跳到主要内容
访问密钥 NCBI主页 MyNCBI主页 主要内容 主导航
纳米级研究报告。2012; 7(1): 229.
2012年4月22日在线发布。 数字对象标识：10.1186/1556-276X-7-229
预防性维修识别码：项目经理3349597
PMID：22520273

纳米流体粘性流动的辐射效应和非线性拉伸薄板上的传热

费克里·哈迪,1 福阿德·易卜拉欣,1,三 萨哈尔·M·阿卜杜勒·盖德,2和穆罕默德·雷德通讯作者2
作者信息 文章注释 版权和许可信息 PMC免责声明

摘要

在这项工作中，我们研究了在存在热辐射（包括在能量方程中）和可变壁温的情况下，粘性纳米流体在非线性拉伸薄板上的流动和传热特性。采用相似变换将控制偏微分方程转化为非线性常微分方程组。采用高效的数值打靶技术和四阶Runge-Kutta格式求解边值问题。无量纲表面温度的变化以及流动和传热特性与问题的控制无量纲参数的关系，包括纳米颗粒体积分数ϕ，非线性拉伸板材参数n个，热辐射参数N个R（右），以及粘性耗散参数Ec公司，绘制了图表。利用早期的Cortell局部Nusselt数非线性拉伸薄板问题，在不考虑纳米颗粒影响的情况下，对当前数值结果进行了极好的验证。

关键词：纳米流体、非线性拉伸表面、粘性耗散、热辐射。

背景

拉伸片材上的粘性流动和传热问题具有重要的工业应用，例如，在冶金工艺中，如通过静态流体拉伸连续长丝、铜线的退火和镀锡、玻璃吹制、塑料和橡胶片材的制造、晶体生长、，连续冷却和纤维纺丝，以及在许多工程过程中的广泛应用，例如聚合物挤出、拉丝、连铸、食品和纸张制造、玻璃纤维生产、塑料薄膜拉伸等。在这些板材的制造过程中，熔体从狭缝中流出，随后被拉伸以达到所需的厚度。具有所需特性的最终产品严格取决于拉伸速度、过程中的冷却速度和拉伸过程。鉴于这些应用，Sakiadis[1,2]研究粘性流体通过运动固体表面的边界层流动；过去几十年来，许多作者对这个问题的各个方面进行了探索。

然而，所有这些研究都局限于板材的线性拉伸。值得一提的是，拉伸不一定是线性的。鉴于此，库马兰和拉马奈[三]研究了二次拉伸薄板上的流动，但这里只引用了最近几项针对指数和非线性拉伸薄板的研究。Magyari和Keller[4]埃尔巴什贝西[5]、Khan和Sanjayanand[6]、Sanjayanand和Khan[7]萨吉德和哈亚特[8]和Partha等人[9]研究了指数拉伸薄板上粘性和粘弹性流体的传热特性。金刚乘[10]、金刚舞和大炮[11]，科特尔[12-15]，Prasad等人[16]，阿夫扎尔[17]和Nandeppanavar等人[18]研究了控制粘性流体在非线性拉伸薄板上流动的各种参数的影响。

纳米流体是一种新型的传热流体，它含有基础流体和纳米颗粒。添加剂的使用是一种用于增强基础流体传热性能的技术。普通传热流体的导热性不足以满足当今的冷却速度要求。纳米流体已被证明可以提高基础液体的导热性和对流传热性能。纳米流体是亚微米固体颗粒（纳米粒子）在普通流体中的悬浮液。这个词是由Choi创造的[19]. 纳米流体的特征是导热性增强，这是Masuda等人观察到的现象[20]. 这种现象表明在先进的核系统中使用纳米流体的可能性[21]. Buongiorno对纳米流体中的对流传输进行了全面调查[22]世卫组织表示，尚未找到导热系数和粘度异常增加的令人满意的解释。他专注于在对流情况下观察到的进一步传热强化。最近，库兹涅佐夫和尼尔德[23]利用考虑布朗运动和热泳现象的模型，研究了纳米颗粒对通过垂直平板的自然对流边界层流动的影响。作者假设了最简单的边界条件，即温度和纳米颗粒分数沿壁恒定的边界条件。此外，尼尔德和库兹涅佐夫[24,25]研究了Cheng和Minkowycz[26]纳米流体饱和多孔介质中通过垂直板的自然对流问题。用于纳米流体的模型包含了多孔介质的布朗运动和热泳效应。采用了达西模型。

