Collective vibrations of a hydrodynamic active lattice

S. J. Thomson; M. Durey; R. R. Rosales

doi:10.1098/rspa.2020.0155

数学物理工程科学。2020年7月；476(2239): 20200155.

在线发布2020年7月29日。数字对象标识：10.1098/rspa.2020.0155

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PMID：32831612

流体动力主动晶格的集体振动

S.J.汤姆森, M.杜雷、和R.R.罗萨莱斯

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摘要

最近的实验表明，自推进液滴的准一维晶格以异相振荡和孤立波的形式表现出集体不稳定性。这种流体动力晶格是由垂直振动流体浴的外力驱动的，该流体浴在浴面上引发了亚临界法拉第波场，介导了时空液滴耦合。通过将液滴晶格建模为具有空间非局域耦合的记忆加载系统，我们在此合理化了这类新型动态振荡器中不稳定性的形式和开始。我们将晶格的记忆驱动不稳定性确定为液滴数量的函数，并确定几何约束排除的等间距晶格构型。然后，通过系统的弱非线性分析，将每个记忆驱动的不稳定性分类为超临界或亚临界Hopf分岔，从而使实验观察合理化。我们进一步发现了之前未报道的对称破缺不稳定性，表现为晶格的振荡-旋转运动。数值模拟支持了我们的发现，并促进了对该非线性动力系统的进一步研究。

关键词：活性粒子，振幅方程，分岔，集体行为，耦合振荡器

1.简介

对被动和主动多体系统的涌现性质进行分类是当代软物质物理学的一个中心主题[1,2]. 近年来，出现了无数个系统，其复杂的宏观动力学来源于其组成粒子的特性，如粒子的形状、极性、活动或运动。示例包括悬浮在液体中的细菌施加的主动应力引起的复杂流动[三,4]; 胶体流体中涡旋的产生和非线性波的传播[5——8]; 受限于微流体通道的粒子和液滴的被动驱动晶体中的类声子激发[9——13]; 步行滴管流体动力自旋晶格中的涌现磁序[14,15]. 在非流体系统中，主动非线性晶格的理论模型表现出异相振荡和孤立波形式的不稳定性[16——20]以有源电子电路的形式刺激实验模拟[21——24].

受到最近实验的启发[25]，我们在这里专注于合理化一类新的基于流体的有源振荡器的不稳定性；看见图1c（c）.实验中的活性单元[25]如中所述，是在垂直振动的粘性流体浴槽表面反弹的自推进毫米液滴[26,27]以及其中的参考。在没有液滴的情况下，流体界面保持平坦，低于法拉第阈值，即法拉第波自发出现在镀液表面的临界振动加速度。当放置在表面上时，毫米液滴可能与其自生的亚临界次谐波法拉第波场（具有特征波长λ_F类)，每次撞击都会激发波浪。在临界振动加速度以上，液滴会因小的横向扰动而失稳。在这种情况下，由阻力引起的耗散效应被液滴导波场斜率产生的推进力所克服，即所谓的导波(图1一,b条)。这里是液滴运动的积极组成部分：液滴的能量与其周围环境（在这种情况下是垂直振动的流体浴）不断交换，从而实现自我脉动。在现行的活性物质模型系统中，如细菌或胶体悬浮液，组成粒子及其环境的动力学通常过阻尼[28,29]. 这与液滴系统不同，在液滴系统中，惯性效应通过液滴的有限质量和每次与液滴碰撞时激发的欠阻尼法拉第波起着重要作用。此外，随着镀液的振动加速度逐渐增加，衰减时间T型_M（M）导波的长度变长，液滴因此受到更多过去的影响，增加了所谓的液滴运动记忆时间[30]. 记忆和自我脉动因此紧密相连，前者调节克服耗散所需的推进波力的强度。

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图1。

(一)振动液体浴表面上的一滴硅油自行喷射。图片由丹尼尔·哈里斯提供(b条)液滴自脉动示意图。每次液滴撞击熔池时，它都会受到之前撞击时在表面激发的波浪斜率产生的横向力。(c（c）)由40个等间距弹跳的硅油液滴组成的链的斜视图，这些硅油液滴落在被浅层流体包围的水下环形通道中[25]. （彩色在线版本。）

如所示[25]当液滴被限制在水下环形通道内时，液滴可能会形成有效的一维晶格(图1c（c）)。晶格中的每个液滴都以周期同步的方式反弹T型_F类，生成一个空间非局部的准单色波场，其在所有液滴上的叠加调节了晶格的时空耦合。对于足够大的作用力，实验表明，液滴晶格以小振幅异相振荡或孤立波的形式表现出集体振动，这取决于相邻液滴的接近程度。此外，向上述每个状态的过渡可以分别以超临界和亚临界Hopf分岔的开始为特征。

点阵的振荡是由液滴之间的竞争产生的，液滴的自脉动是通过每个液滴与自身波场斜率的相互作用以及液滴之间波介耦合而上升的。后一种现象代表了这种新型耦合振荡器的一个显著特征：每个液滴与熔池碰撞时产生的波，在液滴之间产生有效的自生动态耦合电势(对-á-对受外施电势影响的晶格）。这种动态潜力的存在具有深远的影响；例如（i）存在稳定的晶格平衡，其中液滴位于局部极大值以及（ii）动态电势对系统的存储器进行编码，存储关于每个液滴的过去轨迹的信息。我们注意到，虽然包含空间和时间非局部性的振荡器已经受到了重要的理论关注[31——34]，实验的、机械的类似物相对较少，仅限于耦合的钟摆网络[35,36].

通过对§2-我们在这里试图描述在何种条件下可能出现不同的分岔，阐明支撑这类新的动力学振子涌现的集体性质的关键机制。在§三我们确定了晶格的记忆驱动的振荡不稳定性，以及晶格波场形式在所有记忆中均匀不稳定的等间距构型。在低记忆状态下，我们通过系统试图最小化的类似能量的量来合理化后者。弱非线性分析（§4)然后为每个记忆驱动的不稳定性规定一个超临界或亚临界霍普夫分岔，使实验观察合理化[25]. 此外，我们还表明，对称性破坏会导致先前未报告的晶格自导振荡旋转运动。我们的分析总结为§5探讨了如何通过液滴分离距离控制向上述每种不稳定性的过渡。我们注意到，虽然我们的研究重点是液滴运动被限制在环形通道内的情况，但§§2——5也适用于描述自由空间中液滴环的方位振荡[37]允许我们合理化相关系统中的行为。最后，在§6以及对未来工作的建议。

2.主动晶格模型

我们首先构建一个液滴晶格模型，该模型在不稳定性开始以下和附近有效，并遵循中针对单个液滴提出的框架[38]. 考虑一个格子N个等质量液滴米，随周期周期性反弹T型_F类与振动液浴表面同步。在与熔池的连续碰撞中，每个液滴都会激发一个驻波场，驻波场的叠加会产生一个全局波场，一个动态势，调解晶格的时空耦合。（我们忽略了初始瞬态波从撞击现场传播的影响[27,39]，因为只有当液滴紧密堆积在一起时，这种影响才显著。）表示方式x个_n个(t吨)点阵中每个液滴在时间上的位置t吨，对液滴在一个弹跳周期内的水平运动进行时间平均频闪观测运动方程[38]

米 {\ddot{x个}}_{n个} + D类 {\dot{x个}}_{n个} = - 米 克 \nabla \bar{小时} (x个, t吨) |_{x个 = {x个}_{n个}},

2.1一

哪里 $\bar{小时} (x个, t吨)$ 是频闪全局波场，点表示时间微分。根据(2.1一)因此，每个液滴的轨迹由惯性之间的平衡控制，惯性是一个具有阻力系数的时间平均阻力D类[40]以及全球波场斜率对每个液滴施加的时间平均水平推进波力， $\bar{小时} (x个, t吨)$ .剩余常数克是重力引起的加速度。

在感兴趣的物理状态中[25]水滴垂直运动的时间尺度，T型_F类通常比水平运动的时间尺度小得多。时间平均频闪波核 $\bar{H（H）}$ 因此，假设每个液滴在每个跳动周期内产生的波场是单个静止液滴在水平位置周期性跳动所产生的时间平均波场x个 = x个_第页，由指数衰减时间归一化，T型_M（M）法拉第波[41——43]. 我们从§1的讨论中回忆起T型_M（M）随着熔池振动力的强度增加[40,42]; 因此，T型_M（M）可以被视为我们模型中的控制参数和增加垂直振动加速度的代理。增加的T型_M（M）这会使液滴过去轨迹的路径记忆更长。与自由空间相比[38]，我们注意到实验中存在环形地下地形[25]意味着 $\bar{H（H）}$ 不是平移不变的；波核取决于位置x个_第页液滴停留在通道中的位置 $\bar{H（H）} = \bar{H（H）} (x个; {x个}_{第页})$ 然而，我们注意到实验系统的几何结构是旋转不变的；因此，在极坐标（原点与环中心重合）中，我们有 $\bar{H（H）} = \bar{H（H）} (第页; {第页}_{第页}; θ - θ_{第页})$ (图2一).

