The magnetorotational instability prefers three dimensions

Jeffrey S. Oishi; Geoffrey M. Vasil; Morgan Baxter; Andrew Swan; Keaton J. Burns; Daniel Lecoanet; Benjamin P. Brown

doi:10.1098/rspa.2019.0622

数学物理工程科学。2020年1月；476(2233): 20190622.

2020年1月8日在线发布。数字对象标识：10.1098/rspa.2019.0622

预防性维修识别码：项目管理委员会7016557

PMID：32082064

磁旋转不稳定性倾向于三维

杰弗里·奥西，¹ 杰弗里·瓦西尔，² 摩根巴克斯特，¹ 安德鲁·斯万，^三基顿·J·伯恩斯，^4,⁵ 丹尼尔·勒科阿内，⁶和本杰明·P·布朗⁷

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关联数据

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摘要

当弱磁场以向内增加的角速度破坏旋转导电流体的稳定性时，就会发生磁旋转不稳定性（MRI）。MRI对天体物理圆盘理论至关重要，其中剪切力通常为开普勒剪切力。恒星中的内部剪切层也可能是MRI不稳定的，它们具有广泛的剖面，包括近临界的剖面。我们表明，如果剪切速率为，理想磁流体的最快增长模式是三维的，S公司，接近二维起始值，S公司_c（c）对于开普勒剪切，三维模式在上面是不稳定的S公司 ≈ 0.10S公司_c（c），并主导二维模式，直到S公司 ≈ 2.05S公司_c（c）这些三维模式主要用于与恒星相关的剪切剖面，以及与液-金属实验室实验相关的磁普朗特数。大量快速增长的三维模式远远超过2.05S公司_c（c）这些发现在三个方面具有重要意义。首先，弱非线性理论表明，MRI通过将剪切速率推至其临界值而饱和。这可能发生在恒星和实验室实验等系统中，这些系统可以重新排列其角速度剖面。第二，当存在三维性时，MRI模式的非正常特征和大的瞬态增长应该很重要。最后，三维增长表明线性不稳定性驱动的直接发电机作用。

关键词：恒星、磁流体力学、稳定性

1.简介

磁旋转不稳定性（MRI）在天体物理流体动力学中非常重要。弱磁场通过改变负角差速旋转流的稳定性标准，催化开普勒切变中的湍流动量负角度梯度速度梯度[1，2]. 这一发现解释了致密物体上无处不在的吸积现象，其速率与观测相符，也可能影响行星的形成[三]. 在圆盘中，重力场主导局部等离子体动力学，因此MRI不会显著影响背景切变；它必须通过其他方式饱和[4]. 然而，恒星和液态金属Taylor–Couette实验具有由弱得多的应力驱动的不同旋转轮廓。当MRI在这些流动中活跃时，它通过将背景剪切力推向临界值而饱和[5–7]类似于对流混合熵。恒星内部具有极高的流体和磁性雷诺数，但可以在MRI的临界剪切速率或其附近工作。这种有限的临界剪切是由径向的有限通道截止造成的。尽管有大量关于吸积盘（强剪切，低耗散）和液-金属实验（弱剪切，大耗散）的文献，但即使是线性MRI在弱剪切中也没有很好的理解（例如。 $S公司 ≳ {S公司}_{c（c）}$ )，低耗散状态。

在这里，我们研究了二维临界剪切速率附近三维扰动的稳定性S公司_c（c）对于几乎无粘的理想磁流体力学（MHD）流。在本文中，我们使用“三维”表示非轴对称扰动（及其局部笛卡尔等价物），而“二维”表示轴对称扰动。在这两种情况下，我们都保留了速度和磁场的所有三个分量。我们发现，第一个失稳模式是三维的，因此即使在没有二次失稳的情况下也可以充当发电机。这些结果还表明，即使轴对称模式占主导地位，MRI的非正常生长也很重要。

2.方法

我们数值求解了旋转平面Couette几何中线性化的MHD方程。这对应于以角频率Ω和线性背景切变旋转的笛卡尔坐标系，V（V）_年 = Sx公司[5]; 这也是Taylor–Couette几何体的窄范围限制。我们将Navier–Stokes方程转换为

\frac{D类 v（v）}{D类 吨} + （f） \hat{z（z）} \times v（v） + S公司 {v（v）}_{x个} \hat{年} + \nabla 第页 + ν \nabla \times ω = {B类}_{0} \partial_{z（z）} b条 ，

2.1

哪里

ω = \nabla \times v（v） 和 \frac{D类}{D类 吨} = \partial_{吨} + S公司 x个 \partial_{年} 。

2.2

我们用x个-磁场分量

\frac{D类 {b条}_{x个}}{D类 吨} + η (\partial_{年} {j个}_{z（z）} - \partial_{z（z）} {j个}_{年}) = {B类}_{0} \partial_{z（z）} {v（v）}_{x个} ，

2.3

和x个-电流密度分量(j个_x个 = ∂_年b条_z（z） − ∂_z（z）b条_年)

\frac{D类 {j个}_{x个}}{D类 吨} - η \nabla^{2} {j个}_{x个} = {B类}_{0} \partial_{z（z）} ω_{x个} - S公司 \partial_{z（z）} {b条}_{x个} 。

2.4

我们明确地对速度和磁场实施无发散条件

\nabla \cdot v（v） = \nabla \cdot b条 = 0

2.5

空间域是双周期信道年，z（z）宽度为−d日/2 ≤ x个 ≤ d日/2.边界条件是不可穿透的无应力和完全导电的；v（v）_x个 = ω_年 = ω_z（z） = b条_x个 = ∂_x个j个_x个 = 0在x个 = ±d日/2.

