3)

2.1. 平衡的存在

对于模型(1.3)，可以很容易地获得生物可行区域

Ω = {(S公司, V（V）, E类, 我) \in 对_{+}^{4} : N个 = S公司 + V（V） + E类 + 我 \leq \frac{Π}{μ}},

是中类似参数的正不变集[16]显然，无病平衡（DFE） ${P（P）}_{0} = ({S公司}_{0}, {V（V）}_{0}, 0, 0)$ 模型的(1.3)始终存在，其中 ${S公司}_{0} = [(1 - 第页) μ + ω] Π / [μ (μ + ω)],$ ${V（V）}_{0} = 第页 Π / (μ + ω)$ 因此，通过在[31]，接种繁殖编号（例如，看到[32],[33])计算为

对_{v（v）} = \frac{σ 克^{'} (0) {S公司}_{0}}{(μ + γ) (μ + σ + ξ)} = \frac{σ β Π [(1 - 第页) μ + ω]}{μ (μ + ω) (μ + γ) (μ + σ + ξ)},

(2.1)

显然与中的模型保持一致[16]什么时候 $ξ = 0$ .

通过一些直接但繁琐的代数运算，可以推断出我*EE中的组件 ${P（P）}^{*} = ({S公司}^{*}, {V（V）}^{*}, {E类}^{*}, 我^{*})$ 由以下方程式确定

G公司 (我) : = ({S公司}_{0} - 一 我) 克 (我) - b条 我 = 0, 对于 我 \in [0, {S公司}_{0} / 一],

(2.2)

哪里

一 : = \frac{(μ + γ) (μ + σ + ξ + ω) + σ ω}{σ (μ + ω)}, b条 : = \frac{(μ + γ) (μ + σ + ξ)}{σ} .

在下文中，我们将重点分析等式（2.2）然后，一个简单的归纳法显示

{G公司}^{'} (我) : = ({S公司}_{0} - 一 我) 克^{'} (我) - 一 克 (我) - b条 .

(2.3)

它从（第2页）那个 ${G公司}^{'} (0) = {S公司}_{0} 克^{'} (0) - b条 = b条 (对_{v（v）} - 1)$ .

在以下情况下 $对_{v（v）} > 1,$ 与一起G公司′(0) > 0, $G公司 (0) = 0$ 和 $G公司 ({S公司}_{0} / 一) = - b条 {S公司}_{0} / 一 < 0,$ 可以看出G公司(我)>0作为我足够小，保证正实根的存在等式（2.2）从图2，表示为我*. 它的唯一性通过以下荒谬性的还原得到了验证。前提是另一个积极的解决方案我 _*属于(2.2)最接近我*如果存在，必须满足G公司′(我 _*)≥0，因为G公司(我). 实际上，连同克′(我 _*) ≤ 克(我 _*)/我 _*推导自（第3页），我们到达

{G公司}^{'} (我_{*}) : = {S公司}_{*} 克^{'} (我_{*}) - 一 克 (我_{*}) - \frac{{S公司}_{*} 克 (我_{*})}{我_{*}} = - 一 克 (我_{*}) + {S公司}_{*} (克^{'} (我_{*}) - \frac{克 (我_{*})}{我_{*}}) < 0,

(2.4)

其中一个使用了等式 $b条 = {S公司}_{*} 克 (我_{*}) / 我_{*}$ 由EE满足的方程导出。存在明显的矛盾，如所示图2因此，正解我*是唯一的，这会导致S公司*,V（V）*,E类*根据上述分析。

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图2

正实根的存在唯一性公式（2.2）.

在以下情况下 $对_{v（v）} \leq 1,$ 等式（2.2）必须承认没有积极的解决方案。否则，让我 _⋆做它最小的。结合 $G公司 (0) = 0$ 和G公司′（0）≤0表示G公司(我)小于等于0我.由于功能G公司(我)从非正值持续增加到0，可以清楚地看到G公司′(我 _⋆)≥0，这与G公司′(我 _⋆)<0英寸(2.4).

总之，模型(1.3)有一个独特的EEP（P）*当且仅当（iff） $对_{v（v）} > 1$ .

定理2.1

对于模型 (1.3) ，DFE P ₀ 始终存在，并且EE P*唯一存在iff $对_{v（v）} > 1$ .

2.2. 局部稳定性

定理2.2

（i）DFE P ₀ 是局部渐近稳定的（LAS），如果 $对_{v（v）} < 1,$ 但如果 $对_{v（v）} > 1$ ;（ii）EE P公司*是LAS iff $对_{v（v）} > 1$ .

证明

模型的雅可比矩阵(1.3)采用以下形式

\begin{matrix} J型 = [\begin{matrix} - (μ + 克 (我)) & ω & 0 & - S公司 克^{'} (我) \\ 0 & - (μ + ω) & ξ & γ \\ 克 (我) & 0 & - (μ + σ + ξ) & S公司 克^{'} (我) \\ 0 & 0 & σ & - (μ + γ) \end{matrix}] . \end{matrix}

(2.5)

（i）特征方程P（P） ₀是

(λ + μ) (λ + μ + ω) [λ^{2} + (2 μ + γ + σ + ξ) λ + (μ + γ) (μ + σ + ξ) (1 - 对_{v（v）})] = 0 .