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图2。

(一)波场示例 $\bar{H（H）} (x个; {x个}_{第页})$ ，对应于静止、跳动的液滴x个 = x个_第页，使用Durey模型计算等人。[44]的R（右）/λ_F类 = 2.59（上面板）。流体和几何参数列在电子补充材料中。灰色区域表示浅层流体，较深的环形通道具有白色背景。职位x个_第页用黑点表示。水平长度由法拉第波长标准化，λ_F类，垂直刻度标准化为 $\bar{H（H）} ({x个}_{第页}; {x个}_{第页})$ .径向切割|x个| = R（右）（由上面板中的黑色圆圈表示） $\bar{H（H）}$ 显示在下部面板中，由弧长参数化，x个，其中x个 = 0对应于水平位置x个 = x个_第页. (b条)与之类似的结果(一)对于波场 $\bar{H（H）} (x个; {x个}_{第页}) = {F类}_{0} (| x个 - {x个}_{第页} |)$ 由定义(2.3)。（彩色在线版本。）

导波系统的一个显著特征是水平波浪力 $- 米克 \nabla \bar{小时} ({x个}_{n个} (t吨), t吨)$ 这明显取决于水滴的过去，通过之前撞击时激发的表面波痕迹。如所示[38]频闪波场 $\bar{小时} (x个, t吨)$ 可以写为随时间的积分，表示沿着每个液滴的先前轨迹产生的波的叠加。（如果水平运动的时间尺度远大于T型_F类也可以很容易地验证 $\bar{小时} (x个, t吨)$ 满足以下偏微分方程：

\frac{\partial \bar{小时}}{\partial t吨} + \frac{1}{{T型}_{M（M）}} \bar{小时} = \frac{1}{{T型}_{F类}} \sum_{米 = 1}^{N个} \bar{H（H）} (x个; {x个}_{米}) .

2.1b条

变化率 $\bar{小时}$ 因此，通过波的耗散和每个液滴瞬时位置的波的产生来平衡。频闪模型的积分形式通过积分恢复(2.1b条).

系统（2.1）是中所示频闪模型的多液滴模拟[38,45]，用于解释淹没地形。在报告的实验中[25]观察到，在接近不稳定点时，与圆周液滴运动的偏差很小。利用这个事实，我们根据弧长重新预测了由（2.1）给出的二维水平液滴运动x个沿等半径圆R（右）（在实验中，这是由淹没河道的半径控制的）。频闪波核的投影， $\bar{H（H）}$ ，然后进入这个圆圈 $H（H） (x个) = \bar{H（H）} (R（右） {e（电子）}_{第页} (x个); R（右） {e（电子）}_{第页} (0))$ ，其中径向单位向量e（电子）_第页(x个)定义为e（电子）_第页(x个)=（cos(x个/R（右）)，罪过(x个/R（右）)). 此外，系统的旋转不变性呈现 $H（H） = H（H） (x个 - {x个}_{第页})$ ，其中波核 $H（H） (x个)$ 具有周期L（左） = 2πR然后，模型（2.1）变为

米 {\ddot{x个}}_{n个} + D类 {\dot{x个}}_{n个} = - 米 克 \frac{\partial 小时}{\partial x个} |_{x个 = {x个}_{n个}}

2.2一

和

\frac{\partial 小时}{\partial t吨} + \frac{1}{{T型}_{M（M）}} 小时 = \frac{1}{{T型}_{F类}} \sum_{米 = 1}^{N个} H（H） (x个 - {x个}_{米}),

2.2b条

哪里小时(x个,t吨)是沿半径圆投影的全局波场R（右）.

我们的模型是通过选择特定形式的波核来闭合的 $H（H） (x个) = H（H） (x个 + L（左）)$ ，可以使用流体力学模型生成，以计算淹没环形通道上的流体演化[44] (图2一)。然而，波场的许多微妙方面混淆了水动力晶格动力学的关键机制。其中包括由于液滴的特定反弹相位引起的波场振幅变化[43]以及与记忆相关的导波指数衰减长度变化[46——49]. 我们的理论是针对一般的、灵活的周期波核发展的， $H（H） (x个)$ 为了探索和演示目的，我们简单地定义了一个展现流体系统基本方面的波核：即具有指数空间衰减的准单色波场，在液滴位置出现峰值。将本研究结果应用于实验中探索的特定流体系统，有待进一步研究。

为了告知我们对候选波核的选择， $H（H） (x个)$ ，我们在数值上观察到，地形引起了 $\bar{H（H）} (x个; {x个}_{第页})$ 从关于的轴对称波核x个_第页很弱(图2一)。为了简单起见，我们考虑 $\bar{H（H）} (x个; {x个}_{第页}) = {F类}_{0} (| x个 - {x个}_{第页} |)$ 对于我们的模拟，其中候选单色轴对称波形式F类₀(第页)呈现指数空间衰减是

{F类}_{0} (第页) = {A类}_{0} {J型}_{0} ({k个}_{F类} 第页) 秒 (\frac{第页}{我_{d日}}) .

2.3

在这里，J型₀是自由空间中水滴产生的零阶贝塞尔函数，经过调制以包含波核的空间阻尼[42,43,49]. 参数 ${A类}_{0}$ 是波幅，k个_F类 = 2π/λ_F类是法拉第波数我_d日是一个可调的空间衰减长度，它又决定了非局部液滴耦合的强度。波核， $H（H） (x个)$ ，则定义为 $\bar{H（H）} (x个; {x个}_{第页})$ 沿等半径圆R（右）特别是

H（H） (x个) = {F类}_{0} (2 R（右） 罪 \frac{x个}{2 R（右）}),

2.4

如图中的黑色圆圈所示图2b条.另一个优势是(2.4)这使得我们可以很容易地探索改变晶格半径的含义，R（右）持续（§5)。为了安心，我们用数值计算的波核测试了这个通用波核[44]，它证明了足够的定性相似性，仍然能够捕捉到活性晶格的动力学运动（更多详细信息，请参阅电子补充材料）。最后，我们强调，本文中的分析独立于 $H（H）$ ，前提是 $H（H）$ 周期性且足够平滑。

无量纲化（2.2）-(2.4)，我们设置λ_F类作为典型的水平长度刻度，t吨₀ = 米/D类作为典型的时间尺度，以及 ${小时}_{0} = λ_{F类}^{2} / 克 {t吨}_{0}^{2}$ 作为典型的自由曲面高程。通过缩放 $H（H） \mapsto {H（H）}_{0} H（H）$ ，其中 ${H（H）}_{0} = {小时}_{0} {T型}_{F类} / {t吨}_{0}$ ，然后无量纲模型读取

{\ddot{x个}}_{n个} + {\dot{x个}}_{n个} = - \frac{\partial 小时}{\partial x个} ({x个}_{n个}, t吨)

2.5一

和

\frac{\partial 小时}{\partial t吨} + ¦Α 小时 = \sum_{米 = 1}^{N个} H（H） (x个 - {x个}_{米}),

2.5b条

哪里

H（H） (x个) = F类 (2 {第页}_{0} 罪 \frac{x个}{2 {第页}_{0}}), F类 (第页) = A类 {J型}_{0} (2 π 第页) 秒 (\frac{第页}{我}) .

2.6

无量纲参数为我 = 我_d日/λ_F类,第页₀ = R（右）/λ_F类,¦Α = t吨₀/T型_M（M） > 0和 $A类 = {A类}_{0} / {H（H）}_{0}$ ，而晶格的无量纲周长为∧=L（左）/λ_F类 = 2πr₀。除非另有说明，否则对于本文给出的数值结果，我们考虑实验的典型值，即第页₀ = 5.4 [25], $A类 = 0.1$ 、和我 = 1.6 [42].

综上所述，每个液滴的当前位置都会产生波浪，并叠加形成整体波场，小时(x个,t吨)。The spatio-temporal evolution of小时(x个,t吨)受(2.5b条)并且取决于每个液滴的轨迹，在系统上留下路径记忆。然后，每个液滴由以下局部梯度驱动小时(x个,t吨)通过(2.5一)。在我们的无量纲系统（2.5）中，记忆（以及振动加速度）的影响通过无量纲耗散率进行编码¦Α ∼ 1/T型_M（M）.同时¦Α在代数上很方便，我们将使用更自然的记忆度量来解释我们的结果M（M） = 1/¦Α，其中较大M（M）这意味着过去的动力发挥了更为突出的作用。

3.记忆驱动和几何不稳定性

确定内存的临界值M（M） = M（M）_c（c）当波浪力促进液滴的自脉动时，我们分析了（2.5）对静态等间距晶格结构小扰动的线性稳定性，与实验一致[25]. 最初，液滴位于x个_n个 = nδ，其中δ = Λ/N个.方程式(2.5b条)然后生成相应的自由曲面高程

小时 (x个) = {小时}_{0} (x个) = \frac{1}{¦Α} \sum_{米 = 1}^{N个} H（H） (x个 - 米 δ) .