主要输入参数是科里奥利参数，（f） = 2Ω; 背景剪切速率，S公司 = d日V（V）_年/d日x个 < 0; 以及垂直磁场，B类₀（以阿尔芬单位表示μ₀ρ₀ = 1). 吸积盘建模通常考虑Rossby数，Ro=−S公司/（f） < 1.区域Ro≥1对应于纯流体动力学瑞利不稳定剪切。除非另有说明，Ro=3/4（开普勒）。溶液也取决于粘度ν和电阻率η; 在我们的无量纲化中，这些分别相当于反向雷诺数和磁雷诺数。即，Re=1/ν且Rm=1/η。

MRI为弱场不稳定性；在无粘理想情况下，轴对称失稳的临界剪切速率（即二维)是[5]

{S公司}_{c（c）} = - \frac{π^{2} {B类}_{0}^{2}}{（f） {d日}^{2}} 。

2.6

我们使用S公司/S公司_c（c）作为我们的不稳定性控制参数。因为S公司/S公司_c（c）作为无量纲磁场强度的比值 ${B类}_{0}^{2} / （f） d日$ 到长度刻度d日，用于指定背景场强度。

我们假设谐波扰动年和z（z）（例如压力） $第页 = \hat{第页} (x个) {e（电子）}^{我 ({k个}_{年} 年 + {k个}_{z（z）} z（z）) + σ 吨}$ .我们使用复合值增长率σ = γ + 我ω具有γ, ω两者都是真实的。系统减少为σ-中10个一阶常微分方程的特征值问题x个使用Dirichlet边界条件。我们摆姿势并求解方程(2.1)–(2.5)使用Dedalus框架[8].

我们的主要兴趣是理想(η = 0），无粘(ν = 0）条件。然而，我们设置η = ν = 10⁻⁵以避免关键层稳定的解决方案分支。我们证实了我们对不稳定解的结果对小扩散不敏感。对于每个(k个_年，k个_z（z）)对，我们使用n个_x个 = 128种模式；我们所有的结果都是相同的，分辨率是原来的两倍。^¹

对于理想和非理想MHD方程，我们在x个-方向使用特征值问题网格的Dedalus中的解算器N个_年 × N个_z（z）中的模式年-和z（z）-指示。对于我们的大多数运行，我们使用目标明确的稀疏特征值解算器来查找最接近最大增长率猜测的15种模式。在运行3中，我们确认了稠密解算器检索到相同的结果。对于近乎理想的运行，我们使用理想的二维增长率作为最小值的输入k个_年 > 每种模式为0k个_z（z）然后使用前面每个输出k个_年作为下一个模式的输入猜测。对于那些具有重要意义的运行η，我们使用密集解算器k个_年 = 0模式，然后在中前进k个_年在每个k个_z（z）和以前一样。我们的求解器在k个_z（z）模式。对于中的光谱图1，我们在 $({k个}_{年}^{最大值} ， {k个}_{z（z）}^{最大值})$ 对于S公司/S公司_c（c） = 1.002.

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图1。

三维MRI模式的增长率。(一)增长率γ在网格上k个_年和k个_z（z）对于四个超临界值S公司/S公司_c（c）黑色轮廓在零增长率和最大增长率之间等距分布。灰色轮廓突出显示γ = 0; 红点表示增长最快的模式。二维模式发生在k个_年 = 0位于每个图形的底部S公司/S公司_c（c） = 0.640，没有二维模式。(b条)增长率与k个_年对于k个_z（z） = 0.259英寸S公司/S公司_c（c） = 1.002（以中的蓝线突出显示(一; 橙色线给出了方程的渐近结果(3.30)蓝线是数值结果；渐近形式的有效性如下S公司/S公司_c（c） → 1和k个_年≪1). (c（c）)MRI的全离散频谱(k个_年，k个_z（z）) ≃ (0.263, 0.447). 不稳定模式以橙色绘制，其稳定复共轭为蓝色，所有其他模式均为灰色。(d日)相位角， $阿卡坦 ({k个}_{年} / {k个}_{z（z）})$ ，作为的函数S公司/S公司_c（c）显示到纯二维最快模式的精确转换(ϕ = 0）在 $S公司 / {S公司}_{c（c）} ≳ 2.05$ 。（彩色在线版本。）

为了确保我们的结果是一致的，我们在n个_x个 = 256个切比雪夫模式，并将年和z（z）。

3.结果

（a）增长率和三维性

我们的两个主要结果如下。（i）当第一个二维模式变得不稳定时，已经存在正增长率的三维模式。（i）在足够大的临界度下，增长最快的模式变成纯粹的二维模式。这些结果在两方面具有相关性。首先，MRI包含一个实质性的“金凤花机制”，可能具有直接的发电机作用，该机制可能适用于恒星内部和实验室实验。其次，我们的结果与公认的吸积盘结果一致，吸积盘预期为二维主模。图1一显示了四个值的增长率S公司/S公司_c（c）。在S公司/S公司_c（c） = 1.002，最大增长率(γ_最大值/|S公司|=0.093）发生在(k个_年，k个_z（z）) ≃ (0.263, 0.447). 有限增长率模式在k个_年 = 0。在所有情况下图1一，沿这条线没有出现最大增长率，表明三维模式占主导地位。第一个面板图1一显示S公司/S公司_c（c） = 0.640，仅包含三维不稳定性：零增长率等高线（以灰色突出显示）不会截获k个_z（z）-轴。