哈马德和巴希尔[27]数值研究了幂律非牛顿纳米流体从拉伸表面的强制对流换热问题。Khan和Pop[28]重点讨论了层流流体流动问题，这是纳米流体中平面拉伸引起的。Hamad和Pop从理论上研究了饱和纳米流体多孔介质中渗透拉伸片上驻点附近稳态边界层流动的相似解[29]. 哈马德和费多斯[30]研究了多孔介质中拉伸薄板上边界层驻点流动的传热传质分析，该多孔介质由纳米流体饱和，具有内部生热/吸收和抽吸/吹扫。Kandasamy等人对纳米流体中具有可变流动条件的垂直表面拉伸导致的层流流体流动问题进行了数值研究[31]. 马金德和阿齐兹[32]数值研究了纳米流体中由线性拉伸片引起的边界层流动。哈马德[33]研究了不可压缩粘性纳米流体在磁场作用下通过半无限垂直拉伸板的对流流动和传热。所有这些研究人员都研究了纳米流体中的线性拉伸片，但只有Rana和Bhargava的数值研究[34]研究了稳态层流边界流体流动，它是由纳米流体中平面的非线性拉伸引起的，并考虑了布朗运动和热泳效应。最近，纳迪姆和李[35]分析研究了纳米流体在指数拉伸表面上的稳定边界层流动问题，包括布朗运动参数和热泳参数的影响。

提出假设

据作者所知，到目前为止，还没有关于纳米流体在单相模型中存在辐射效应的情况下通过非线性拉伸薄板的边界层粘性流动和传热的研究。因此，本文的目的是扩展Cortell的工作[13]采用纳米流体中具有非线性拉伸片的稳态热边界层流动。本研究对所有受热增强概念影响较大的过程（例如金属板或电子芯片的冷却等）都具有直接的意义。采用四阶Runge-Kutta格式的高效数值拍摄技术来求解归一化边界层方程，纳米颗粒体积分数的影响ϕ，非线性拉伸板材参数n个，热辐射参数N个R（右），和粘性耗散参数Ec公司详细描述并以表格形式进一步显示。

检验假设

问题表述

我们考虑粘性纳米流体通过与平面重合的平板的稳定、不可压缩、层流、二维边界层流动年=0且流量限制在年> 0. 流动是由于板材的非线性拉伸而产生的，拉伸是由沿着x个-轴。保持原点固定，然后以一定速度拉伸板材u个w个(x个) =抄送n个，其中C类是一个常量，n个是一个非线性拉伸参数，并且x个是沿拉伸表面测量的坐标，随距离狭缝的距离非线性变化。物理模型和坐标系的示意图如图所示​图1。1纳米流体的热物理性质如表所示​表11（请参见[36]). 忽略压力梯度和外力。在存在辐射和粘性耗散的情况下，通过使用通常的边界层近似，纳米流体的质量、动量和热能方程的基本稳定守恒可以用笛卡尔坐标表示x个和年作为：

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-1.jpg

物理模型的示意图.

表1

流体和纳米粒子（Oztop和Abu-Nada）的热物理性质[36]).

物理特性液相（水）铜铝2O（运行）三氧化钛2
C类第页(焦耳/千克)4179385765686.2
ρ(千克/米三)997.1893339704250
k个(W/mK（瓦/米）)0.613401408.9538
β×105(K（K）-1)211.670.850.9
∂u个∂x个+∂v（v）∂年=0,
(1)

u个∂u个∂x个+v（v）∂u个∂年=υn个（f）∂2u个∂年2,
（2）

u个∂T型∂x个+v（v）∂T型∂年=αn个（f）∂2T型∂年2+υn个（f）(c（c）第页)n个（f）∂u个∂年2-1(ρc（c）第页)n个（f）∂q个第页∂年.
（3）

方程1、2和3的相关边界条件可以写成：

u个=u个w个(x个)=C类x个n个,v（v）=0;T型=T型w个(x个)=T型∞+b条x个米在年=0;u个→0;T型→T型∞作为年→∞,
(4)