3.1

通过对称性，每个液滴下方的自由表面梯度在这种稳定配置中消失。我们注意到，作为波场小时是动态电位而不是静态电位 $H（H）$ 允许稳定的晶格结构，其中每个液滴的局部最大值为小时此外，来自(3.1)，我们看到增加记忆的一个效果，M（M） = 1/¦Α是为了增加稳定晶格的振幅。考虑到每个液滴位置的微小扰动，x个_n个以及波场的伴随扰动，小时，我们设置

{x个}_{n个} = n个 δ + η {\hat{x个}}_{n个} 和 小时 = {小时}_{0} + η \hat{小时},

其中0<η ≪ 1.通过将此形式代入（2.5）并线性化，我们得到

{\ddot{x个}}_{n个} + {\dot{x个}}_{n个} = - [\frac{\partial 小时}{\partial x个} + {x个}_{n个} \frac{\partial^{2} {小时}_{0}}{\partial {x个}^{2}}] |_{x个 = n个 δ}

3.2一

和

\frac{\partial 小时}{\partial t吨} + ¦Α 小时 = - \sum_{米 = 1}^{N个} {x个}_{米} {H（H）}^{'} (x个 - 米 δ),

3.2b条

其中，我们去掉了扰动变量上的插入符号，素数表示关于x个.

分析（3.2）的困难在于自由表面扰动的时间非局部性，小时(x个,t吨)。为了绕过这个问题，将动力学完全投射到液滴轨迹上，x个_n个(t吨)，我们使用的形式是(3.2b条)定义辅助变量 ${\bar{x个}}_{n个} (t吨)$ 令人满意的

{\dot{\bar{x个}}}_{n个} + ¦Α {\bar{x个}}_{n个} = {x个}_{n个} 对于 n个 = 1, \dots, N个,

3.3

我们在§4。然后从(3.2b条)扰动自由曲面高程的演变，小时(x个,t吨)，现在可以用辅助变量表示， ${\bar{x个}}_{n个} (t吨)$ 。具体来说，我们获得了特定的解决方案

小时 = - \sum_{米 = 1}^{N个} {H（H）}^{'} (x个 - 米 δ) {\bar{x个}}_{米} .

3.4

均匀解决方案(3.2b条)随时间呈指数衰减，因此在线性或弱非线性稳定性中不起作用（§4)系统的。表达了小时就辅助变量而言 ${\bar{x个}}_{n个}$ ，我们将（3.2）重铸为变量的简化动力系统x个_n个和 ${\bar{x个}}_{n个}$ .

替换(3.4)到(3.2一)、和使用(3.1)，我们发现 ${L（左）}_{n个} (x个) = 0$ ，其中x个 = (x个₁, …,x个_N个)。线性算子 ${L（左）}_{n个}$ 定义为

{L（左）}_{n个} (x个) = {\ddot{x个}}_{n个} + {\dot{x个}}_{n个} + \sum_{米 = 1}^{N个} (\frac{{x个}_{n个}}{¦Α} - {\bar{x个}}_{米}) {H（H）}^{″} (δ (n个 - 米)),

3.5

其中，连同方程式(3.3)，构成2的线性系统N个描述演化的常微分方程x个_n个从稳态开始。方程式(3.3)和(3.5)可以使用标准本征模方法求解，稳定晶格的周期性促使安萨茨

{x个}_{n个} = A类 经验 (我 k个 n个 α + λ_{k个} t吨) + c（c） . c（c） ., {\bar{x个}}_{n个} = \frac{A类}{λ_{k个} + ¦Α} 经验 (我 k个 n个 α + λ_{k个} t吨) + c（c） . c（c） .,

3.6

其中 ${\bar{x个}}_{n个}$ 以下为(3.3)。（使用 ${\bar{x个}}_{米}$ 以表格形式书写(3.6)，我们注意到(3.4)呈现出与布洛赫波类似的形式。）这里，我们定义了角间距参数α = 2π/N个、虚单位i和复振幅A类，其中c.c.表示前一项的复共轭。通过对称性考虑，我们将注意力局限于波数 $k个 = 0, \dots, \bar{N个}$ ，其中 $\bar{N个} = ⌊ N个 / 2 ⌋$ .通过替换(3.6)到(3.5)，我们得到了色散关系 ${D类}_{k个} (λ_{k个}; ¦Α) = 0$ ，其中

{D类}_{k个} (λ; ¦Α) = λ^{2} + λ + \frac{{c（c）}_{0}}{¦Α} - \frac{{c（c）}_{k个}}{λ + ¦Α} .

3.7

实际常数c（c）_k个定义为

{c（c）}_{k个} = \sum_{n个 = 1}^{N个} 余弦 (k个 n个 α) {H（H）}^{″} (n个 δ),

3.8

可以解释为偶数和周期函数的离散余弦变换系数 ${H（H）}^{″} (x个)$ ，源自方程中的离散卷积(3.5).

重新排列后 ${D类}_{k个} (λ_{k个}; ¦Α) = 0$ 和写作¦Α = 1/M（M），特征值，λ_k个，描述了（3.2）的渐近线性稳定性，满足三次多项式

M（M） λ_{k个}^{三} + (M（M） + 1) λ_{k个}^{2} + ({c（c）}_{0} {M（M）}^{2} + 1) λ_{k个} + M（M） ({c（c）}_{0} - {c（c）}_{k个}) = 0,

3.9

我们通常用数字计算其根。如果对于某个波数，一致格是渐近不稳定的k个，存在一个特征值λ_k个满足Re(λ_k个)>0.该格的一个基本性质是旋转不变性，由特征值表征λ₀ = 0，这可能允许晶格在弱非线性状态下缓慢漂移（见§4).

据了解，晶格可能通过两种不同的机制失稳：（i）记忆相关不稳定性，其中晶格波场破坏了所有记忆的均匀配置M（M） > 0（所以M（M）_c（c） = 0); 以及（ii）当波浪力超过阻力时，记忆驱动的不稳定性，促使液滴推进M（M） > M（M）_c（c） > 0（待定）。物理上，情况（i）源自晶格波场的几何挫折：对于特定的晶格配置，晶格波场阻止形成稳定的等间距晶格，迫使液滴占据附近的平衡配置。因此，从今往后，我们将案例（i）称为几何不稳定性记忆驱动的不稳定性（ii）可进一步分解为两个子类：通过实际特征值的不稳定性，引起晶格的稳定旋转，类似于单个行走液滴的动力学[38]; 以及近距离液滴产生的振荡不稳定性，类似于在这种晶格系统的实验中观察到的情况[25]. 我们将在以下三个部分中讨论上述每个案例及其含义。

（a）几何不稳定性

用于短时记忆M（M） ≪ 1（相当于，¦Α ≫ 1），多项式(3.9)承认三个真正的根源：

λ_{k个}^{(1)} = - 1 + O（运行） (M（M）), λ_{k个}^{(2)} = - \frac{1}{M（M）} + O（运行） (1) 和 λ_{k个}^{(三)} = ({c（c）}_{k个} - {c（c）}_{0}) M（M） + O（运行） ({M（M）}^{2}) .

3.10

因此，如果存在波数k个_*这样的话 ${c（c）}_{{k个}_{*}} > {c（c）}_{0}$ ，然后 $λ_{{k个}_{*}}^{(三)} > 0$ 并且对于M（M） ≪ 1.事实上，晶格对所有人来说都是无条件不稳定的M（M） > 0时c（c）_k个 > c（c）₀，常数项的负值(3.9)总是产生积极的真实根源。而渐近结果(3.10)为这种记忆依赖性不稳定性提供了一个数学理论基础，它们几乎没有提供我们目前提供的物理直觉。

我们首先介绍重缩放变量τ = 百万吨和H（H） = 小时/M（M）并代入方程（2.5）。然后我们考虑低内存限制M（M） ≪ 1，导致我们忽略了每个方程中的高阶时间导数。结果是每个液滴的过度阻尼、梯度驱动运动

\frac{{d日}^{} {x个}_{n个}}{d日 τ^{}} = - \sum_{米 = 1}^{N个} {H（H）}^{'} ({x个}_{n个} - {x个}_{米}),

3.11

波场在哪里 $H（H） (x个, τ) = \sum_{米 = 1}^{N个} H（H） (x个 - {x个}_{米} (τ))$ 如果除一个液滴外的所有液滴都是静态的，那么剩余的液滴将响应于由波场规定的固定电势而演化。然而，由于晶格的空间非局部耦合，这种运动反过来改变了作用于所有其他液滴的波浪力，从而促进推进。因此，有必要考虑系统的全球动态。

我们通过每个液滴下方波场的平均高度来表征动力学

H（H） (τ) = \frac{1}{N个} \sum_{n个 = 1}^{N个} H（H） ({x个}_{n个} (τ), τ) = \frac{1}{N个} \sum_{n个 = 1}^{N个} \sum_{米 = 1}^{N个} H（H） ({x个}_{n个} (τ) - {x个}_{米} (τ)) .