（b）渐进计算

MRI对三维模式的偏好可以通过分析预测。我们分析方程式(2.1)–(2.5)逐渐接近S公司_c（c），并根据三维效应假设计算增长率的超前阶修正S公司/S公司_c（c） = 1 + ϵ²R（右）， ${k个}_{z（z）} \sim O（运行） (ϵ)$ ， $σ \sim {k个}_{年} \sim O（运行） (ϵ^{2})$ 在这里，我们概述了通过有限元计算三维效应时二维增长率超前阶修正的渐近计算k个_年.处于旋转框架中意味着剪具无网

\int_{- d日 / 2}^{d日 / 2} {V（V）}_{0 ， 年} (x个) d日 x个 = 0 ⟹ {V（V）}_{0 ， 年} (x个) = S公司 x个 。

3.1

完整的线性理想方程为

\begin{aligned} \partial_{吨} {v（v）}_{x个} + S公司 x个 \partial_{年} {v（v）}_{x个} - （f） {v（v）}_{年} + \partial_{x个} 第页 - {B类}_{0} \partial_{z（z）} {b条}_{x个} = 0 ， \end{aligned}

3.2

\begin{aligned} \partial_{吨} {v（v）}_{年} + S公司 x个 \partial_{年} {v（v）}_{年} + (（f） + S公司) {v（v）}_{x个} + \partial_{年} 第页 - {B类}_{0} \partial_{z（z）} {b条}_{年} = 0 ， \end{aligned}

3.3

\begin{aligned} \partial_{吨} {v（v）}_{z（z）} + S公司 x个 \partial_{年} {v（v）}_{z（z）} + \partial_{z（z）} 第页 - {B类}_{0} \partial_{z（z）} {b条}_{z（z）} = 0 ， \end{aligned}

3.4

\begin{aligned} \partial_{x个} {v（v）}_{x个} + \partial_{年} {v（v）}_{年} + \partial_{z（z）} {v（v）}_{z（z）} = 0 ， \end{aligned}

3.5

\begin{aligned} \partial_{吨} {b条}_{x个} + S公司 x个 \partial_{年} {b条}_{x个} - {B类}_{0} \partial_{z（z）} {v（v）}_{x个} = 0 ， \end{aligned}

3.6

\begin{aligned} \partial_{吨} {b条}_{年} + S公司 x个 \partial_{年} {b条}_{年} - {B类}_{0} \partial_{z（z）} {v（v）}_{年} - S公司 {b条}_{x个} = 0 \end{aligned}

3.7

\begin{aligned} 和 \partial_{吨} {b条}_{z（z）} + S公司 x个 \partial_{年} {b条}_{z（z）} - {B类}_{0} \partial_{z（z）} {v（v）}_{z（z）} = 0 \end{aligned}

3.8

速度的无发散条件意味着磁场也是如此。该系统为二阶x个因为ε_x个只出现在两个地方。所有变量都采用以下形式

第页 = \hat{P（P）} (x个) {e（电子）}^{我 (ω 吨 + {k个}_{z（z）} z（z） + {k个}_{年} 年)} ，

3.9

我们注意到，对于这一部分，我们使用了复频率ω = −我σ对于时间依赖性。

要进行分析，请定义频率“参数”

ω_{S公司} (x个) \equiv ω + S公司 x个 {k个}_{年} 和 ω_{A类} \equiv {B类}_{0} k个 。

3.10

我们可以使用方程式(3.3)–(3.8)找到所有振幅 ${\hat{V（V）}}_{x个} (x个)$ 和 ${\hat{V（V）}}_{x个}^{'} (x个)$ ，

\begin{aligned} {\hat{V（V）}}_{年} (x个) = \frac{我 ({k个}_{年} {\hat{V（V）}}_{x个}^{'} (x个) + {k个}_{z（z）}^{2} ((（f） + S公司) ω_{S公司}^{2} - S公司 ω_{A类}^{2}) / (ω_{S公司} (ω_{S公司}^{2} - ω_{A类}^{2})) {\hat{V（V）}}_{x个} (x个))}{{k个}_{z（z）}^{2} + {k个}_{年}^{2}} ， \end{aligned}

3.11

\begin{aligned} {\hat{V（V）}}_{z（z）} (x个) = \frac{我 {k个}_{z（z）} ({\hat{V（V）}}_{x个}^{'} (x个) - ((（f） + S公司) ω_{S公司}^{2} - S公司 ω_{A类}^{2}) / (ω_{S公司} (ω_{S公司}^{2} - ω_{A类}^{2})) {k个}_{年} {\hat{V（V）}}_{x个} (x个))}{{k个}_{z（z）}^{2} + {k个}_{年}^{2}} ， \end{aligned}

3.12

\begin{aligned} \hat{P（P）} (x个) = \frac{我 (ω_{A类}^{2} - ω_{S公司}^{2}) ({\hat{V（V）}}_{x个}^{'} (x个) - {k个}_{年} ((（f） + S公司) ω_{S公司}^{2} - S公司 ω_{A类}^{2}) / (ω_{S公司} (ω_{S公司}^{2} - ω_{A类}^{2})) {\hat{V（V）}}_{x个} (x个))}{({k个}_{z（z）}^{2} + {k个}_{年}^{2}) ω_{S公司}} ， \end{aligned}

3.13

\begin{aligned} {\hat{B类}}_{x个} (x个) = \frac{ω_{A类} {\hat{V（V）}}_{x个} (x个)}{ω_{S公司}} ， \end{aligned}