哪里x个和年表示沿着板材及其法线的笛卡尔坐标，以及u个和v（v）是纳米流体在x个-和年-方向。n个和米分别是非线性拉伸参数和表面温度参数。墙上的温度是T型w个，环境温度保持恒定T型∞.ρ核燃料和μ核燃料是纳米流体的密度和有效粘度，以及α核燃料和υ核燃料分别是热扩散率和运动粘度，定义为（见Khanafer等人[37]):

υn个（f）=μn个（f）ρn个（f）,ρn个（f）=(1-ϕ)ρ（f）+ϕρ秒,μn个（f）=μ（f）(1-ϕ)2.5,αn个（f）=k个n个（f）(ρc（c）第页)n个（f）,(ρc（c）第页)n个（f）=(1-ϕ)(ρc（c）第页)（f）+ϕ(ρc（c）第页)秒,k个n个（f）k个（f）=(k个秒+2k个（f）)-2ϕ(k个（f）-k个秒)(k个秒+2k个（f）)+2ϕ(k个（f）-k个秒).
(5)

在这里，ϕ是固体体积分数，其中μ（f）是基本流体的粘度，ρ（f）和ρ秒分别是纯流体和纳米颗粒的密度(ρc第页)（f）和(ρc第页)秒分别是基础流体和纳米颗粒的比热参数，以及k个（f）和k个秒分别是基础流体和纳米颗粒的导热系数。使用辐射的Rosseland近似，辐射热通量简化为：

q个第页=-4σ*三k个*∂T型4∂年,
(6)

哪里σ*和k个*分别是Stefan-Boltzmann常数和平均吸收系数。我们假设流中的温差，例如T型4，可以表示为温度的线性函数。因此，扩大T型4关于自由流温度的泰勒级数T型∞忽略高阶项，我们得到：

T型4≅4T型∞三T型-三T型∞4.
(7)

从方程式3和方程式6和7可以看出，辐射的作用是提高热扩散率。如果我们采取N个R（右）=k个n个（f）k个*/[4σ*T型∞三]作为辐射参数，方程3变为：

u个∂T型∂x个+v（v）∂T型∂年=αn个（f）k个0∂2T型∂年2+υn个（f）(c（c）第页)n个（f）∂u个∂年2,
(8)

哪里k个0=三N个R（右）三N个R（右）+4这里值得一提的是，能量方程的经典解，即方程8，在不受热辐射影响的情况下，可以从上述方程中获得，其简化为u个∂T型∂x个+v（v）∂T型∂年=αn个（f）∂2T型∂年2作为N个R（右）→∞ （即。，k个0→ 1） 并消除粘性耗散。

通过引入以下无量纲变量：

η=年C类(n个+1)2υ（f）x个n个-12,u个=C类x个n个（f）′(η),v（v）=-C类(n个+1)υ（f）2x个n个-12（f）(η)-n个-1n个+1η（f）′(η),θ(η)=T型-T型∞T型w个-T型∞,
(9)

然后控制方程1、2和8简化为：

（f）′′′+(1-ϕ)2.51-ϕ+ϕρ秒ρ（f）（f）（f）′′-2n个n个+1（f）′2=0,
(10)

1公共关系k个n个（f）k个（f）θ′′k个0+E类c（c）(1-ϕ)2.5x个2n个-米（f）′′2+(1-ϕ)+ϕρc（c）第页秒ρc（c）第页（f）（f）θ′-2米n个+1（f）′θ=0
(11)

所以所有类似的解决方案米= 2n个在方程式11中，其变为：

1公共关系k个n个（f）k个（f）θ′′k个0+E类c（c）(1-ϕ)2.5（f）′′2+(1-ϕ)+ϕρc（c）第页秒ρc（c）第页（f）（f）θ′-4n个n个+1（f）′θ=0,
(12)

变换后的边界条件（方程4）变为：

（f）(0)=0,（f）′(0)=1,θ(0)=1,（f）′(∞)→0,θ(∞)→0,
（13）

其中Pr=υ（f）/α（f）是Prandtl编号，以及Ec公司=u个w个2/[(c（c）第页)（f）（Tw个-T型∞)]是埃克特数。在上述等式中，素数表示关于η.