(2.6)

显然，当 $对_{v（v）} < 1,$ 也就是说，P（P） ₀是LAS。如果 $对_{v（v）} > 1,$ 存在正根，因此DFE变得不稳定。

（ii）计算特征方程P（P）*，一个达到

(λ + μ) [(λ + 一_{1}) (λ + 一_{2}) (λ + 一_{三}) + ω 克 (我^{*}) (λ + 一_{4}) - σ {S公司}^{*} 克^{'} (我^{*}) (λ + 一_{5})] = 0,

(2.7)

哪里 $一_{1} : = μ + γ,$ $一_{2} : = μ + σ + ξ,$ $一_{三} : = μ + ω + 克 (我^{*}),$ $一_{4} : = μ + γ + σ,$ $一_{5} : = μ + ω$ 显然， $λ_{1} = - μ < 0$ .

案例I.让克′(我*) > 0. 有人断言下列方程的所有特征值

(λ + 一_{1}) (λ + 一_{2}) (λ + 一_{三}) + ω 克 (我^{*}) (λ + 一_{4}) = σ {S公司}^{*} 克^{'} (我^{*}) (λ + 一_{5})

(2.8)

满足Reλ < 0. 为了矛盾，假设存在一个特征值 $\tilde{λ}$ 具有 $对 e（电子） \tilde{λ} \geq 0$ .来自(2.8)和（第3页），得出以下矛盾

一_{1} 一_{2} < | (\tilde{λ} + 一_{1}) (\tilde{λ} + 一_{2}) (1 + \frac{克 (我^{*})}{\tilde{λ} + 一_{5}}) + \frac{ω 克 (我^{*}) (\tilde{λ} + 一_{4})}{\tilde{λ} + 一_{5}} | = σ {S公司}^{*} 克^{'} (我^{*}) \leq \frac{σ {S公司}^{*} 克 (我^{*})}{我^{*}} = 一_{1} 一_{2} .

案例二.让克′(我*) ≤ 0. 平等(2.8)被重铸为 $λ^{三} + {A类}_{1} λ^{2} + {A类}_{2} λ + {A类}_{三} = 0$ 。对于 $我, j个 = 1, 2, 三,$ Routh-Hurwitz条件可以通过以下方式得到保证

\begin{matrix} {A类}_{1} = 一_{1} + 一_{2} + 一_{三} > 0, \\ {A类}_{2} = 一_{1} 一_{2} + 一_{2} 一_{三} + 一_{1} 一_{三} + ω 克 (我^{*}) - σ {S公司}^{*} 克^{’} (我^{*}) > 0, \\ {A类}_{三} = 一_{1} 一_{2} 一_{三} + ω 克 (我^{*}) 一_{4} - σ {S公司}^{*} 克^{’} (我^{*}) 一_{5} > 0, \\ {A类}_{1} {A类}_{2} - {A类}_{三} = (一_{1} + 一_{2} + 一_{三}) (一_{1} 一_{2} + 一_{2} 一_{三} + 一_{1} 一_{三}) - 一_{1} 一_{2} 一_{三} + ω 克 (我^{*}) (2 μ + ξ + ω + 克 (我^{*})) - σ {S公司}^{*} 克^{’} (我^{*}) (一_{1} + 一_{2} + 克 (我^{*})) > 0 . \end{matrix}

因此我们推断所有特征值都服从Reλ < 0. 结合案例I和二导致局部稳定性P（P）*对于 $对_{v（v）} > 1$ . □

2.3. 全球稳定性

定理2.3

DFE P ₀ 模型的 (1.3) GAS在Ω如果 $对_{v（v）} \leq 1$ .

证明

根据(1.3)和 $S公司 + V（V） + E类 + 我 \leq Π / μ,$ 很容易确定

\begin{matrix} \frac{分布式存储}{日期} & \leq & (1 - 第页) Π - μ S公司 + ω V（V） \leq (1 - 第页) Π - μ S公司 + ω (\frac{Π}{μ} - S公司 - E类 - 我) \\ \leq & \frac{[(1 - 第页) μ + ω] Π}{μ} - (μ + ω) S公司 = (μ + ω) ({S公司}_{0} - S公司), \end{matrix}

它声称S公司 ≤ S公司 ₀（类似于[4]). 否则，让我们假设S公司 > S公司 ₀，因此分布式存储/日期 < 0. 由此可见S公司 ≤ S公司 ₀什么时候S公司(0) ≤ S公司 ₀我们的假设是荒谬的。因此，我们的主张S公司 ≤ S公司 ₀有效。请注意克(我)/我 ≤ β对于我>0可通过以下方式确保（第3页）（例如，看到。，[34]). 构造Lyapunov函数 $W公司 (t吨) = E类 + (μ + σ + ξ) 我 / σ,$ 及其时间导数W公司(t吨)沿着模型的解(1.3)估计为

\frac{天 W公司 (t吨)}{天 t吨} = \frac{天 E类}{天 t吨} + \frac{μ + σ + ξ}{σ} \frac{天 我}{天 t吨} = 我 (S公司 \frac{克 (我)}{我} - b条) \leq 我 (β {S公司}_{0} - b条) = b条 我 (对_{v（v）} - 1) \leq 0

前提是 $对_{v（v）} \leq 1$ 从拉萨尔不变性原理[35]和局部稳定性P（P） ₀在定理2.2中，我们可以导出其全局渐近稳定性 $对_{v（v）} \leq 1$ . □

在接下来的部分中，我们将采用由[18]建立EE的全球稳定性P（P）*模型的(1.3).此几何方法的简要概述[18],[20],[21],[22]如下所示。

让我们考虑非线性自治动力系统：

\frac{天 x个}{天 t吨} = （f） (x个), x个 \in 问 \subset 对^{n个},

(2.9)

其中函数 $（f） (x个) \in C类 : 问 \to 对^{n个}$ 和问是一个开放集。对于（2.9） $x个 (0, {x个}_{0}) = {x个}_{0}$ 定义为x个(t、 x个 ₀)其平衡为x个*. 此外，让我们分配 $M（M） (x个) \in {C类}^{2} : 问 \to 对^{n个},$ 令人满意的 $昏暗的 (\partial M（M） / \partial x个) = 米$ 什么时候 $M（M） (x个) = 0$ 。我们假设该系统(2.9)承认 $n个 - 米$ 维不变流形定义为 $Γ = {x个 \in 对^{n个} | M（M） (x个) = 0}$ .