3.14

\begin{aligned} {\hat{B类}}_{年} (x个) = \frac{ω_{A类} {\hat{V（V）}}_{年} (x个)}{ω_{S公司}} - \frac{我 S公司 ω_{A类} {\hat{V（V）}}_{x个} (x个)}{ω_{S公司}^{2}} \end{aligned}

3.15

\begin{aligned} 和 {\hat{B类}}_{z（z）} (x个) = \frac{ω_{A类} {\hat{V（V）}}_{z（z）} (x个)}{ω_{S公司}} 。 \end{aligned}

3.16

人们可以把一切代入方程式(3.2)得到二阶方程 ${\hat{V（V）}}_{x个} (x个)$ 一般形式的

{\hat{V（V）}}_{x个}^{″} (x个) + 2 {C类}_{1} (x个) {\hat{V（V）}}_{x个}^{'} (x个) + {C类}_{0} (x个) {\hat{V（V）}}_{x个} (x个) = 0 ，

3.17

哪里

{C类}_{1} (x个) = \frac{S公司 {k个}_{年} ω_{A类}^{2}}{ω_{S公司} (ω_{S公司}^{2} - ω_{A类}^{2})} 和 {C类}_{0} (x个) = \frac{({（f）}^{2} {k个}_{z（z）}^{2} ω_{S公司}^{2}) / (ω_{S公司}^{2} - ω_{A类}^{2}) + （f） S公司 {k个}_{z（z）}^{2} - (2 {S公司}^{2} {k个}_{年}^{2} ω_{A类}^{2}) / (ω_{S公司}^{2})}{ω_{S公司}^{2} - ω_{A类}^{2}} - ({k个}_{年}^{2} + {k个}_{z（z）}^{2}) 。

3.18

我们可以通过以下方式消除一阶项

{\hat{V（V）}}_{x个} (x个) = χ (x个) ψ (x个) ， 哪里 \frac{χ^{'} (x个)}{χ (x个)} = - {C类}_{1} (x个) 。

3.19

因此

- ψ^{″} (x个) + Φ (x个) ψ (x个) = 0 ， 哪里 Φ (x个) = {C类}_{1}^{'} (x个) + {C类}_{1} {(x个)}^{2} - {C类}_{0} (x个) 。

3.20

最后，通过把所有东西放在一起

Φ (x个) = \frac{S公司 (（f） {k个}_{z（z）}^{2} - S公司 {k个}_{年}^{2}) ω_{A类}^{2} - （f） {k个}_{z（z）}^{2} (（f） + S公司) ω_{S公司}^{2}}{{(ω_{A类}^{2} - ω_{S公司}^{2})}^{2}} + {k个}_{年}^{2} + {k个}_{z（z）}^{2} 。

3.21

Φ的分母(x个)不能消失，如果ω_S公司 = −我γ + 瑞典_年，带Re(γ)≠0。我们想解薛定谔型方程(3.20)具有边界条件

ψ (x个 = \pm d日 / 2) = 0

3.22

的边界条件ψ(x个)与V（V）_x个(x个)因为

χ (x个) \propto \frac{ω_{S公司} (x个)}{\sqrt{ω_{S公司} {(x个)}^{2} - ω_{A类}^{2}}} \neq 0 对于 γ \neq 0

3.23

我们在二维不稳定性的临界值附近微扰求解。我们根据记账参数ε重新调整每个参数，

S公司 \to - \frac{π^{2} {B类}_{0}^{2}}{{d日}^{2} （f）} (1 + ε^{2} R（右）) ， ω \to ε^{2} ω ， {k个}_{z（z）} \to ε {k个}_{z（z）} ， {k个}_{年} \to ε^{2} {k个}_{年} ，

3.24

记住

Ro公司 \equiv \frac{π^{2} {B类}_{0}^{2}}{{d日}^{2} {（f）}^{2}} 。

3.25

展开方程式(3.20)至 $O（运行） (ε^{2})$ ，我们到达

Φ (x个) = - \frac{π^{2}}{{d日}^{2}} - \frac{π^{2} ε^{2}}{{d日}^{2}} [R（右） - \frac{{d日}^{2}}{π^{2}} {k个}_{z（z）}^{2} + \frac{{Ro公司}^{2} {B类}_{0}^{2} {k个}_{年}^{2} + (1 + Ro公司) {(ω + （f） Ro公司 x个 {k个}_{年})}^{2}}{Ro公司 {B类}_{0}^{2} {k个}_{z（z）}^{2}}] 。

3.26

潜在订单余额为

ψ_{0}^{″} (x个) + \frac{π^{2}}{{d日}^{2}} ψ_{0} (x个) = 0 ⟹ ψ_{0} (x个) = 余弦 (\frac{π x个}{d日}) ，

3.27

下一个订单是

ψ_{2}^{″} (x个) + \frac{π^{2}}{{d日}^{2}} ψ_{2} (x个) = Φ_{2} (x个) ψ_{0} (x个) 。

3.28

的可解性条件ψ₂(x个)是

\int_{- d日 / 2}^{d日 / 2} Φ_{2} (x个) ψ_{0} {(x个)}^{2} d日 x个 = 0

3.29

这就是我们的最终结果

σ^{2} = - ω^{2} = \frac{Ro公司 {B类}_{0}^{2}}{1 + Ro公司} [{k个}_{z（z）}^{2} (R（右） - \frac{{d日}^{2}}{π^{2}} {k个}_{z（z）}^{2}) + Υ {k个}_{年}^{2}] + \dots ，