3.12一

使用(3.11)还有那个 $H（H） (x个)$ 是一个偶数周期函数，很容易验证

\frac{{d日}^{} H（H）}{d日 τ^{}} = - \frac{2}{N个} \sum_{n个 = 1}^{N个} (\frac{{d日}^{} {x个}_{n个}}{d日 τ^{}})^{2} \leq 0,

3.12b条

表明平均波高， $H（H）$ ，沿液滴轨迹减少（晶格平衡时除外）。在二维晶格的模拟中也观察到了这种现象[37]. 事实上，上述论点很容易推广到后一种情况，因此可以应用于更广泛的系统[50——53].

我们现在提供了几何不稳定性的类能量的另一种解释 $H（H）$ 。当扰动等间距晶格时 ${x个}_{n个} (τ) = n个 δ + η {\hat{x个}}_{n个} (τ)$ （0<η ≪ 1），我们计算 $H（H）$ 从稳定状态 ${H（H）}_{0} = \sum_{n个 = 1}^{N个} H（H） (n个 δ)$ .通过替换此安萨茨到(3.12一)和Taylor在η，我们获得

H（H） = {H（H）}_{0} + η^{2} [\frac{1}{N个} {\hat{x个}}^{T型} ({c（c）}_{0} 我 - A类) \hat{x个}] + O（运行） (η^{三}),

哪里 $\hat{x个} = {({\hat{x个}}_{1}, \dots, {\hat{x个}}_{n个})}^{T型}$ ,我是单位矩阵，并且A类是具有项的对称循环矩阵 ${A类}_{n个米} = {H（H）}^{″} (δ (n个 - 米))$ 因此，等间距晶格的稳定性完全取决于矩阵的确定性(c（c）₀我 − A类)，其中负特征值表示自 $H（H）$ 可以在相应特征向量的方向上减小。由于A类，其特征值为c（c）_k个（用于k个 = 0, …,N个 − 1）具有相应的特征向量v（v）_k个谁的n个th元素是e^{我k nα}（与正常模式一致安萨茨英寸(3.6)). 因此，如果存在，能量可能会减少 ${k个}_{*}$ 这样的话 ${c（c）}_{0} - {c（c）}_{{k个}_{*}} < 0$ （召回(3.10))，将稳定晶格渲染为鞍形。当多个波数满足这一条件时，晶格会沿着这类能量最陡下降的方向重新排列， $H（H）$ ，由波数规定 ${k个}_{*}$ 最大限度地减少c（c）₀ − c（c）_k个.何时N个是均匀的，并且 ${k个}_{*} = N个 / 2$ 对称性表明，液滴接近的晶格的间距大小不同。对于的其他值 ${k个}_{*}$ ，出现了更奇特的非对称晶格结构，如图3事实上，这种不稳定性甚至会影响两个分离良好的液滴（特别是，δ ≫ 我)尽管另一个液滴所感受到的波是指数级的小，但强调了空间非局部耦合的程度。

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图3。

低记忆状态下几何不稳定性的开始N个 = 31滴。黑色圆圈表示最终的液滴静止状态，该配置为平均波高提供了局部最小值 $H（H）$ （见（3.12））。(一)最终晶格的俯视图，其中长度由法拉第波长归一化。(b条)初始（薄曲线）和最终（厚曲线）晶格波场，小时，绘制在由中的红色曲线表示的圆弧上(一)。白色圆圈表示等间距不稳定晶格的初始位置。（彩色在线版本。）

（b）集体步行开始

如果晶格结构不是几何不稳定的，系统可能会失稳到集体行走时的记忆，M（M），增加到临界阈值以上（待定）。当实际特征值为(3.9)通过原点，从负到正。这种不稳定性通常出现在k个 = 0和λ₀在不稳定阈值处成为双特征值，尽管在特殊情况下也可能存在k个 = k个_*这样的话 ${c（c）}_{{k个}_{*}} = {c（c）}_{0}$ （自 $λ_{{k个}_{*}} = 0$ 也是的一个平凡根(3.9)). 通过因子分解(3.9)何时c（c）_k个 = c（c）₀，非平凡特征值满足二次多项式

M（M） λ_{0}^{2} + (M（M） + 1) λ_{0} + ({c（c）}_{0} {M（M）}^{2} + 1) = 0

3.13

自M（M） > 0，系统的稳定性取决于(3.13)，其中c（c）₀确定稳定晶格中每个液滴下的局部曲率。

什么时候？c（c）₀ < 0，对应于自由表面峰值上的每个液滴(3.13)都是真实的。系统在临界阈值时不稳定 $M（M） = 1 / \sqrt{- {c（c）}_{0}}$ 其中一个特征值从稳定节点过渡到鞍点，这是干叉分叉的特征。从物理上讲，这是波浪力主导阻力的阈值，促进单向自脉动，因此是中描述的行走阈值的多液滴模拟[38]，为此产生了超临界干草叉分叉[30].

相比之下，当c（c）₀ > 0时，每个液滴都位于自由表面的槽中，这是一种高度稳定的结构。因此，Re(λ₀)全部<0M（M）在这种情况下，系统可能通过过阻尼或欠阻尼振荡返回到其静止状态。当波核中心峰附近的波谷， $H（H）$ ，足够深（类似于图2一以及电子辅助材料）和液滴非常接近。

（c）振荡不稳定性

与中描述的实验特别相关[25]是指晶格发生振荡不稳定性的情况，其中复合共轭特征值对的实部随着记忆的增加而从负向正转变（这是霍普夫分岔的指示，但不是决定性的；参见§4)。我们注意到晶格可能具有连续的音叉和振荡不稳定性M（M）不同，在这种情况下，不稳定性的形式和阈值由最小的临界值决定M（M）.

在图4，通过考虑主特征值的实部和虚部，我们证明了振荡不稳定性的可能形式，λ_k个，对于三个连续的液滴配置：N个 = 19,N个 = 20和N个 = 21.作为记忆，M（M），增加，单个波数 ${k个}_{c（c）} \in [0, \bar{N个}]$ 触摸 $重新 (λ_{{k个}_{c（c）}}) = 0$ 对于某些临界值M（M） = M（M）_c（c）（确定如下），而 $伊姆河 (λ_{{k个}_{c（c）}}) = ω_{{k个}_{c（c）}} \neq 0$ 对应于振荡不稳定性。作为M（M）进一步增加，超过M（M）_c（c）然而，随着相应的特征值穿过虚轴，更多的波数会变得不稳定。特别令人感兴趣的是这种情况N个 = 20 (图4b条)，其中临界波数为k个_c（c） = N个/在当前参数范围内为2。根据线性稳定性分析，每个液滴位置由 ${x个}_{n个} = n个 δ + {(- 1)}^{n个} [A类经验 (我 ω_{{k个}_{c（c）}} t吨) + c（c） . c（c） .]$ 在M（M） = M（M）_c（c）在这种情况下，对应于相邻液滴的异相振荡，类似于实验观察[25，图2]。我们还注意到k个_c（c）从 $k个 = \bar{N个}$ 对于N个 = 19 (图4一)，与形成对比N个 = 20和N个 = 21.这种转变似乎是亚临界分叉的标志（见§5)。为了全面描述晶格动力学M（M） > M（M）_c（c），我们考虑§4.

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图4。

主要特征值的实部（顶部面板）和虚部（底部面板），λ_k个，由三次多项式确定(3.9)的(一)N个 = 19, (b条)N个 = 20和(c（c）)N个 = 21.作为M（M）逐渐增加，单个波数 ${k个}_{c（c）} \in [0, \bar{N个}]$ 触摸 $重新 (λ_{{k个}_{c（c）}}) = 0$ ，同时 $伊姆河 (λ_{{k个}_{c（c）}}) \neq 0$ 上下分支对应于共轭对的一个成员。作为M（M）进一步增加，但更多相邻波数在k个_c（c）。相比之下N个 = 20和N个 = 21岁时k个_c（c）从 $k个 = \bar{N个}$ 什么时候N个 = 19，亚临界分岔的标志（参见§5)。（彩色在线版本。）

在临界阈值M（M） = M（M）_k个，波数所在的存储器k个变得不稳定，临界特征值为λ_k个 = 我ω_k个，其中ω_k个 > 0而不丧失通用性。替换为(3.9)取实部和虚部，我们得到两个方程ω_k个，即

ω_{k个}^{2} = {c（c）}_{0} {M（M）}_{k个} + \frac{1}{{M（M）}_{k个}} 和 ω_{k个}^{2} = \frac{{M（M）}_{k个} ({c（c）}_{0} - {c（c）}_{k个})}{{M（M）}_{k个} + 1} .