满足以下三个假设：

（H1）Γ是单连通的。

（H2）有一个紧凑的吸收装置D类 ⊂ 问 ⊂ Γ.

（H3）系统(2.9)承认一种独特的平衡x个*单位为Γ。

Lu和Lu的一般几何准则概括如下。

引理2.1

（参见中的定理2.6 [18] ). 唯一平衡x*属于 (2.9) 在中全局渐近稳定（GAS）Γ前提是（H1）-（H3）以及以下条件（C）保持。

（C）对于系数矩阵B(x个(0,x个 ₀))系统的 (2.9) ，有一个矩阵C(t吨),足够大的τ ₁ > 0和常量 $ρ_{1}, ρ_{2}, \dots, ρ_{n个} > 0$ 这样的话

{b条}_{我 我} (t吨) + \sum_{我 \neq j个} \frac{ρ_{j个}}{ρ_{我}} | {b条}_{我 j个} (t吨) | \leq {c（c）}_{我 我} (t吨) + \frac{ρ_{j个}}{ρ_{我}} | {c（c）}_{我 j个} (t吨) |, 对于 \forall t吨 \geq τ_{1}, \forall {x个}_{0} \in D类,

(2.10)

和

\underset{t吨 \to \infty}{林} \frac{1}{t吨} \int_{0}^{t吨} ({c（c）}_{我 我} (t吨) + \frac{ρ_{j个}}{ρ_{我}} | {c（c）}_{我 j个} (t吨) |) 天 秒 = {\bar{c（c）}}_{我} < 0,

(2.11)

其中b_ij公司(t吨)和c_ij公司代表矩阵B的条目(x个(0,x个 ₀))和C(t吨),分别是。

用表示内部，Ω的边界 $\overset{˚}{Ω}$ 分别为？Ω。一致持久性 $\overset{˚}{Ω}$ 模型的(1.3)对于 $对_{v（v）} > 1$ 可以从P（P） ₀和P（P） ₀ ∈ ∂Ω.

定理2.4

型号 (1.3) 在 $\overset{˚}{Ω}$ 如果 $对_{v（v）} > 1$ .

定理2.5

EE P公司*模型的 (1.3) GAS在 $\overset{˚}{Ω}$ 如果 $对_{v（v）} > 1$ .

证明

第三种加性复合矩阵 $J型$ [22]对于模型(1.3)获取表单

{J型}^{[三]} (x个) = [\begin{matrix} - (ω + σ + ξ) & S公司 克^{'} (我) & - γ & - S公司 克^{'} (我) \\ σ & - (ω + γ) & ξ & 0 \\ 0 & 0 & - (σ + ξ + γ) & ω \\ 0 & - 克 (我) & 0 & - (ω + σ + ξ + γ) \end{matrix}] + Θ_{1},

哪里 $Θ_{1} : = 诊断 {- (三 μ + 克 (我)), - (三 μ + 克 (我)), - (三 μ + 克 (我)), - 三 μ}$ .

分配 $M（M） (x个) = S公司 + V（V） + E类 + 我 - Π / μ$ 具有 $x个 = (S公司, V（V）, E类, 我) \in 对_{+}^{4}$ 。的不变流形(1.3)是 $Γ = {x个 \in 对_{+}^{4} | M（M） (x个) = 0}$ .以下[22]，结果是 $N个 (x个) = ν (x个) = - μ$ 和 $米 = 昏暗的 (\partial M（M） / \partial x个) = 1$ .在续集中，让 $P（P） (x个) = 诊断 {我, E类, V（V）, S公司}$ 和 $我_{4 \times 4}$ 是4×4的单位矩阵。然后是系数矩阵 $B类 (t吨) = {P（P）}_{（f）} {P（P）}^{- 1} + P（P） {J型}^{[三]} (x个) {P（P）}^{- 1} - ν 我_{4 \times 4}$ 读取

\begin{matrix} B类 (t吨) = [\begin{matrix} - (ω + σ + ξ) & \frac{S公司 我 克^{'} (我)}{E类} & - \frac{γ 我}{V（V）} & - 我 克^{'} (我) \\ \frac{σ E类}{我} & - (ω + γ) & \frac{ξ E类}{V（V）} & 0 \\ 0 & 0 & - (σ + ξ + γ) & \frac{ω V（V）}{S公司} \\ 0 & - \frac{S公司 克 (我)}{E类} & 0 & - (ω + σ + ξ + γ) \end{matrix}] + Θ_{2}, \end{matrix}

哪里 $Θ_{2} = 诊断 {- (2 μ + 克 (我)) + 我^{'} / 我, - (2 μ + 克 (我)) + {E类}^{'} / E类, - (2 μ + 克 (我)) + {V（V）}^{'} / V（V）, - 2 μ + {S公司}^{'} / S公司}$ .