3.30

哪里

Υ = Ro公司 + (1 + Ro公司) \frac{π^{2} - 6}{12} \approx 1.31 对于 Ro公司 = 0.75 ，

3.31

我们又回到了σ时间依赖性。方程中的第一项(3.30)二维计算结果。第二项是正定的：它总是当k个_年 ≠ 0和在没有高阶效应的情况下的紫外线发散。

图1b条比较以下各项的数值增长率S公司/S公司_c（c） = 1.002介于0≤k个_年 ≤ 0.2和渐近近似，在后者有效的情况下显示出良好的一致性。图1c（c）显示了S公司/S公司_c（c） = 1.002. 该图显示了一对纯生长/衰退的复合共轭对（实轴上的橙色/蓝色点），与方程式一致(3.30). 其他稳定模式（灰点）是左旋和右旋对中发现的旋转修改的阿尔芬波，与二维稳定性计算的分析预测一致。我们通过使用特征工具^²解方程(2.1)–(2.5)以两种分辨率，并且只保留等于10分之一的对⁻⁶。

（c）向二维过渡的分析

我们可以半解析地理解从三向二维不稳定性的转变。我们通过对§三b接近增长最快的二维模式，寻找以下值S公司/S公司_c（c）其中 $Υ (S公司 / {S公司}_{c（c）})$ 等于零。

增长率可以写成k个_年，k个_z（z）和S公司/S公司_c（c）近的k个_年≈0.因此，我们将整个问题扩展到了一个强国，

γ (\frac{S公司}{{S公司}_{c（c）}} ， {k个}_{年} ， {k个}_{z（z）}) = \sum_{n个 \geq 0} γ_{n个} (\frac{S公司}{{S公司}_{c（c）}} ， {k个}_{z（z）}) {k个}_{年}^{n个} 和 ψ (x个) = \sum_{n个 \geq 0} ψ_{n个} (x个) {k个}_{年}^{n个} ，

3.32

并使用与之前相同的渐近技术来获得每个渐进修正

\begin{aligned} ψ_{0}^{″} - Φ_{0} ψ_{0} = 0 ， \end{aligned}

3.33

\begin{aligned} ψ_{1}^{″} - Φ_{0} ψ_{1} = Φ_{1} ψ_{0} \end{aligned}

3.34

\begin{aligned} 和 ψ_{2}^{″} - Φ_{0} ψ_{2} = Φ_{2} ψ_{0} + Φ_{1} ψ_{1} 。 \end{aligned}

3.35

在前导阶，我们利用了二维模式中所有非恒定系数都消失的事实。前导阶本征函数为ψ₀ = 科斯(πx/d日)，和以前一样。以下色散关系确定了最大增长率和相应的波数

{D类}_{0} ({k个}_{z（z）}) = \frac{（f） {k个}_{z（z）}^{2} ({B类}_{0}^{2} S公司 {k个}_{z（z）}^{2} + γ_{0}^{2} (（f） + S公司))}{{({B类}_{0}^{2} {k个}_{z（z）}^{2} + γ_{0}^{2})}^{2}} + \frac{π^{2}}{{d日}^{2}} + {k个}_{z（z）}^{2} = 0

3.36

和

\frac{{D类}_{0}^{'} ({k个}_{z（z）})}{2 {k个}_{z（z）}} = \frac{γ_{0}^{2} （f） ({B类}_{0}^{2} {k个}_{z（z）}^{2} (S公司 - （f）) + γ_{0}^{2} (（f） + S公司))}{{({B类}_{0}^{2} {k个}_{z（z）}^{2} + γ_{0}^{2})}^{三}} + 1 = 0

3.37

我们将这些关系转换为无量纲变量的多项式

年^{2} 秒^{2} {Ro公司}^{2} + 年 秒 (年 秒 {Ro公司}^{2} + (2 - 秒) Ro公司 + 秒) x个 + (2 年 秒 Ro公司 - 秒 + 1) {x个}^{2} + {x个}^{三} = 0

3.38

和

年 秒 (年 秒 {Ro公司}^{2} + (2 - 秒) Ro公司 + 秒) + 2 (2 年 秒 Ro公司 - 秒 + 1) x个 + 三 {x个}^{2} = 0 ，

3.39

哪里

x个 = \frac{{d日}^{2} {k个}_{z（z）}^{2}}{π^{2}} ， 年 = \frac{γ_{0}^{2}}{{S公司}^{2}} 和 秒 = \frac{S公司}{{S公司}_{c（c）}} 。