3.14

通过消除ω_k个，我们发现M（M）_k个满足第页(M（M）_k个)=0，其中第页(M（M）) = c（c）₀M（M）^三 + c（c）_k个 M（M）² + M（M） + 1.我们确定M（M）_k个作为的最小实根第页对于每个波数k个并将临界晶格失稳阈值定义为M（M）_c（c） = 最小值_k个 M（M）_k个，所有波数的最小内存。相应的临界角频率 $ω_{c（c）} = ω_{{k个}_{c（c）}}$ 然后可以根据(3.14)，即 $ω_{c（c）} = \sqrt{{c（c）}_{0} {M（M）}_{c（c）} + 1 / {M（M）}_{c（c）}}$ .

（d）总结

§三a–c总结如下图5，我们现在所在的位置M（M）_c（c）对于每个液滴配置，包括N个液滴。晶格构型要么在几何上不稳定(M（M）_c（c） = 0），或由记忆效应触发的不稳定性(M（M）_c（c） > 0）通过音叉分叉或振荡不稳定性。（对§4振荡不稳定性可分为超临界或亚临界Hopf分岔。）我们在记忆驱动或几何不稳定性的分布中没有观察到明显的模式，主要是由于以下事实N个是离散变化的。如§所述5，更改晶格半径时提供了更具照明效果的视图，第页₀、连续和固定N个.

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图5。

临界失稳阈值，M（M）_c（c）作为液滴数量的函数，N个，对于固定环半径第页₀ = 5.4. 当记忆参数，M（M） = ¦Α⁻¹，满足M（M） > M（M）_c（c），对于M（M） < M（M）_c（c）每种不稳定的形式都以图例为特征。数据点之间的黑线是视觉指南。（彩色在线版本。）

4.弱非线性振荡和自导漂移

§的结果三建议，对于几何稳定的晶格配置（不包括这种情况N个 = 1），晶格通过Hopf分岔失稳。（从技术上讲，由于晶格的旋转不变性，这些严格意义上不是Hopf分岔——不动点是非孤立的。）一般来说，Hopf分支是两种类型之一：超临界，其中稳定的小振幅振荡出现在不稳定阈值之外，由液滴波场的斜率推动(图6); 或者是次临界的，系统跳到远处的吸引子（比如一个孤立的波[25]). 我们继续在分岔点附近进行弱非线性分析，¦Α = ¦Α_c（c） = 1/M（M）_c（c），让我们能够区分这两种不同的动态，这两种动态在空间和时间上都是非本地系统。

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图6。

波场演变的表面图，小时，和液滴位置（黑色曲线）N个 = 22个液滴，在超临界分岔开始后略微出现异相振荡（特别是，¦Α_c（c） − ¦Α = 0.02). （彩色在线版本。）

什么时候？¦Α仅略小于¦Α_c（c），我们设置¦Α_c（c） − ¦Α = ε²，其中0<ε≪1，对应于M（M）略高于临界阈值，M（M）_c（c）然后，我们提出以下渐近多尺度展开式：

{x个}_{n个} \sim n个 δ + D类 (T型) + \sum_{我 = 1}^{\infty} ε^{我} {x个}_{n个}^{(我)} (t吨, T型) 和 小时 \sim \sum_{我 = 0}^{\infty} ε^{我} {小时}^{(我)} (x个, t吨, T型),

4.1

哪里T型 = ε² t吨是慢时间刻度。这个O（运行）（1）漂移，D类(T型)，可能会引起晶格的净旋转。这种漂移的起源可以追溯到k个 = 色散关系的0模式(3.9)，对应于平移不变性。（我们注意到表面重力波中的斯托克斯漂移以类似的方式出现[54].) 渐近展开式(4.1)是多尺度方法的标准[55,56]. 快速时间刻度t吨表征不稳定液滴振荡的时间尺度¦Α_c（c），同时T型结合了不稳定性的缓慢振幅调制。我们期待着扩张(4.1)在长时间尺度上保持有效，前提是振荡幅度保持较小，特别是大小O（运行）(ε). 被忽略的高阶非线性项的影响只有在以下情况下才变得显著T型 = O（运行）(1/ε).

存储在自由曲面内的路径存储器（通过方程式输入(2.5b条))这意味着该程序中所涉及的必要计算是非标准的，而且（不幸的是）冗长的，附录A中概述了全部细节。简单地说，多尺度分析的结果是每个液滴根据

{x个}_{n个} = n个 δ + [D类 (T型) + O（运行） (ε)] + ε [A类 (T型) {e（电子）}^{我 ({k个}_{c（c）} n个 α + ω_{c（c）} t吨)} + 约。] + O（运行） (ε^{2}),

其中缓慢变化的复振幅A类受Stuart–Landau方程支配

\frac{d日 A类}{d日 T型} = γ_{1} A类 - γ_{2} | A类 |^{2} A类 .

4.2

控制漂移演变的随附方程，D类，是

\frac{d日 D类}{d日 T型} = γ_{三} | A类 |^{2} .

4.3

系数γ₁, $γ_{2} \in C类$ 和 $γ_{三} \in R（右）$ 根据附录A中的系统参数定义。

当不稳定性的临界波数为k个_c（c） = N个/2，对应于液滴的异相振荡（回忆§三c），我们发现γ_三 = 0，因此D类 = 常数。否则，点阵具有叠加在单个液滴振荡顶部的非零漂移速度，这种现象也在自由空间环中观察到[37]. 此外，我们观察到(4.3)那时候|A类|是常量，D类在中是线性的T型并且晶格以恒定速度旋转。

配备方程式(4.2)，我们现在指定每个晶格配置对哪种Hopf分叉不稳定。通过重铸A类英寸(4.2)以极坐标形式A类 = ρ经验ϕ)（其中ρ(T型)≥0且ϕ(T型)都是真实的），并将真实部分和想象部分相等，我们发现

\frac{d日 ρ}{d日 T型} = {第页}_{1} ρ - {第页}_{2} ρ^{三}

4.4

和

\frac{d日 ϕ}{d日 T型} = 秒_{1} - 秒_{2} ρ^{2},

4.5

哪里第页_我 = 回复(γ_我)和秒_我 = 我(γ_我)。与§三,第页₁满足第页₁ > 0，呈现固定点ρ = 0（对应于静止晶格）不稳定。如果第页₂ > 0，存在第二个稳定的不动点 $ρ_{*} = \sqrt{{第页}_{1} / {第页}_{2}}$ 对应于超临界Hopf分岔。发件人(4.5)，对应的阶段为ϕ(T型) = ϕ_*T型哪里ϕ_* = 秒₁ − 秒₂第页₁/第页₂（我们通过时间不变性将与任意相移相对应的积分常数设置为零）。相反，如果第页₂ < 0，则不存在超出不稳定阈值的额外不动点，这是亚临界分岔的特征。

我们再次关注图5，其中我们标记为超临界(第页₂ > 0）和次临界(第页₂ < 0）变化的Hopf分支N个.虽然此图的精确细节取决于波核的形式， $H（H）$ ，我们看到它描绘了实验的基本特征之一[25]即当液滴数量从原来的两倍增加到现在的两倍时，从超临界霍普夫分岔过渡到亚临界霍普夫分岔N个 = 20至N个 = 40.以下情况会出现物理上稳定的小振幅振荡M（M） > M（M）_c（c）当Hopf分岔是超临界的，然而对于亚临界Hopf分支（在实验中，它以孤立波的形式出现[25]). 改变环半径的微妙含义，第页₀在保持液滴数量的同时，N个，固定，在§中讨论5.

最后，我们证明了(4.2)和(4.3)描述超临界分岔点以外系统（2.5）的动力学。每个液滴的演化都有一个稳定的周期性状态

{x个}_{n个} (t吨) = n个 δ + d日 (t吨) + 一 余弦 (Ω t吨 + Ψ_{n个}) + O（运行） (ε^{2}),

漂流的地方d日(t吨) = v（v）(t吨 − t吨₀) + O（运行）（ε）以速度前进v（v） = γ_三(第页₁/第页₂)(¦Α_c（c） − ¦Α)。振荡幅度为 $一 = 2 ρ_{*} \sqrt{{¦Α}_{c（c）} - ¦Α}$ 和Ω=ϕ_*(¦Α_c（c） − ¦Α)+ω_c（c）是角频率。每个振荡都有一个相关的相移Ψ_n个 = k个_c（c）nα.