值得一提的是，方程10的边界条件在方程13中n个=0是经典的Blasius平板流动问题，本文作者对该问题进行了详细的数值研究。，n个=1），的精确解（f）是（f）(η)=1-e-η; 这个精确解是唯一的，而对于非线性拉伸边界问题（即n≠1），没有精确解。本研究中实际感兴趣的量是表面摩擦系数C类（f）和当地的Nusselt号码努x个，定义为：

C类（f）=2μn个（f）ρ（f）(u个w个(x个))2∂u个∂年年=0;N个u个x个=-k个n个（f）∂T型∂年年=0x个k个（f）(T型w个-T型∞).
(14)

使用方程（9），数量（14）可以表示为：

C类2υ（f）C类（f）=n个+1(1-ϕ)2.5x个-n个+12（f）′′(0)
(15)

2υ（f）C类N个u个x个=-k个n个（f）n个+1k个（f）x个n个+12θ′(0).
(16)

结果和讨论

为了从物理上深入了解流动问题，对描述流动特性的各种参数值进行了全面的数值计算，并以图形方式说明了结果。利用高效的数值打靶技术和四阶Runge-Kutta格式（MATLAB软件包），对具有边界条件的非线性常微分方程组10和12（方程13）进行了数值积分。步长η在获得数值解时使用=0.001η最大值=6。这里感兴趣的物理量是表面摩擦系数C类（f）和Nusselt数字努x个，在方程式15和16中获得和给出。速度分布f’（η），温度θ(η)根据方程10和12，不同类型纳米流体的表面皮肤摩擦和努塞尔数如图所示​图22,​,3三,​,44,​,55,​,66,​,77,​,88,​,99,​,1010,​,1111,​第12页12,​,1313,​,1414.

保存图片、插图等的外部文件。对象名为1556-276X-7-229-2.jpg

纳米颗粒体积分数的影响ϕ关于速度分布（f）'(η)如果是Cu-water.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-3.jpg

纳米颗粒体积分数的影响ϕ关于温度分布θ(η)如果是Cu-water.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-4.jpg

参数n个关于速度分布（f）'(η)如果是Cu-water.非线性拉伸板材参数的影响n个关于速度分布（f）'(η)就Cu-water而言。

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-5.jpg

参数n个关于温度分布θ(η)如果是Cu-water.非线性拉伸板材参数的影响n个关于温度分布θ(η)就Cu-water而言。

保存图片、插图等的外部文件。对象名为1556-276X-7-229-6.jpg

粘性耗散参数的影响埃克关于温度分布θ(η)如果是Cu-water.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-7.jpg

热辐射参数的影响N个R（右）关于温度分布θ(η)如果是Cu-water.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-8.jpg

热辐射参数的影响N个R（右）关于温度分布θ(η)针对不同类型的纳米颗粒.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-9.jpg

粘性耗散参数的影响Ec公司关于温度分布θ(η)针对不同类型的纳米颗粒.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-10.jpg

参数n个关于温度分布θ(η)针对不同类型的纳米颗粒.非线性拉伸板材参数的影响n个关于温度分布θ(η)针对不同类型的纳米粒子。

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-11.jpg

参数n个不同类型纳米粒子的表面摩擦系数.非线性拉伸板材参数的影响n个不同类型纳米颗粒的表面摩擦系数。

保存图片、插图等的外部文件。对象名为1556-276X-7-229-12.jpg

热辐射参数的影响N个R（右）不同类型纳米颗粒的传热速率.

保存图片、插图等的外部文件。对象名为1556-276X-7-229-13.jpg

粘性耗散参数的影响Ec公司不同类型纳米颗粒的传热速率.

保存图片、插图等的外部文件。对象名称为1556-276X-7-229-14.jpg

参数n个不同类型纳米颗粒的传热速率.非线性拉伸板材参数的影响n个不同类型纳米颗粒的传热速率。

我们考虑三种不同类型的纳米颗粒，即铜（Cu）、氧化铝（Al2O（运行）三)和氧化钛（TiO2)，以水为基液。表​表11显示了水和元素Cu、Al的热物理性质2O（运行）三和TiO2基础流体（水）的普朗特尔数保持在6.2。值得一提的是，本研究将控制方程10-12简化为粘性或规则流体的方程，当ϕ= 0. 为了验证本方法的准确性，我们将我们的结果与Cortell的结果进行了比较[12,13]对于传热速率-θ'（0）在没有纳米粒子的情况下(ϕ=0），无(N个R（右）→ ∞ （即k0=1））和热辐射参数。如表所示，上述所有案例中的比较结果非常一致​表22和​和3。三.表​表44描述了表面的表面摩擦-（f）“（0）对于非线性拉伸板的各种值n个，使用ϕ=0.1，Pr=6.2，Ec公司=0.5，以及N个R（右）当基液为水时，不同类型的纳米粒子=5。从表中可以看出​表44那个|（f）“（0）|随着非线性拉伸参数的增加而增加n个铜纳米粒子的表面摩擦力最大，其次是TiO2和Al2O（运行）三.