3.40

这些可以根据中报告的参数进行计算图1和表1对于给定s，Ro的x，y，这两个多项式很容易通过数值求解。然而，我们希望找到s的临界值，其中增长最快的模式是二维的。

表1。

进行了特征值计算。

运行	S公司/S公司_c（c）	ν	η	Ro公司	N个_x个	${N个}_{{k个}_{年}}$	${N个}_{{k个}_{z（z）}}$	稀疏/密集
1	1.02	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的	分辨率研究
2	1.02	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	256	200	200	稀疏的
三	1.02	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稠密的
4	1.02	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	512	512	稀疏的
5	1.02	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	100	100	稀疏的
6	0.2	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的	S公司/S公司_c（c）变异
7	0.3	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
8	0.4	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
9	0.5	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
10	0.64	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
11	1.002	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
12	1.002	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稠密的
13	1.44	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
14	1.75	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
15	1.891	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
16	2	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
17	2.01	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
18	2.015	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
19	2.031	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
20	2.05	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
21	2.1	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
22	2.25	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
23	2.5	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
24	4	10⁻⁵	10⁻⁵	0.75	128	200	200	稀疏的
25	1.02	10⁻⁶	10⁻⁶	0.75	128	200	200	稀疏的	雷诺数研究
26	1.02	10⁻⁴	10⁻⁴	0.75	128	200	200	稀疏的
27	1.02	10⁻³	10⁻³	0.75	128	200	200	稀疏的
28	1.02	10⁻²	10⁻²	0.75	128	200	200	稀疏的
29	1.02	10⁻⁵	10⁻⁵	0.1	128	200	200	稀疏的	低罗斯比
30	1.02	10⁻⁶	10⁻²	0.1	128	200	200	稀疏的	液态金属外壳

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我们发现高阶γ_n个（s，），k个_z（z）)通过应用逐级可解条件得到系数。我们首先发现γ₁（s，k个_z（z）)等于0。这将呈现一阶校正方程(3.34)可解决。一阶特征函数的形式如下

ψ_{1} (x个) = {A类}_{1} F类 (\frac{π x个}{d日}) ， 哪里 F类 (ϑ) = ϑ (ϑ 罪 (ϑ) + 余弦 (ϑ)) - \frac{π^{2}}{4} 罪 (ϑ) ，

3.41

和

{A类}_{1} = \frac{我 γ_{0} {d日}^{三} （f） S公司 {k个}_{z（z）}^{2} ({B类}_{0}^{2} (（f） - S公司) {k个}_{z（z）}^{2} - γ_{0}^{2} (（f） + S公司))}{2 π^{三} {({B类}_{0}^{2} {k个}_{z（z）}^{2} + γ_{0}^{2})}^{三}} 。

3.42

因此，增长率的结构是

γ (秒 ， {k个}_{年} ， {k个}_{z（z）}) = γ_{0} (秒 ， x个) + γ_{2} (秒 ， x个) {k个}_{年}^{2} + \dots 。

3.43

这与§三b.这里， $Υ \propto γ_{2}$ 有效。具有主导二维模式的情况对应于γ₂（s，x）=0。最终结果来自二阶可解条件

\int_{- d日 / 2}^{d日 / 2} (Φ_{2} ψ_{0} + Φ_{1} ψ_{1}) ψ_{0} d日 x个 = 0 ，

3.44

它产生6次多项式表达式

\begin{aligned} 年^{6} 秒^{6} {Ro公司}^{6} + 年^{4} 秒^{5} {Ro公司}^{4} ((三 ξ 秒 + 6 年 - 1) Ro公司 - 三 ξ 秒) x个 \\ + \frac{年^{三} 秒^{4} {Ro公司}^{2}}{4} ((60 年 - 4 ξ (秒 - 8) 秒 - 16 + 三 秒^{2}) {Ro公司}^{2} + 2 秒 (4 ξ (秒 + 1) - 三 秒) Ro公司 - (4 ξ - 三) 秒^{2}) {x个}^{2} \\ + \frac{年^{2} 秒^{三} Ro公司}{2} ((三 秒^{2} - 4 ξ (秒 - 三) 秒 + 40 年 - 12) {Ro公司}^{2} + 24 ξ 秒 Ro公司 + (4 ξ - 三) 秒^{2}) {x个}^{三} \\ + \frac{年 秒^{2}}{4} ((60 年 - (4 ξ - 三) 秒^{2} - 16) {Ro公司}^{2} + 2 秒 (三 秒 - 4 ξ (秒 - 三)) Ro公司 - (4 ξ - 三) 秒^{2}) {x个}^{4} \\ + 秒 ((6 年 - ξ 秒 - 1) Ro公司 - ξ 秒) {x个}^{5} + {x个}^{6} = 0 \end{aligned}

3.45

新系数为

ξ = \frac{π^{2} - 6}{12} = \frac{\int_{- d日 / 2}^{d日 / 2} {x个}^{2} {余弦}^{2} ((π x个 / d日)) d日 x个}{{d日}^{2} / π^{2} \int_{- d日 / 2}^{d日 / 2} {余弦}^{2} ((π x个 / d日)) d日 x个} \approx 0.322467.

3.46

正如前一节所述，这是由于将平方剪切投影到导程本征模上而产生的。

我们解方程(3.38), (3.39)和(3.45)对于x，y，s，使用牛顿法计算各种Ro，得出

\begin{matrix} Ro公司 & {k个}_{z（z）} d日 / π & γ_{最大值} / | {S公司}_{2 D类} | & {S公司}_{2 D类} / {S公司}_{c（c）} \\ 1 & 0.689610 & 0.208727 & 2.09694 \\ 0.75 & 0.682819 & 0.214895 & 2.05136 \\ 0.50 & 0.676062 & 0.221309 & 2.00061 \\ 0.25 & 0.671528 & 0.228551 & 1.94963 \\ 0.10 & 0.673164 & 0.234376 & 1.92692 \\ 0 & 0.462324 & 0.240212 & 1.92465 \end{matrix}

的价值S公司/S公司_c（c） = 当Ro=0.75时，二维到三维过渡处的2.05136与中所示的数值结果相匹配图1数值计算中所有报告的有效数字。

我们在本节结束时对高阶修正进行了一些推测。由于对称性，γ_三（s，x）=0相同。这意味着，对于领导命令，

γ (秒 ， {k个}_{年} ， {k个}_{z（z）}) = γ_{0} (秒 ， x个) + γ_{2} (秒 ， x个) {k个}_{年}^{2} + γ_{4} (秒 ， x个) {k个}_{年}^{4} + \dots 。