同时，模型(1.3)可以重铸成

\begin{matrix} \frac{ω V（V）}{S公司} & = & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + 克 (我) + μ - \frac{(1 - 第页) Π}{S公司}, \frac{γ 我}{V（V）} = \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{第页 Π}{V（V）} - \frac{ξ E类}{V（V）}, \\ \frac{Sg公司 (我)}{E类} & = & \frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ, \frac{σ E类}{我} = \frac{我^{’}}{我} + μ + γ . \end{matrix}

(2.12)

注意，定理2.4暗示存在一个常数π ₀>0，这样π ₀ ≤ S、 V、E、I ≤ Π/μ。它源自（第1页）存在常量l、 l（左）>0，这样我 ≤ 克(我) ≤ L（左）.分配π ≔ μπ ₀/Π. 由我|克′(我)| ≤ 克(我)英寸（第3页）和(2.12),c（c）_我(t吨)分别估算为

\begin{matrix} {c（c）}_{1} (t吨) = {b条}_{11} (t吨) + \sum_{我 = 2}^{4} | {b条}_{ij公司} (t吨) | & = & - (2 μ + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + \frac{硅 | 克^{’} (我) |}{E类} + \frac{γ 我}{V（V）} + 我 | 克^{’} (我) | \\ \leq & - (2 μ + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + \frac{Sg公司 (我)}{E类} + \frac{γ 我}{V（V）} + 克 (我) \\ \leq & - (2 μ + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + (\frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ) \\ + (\frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{第页 Π}{V（V）} - \frac{ξ E类}{V（V）}) + 克 (我) \\ \leq & \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{我^{’}}{我} - (第页 μ + ξ π) ≜ {\bar{c（c）}}_{1} (t吨), \\ {c（c）}_{2} (t吨) = {b条}_{22} (t吨) + \sum_{我 \neq 2} | {b条}_{ij公司} (t吨) | & = & - (2 μ + ω + γ + 克 (我)) + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{σ E类}{我} + \frac{ξ E类}{V（V）} \\ \leq & - (2 μ + ω + γ + 克 (我)) + \frac{{E类}^{’}}{E类} + (\frac{我^{’}}{我} + μ + γ) + (\frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{第页 Π}{V（V）} - \frac{γ 我}{V（V）}) \\ \leq & \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{我^{’}}{我} - (我 + 第页 μ + γ π) ≜ {\bar{c（c）}}_{2} (t吨), \\ {c（c）}_{三} (t吨) = {b条}_{33} (t吨) + \sum_{我 \neq 三} | {b条}_{ij公司} (t吨) | & = & - (2 μ + σ + γ + ξ + 克 (我)) + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{ω V（V）}{S公司} \\ \leq & - (2 μ + σ + γ + ξ + 克 (我)) + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + (\frac{{S公司}^{’}}{S公司} + 克 (我) + μ - \frac{(1 - 第页) Π}{S公司}) \\ \leq & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} - [σ + γ + ξ + (2 - 第页) μ] ≜ {\bar{c（c）}}_{三} (t吨), \\ {c（c）}_{4} (t吨) = {b条}_{44} (t吨) + \sum_{我 \neq 4} | {b条}_{ij公司} (t吨) | & = & - (2 μ + σ + γ + ω + ξ) + \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{Sg公司 (我)}{E类} \\ \leq & - (2 μ + σ + γ + ω + ξ) + \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + (\frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ) \\ \leq & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{{E类}^{’}}{E类} - (μ + ω + γ) ≜ {\bar{c（c）}}_{4} (t吨) . \end{matrix}

选择矩阵C类(t吨)在引理2.1中为 $C类 (t吨) = 天我一克 {{c（c）}_{1} (t吨), {c（c）}_{2} (t吨), {c（c）}_{三} (t吨), {c（c）}_{4} (t吨)}$ 。很容易检查 $林_{t吨 \to \infty} \int_{0}^{t吨} {\bar{c（c）}}_{我} (秒) 天秒 / t吨 = {\bar{c（c）}}_{我} < 0,$ 哪里 ${\bar{c（c）}}_{1} = - (第页 μ + ξ π),$ ${\bar{c（c）}}_{2} = - (我 + 第页 μ + γ π),$ ${\bar{c（c）}}_{三} = - [σ + γ + ξ + (2 - 第页) μ],$ ${\bar{c（c）}}_{4} = - (μ + ω + γ)$ .根据引理2.1，EE是GAS $\overset{˚}{Ω}$ .□

备注2.1

让 $ξ = 0$ 和 $克 (我) = β 我 / (1 + κ 我),$ 然后是模型(1.3)简化为具有饱和入射角的模型[16]，保留了定理2.5的全局阈值动力学，改进了中的定理4[16]更重要的是，将锐利阈值动力学结果推广到非单调关联捕获心理效应的模型[16].

3.模型的全局阈值动态(1.2)

在本节中，为了简单起见，我们采用 $克 (我) : = β 我 / (1 + κ 我),$ 令人满意的（第1页）、（第2页）和

（P3）′ 免疫球蛋白′(我)≤克(我)的我 > 0.

遵循与中定理2.1–2.2的证明相同的推理第2.1小节–2.2，我们很容易得出以下关于DFE的存在性、局部稳定性的结论 ${\tilde{P（P）}}_{0} = ({\tilde{S公司}}_{0}, {\tilde{V（V）}}_{0}, 0, 0)$ 和EE ${\tilde{P（P）}}^{*} = ({\tilde{S公司}}^{*}, {\tilde{V（V）}}^{*}, {\tilde{E类}}^{*}, {\tilde{我}}^{*})$ 对于模型(1.2)，其中 ${\tilde{S公司}}_{0} = (μ + ω) Π / [μ (μ + α + ω)],$ ${\tilde{V（V）}}_{0} = α Π / [μ (μ + α + ω)]$ .