表2

的比较-θ'（0）与ϕ=0和N个R（右）→ ∞ （即。，k个0= 1).

-θ'(0)
Ec公司n个Pr=1Pr=5
科泰尔[12]目前的研究科泰尔[12]目前的研究
00.751.2526721.2534543.1249753.123518
1.51.4393931.4393783.5677373.566532
71.6992981.6987814.1853734.184386
101.7289341.7283834.2559724.254939
0.751.2199851.2202853.0169833.013524
0.11.51.4050781.4048053.4557213.453154
71.6625061.6617424.0657224.063757
101.6918221.6910314.1352964.133338

表3

的比较-θ'（0）对于各种热辐射参数值N个R（右）具有ϕ=0（常规流体）。

N个R（右）公共关系Ec公司n个-θ'(0)
科泰尔[13]目前的研究
1.5-0.832709
0.05三-0.923306
1110-1.011487
1.50.8233560.824127
0.1三0.9137730.914364
101.0015731.002161
1.5-0.755467
0.5三-0.842838
10-0.927554
1.51.2956771.295790
0.05三-1.429987
10-1.560471
1.51.2805751.280680
20.1三-1.414247
10-1.544069
1.51.1595421.159609
0.5三-1.288335
10-1.412856
0.05-2.209436
50.11.52.1787782.178846
0.5-1.934126
0.05-1.584762
220.11.51.5649871.565049
0.5-1.407369
0.05-1.925487
520.11.51.8338881.834037
0.5-1.639374

表4

与不同n值的表面摩擦力相关的值。

n个-（f）"(0)
铜铝2O（运行）三氧化钛2
00.7372180.6267920.633534
11.1747480.9987791.009523
21.2934081.0996651.111494
三1.3493091.1471921.159532
41.3818831.1748861.187525
51.4032231.1930301.205863
101.4506691.2333671.246635
201.4771591.2558891.269399
501.4940711.2702671.283932
1001.4998901.2752151.288933

使用ϕ=0.1，Pr=6.2，Ec公司=0.5，以及N个R（右）= 35.

数字​图22和​和3三说明纳米颗粒体积分数的影响ϕ在铜纳米粒子和水基流体（Pr=6.2）的情况下，当ϕ=0、0.05、0.1和0.2，带Ec公司= 0.1,n个=10，以及数量= 1. 很明显，随着纳米颗粒体积分数的增加，纳米流体速度降低，温度升高。这些数字说明了这与物理行为的一致性。随着纳米颗粒体积的增加，导热系数增加，热边界层厚度增加。数字​图44和​和55描述非线性拉伸板材参数的影响n个关于速度分布（f）'(η)和温度曲线θ(η)分别是。图​图44说明非线性拉伸板材参数的增加n个在铜-水的情况下，当n个=0.75、1.5、3、7和10，带Ec公司= 0.1,N个R（右）=1，和ϕ=0.1。此外，图​图55表明增加非线性拉伸板材参数n个趋向于将温度分布降低到相同的值，从而导致纳米流体与表面之间的传热速率更高。粘性耗散参数的影响Ec公司当Eckert数为Ec公司=0、0.5、1、1.5、2和2.5n个= 10,N个R（右）=1，和ϕ=0.1如图所示​图6：。6很明显，温度分布随着粘性耗散参数的增加而增加Ec公司.图​图77显示了热辐射参数的影响N个R（右）在Cu水的情况下的温度分布。很明显，温度随着热辐射参数的增加而降低N个R（右）; 这导致传热速率增加。此外，图​图88显示了热辐射参数对温度分布的影响，但对于以水为基础流体的不同类型的纳米粒子。从图中可以看出​图88那个θ(η)随着热辐射参数的增加而减小，如图所示​图7，7铜纳米粒子的温度分布值高于铝纳米粒子2O（运行）三和TiO2.以下因素的影响Ec公司和n个图中显示了所有类型纳米颗粒的温度分布​图99和​和10，10分别是。发现温度随着n个并且随着Ec公司如图所示​图55和​和6，6和TiO2事实证明，纳米颗粒对于这个问题具有最高的冷却性能。