3.47

对于S公司/S公司_c（c） > S公司_2D类/S公司_c（c），γ₂ > 这足以确定向主导二维模式转变附近最不稳定的三维波数

{k个}_{年}^{2} \approx - \frac{γ_{2}}{2 γ_{4}} \propto \frac{{S公司}_{二维}}{{S公司}_{c（c）}} - \frac{S公司}{{S公司}_{c（c）}} 。

3.48

一般来说，γ₄ ≠ 0.我们推测γ₄ < 0，尽管计算超出了本工作的范围。如果存在负四阶反馈，则

{k个}_{年} \sim \sqrt{\frac{{S公司}_{2 D类}}{{S公司}_{c（c）}}} - \frac{S公司}{{S公司}_{c（c）}} ，

3.49

这与图1d日接近临界点。然而，在一个场景中γ₄ > 0将需要与我们的数值计算不一致的行为。

（d）与以前的模拟一致

吸积盘磁共振成像的数值模拟一致显示，轴对称模式主导了磁共振成像在分解为三维磁流体湍流之前的早期演化[9–11]. 这些“通道模式”是精确的非线性解决方案x个-剪切周期域，只能通过寄生剪切不稳定性饱和[12]. 不可穿透和无应力边界条件更适用于恒星内部。但即使在圆盘中，任何一种有限的径向范围都会切断通道模式的无限增长。我们将我们的结果与早期的模拟结果进行了对比，结果表明，MRI确实更倾向于二维，以获得椎间盘模拟中发现的更大临界值。图1d日显示相位角 $ϕ = 阿卡坦 ({k个}_{年} / {k个}_{z（z）})$ 增长最快的模式S公司/S公司_c（c）.三维模式的整体临界剪力为S公司_{c（c），3D} ≃ 0.102S公司_c（c）.以上 $S公司 / {S公司}_{c（c）} ≳ 2.05$ ，ϕ变为零，表明轴对称模式的增长速度最快。对于基准试运行[13]，S公司/S公司_c（c） ≃ 4.84（大多数作品使用类似的值）。因此，我们的理论预测，对于先前数值模拟中研究的参数，轴对称模式应主导线性动力学。然而，由于径向边界条件，而不是它们的大剪切速率，这些模拟可能看到了轴对称模式的优势。

即使是为了S公司/S公司_c（c） > 2.05存在大量不稳定的三维模式，其增长率与最大值相当(图1一). 此外，剪切系统中的非正态性通常伴随着非轴对称性[14]. 在非正常系统中，稳定模式可能会发生瞬态放大，甚至可能导致湍流。因此，显著的三维性可能意味着发病前的重要非正常行为。

（e）特征向量

图2显示了最不稳定模式的特征向量S公司/S公司_c（c） = 1.02使用理想MHD。无法形成关键层γ ≠ 0。因此，我们求解方程(2.1)–(2.5)无耗散二阶系统_x个并施加v（v）_x个 = 0在x个 = ±d日/2.本征函数与有限耗散下的本征函数无法区分，这为我们的其他结果提供了额外的可信度。倾斜结构v（v）_x个和v（v）_年以及b条_x个和b条_年意味着非平凡的雷诺应力和麦克斯韦应力。

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图2。

最不稳定模式下速度和磁场扰动的理想特征向量S公司/S公司_c（c） = 1.02和η = ν = 0; 计算时间η = ν = 10⁻⁵无法区分。顶行显示v（v）_x个，v（v）_年，v（v）_z（z）（红色为负，蓝色为正）；底部一行显示b条_x个，b条_年，b条_z（z）（紫色为负，橙色为正）。由于线性，振幅是任意的。（彩色在线版本。）

（f）雷诺数和偏离理想MHD

为了确保我们的计算正在探索我们感兴趣的理想MHD状态，我们进行了一系列的运行（24-27）η = ν范围为10⁻⁶到10⁻²，相当于改变雷诺数和磁雷诺数Re=Rm=10²–10⁶。图3显示的增长率为S公司/S公司_c（c） = 五个Re=Rm的值为1.05。对于 $重新 ≳ 10^{4}$ ，最大生长速率位于相同的位置和相同的生长速率；不稳定区域如预期般扩大。这表明我们在Re=10时的结果⁵为了理解MRI在剪切起始点附近对三维模式的偏好，相当接近理想的磁流体动力学。

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图3。

增长率S公司/S公司_c（c） = 1.02适用于不同的扩散率。请注意，顶部的三个面板基本上是相同的，这表明上面 $重新 ≳ 10^{4}$ 我们相当接近理想状态。（彩色在线版本。）

（g）平均电动势

我们应该预期在线性状态下产生平均电动势（EMF），即v（v） × b条〉 ∼ α〈B类₀〉. 这一点非常重要，因为在大雷诺数下，在弱剪切区域可能发生直接层流发电机作用。图4显示相关性（平均值年, z（z）)作为的函数x个在域上S公司/S公司_c（c） = 1.02

电动势 \propto \frac{{⟨ \hat{z（z）} \cdot (v（v） \times b条) ⟩}_{年 ， z（z）}}{{v（v）}_{rms（有效值）} {b条}_{rms（有效值）}} ，