在图7，我们将（2.5）的直接数值模拟与我们对一、Ω和v（v）在超临界情况下N个 = 23.我们的数值解是使用傅里叶光谱法计算的，电子辅助材料中提供了代码和文档。对于0<¦Α_c（c） − ¦Α ≪ 1，我们的分析和数值预测实际上是重叠的。如果¦Α_c（c） − ¦Α然而，如果变得太大，就会出现显著差异，我们将其归因于第二次分岔的开始，其中振荡本身会失稳。因此，有必要考虑振幅的空间和时间变化A类(T型)将在其他地方探索[57].

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图7。

超临界Hopf分岔的数值（蓝点）和分析（灰色）预测N个 = 23，作为¦Α_c（c） − ¦Α = ε². (一)振荡幅度一. (b条)角频率的变化δΩ = |Ω − ω_c（c）|. (c（c）)漂移速度|v（v）|. 所有数值结果都是通过模拟（2.5）获得的，直到获得恒定振幅的周期状态。当ε足够小时，数值和分析预测实际上是重叠的：然而，随着ε的增加，振荡会经历第二次分岔，在这种情况下，动力学会变得混沌。（彩色在线版本。）

5.稳定性控制

当晶格半径，第页₀是固定的，液滴的数量，N个，离散变化，图5几何不稳定性和记忆驱动不稳定性的分布没有明显的模式。然而N个只考虑了可能的液滴分离无限族中的有限子集。为了阐明几何和记忆驱动不稳定性的潜在结构，我们转而考虑N个 = 20滴变化为第页₀不断变化。其中，我们通过无量纲分离距离来表征动力学，δ = Λ/N个 = 2πr（πr）₀/N个正如我们将看到的那样，几何和记忆驱动的不稳定性区域实际上在以下情况下出现准周期性δ具有接近法拉第波长的周期。（我们记得，所有长度均按λ_F类.）我们注意到波核， $H（H） (x个)$ ，取决于第页₀通过方程式(2.6).

（a）几何不稳定性

我们首先研究几何不稳定性的起源，我们从§三如果存在整数，则发生a ${k个}_{*}$ 这样的话 ${c（c）}_{{k个}_{*}} > {c（c）}_{0}$ 。为了帮助进行以下讨论，我们绘制了系数c（c）_k个对于 $k个 \in [0, \bar{N个} = 10]$ 在里面图8c（c）作为的函数δ.系数的振荡形式c（c）_k个随着增加δ（或第页₀)由于准单色形式 $H（H） (x个)$ 振荡长度标度接近法拉第波长（单位为无量纲单位）。此外，c（c）₀和 ${c（c）}_{\bar{N个}}$ 倾向于异相振荡并限制 ${c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{\bar{N个} - 1}$ 结果是，几何不稳定区域通常以以下值开始和结束δ哪里 ${c（c）}_{\bar{N个}}$ 十字架c（c）₀分别从下方和上方选择 ${k个}_{*} = \bar{N个}$ 此外，每个连续的几何不稳定区域都被法拉第波长隔开(δ ≈ 1). 即使液滴分离良好且相互作用较弱，尤其是当δ大大超过了波核的衰减长度(δ ≫ 我)。在这个极限中，系数c（c）_k个指数衰减（到渐近值 ${H（H）}^{″} (0)$ ，单个孤立液滴）的长度范围接近我但仍保持振荡。

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图8。

不稳定形式的描述N个 = 20是固定的，无量纲环半径，第页₀ = Λ/(2π)，改变了无量纲的分离距离，δ = Λ/N个.英寸(一——c（c）)，绿色和红色背景对应于内存驱动(M（M）_c（c） > 0）和几何不稳定性(M（M）_c（c） = 0）。(一)关键内存，M（M）_c（c），其中晶格对于M（M） > M（M）_c（c）.扭结M（M）_c（c）对应于跳跃k个_c（c）。虚线曲线（深绿色）对应于N个 = 20不稳定性图5. (b条)对应的临界波数，k个_c（c）对于亚临界分支k个_c（c）从 $k个 = \bar{N个}$ ，这是此类配置的明显特征。在两者中(一)和(b条)，黑色和灰色曲线分别表示超临界和亚临界Hopf分岔。暗红线表示几何不稳定性。(c（c）)系数c（c）_k个（蓝色曲线），其中c（c）₀和 ${c（c）}_{\bar{N个}} = {c（c）}_{10}$ 分别以黑色和红色突出显示。(d日——（f）)稳态晶格波场以液滴下方为中心，延伸至相邻的两个液滴x个 = ±δ，用于(d日)δ = 0.6, (e（电子）)δ = 1.6和(（f）)δ = 2.6，均对应于超临界Hopf分岔。当液滴紧密堆积在一起时，稳定波场中的振荡变得难以察觉。（彩色在线版本。）

（b）记忆驱动的不稳定性

间隔为δ系统经历记忆驱动的霍普夫分岔，图8一表明不稳定性阈值，M（M）_c（c），变化平稳，但以下点除外k个_c（c）在不同的整数值之间切换(图8b条)。Hopf分岔似乎是超临界的只有什么时候k个_c（c）是 $\bar{N个}$ 或 $\bar{N个} - 1$ 否则为次临界（召回图4)。当液滴之间的距离小于法拉第波长时( $δ ≲ 1$ )，超临界区非常窄，这解释了液滴紧密堆积时亚临界分岔的普遍性。我们注意到 $δ ≲ 0.7$ 在当前参数范围内(图8d日)，稳态晶格波场呈现出难以察觉的振荡，这与 $δ ≳ 1$ (图8e（电子）,（f）)超临界Hopf和几何不稳定性普遍存在。

（c）总结

因此，几何不稳定区域提供了法拉第波长规定的量化分离距离，在该距离处，振荡出现超过不稳定阈值。此外，我们推断，当液滴紧密堆积在一起时，亚临界分岔（以及因此产生的孤立波）更有可能出现( $δ ≲ 1$ )或何时δ接近几何不稳定性的边界。然而，我们高度简化的模型并没有捕捉到孤立波动力学，这可能是由于省略了在这种情况下出现的几个潜在的显著流体力学效应（见§2)。然而，上述观察结果与实验完全一致[25]其中，当液滴间距约为1.8时，观察到小振幅、异相振荡和孤立波λ_F类和0.9λ_F类分别是。最后，上述结果表明了实验系统的灵敏度[25]：我们推断图8圆环半径的微小变化，第页₀或液滴的加减可能会对晶格的稳定性产生不利影响，例如将晶格推入几何不稳定区域。

6.结论

在本文中，我们考虑了惯性主动流体动力晶格中集体振动的开始和稳定性。这种新型的动态振荡器具有两个与传统振荡器系统不同的特征：空间非局域耦合，在这种情况下由液滴波场介导；以及晶格元件的记忆驱动的自脉冲。空间非局部耦合的一个结果是几何不稳定性的可能性，其中晶格波场在记忆参数的所有值下推动液滴，M（M）否则，线性稳定性预测系统通常会失稳到临界存储器以外的振荡不稳定性。

然后，通过系统的弱非线性分析，研究了接近不稳定点的系统的命运。在记忆驱动的不稳定性开始时，晶格系统会经历霍普夫分岔，这种分岔可以是超临界的，促使稳定的小振幅振荡超过不稳定性阈值，也可以是亚临界的，系统会跳到远处的吸引子，这在实验中表现为孤立波的激发[25]. 在超临界状态下，非对称液滴振荡可能会引起振荡-旋转运动，这是在受限和自由空间环中观察到的现象[25,37]. 此外，当晶格半径固定时，我们的弱非线性分析证实了实验的基本特征之一[25]即当液滴数量从20增加到40时，从超临界霍普夫分岔转变为亚临界霍普夫分岔。

当我们允许晶格半径连续变化，同时保持液滴数量不变时，进一步探讨了晶格稳定性对系统参数的依赖性。在这里，我们发现量子化的分离距离在大小上与法拉第波长相似，分离了连续的几何和记忆驱动不稳定性区域。概括我们从超临界到亚临界Hopf分岔过渡的结果，我们推断，当液滴结合更紧密时（相距小于法拉第波长），亚临界分岔更有可能出现，而当液滴间距增加时，超临界和几何不稳定性占主导地位。这些观察结果与中报告的液滴间距的实验结果一致[25].

本文结果引发的潜在调查途径有很多，因此我们在此仅列举其中几个最显著的。也许最苛刻的是对孤立波状态的完全非线性动力学的描述，特别是扩展我们的模型以考虑液滴垂直反弹阶段的变化[43]，或淹没环形通道几何形状施加的二维效应[44]. 事实上，对于紧密堆积的等间距晶格，波浪力消失了(图8d日)这预示着简化模型（2.5）不足以捕捉孤立波动力学。受交通流数学模型的启发[58]另一种方法是对离散模型（2.5）进行细化，以导出宏观液滴密度和速度的偏微分方程组。这些模型为研究非线性波的传播提供了一个自然的框架。

当我们的系统被视为一个动力系统时，也需要进一步关注。在未来[57]，我们将表明，考虑到液滴振荡幅度的空间变化，A类，推广方程(4.2)到一个复杂的金兹堡-朗道方程，使我们能够合理地解释图7原则上，本研究中使用的技术也可以扩展到二维晶格[37,50——53]. 最后，我们系统中存在的时空非局域性也使其成为研究耦合振荡器中所谓嵌合体状态的一个诱人的实验和理论候选者[32——34,59——61].