非线性拉伸薄板的影响n个表面的表面摩擦力-f“”（0）具有N个R（右）=5，Pr=6.2，ϕ=0.1，以及Ec公司=0.5如图所示​图11。11可以注意到，从表​表44和图​图11，11，的数值|f“”对于不同种类的纳米流体，（0）|随着非线性拉伸参数的增加而增加n个这意味着铜纳米颗粒比其他纳米颗粒具有最高表面摩擦力的表面的表面摩擦力增加。数字​图1212,​,1313,​,1414显示在N个R（右），经济舱、和n个分别使用不同的纳米流体，Pr=6.2和ϕ= 0.1. 这些数字表明，当使用不同种类的纳米流体时，传热速率会发生变化，这意味着纳米流体在冷却和加热过程中非常重要。从上面的结果可以看出，正如预期的那样，传热速率随着热辐射参数的增加而增加N个R（右）和非线性拉伸板材参数n个，并随着粘性耗散参数的增加而迅速减小Ec公司.

假设的含义

利用辐射热流的Rosseland近似，分析了在存在或不存在热辐射的情况下，粘性纳米流体在非线性拉伸非等温运动平面上的边界层流动和传热问题。通过适当的相似变换，将控制偏微分方程转换为常微分方程，然后通过打靶法进行数值求解，在整个计算过程中采用四阶Runge-Kutta格式（MATLAB软件包）。固体体积分数的影响ϕ，热辐射参数N个R（右），非线性拉伸板材参数n个，以及粘性耗散参数Ec公司测定了三种纳米流体：铜、氧化铝和氧化钛的流动和传热特性。

1.固体体积分数的增加ϕ和非线性拉伸薄板参数n个导致无量纲表面速度降低；这会增加表面的表面摩擦力。

2.固体体积分数增加ϕ和埃克特数Ec公司纳米流体的温度增加；这导致热传递速率的快速降低。

3.热辐射参数增加N个R（右）和非线性拉伸薄板参数n个纳米流体的温度降低，导致传热速率增加。

4.TiO2事实证明，与其他两种纳米颗粒（铜和铝）相比，纳米颗粒在这个问题上具有最高的冷却性能2O（运行）三纳米颗粒）。

缩写

术语

b条：常数；C类：与拉伸表面相关的物理参数；C类（f）：表面摩擦系数；c（c）第页：比热；Ec公司：埃克特数；（f）：无量纲流函数；k个：导热系数；k个*：平均吸收系数；米：表面温度参数；N个R（右）：辐射参数；努x个：努塞尔数；Pr：普朗特尔数；q个第页：辐射热通量；n个：非线性拉伸参数；T型：温度；u个和v（v）：速度分量沿x个-和年-方向：分别；x个和年：沿板块和垂直于板块的笛卡尔坐标：分别为。

希腊符号

α：热扩散率；η：相似变量；θ：无量纲温度；μ：有效粘度；υ：运动粘度；ρ：密度；σ*：Stefan-Boltzmann常数；(ρC第页)nf、，纳米流体的热容；(ρC第页)（f）：流体的热容；(ρC第页)秒：纳米材料的有效热容；ϕ：纳米颗粒体积分数。