定理3.1

型号 (1.2) 始终具有DFE ${\tilde{P（P）}}_{0}$ 和EE ${\tilde{P（P）}}^{*}$ 如果疫苗复制编号是唯一的

{\tilde{对}}_{v（v）} = \frac{σ 克^{'} (0) {\tilde{S公司}}_{0}}{(μ + γ) (μ + σ + ξ)} = \frac{σ β Π (μ + ω)}{μ (μ + α + ω) (μ + γ) (μ + σ + ξ)} > 1 .

(3.1)

定理3.2

DFE公司 ${\tilde{P（P）}}_{0}$ 当为LAS时 ${\tilde{对}}_{v（v）} \leq 1,$ 它不稳定，但EE ${\tilde{P（P）}}^{*}$ 当为LAS时 ${\tilde{对}}_{v（v）} > 1$ .

在下文中，我们对模型的全局稳定性进行了深入的探讨(1.2).使用类似的论据作为中定理2.3-2.4的分析第2.3小节可以导致DFE的全局稳定性和模型的持久性(1.2)如下所示。

定理3.3

如果 ${\tilde{对}}_{v（v）} \leq 1,$ DFE公司 ${\tilde{P（P）}}_{0}$ 气体在吗Ω.

定理3.4

如果 ${\tilde{对}}_{v（v）} > 1,$ 模型 (1.2) 在 $\overset{˚}{Ω}$ .

为了实现EE的全局稳定性，我们主要关注显著差异，跳过了中定理2.3的证明部分第2.3小节.系数矩阵B类(t吨)对于模型(1.2)计算为

\begin{matrix} B类 (t吨) = [\begin{matrix} - (α + ω + σ + ξ) & \frac{S公司 我 克^{'} (我)}{E类} & - \frac{q个 γ 我}{V（V）} & - 我 克^{'} (我) + \frac{(1 - q个) γ 我}{S公司} \\ \frac{σ E类}{我} & - (α + ω + γ) & \frac{ξ E类}{V（V）} & 0 \\ 0 & 0 & - (α + σ + ξ + γ) & \frac{ω V（V）}{S公司} \\ 0 & - \frac{S公司 克 (我)}{E类} & \frac{α S公司}{V（V）} & - (ω + σ + ξ + γ) \end{matrix}] + {\tilde{Θ}}_{2}, \end{matrix}

哪里 ${\tilde{Θ}}_{2} = 诊断 {- (2 μ + 克 (我)) + 我^{'} / 我, - (2 μ + 克 (我)) + {E类}^{'} / E类, - (2 μ + 克 (我)) + {V（V）}^{'} / V（V）, - 2 μ + {S公司}^{'} / S公司}$ 。和型号(1.2)可以转化为

\begin{matrix} \frac{ω V（V）}{S公司} & = & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + 克 (我) + μ + α - \frac{Π}{S公司} - \frac{(1 - q个) γ 我}{S公司}, \frac{q个 γ 我}{V（V）} = \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{α S公司}{V（V）} - \frac{ξ E类}{V（V）}, \\ \frac{Sg公司 (我)}{E类} & = & \frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ, \frac{σ E类}{我} = \frac{我^{’}}{我} + μ + γ . \end{matrix}

(3.2)

显然，克(我)满足（第1页）、（第2页）和（P3）′、和克′(我)>0用于我 > 0. 一致持久性确保存在正常量π ₀,l、 l（左）这样的话π ₀ ≤ S、 V、E、I≤π/μ、和我 ≤ 克(我) ≤ L（左）.让π ≔ μπ ₀/Π. 将考虑两种情况进行估算c（c） ₁(t吨).

案例1 $克^{'} (我) - (1 - q个) γ / S公司 \geq 0$ 雇佣（3.2），克′(我)>0和（P3）′中的个结果

\begin{matrix} {c（c）}_{1} (t吨) & = & - (2 μ + α + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + \frac{硅 | 克^{’} (我) |}{E类} + \frac{q个 γ 我}{V（V）} + | 我 克^{’} (我) - \frac{(1 - q个) γ 我}{S公司} | \\ \leq & - (2 μ + α + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + (\frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ) + (\frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{α S公司}{V（V）} - \frac{ξ E类}{V（V）}) + 克 (我) \\ \leq & \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{我^{’}}{我} - (α + α π + ξ π) ≜ {\bar{c（c）}}_{1} (t吨) . \end{matrix}

案例2 $克^{'} (我) - (1 - q个) γ / S公司 < 0$ 定理2.3中的类似证明给出了S公司 ≤ S公司 ₀，相当于 $μ + α - Π / S公司 \leq α ω / (μ + ω)$ .签署人克′(我)>0，我们可以到达

\begin{matrix} {c（c）}_{1} (t吨) & \leq & - (2 μ + α + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + \frac{Sg公司 (我)}{E类} + \frac{q个 γ 我}{V（V）} + \frac{(1 - q个) γ 我}{S公司} - 我 克^{’} (我) \\ \leq & - (2 μ + α + ω + σ + ξ + 克 (我)) + \frac{我^{’}}{我} + (\frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ) \\ + (\frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{α S公司}{V（V）} - \frac{ξ E类}{V（V）}) + (\frac{{S公司}^{’}}{S公司} + 克 (我) + μ + α - \frac{Π}{S公司} - \frac{ω V（V）}{S公司}) \\ \leq & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{我^{’}}{我} - (\frac{μ α}{μ + ω} + (α + ξ + ω) π) ≜ {\bar{c（c）}}_{1} (t吨) . \end{matrix}