3.50

其中“rms”表示整个域的平均值。相关性与线性特征向量的任意归一化无关。非零相关表明平均磁场有反作用的趋势。

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图4。

速度–与最快增长模式特征向量的平均电动势相关的磁场相关性S公司/S公司_c（c） = 1.02. （彩色在线版本。）

MRI发电机已经在许多不同的背景下进行了研究[15–17]，但除了一个以外，其他都专注于非线性、通常是湍流的发电机。我们知道的唯一例外[18]在数值模拟中发现，MRI线性增长阶段的平均磁场指数增长远不稳定。我们的工作从纯线性动力学的角度解释了这一结果：非轴对称MRI不稳定模式驱动磁场的发电机增长。

（h）恒星和实验条件的扩展

最后，我们改变了两个重要参数：Ro和磁性Prandtl数Pm=ν/η。图5显示了S公司/S公司_c（c） = 1.02.图5一显示Ro=1/10（解决恒星内部的可能范围），使所有其他参数等于其基准值。增长率表现出与Ro=3/4情况相似的行为，即以三维模式为主γ_最大值/|S公司| ≃ 0.1.图5b条显示ν = 10⁻⁶和η = 0.1，所有其他参数等于其基准值。这个案例与液态金属有关，例如普林斯顿MRI实验[19]Pm=10时⁻⁵.我们的结果是关于旋转平面Couette几何体（Taylor–Couette在小间隙极限下R（右）₂ ≈ R（右）₁)具有高度理想化的边界条件。然而，有趣的是，在发病不久时，低Pm MRI是只有不稳定到三维模式。

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图5。

(一)Ro=1/10的增长率与恒星内部有关。(b条)在液-金属类扩散率下，MRI接近开始时的增长率，ν = 10⁻⁶，η = 0.1. 零轮廓不截获x个-轴。（彩色在线版本。）

4.结论

我们的结果表明，当MRI接近其临界剪切值时，三维模式比二维模式增长更快。而我们主要关注理想开普勒情况（Ro=3/4）；我们还证明了低Rossby（Ro=1/10）和磁性Prandtl（Pm=10）的鲁棒性⁻⁵)数字。这项工作提出了几个重要的未来方向。首先，太阳具有两个向内增加切变的内切变层，即高纬度测速线和近地表切变层（NSSL）。过去的工作已经指出了使用局部分析在太阳上进行小规模MRI的可能性[20–22]. 特别是，尽管包含小规模对流，但NSSL也可能存在较慢的MRI驱动动力学。NSSL在太阳内部的任何地方都具有最强的剪切力；Ω(对) ∝ 1/对，表示Ro=1/2。因此，进一步阐明三维MRI的非线性饱和及其对对流的鲁棒性至关重要。恒星应用的一个重要不确定性是S公司/S公司_c（c）取决于磁场强度的平方，这是一个相当不确定的量。其次，我们的低Pm结果表明，三维MRI模式可能是液相实验中最容易激发的模式。在Taylor–Couette实验中确定可能的非轴对称特征需要使用更真实的边界条件和几何进行后续工作。我们之前在轴对称MRI上的工作[6，7]显示了旋转平面和圆柱形Taylor–Couette几何图形之间的微小差异。我们完全期望MRI的一般三维特征在更复杂的应用中保持不变。

致谢

在贝茨学院高性能计算中心的莱维特集群上进行了计算。

脚注

¹有关本文中使用的所有代码，请参阅github.com/jsoishi/mri_prefers_3d。

²https://github.com/dedalusproject/eigentools。

数据可访问性

此项目使用的所有代码均可在https://github.com/jsoishi/mri_prefers_3D。

作者的贡献

J.S.O.和G.M.V.领导了该项目。J.S.O.准备了所有数据。G.M.V.进行了渐近计算。M.B.进行了大量的特征值计算，并准备了一些初步数据。A.S.进行了初步特征值计算，得出了此处使用的基准参数选择。J.S.O.、G.M.V.、K.J.B.、D.L.和B.P.B.开发了Dedalus，用于本文的所有计算。所有作者都参与了手稿的撰写和结果的物理解释。

竞争性利益

我们声明我们没有竞争性利益。

基金

J.S.O.、M.B.和B.P.B.感谢NASALWS授予的NNX16AC92G号支持。J.S.O.还感谢研究公司Scialog Collaborative Award（TDA）ID号24231的支持。

参考

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三。Johansen A、Oishi JS、Mac Low MM、Klahr H、Henning T、Youdin A。2007湍流周盘中快速小行星的形成。性质 448, 1022–1025. （10.1038/性质06086）[公共医学] [交叉参考][谷歌学者]

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文章来自诉讼程序。数学、物理和工程科学由以下人员提供英国皇家学会

磁旋转不稳定性倾向于三维

杰弗里·奥西

杰弗里·瓦西尔

摩根巴克斯特

安德鲁·斯万

基顿·J·伯恩斯

丹尼尔·勒科阿内

本杰明·布朗

关联数据

摘要

1.简介

2.方法

3.结果

（a） 增长率和三维性

（b） 渐进计算

（c） 向二维过渡的分析

表1。

（d） 与以前的模拟一致

（e） 特征向量

（f） 雷诺数和偏离理想MHD

（g） 平均电动势

（h） 恒星和实验条件的扩展

4.结论

致谢

脚注

数据可访问性

作者的贡献

竞争性利益

基金

参考

（a）增长率和三维性

（b）渐进计算

（c）向二维过渡的分析

（d）与以前的模拟一致

（e）特征向量

（f）雷诺数和偏离理想MHD

（g）平均电动势

（h）恒星和实验条件的扩展