下标

（f）：流体分数；核燃料：纳米流体分数；秒：固体分数；w个：墙体状况；∞：无穷远处的流函数条件。

竞争性利益

作者声明，他们没有相互竞争的利益。

作者的贡献

MRE完成了文章的主要部分；然而，资金、计算建议和校对均由FSI、FMH和SMAG完成。所有作者阅读并批准了最终手稿。

作者信息

FMH和FSI是应用数学教授。SMAG是数学讲师，MR是博士生。

尾注

这只是一项理论研究；每一个实验家都可以在我们同意的情况下进行实验验证。

致谢

作者非常感谢编辑和审稿人提出的建设性意见和建议，以改进本文的表述。

参考文献

  • 萨基亚迪斯BC。连续固体表面上的边界层行为：I.二维和轴对称流动的边界层方程。AIChE期刊。1961;7:26–28. doi:10.1002/aic.690070108。[交叉参考][谷歌学者]
  • 萨基亚迪斯BC。连续固体表面上的边界层行为：II。连续平坦表面上的边界层。AIChE期刊。1961;7:221–225. doi:10.1002/aic.690070211。[交叉参考][谷歌学者]
  • 库马兰五世（Kumaran V）、拉马奈（Ramanaih G），关于拉伸薄板上流动的注释。建筑机械。1996;116:229–233. [谷歌学者]
  • Magyari E，Keller B.指数拉伸板上边界层的热质传递。J Phys D：应用物理学。1999;32:577–585. doi:10.1088/0022-3727/32/5/012。[交叉参考][谷歌学者]
  • 埃尔巴什贝西EMA。在具有吸力的指数拉伸连续表面上的热传递。建筑机械。2001;53：643–651。 [谷歌学者]
  • Khan SK、Sanjayan和E.指数拉伸板上的粘弹性边界层流动和传热。国际J热质传递。2005;48:1534–1542. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2004.10.032。[交叉参考][谷歌学者]
  • Sanjayand E，Khan SK.关于指数拉伸薄板上粘弹性边界层流动的热质传递。国际热科学杂志。2006;45：819–828。doi:10.1016/j.ijthermalsci.2005.11.002。[交叉参考][谷歌学者]
  • Sajid M，Hayat T。由于指数拉伸薄板，热辐射对边界层流动的影响。内部通信热质量传输。2008;35:347–356. doi:10.1016/j.icheatmassstransfer.2007.08.006。[交叉参考][谷歌学者]
  • Partha MK，Murthy PVSN，Rajasekhar GP。粘性耗散对指数拉伸表面热传递混合对流的影响。热质传递。2005;41:360–366. doi:10.1007/s00231-004-0552-2。[交叉参考][谷歌学者]
  • Vajravelu K。非线性拉伸薄板上的粘性流。应用数学计算。2001;124:281–288. [谷歌学者]
  • Vajravelu K，Cannon JR。流体在非线性拉伸薄板上流动。应用数学计算。2006;181:609–618. [谷歌学者]
  • Cortell R.非线性拉伸薄板上的粘性流动和传热。应用数学计算。2007;184:864–873. [谷歌学者]
  • Cortell R.粘性耗散和辐射对非线性拉伸薄板上热边界层的影响。物理Lett A。2008;372：631–636。doi:10.1016/j.physleta.2007.08.005。[交叉参考][谷歌学者]
  • Cortell R.静态流体在非线性拉伸薄板上流动和传热的相似解。材料加工技术杂志。2008;203:176–183. doi:10.1016/j.jmatprotec.2007.09.055。[交叉参考][谷歌学者]
  • Cortell R.非线性拉伸表面导致的热量和流体流动。应用数学计算。2011;217:7564–7572. doi:10.1016/j.amc.2011.02.029。[交叉参考][谷歌学者]
  • Prasad KV，Vajravelu K，Datti PS。具有可变流体特性的非线性拉伸表面上的混合对流传热。Int J非线性机械。2010;45:320–330. doi:10.1016/j.ijnonlinme.2009.12.003。[交叉参考][谷歌学者]
  • Afzal N.静止流体中二维或轴对称非线性拉伸表面上的动量和热边界层。国际J热质传递。2010;53:540–547. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2009.04.039。[交叉参考][谷歌学者]
  • Nandeppanavar MM，Vajravelu K，Abel MS，Ng C.具有非均匀热源和可变壁温的非线性拉伸薄板上的传热。国际J热质传递。2011;54:4960–4965. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2011.07.009。[交叉参考][谷歌学者]
  • Choi SUS公司。用纳米颗粒增强流体的导热性，非牛顿流体的发展和应用。ASME联邦标准。1995;231:99–105. [谷歌学者]