我们同样可以推断出

\begin{matrix} {c（c）}_{2} (t吨) & = & - (2 μ + α + ω + γ + 克 (我)) + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{σ E类}{我} + \frac{ξ E类}{V（V）} \\ = & - (2 μ + α + ω + γ + 克 (我)) + \frac{{E类}^{’}}{E类} + (\frac{我^{’}}{我} + μ + γ) + (\frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{α S公司}{V（V）} - \frac{q个 γ 我}{V（V）}) \\ \leq & \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{{E类}^{’}}{E类} + \frac{我^{’}}{我} - (α + α π + q个 γ π) ≜ {\bar{c（c）}}_{2} (t吨), \\ {c（c）}_{三} (t吨) & = & - (2 μ + α + σ + γ + ξ + 克 (我)) + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{ω V（V）}{S公司} \\ = & - (2 μ + α + σ + γ + ξ + 克 (我)) + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + (\frac{{S公司}^{’}}{S公司} + 克 (我) + μ + α - \frac{Π}{S公司} - \frac{(1 - q个) γ 我}{S公司}) \\ \leq & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} - (2 μ + σ + γ + ξ + (1 - q个) γ π + \frac{μ α}{μ + ω}) ≜ {\bar{c（c）}}_{三} (t吨), \\ {c（c）}_{4} (t吨) & = & - (2 μ + σ + γ + ω + ξ) + \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{α S公司}{V（V）} + \frac{Sg公司 (我)}{E类} \\ = & - (2 μ + σ + γ + ω + ξ) + \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + (\frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + μ + ω - \frac{q个 γ 我}{V（V）} - \frac{ξ E类}{V（V）}) + (\frac{{E类}^{’}}{E类} + μ + σ + ξ) \\ \leq & \frac{{S公司}^{’}}{S公司} + \frac{{V（V）}^{’}}{V（V）} + \frac{{E类}^{’}}{E类} - (γ + q个 γ π + ξ π) ≜ {\bar{c（c）}}_{4} (t吨) . \end{matrix}

通过应用引理2.1，上述内容被简明地表述为定理3.5。

定理3.5

EE公司 ${\tilde{P（P）}}^{*}$ 模型的 (1.2) GAS在 $\overset{˚}{Ω}$ 如果 ${\tilde{对}}_{v（v）} > 1$ .

备注3.1

定理3.5的直接推论产生了模型的全局阈值动力学(1.2)，摆脱了定理5.5中不必要的限制[17]此外，模型(1.2)入射角满足（第1页）、（第2页）和（P3）′例如。， $β S公司在 (1 + κ 我)$ [29], $β S公司我 / (1 + κ 我 + \sqrt{1 + 2 κ 我})$ [30]通过同样的证明，也保留了全局阈值稳定性。

备注3.2

根据中的分析第2节和三，可以类似地验证以下具有临时免疫性和非线性关联的SVEIS模型满足（第1页）-（第3页）是一个以疫苗繁殖数量为特征的锐利阈值系统，

\begin{matrix} {\begin{matrix} \frac{数据安全系统}{日期} = Π - α S公司 - Sg公司 (我) - μ S公司 + ω V（V）, \\ \frac{数字电压}{日期} = α S公司 + γ 我 + ξ E类 - (μ + ω) V（V）, \\ \frac{判定元件}{日期} = Sg公司 (我) - (μ + σ + ξ) E类, \\ \frac{数据接口}{日期} = σ E类 - (μ + γ) 我 . \end{matrix} \end{matrix}

(3.3)

4.模型的应用(1.2)

疫苗接种是缓解2010年甲型H1N1流感大流行最具成本效益的干预措施。2009年8月28日，世卫组织建议北半球各国为第二波大流行蔓延做好准备[10]幸运的是，针对医务人员、孕妇、65岁以上或患有慢性病的人、6个月至6岁的儿童等五个优先群体启动了pH1N1疫苗接种计划[11]因为6个月以上的易感人群接种了pH1N1疫苗，而不是新生儿，并且由于自然免疫，高达75%的H1N1感染是无症状的[15]，型号(1.2)在本节中，用以说明疫苗接种有效地遏制了中国香港随后可能出现的2009年H1N1流感大流行浪潮。

4.1. 数据

2009年5月至2010年10月的每个月底，中国香港健康保护中心官方网站（网址：https://www.chp.gov.hk/sc/statistics/data/10/26/43/416.html [12])，并选择2009年5月至2010年6月的数据来拟合模型的参数值(1.2)由于其光滑度高（参见图1). 事实上，2010年7月至10月的流行水平波动较小，保持在较低水平（[8]). 第一波疫情未能避免（参见图1)因为在2009年12月21日之前没有针对新型流感毒株的疫苗。就在那天，针对五个优先群体的pH1N1疫苗接种计划启动[11]为了最大限度地减少潜在的第二波感染，接种了4182剂pH1N1疫苗[36]注意，接种疫苗的人将在大约15天内产生免疫力[7]（延迟接种，例如。，[2])，因此产生疫苗诱导免疫的开始时间可以近似为2010年1月1日，如所示图3（a） ●●●●。