补充材料

流体动力主动晶格的集体振动：补充材料：

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补充材料

MATLAB代码：

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致谢

作者感谢丹尼尔·哈里斯（布朗大学）提供了图1一.

附录A：Stuart–Landau和漂移方程的推导

在本附录中，我们提供了导致振幅和漂移方程的多尺度展开的详细信息(4.2)和(4.3)。因此，基本方法是：首先，我们替换渐近展开式(4.1)并收集ε的连续幂。在每个阶，我们抑制共振项（在t吨或与成比例 ${e（电子）}^{我 ϕ_{n个} (t吨)}$ ，其中ϕ_n个 = k个_c（c）nα + ω_c（c）t吨)，因此是线性问题的解决方案(3.5)。通过引入辅助变量来求解自由曲面，这一步骤变得更加容易小时，类似于§三此过程产生了Stuart–Landau方程(4.2)在O（运行）(ε^三)和漂移方程(4.3)在O（运行）(ε²).

在领先订单中，我们获得了一个类似的系统(3.1)

\frac{\partial {小时}^{(0)}}{\partial x个} |_{x个 = {x个}_{n个}^{(0)}} = 0, {小时}^{(0)} (x个, T型) = \frac{1}{{¦Α}_{c（c）}} \sum_{米 = 1}^{N个} H（H） (x个 - {x个}_{米}^{(0)}),

答1

哪里 ${x个}_{n个}^{(0)} = {x个}_{n个}^{(0)} (T型) = n个 δ + D类 (T型)$ .通过对称小时⁽⁰⁾，在平衡状态下，所有奇异导数都会消失在每个液滴下面，这一事实我们将在展开式中重复使用，以简化接下来的术语。

在O（运行）（ε），我们得到了一个类似于（3.2）的问题 ${x个}_{n个}^{(1)}$ 和小时⁽¹⁾因此，在定义辅助变量后X_n个令人满意的

\frac{\partial X_{n个}}{\partial t吨} + {¦Α}_{c（c）} X_{n个} = {x个}_{n个}^{(1)},

我们得到了特定的解

{小时}^{(1)} = - \sum_{米 = 1}^{N个} X_{米} {H（H）}^{'} (x个 - {x个}_{米}^{(0)}),

答2

和 ${L（左）}_{n个} {x个}^{(1)} = 0$ ，其中线性算子的定义， ${L（左）}_{n个}$ ，与中的相同(3.5)（带有¦Α = ¦Α_c（c）)和 ${x个}^{(1)} = ({x个}_{1}^{(1)}, \dots, {x个}_{N个}^{(1)})$ （回忆一下小时⁽¹⁾时间呈指数衰减（§三).) 我们现在寻求解决方案 ${L（左）}_{n个} {x个}^{(1)} = 0$ 表单的

{x个}_{n个}^{(1)} = B类 (T型) + [A类 (T型) {e（电子）}^{我 ϕ_{n个}} + 约。], X_{n个} = \frac{1}{{¦Α}_{c（c）}} B类 (T型) + [\frac{A类 (T型)}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}} {e（电子）}^{我 ϕ_{n个}} + 约。],

答3

哪里A类是复数振幅B类是对漂移的校正，D类通过回顾弥散关系，可以验证此解决方案， ${D类}_{k个}$ ，满足 ${D类}_{{k个}_{c（c）}} (我 ω_{c（c）}; {¦Α}_{c（c）}) = 0$ 和 ${D类}_{0} (0; ¦Α) = 0$ .

在O（运行）(ε²)，我们有以下系统 ${x个}_{n个}^{(2)}$ 和小时⁽²⁾:

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} {x个}_{n个}^{(2)}}{\partial {t吨}^{2}} + \frac{\partial {x个}_{n个}^{(2)}}{\partial t吨} + \frac{d日 D类}{d日 T型} & = - {\frac{\partial {小时}^{(2)}}{\partial x个} + {x个}_{n个}^{(2)} \frac{\partial^{2} {小时}^{(0)}}{\partial {x个}^{2}} + {x个}_{n个}^{(1)} \frac{\partial^{2} {小时}^{(1)}}{\partial {x个}^{2}}} |_{x个 = {x个}_{n个}^{(0)}} \end{aligned}

A 4

\begin{aligned} \frac{\partial {小时}^{(2)}}{\partial t吨} + {¦Α}_{c（c）} {小时}^{(2)} + \frac{\partial {小时}^{(0)}}{\partial T型} & = {小时}^{(0)} + \sum_{米 = 1}^{N个} {\frac{1}{2} {x个}_{米}^{(1) 2} {H（H）}^{″} (x个 - {x个}_{米}^{(0)}) - {x个}_{米}^{(2)} {H（H）}^{'} (x个 - {x个}_{米}^{(0)})} . \end{aligned}

答5

为了解决小时⁽²⁾，我们引入另外两个辅助变量，Y（Y）_n个和Z轴_n个，类似于(3.3)。通过不均匀性的形式(答5)，我们摆姿势Y（Y）_n个和Z轴_n个满足

\frac{\partial {Y（Y）}_{n个}}{\partial t吨} + {¦Α}_{c（c）} {Y（Y）}_{n个} = \frac{1}{2} {x个}_{n个}^{(1) 2} 和 \frac{\partial {Z轴}_{n个}}{\partial t吨} + {¦Α}_{c（c）} {Z轴}_{n个} = {x个}_{n个}^{(2)} .

答6

一种特殊的解决方案(答5)然后发现：

{小时}^{(2)} = \frac{1}{{¦Α}_{c（c）}} ({小时}^{(0)} - \frac{\partial {小时}^{(0)}}{\partial T型}) + \sum_{米 = 1}^{N个} {{Y（Y）}_{米} {H（H）}^{″} (x个 - {x个}_{米}^{(0)}) - {Z轴}_{米} {H（H）}^{'} (x个 - {x个}_{米}^{(0)})} .

答7

使用的形式 ${x个}_{n个}^{(1)}$ ，我们从中的第一个方程中发现(答6)那个

{Y（Y）}_{n个} = \frac{1}{{¦Α}_{c（c）}} [| A类 |^{2} + \frac{1}{2} {B类}^{2}] + B类 [\frac{A类}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}} {e（电子）}^{我 ϕ_{n个}} + 约。] + \frac{1}{2} [\frac{{A类}^{2}}{{¦Α}_{c（c）} + 2 我 ω_{c（c）}} {e（电子）}^{2 我 ϕ_{n个}} + 约。] .

答8

替换(答7)和(答8)到(答4)、和使用(答1)，然后产生

{L（左）}_{n个} {x个}^{(2)} = - α_{0} \frac{d日 D类}{d日 T型} + {一_{1} {A类}^{2} {e（电子）}^{2 我 ϕ_{n个}} + 约。} + 一_{2} | A类 |^{2},

答9

其中系数α₀,一₁和一₂包含在本附录末尾的摘要中。

对于的有界解(答9)，我们要求右侧的常数长期项消失，从而得出控制漂移的方程D类:

α_{0} \frac{d日 D类}{d日 T型} = 一_{2} | A类 |^{2} .

答10

按比例计算 ${e（电子）}^{\pm 2 我 ϕ_{n个} (t吨)}$ 英寸(答9)是非梁的，一般解(答9)就是那个时候

{x个}_{n个}^{(2)} = [C类 (T型) {e（电子）}^{我 ϕ_{n个}} + 中央银行。] + [\frac{一_{1} {A类}^{2}}{{D类}_{2 {k个}_{c（c）}} (2 我 ω_{c（c）}; {¦Α}_{c（c）})} {e（电子）}^{2 我 ϕ_{n个}} + 约。] + E类 (T型),

哪里C类和E类是对复数振幅的校正，A类和漂移，D类分别是。因此，从中的第二个方程(A 6)，我们发现

{Z轴}_{n个} = [\frac{{\tilde{一}}_{1} {A类}^{2}}{{¦Α}_{c（c）} + 2 我 ω_{c（c）}} {e（电子）}^{2 我 ϕ_{n个}} + 约。] + [\frac{C类}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}} {e（电子）}^{我 ϕ_{n个}} + 约。] + \frac{1}{{¦Α}_{c（c）}} E类, 哪里 {\tilde{一}}_{1} = \frac{一_{1}}{{D类}_{2 {k个}_{c（c）}} (2 我 ω_{c（c）}; {k个}_{c（c）})} .