  • Masuda H，Ebata A，Teramae K，Hishinuma N.通过分散超细颗粒改变液体的导热性和粘度。Netsu Bussei。1993;7:227–233. doi:10.2963/jjtp.7.227。[交叉参考][谷歌学者]
  • Buongiorno J，Hu W。ICAPP 05会议记录：2005年5月。首尔。悉尼：Curran Associates，Inc；2005.先进核电厂用纳米流体冷却剂；第15-19页。[谷歌学者]
  • Buongiorno J.纳米流体中的对流传输。ASME J传热。2006;128：240–250。doi:10.1115/1.2150834。[交叉参考][谷歌学者]
  • 库兹涅佐夫AV，尼尔德DA。纳米流体通过垂直板块的自然对流边界层流动。国际热科学杂志。2010;49:243–247. doi:10.1016/j.ijthermalsci.2009.07.015。[交叉参考][谷歌学者]
  • Nield DA，库兹涅佐夫AV。纳米流体饱和多孔介质中自然对流边界层流动的Cheng-Minkowycz问题。国际J热质传递。2009;52:5792–5795. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2009.07.024。[交叉参考][谷歌学者]
  • 尼尔德·DA，库兹涅佐夫AV。纳米流体饱和多孔介质中双扩散自然对流边界层流动的Cheng-Minkowycz问题。国际J热质传递。2011;54:374–378. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.09.034。[交叉参考][谷歌学者]
  • Cheng P，Minkowycz WJ（明科维茨WJ）。关于嵌入多孔介质中的垂直平板的自由对流，应用于堤坝的热传递。地球物理学研究杂志。1977;82(14):2040–2044. doi:10.1029/JB082i014p02040。[交叉参考][谷歌学者]
  • Hamad MAA，Bashir MA。幂律非牛顿纳米流体在垂直拉伸板上的边界层流动和传热。世界应用科学杂志（应用数学专刊）2009;7:172–178. [谷歌学者]
  • Khan WA，Pop I.纳米流体通过拉伸片的边界层流动。国际J热质传递。2010;53:2477–2483. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2010.01.032。[交叉参考][谷歌学者]
  • Hamad MAA，Pop I.饱和纳米流体和热产生/吸收效应的多孔介质中加热可渗透拉伸表面上停滞点附近边界层流动的缩放变换。透明多孔介质。2011;87:25–39. doi:10.1007/s11242-010-9683-8。[交叉参考][谷歌学者]
  • Hamad MAA，Ferdows M.具有吸热/生成和吸力/吹气功能的边界层驻点流向饱和纳米流体的加热多孔拉伸板的相似解：李群分析。通用非线性科学数字模拟。2011;17(1):132–140. [谷歌学者]
  • Kandasamy R，Loganathan P，Arasu PP。纳米流体在抽吸/注入存在的情况下通过垂直拉伸表面的MHD边界层流动的标度群变换。核工程设计。2011;241:2053–2059. doi:10.1016/j.nocengdes.2011.04.011。[交叉参考][谷歌学者]
  • Makinde OD，Aziz A.纳米流体通过具有对流边界条件的拉伸薄板的边界层流动。国际热科学杂志。2011;50:1326–1332. doi:10.1016/j.ijthermalsci.2011.02.019。[交叉参考][谷歌学者]
  • 哈马德MAA。磁场作用下纳米流体在线性拉伸薄板上自然对流流动的解析解。内部公共热质传递。2011;38:487–492. doi:10.1016/j.icheatmassstransfer.2010.12.042。[交叉参考][谷歌学者]
  • Rana P，Bhargava R.纳米流体在非线性拉伸薄板上的流动和传热：数值研究。公共非线性科学数字模拟器。2011;17(1):212–226. [谷歌学者]
  • Nadeem S，Lee C.纳米流体在指数拉伸表面上的边界层流动。纳米级研究报告。2012;7：94.网址：10.1186/1556-276X-7-94。 [PMC免费文章][公共医学] [交叉参考][谷歌学者]
  • Oztop HF，Abu-Nada E.填充纳米流体的部分加热矩形密封室内自然对流的数值研究。国际J热流密度。2008;29：1326–1336。doi:10.1016/j.ijheatfluidflow.2008.04.009。[交叉参考][谷歌学者]
  • Khanafer K、Vafai K、Lightstone M.Buoyancy利用纳米流体在二维封闭空间中驱动传热强化。国际J热质传递。2003;46:3639–3653. doi:10.1016/S0017-9310（03）00156-X。[交叉参考][谷歌学者]
文章来自纳米研究快报由以下人员提供施普林格