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图3

（a）中国香港地区报告的pH1N1病例数据与模拟解的比较我(t吨)模型的(1.2);（b）如果没有实施pH1N1疫苗接种计划，则使用估计的参数值通过模拟观察到第二波H1N1大流行。

4.2. 参数估计

参数的区间或值和模型的初始条件(1.2)估计（如中所示表1)并解释如下。

（a）
根据第4.1小节，我们设定疫苗接种率 $α = 0$ 在2009年大流行期间，但α在2010年流感大流行期间[5].疫苗有效性高达99%[37]因此，该疫苗被认为是完美的。
（b）
由于2010年香港的预期寿命约为83.74岁[25]，自然死亡率 $μ = 30 / (83.74 \times 365) = 9.8150 \times 10^{- 4}$ 每月（m $^{- 1}$ ).
（c）
以下[5],[26],[27],[28]和[6],[7]感染持续时间从4天到10天不等，免疫期分别在180天到2年的范围内变化，因此 $1 / γ \in [4 / 30, 10 / 30] = [0.1333, 0.3333]$ 和1/ω ∈ [6, 24.3333]. 我们把感染时间和免疫期定为7天[27],[28]和1年[6]，然后 $1 / γ = 0.2333$ m和 $1 / ω = 12.1655$ 米。
（d）
潜伏期（1/σ)根据参考，范围从1天到5天[5],[26],[27],[28].，然后是1/σ ∈ [0.0333, 0.1667]. 发件人[5],[26],[28]，甲型流感（H1N1）患者可能会考虑到，由于自然免疫，接触甲型H1N1流感的人会在1-10天后康复，即，ξ在[3,30]中。不难获得参数的值q、 β和κ基于一些现有作品（例如。，[17],[23]).
（e）
2009年香港出生人数[38]为8.21×10⁴每年，即6748 $米^{- 1}$ 考虑到绝大多数新生儿都采取了保护措施，大约2%的新生儿被选为S公司班级，所以 $Π = 6748 \times 2 % = 130$ 米 $^{- 1}$ 。2009-2010年香港总人口数字[38])约为7.0×10⁶，因此 $N个 (0) = S公司 (0) + V（V） (0) + E类 (0) + 我 (0) \leq 7 \times 10^{6}$ .连同案例数据[12]，初始值 $我 (0) = 23$ 已修复。我们假设 $E类 (0) = 10$ .

最重要的是，其余参数的值β、 ξ、σ、q、κ和初始值S公司(0),V（V）（0）是估计的（参见表1)DEDiscover模拟工具提供了2019年5月至12月的8例病例数据[39]其中，我们选择了混合DESQP优化算法，将全局差分进化和局部序列二次规划相结合。根据上述参数估计结果 $κ = 1.3458 \times 10^{- 13},$ $q个 = 0.9287$ 分别趋向于0和1。这就需要使用几个标准模型选择标准来评估模型拟合数据的优越性[40]包括Akaike信息准则（AIC）和Bayesian信息准则（BIC）及其变体，如AICc，其较小的值对应较好的模型。可以从以下位置观察到表2那个模型(1.2)具有 $κ = 0$ 和 $q个 = 0.9287$ 根据上述标准选择为最佳模型，其仿真结果如所示图3（a） ●●●●。这表明简单的质量作用发生率βSI可适当反映新出现的甲型H1N1流感病毒的短期传播过程，并且应将部分临时免疫纳入流感模型。此外，我们还分析了拟合误差，以评估模型的性能和可靠性(1.2)具有 $κ = 0$ 和 $q个 = 0.9287,$ MAPE（平均绝对百分比误差）和RMSPE（均方根百分比误差）分别计算为MAPE=37.36%，RMSPE=6.76%。基于MAPE和RMSPE标准[41],[42]，我们的模型可以产生合理的预测结果。最后，来自表1可以检查潜伏期 $1 / σ = 0.1116 米 = 3.3482 天$ 和 $1 / ξ = 1 / (4.2857 米^{- 1}) = 7 天$ 与现实相符。

表2

pH1N1病例数据的模型选择。

型号	AIC公司	银行识别码	AICc公司
$κ = 1.3458 \times 10^{- 13},$ $q个 = 0.9287$	113.0446	113.1240	113.7112
$κ = 0,$ $q个 = 0.9287$	113.0446	113.1240	113.7112
$κ = 0,$ $q个 = 1$	113.8155	113.8950	114.4822

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上述参数估计结果将2009年疫苗接种繁殖数量计算为 ${\tilde{对}}_{v（v）} = 1.4675 > 1,$ 这与[28],[43]（范围从1.2到2.3）。根据定理3.4和3.5，该疾病可能持续存在并成为地方病。WHO预测未接种疫苗[10]，第二波确实是使用估计的参数值通过模拟观察到的（参见图3（b）），因此，如果疫苗可用，就必须接种疫苗。此外，接种率 $α = 0.3527$ 使用2010年1月至6月的案例数据进行估算（其他参数值与表1，初始条件（934923120206271287）为2009年12月的模拟结果，对应 ${\tilde{对}}_{v（v）} = 0.2801 < 1,$ 如定理3.3和图3（a） ●●●●。

4.3. 敏感性分析

接种繁殖编号 ${\tilde{对}}_{v（v）}$ 模型的(1.2)，测量将一个指数病例引入无病人群时引起的继发病例的平均数量[32],[33]在实施疫苗接种计划的过程中，可能会决定大流行的传播性、严重性和结果。因此，为了寻求有效的疾病控制措施，我们应该关注输入参数的影响ω, β, α, γ, ξ在 ${\tilde{对}}_{v（v）}$ 基于拉丁超立方体采样（LHS）和偏秩相关系数（PRCCs）[44]，全球不确定性和敏感性分析 ${\tilde{对}}_{v（v）}$ 旨在揭示对模型结果的影响程度。这些有趣的参数被视为服从正态分布，平均值来自表1通过每次运行5000次模拟计算其PRCC值，并在图4（a）和表3.