在O（运行）(ε^三)，我们有一个系统 ${x个}_{n个}^{(三)}$ 和小时⁽³⁾，即

\begin{aligned} \frac{\partial^{2} {x个}_{n个}^{(三)}}{\partial {t吨}^{2}} + \frac{\partial {x个}_{n个}^{(三)}}{\partial t吨} + {x个}_{n个}^{(三)} \frac{\partial^{2} {小时}^{(0)}}{\partial {x个}^{2}} |_{x个 = {x个}_{n个}^{(0)}} = - [2 \frac{\partial^{2} {x个}_{n个}^{(1)}}{\partial t吨 \partial T型} + \frac{\partial {x个}_{n个}^{(1)}}{\partial T型}] \\ - [\frac{\partial {小时}^{(三)}}{\partial x个} + {x个}_{n个}^{(1)} \frac{\partial^{2} {小时}^{(2)}}{\partial {x个}^{2}} + \frac{1}{2} {x个}_{n个}^{(1) 2} \frac{\partial^{三} {小时}^{(1)}}{\partial {x个}^{三}} + {x个}_{n个}^{(2)} \frac{\partial^{2} {小时}^{(1)}}{\partial {x个}^{2}} + \frac{1}{6} {x个}_{n个}^{(1) 三} \frac{\partial^{4} {小时}^{(0)}}{\partial {x个}^{4}}] |_{x个 = {x个}_{n个}^{(0)}} \end{aligned}

A 11号机组

和

\begin{aligned} \frac{\partial {小时}^{(三)}}{\partial t吨} + {¦Α}_{c（c）} {小时}^{(三)} = - [\frac{\partial {小时}^{(1)}}{\partial T型} - {小时}^{(1)}] \\ + \sum_{米 = 1}^{N个} {{x个}_{米}^{(1)} {x个}_{米}^{(2)} {H（H）}^{″} (x个 - {x个}_{米}^{(0)}) - {x个}_{米}^{(三)} {H（H）}^{'} (x个 - {x个}_{米}^{(0)}) - \frac{1}{6} {x个}_{米}^{(1) 三} {H（H）}^{‴} (x个 - {x个}_{米}^{(0)})} . \end{aligned}

答12

按照与在O（运行）(ε²)，引入另外三个辅助变量可以让我们找到(答12)管理小时⁽³⁾然后，在替换后小时⁽³⁾到(A 11号机组)，消除长期项（在t吨或与成比例 ${e（电子）}^{我 ϕ_{n个} (t吨)}$ )得出了两个控制复振幅的方程，A类和真正的漂移，B类，即

α_{1} \frac{d日 A类}{d日 T型} = α_{2} A类 - α_{三} | A类 |^{2} A类

答13

和

α_{0} \frac{d日 B类}{d日 T型} = 2 一_{2} 重新 [{A类}^{*} C类],

A 14号机组

除方程式外(答10)控制漂移，D类.符号A类*表示的复共轭A类.我们无法确定高阶修正B类,C类和E类而不继续O（运行）(ε⁴)和更高。然而，通过考虑A类和D类正如所明确的那样图7.

我们通过总结系数得出结论，其中回忆一下有助于 ${D类}_{k个} (λ; ¦Α)$ 是色散关系(3.7)。为了方便起见，我们引入了符号 ${H（H）}_{n个} = H（H） (n个 δ)$ （对于衍生品也是如此）。系数α₀,一₁和一₂出现在(答9), (A 10)和(A 14号机组)是

\begin{aligned} α_{0} = \frac{\partial {D类}_{0}}{\partial λ} (0; {¦Α}_{c（c）}) = 1 + \frac{1}{{¦Α}_{c（c）}^{2}} \sum_{n个 = 1}^{N个} {H（H）}_{n个}^{″}, \\ 一_{1} = \frac{1}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}} \sum_{n个 = 1}^{N个} {e（电子）}^{- 我 {k个}_{c（c）} n个 α} {H（H）}_{n个}^{‴} - \frac{1}{2 ({¦Α}_{c（c）} + 2 我 ω_{c（c）})} \sum_{n个 = 1}^{N个} {e（电子）}^{- 2 我 {k个}_{c（c）} n个 α} {H（H）}_{n个}^{‴} \\ 和 & 一_{2} = 2 重新 [\frac{1}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}} \sum_{n个 = 1}^{N个} {e（电子）}^{- 我 {k个}_{c（c）} n个 α} {H（H）}_{n个}^{‴}] = - \frac{2 ω_{c（c）}}{{¦Α}_{c（c）}^{2} + ω_{c（c）}^{2}} \sum_{n个 = 1}^{N个} 罪 ({k个}_{c（c）} n个 α) {H（H）}_{n个}^{‴}, \end{aligned}

而α_我，用于我 = 1、2、3，出现在(答13)是

α_{1} = \frac{\partial {D类}_{{k个}_{c（c）}}}{\partial λ} (我 ω_{c（c）}; {¦Α}_{c（c）}), α_{2} = \frac{\partial {D类}_{{k个}_{c（c）}}}{\partial ¦Α} (我 ω_{c（c）}; {¦Α}_{c（c）})

和

\begin{aligned} α_{三} & = \frac{三}{2 {¦Α}_{c（c）}} \sum_{n个 = 1}^{N个} {H（H）}_{n个}^{⁗} - \sum_{n个 = 1}^{N个} {H（H）}_{n个}^{⁗} 重新 [\frac{{e（电子）}^{- 我 {k个}_{c（c）} n个 α}}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}}] + \frac{1}{2} \sum_{n个 = 1}^{N个} \frac{{H（H）}_{n个}^{⁗} {e（电子）}^{- 2 我 {k个}_{c（c）} n个 α}}{{¦Α}_{c（c）} + 2 我 ω_{c（c）}} - \sum_{n个 = 1}^{N个} \frac{{H（H）}_{n个}^{⁗} {e（电子）}^{- 我 {k个}_{c（c）} n个 α}}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}} \\ + 2 我 {\tilde{一}}_{1} \sum_{n个 = 1}^{N个} {H（H）}_{n个}^{‴} 伊姆河 [\frac{{e（电子）}^{- 我 {k个}_{c（c）} n个 α}}{{¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）}}] - {\tilde{一}}_{1} \sum_{n个 = 1}^{N个} \frac{{H（H）}_{n个}^{‴} {e（电子）}^{- 2 我 {k个}_{c（c）} n个 α}}{{¦Α}_{c（c）} + 2 我 ω_{c（c）}} - \frac{一_{2}}{α_{0}} \sum_{n个 = 1}^{N个} \frac{{e（电子）}^{- 我 {k个}_{c（c）} n个 α} {H（H）}_{n个}^{‴}}{{({¦Α}_{c（c）} + 我 ω_{c（c）})}^{2}} . \end{aligned}

回想一下 ${\tilde{一}}_{1} = 一_{1} / {D类}_{2 {k个}_{c（c）}} (2 我 ω_{c（c）}; {¦Α}_{c（c）})$ .关于分割(答13)由α₁和(答10)由α₀我们得出方程式(4.2)和(4.3)在正文中，其中γ₁ = α₂/α₁,γ₂ = α_三/α₁、和γ_三 = 一₂/α₀。我们注意到，当k个_c（c） = N个/2，简化是因为 ${\tilde{一}}_{1} = 一_{1} = 一_{2} = 0$ .

数据可访问性

电子补充材料中提供了模型（2.5）光谱实现的代码和文档。

作者的贡献

S.J.T.构思了这项研究。S.J.T和M.D.在§2并在§§三——5，与R.R.R.M.D.协商，编写并实施模型（2.5）的光谱方法，并生成图形图22——8三位作者都参与了手稿的撰写，并最终批准出版，同意各自对其中的工作负责。

竞争性利益

我们声明，我们没有相互竞争的利益。

基金

R.R.R.通过第DMS-1719637号拨款获得了国家科学基金会的部分支持。

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来自的文章诉讼程序。数学、物理和工程科学由以下人员提供英国皇家学会

流体动力主动晶格的集体振动

关联数据

摘要

1.简介

2.主动晶格模型

3.记忆驱动和几何不稳定性

（a） 几何不稳定性

（b） 集体步行开始

（c） 振荡不稳定性

（d） 总结

4.弱非线性振荡和自导漂移

5.稳定性控制

（a） 几何不稳定性

（b） 记忆驱动的不稳定性

（c） 总结

6.结论

补充材料

补充材料

致谢

附录A：Stuart–Landau和漂移方程的推导

数据可访问性

作者的贡献

竞争性利益

基金

参考

（a）几何不稳定性

（b）集体步行开始

（c）振荡不稳定性

（d）总结

（a）几何不稳定性

（b）记忆驱动的不稳定性

（c）总结