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图4

敏感性分析：（a）接种繁殖编号的PRCC值 ${\tilde{对}}_{v（v）}$ ;（b）β减少了10%，（c）α增加了10%（d）γ增加了其基线值的10%表1分别是。

表3

PRCC值 ${\tilde{对}}_{v（v）},$ 从最敏感到最不敏感。

参数	平均值	标准偏差	中华人民共和国	p值
β	$7.0219 \times 10^{- 5}$	$2.3406 \times 10^{- 5}$	0.9176	0
α	0.3527	0.1175	$- 0.8824$	0
ω	0.0822	0.0137	0.6496	0
γ	4.2857	0.4286	$- 0.5418$	0
ξ	4.2857	0.4286	$- 0.3103$	$0.1979 \times 10^{- 110}$

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最后，进行了数值模拟以评估疾病控制措施的有效性。在表3，输入参数β, α, ω, γ, ξ根据它们对新感染的影响按降序排列。事实上，似乎很难延长与参数相关的免疫持续时间ω因此，我们只考虑参数的影响β, α和γ具体来说，β对 ${\tilde{对}}_{v（v）}$ 和α, γ对其产生负面影响。因此，我们降低了β增加10%，并增加γ分别减少10%。如上所述，疫苗接种是一种有效的卫生干预措施，因此2010年H1N1流感大流行得到了成功遏制。考虑到当前季节性流感（包括甲型H1N1流感、乙型流感和丙型流感）在许多国家频繁爆发，如美国[9]而中国的疫苗接种率较低，假设疫苗是可用的，并且疫苗接种是在疫情开始时进行的，这可能是有趣和重要的。接种率的10%和20% $α = 0.3527$ 用于研究疫苗接种对大流行的影响。以及的其他参数值和初始值表1都是固定的。仿真结果如所示图4（b） -（d）。

毫无疑问，降低了疾病传播系数β如疫情宣传、隔离、消毒、戴口罩等，虽然降低了第一波峰值，推迟了第二波的到来，但即使参数为β是第一个敏感的人图4（b）。另一方面，提高疫苗接种率α缩短病程γ（如抗病毒治疗）第一波和第二波的峰值比降低更显著β，但第二波峰值的到来要早于减少β（如所示图4（c）和（d））。因此，决策者有可能在流感大流行期间联合使用多种控制措施。人们还承认，与其他两种措施相比，及时接种疫苗在减少疫情高峰期方面尤其有效。

5.结论与讨论

免疫接种每年都为人类预防疾病传播带来巨大成功[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[1]传染病潜伏期长可能会产生截然不同的模型预测，因此不容忽视[26]此外，非线性发病率可以再现个体行为变化的抑制效应以及感染严重程度和阶段等其他因素的影响[16],[17],[45]本文建立了一个具有疫苗接种、潜伏期、非线性发病率和临时免疫的SVEIS模型，并通过一个新的几何准则建立了其全局阈值稳定性[18]最有意义的是，两个非线性饱和关联SVEIS模型EE的全局阈值稳定性的公开问题[16],[17]也得到了很好的解决。灵感来自[18]、物业介绍（第3页）论传染力函数克(我)使我们成功地实现了SVEIS模型的全局阈值动力学，非单调发生率反映了心理效应。此外，让 $克 (我) = β 我 / φ (我),$ 然后应用定理2.5得出该模型(1.1)是一个尖锐的阈值系统，前提是φ(我)满足 $φ (0) = 1$ 且0≤我φ′(我) ≤ 2φ(我)，例如 $φ (我) = 1 + κ 我^{第页}$ 对于0<第页 ≤ 2.

2009年，新型甲型H1N1流感病毒引发了21世纪的第一次大流行。我们应用模型(1.2)阐明如何避免2009年中国香港潜在的第二波甲型H1N1流感大流行（如预测[10])与其他措施相比，及时接种疫苗在降低疫情高峰期方面更有效。这为实施免疫战略提供了坚实的支持，以应对当前全球季节性流感负担、麻疹病例激增和新冠肺炎大流行（如果疫苗可用）。

这项研究还受到以下几个限制。具体来说，观察到新生儿和易感人群都接种了乙肝疫苗，因此这两种接种方式都可以纳入SVEIS模型，这与[4]我们猜测，由于上述研究的几个SVEIS模型提供的见解可以告诉我们，新生儿或易感个体接种疫苗和临时免疫都无法改变其阈值稳定性，因此仍然可以保持阈值动态（见定理2.5、3.5和备注3.2). 此外，我们只考虑了我完美的疫苗，恒定的总人口，并假设疫苗诱导的免疫和疾病获得的免疫同时持续。引入更普遍的发病率会很有趣S公司 ^ϱ （f）(我)（ϱ>0），不同接种类别(V（V）)和恢复类(对)、接种不完全和总人口规模变化（例如。，[4],[18],[19],[21],[45])以提高模型预测的准确性。当然，需要更多的分析技术，这些问题留作未来的调查。

致谢

作者对谭荣华的善意建议表示感谢。这项工作得到了国家自然科学基金（编号：11871201、11871238、11901059）和湖北省自然科学基金资助（编号：2019CFB241、2019CFB353）。

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