关于特定原因剩余寿命的注释

摘要

1.简介

在医学研究中，研究人员经常用流行软件中的非参数程序来描述幸存者剩余寿命的分布。在竞争风险下，独立审查数据的推论不能正确解释相互依赖的竞争失效类型。在乳腺癌研究中（Fisher等人。，2002)研究人员对乳腺癌相关死亡的分布情况感兴趣，这些死亡原因包括确诊时和存活一定年限后的其他死亡原因。在全因生存率的诊断后分析中，可以非参数地估计剩余寿命函数，并使用其平均值进行总结（Hall&Welner，1981)和百分位数（Joe&Proschan，1984). 非参数推断已被彻底调查（Alam和Kulasekera，1993; Berger等人。，1988). 据我们所知，文献中尚未讨论竞争风险剩余寿命分析。

累积关联函数正确地量化了存在竞争事件时事件类型的累积概率。让T型是生存时间是失败的原因。原因j个累积关联函数为哪里是全因生存功能，是原因的累积危害函数j个和.

对于全因生存，给出了剩余寿命函数T型>t吨₀>0是

可以通过插入Kaplan&Meier进行估算(1958)估计量秒.估算根据事由j个事件，人们可能会天真地使用，其中是Kaplan–Meier估计量，它忽略了除j个事实上，这个数量估计通常缺乏有意义的概率解释。

我们定义了,

它是给定生存率的剩余累积关联函数t吨₀。这将产生，直观的加法分解，其中具有单一故障类型。

对于任意t吨₀,通常是不恰当的不存在，不同于所有原因的生存。在本注释中，我们提出了以下非参数推断及其相应的分位数函数，扩展了Peng&Fine(2007)的t吨₀=0.通过一种简单的关键统计反演方法提供自动置信区间，建立了该估计量的一致收敛性。通过仿真和乳腺癌数据示例说明了该方法的实际应用。

2.非参数推理

在不失概括性的情况下，在续集中，假设有两个相互竞争的事件，分别用类型1和类型2表示，其中类型1事件是最重要的。

由于研究提前终止或失去随访，T型可能无法完全观察到。让C类成为潜在的审查时间。然后，观测数据包括，其中和。我们假设C类独立于将风险和所有原因事件计数过程定义为和分别针对。对于j个对于特定原因的事件，我们将事件过程定义为。通过表示池进程

定义成为第页原因1剩余寿命分布的第个分位数，有条件地生存到t吨₀也就是说，分位数对所有人都存在.对于本案t吨₀=0,问_1,0与Peng&Fine中的相同(2007)基于F类₁.假设是绝对连续的周围是积极的，分位数可以等效地定义为

这表明以下估算公式适用于:

哪里是的非参数估计（阿伦，1978)和是总生存率的Kaplan–Meier估计值。一般来说定义为最小值q个在其中十字架第页也就是说，，其中.估计器不会减少第页.

使用非参数估计的一致一致性秒和（阿伦，1978; Andersen等人。，1993; Pepe，1991），估计函数一致收敛于q个到u个(q个)=F类₁(t吨₀+q个)−F类₁(t吨₀)−pS公司(t吨₀). 在绝对连续性下和积极的,u个(q个)有一个唯一的根。因此，对于固定值是一致的第页回忆一下不会减少第页和绝对连续性严格肯定给出的绝对连续性和单调性，用于，其中用于固定.一致性如下所示，其中接下来，我们确定弱收敛于高斯过程。关键洞察力是认识到可以被视为第一步是建立在给定条件下弱收敛到方差为高斯过程t吨,说吧。然后，由于分位数泛函是Hadamard可微的（命题II.8.5，Andersen等人。，1993)函数δ法（定理II.8.1，Andersen等人。，1993)给出了所需的弱收敛性以及作为函数的渐近方差的显式形式和.

类型1事件的累积发生率估计量具有以下统一的渐近表示（Aalen，1978; Andersen等人。，1993; 佩佩，1991）：

哪里.Kaplan–Meier估计满足

统一用于（安徒生等人。，1993)，其中和.使用普通中心极限理论t吨,收敛到一个三元法线。对于固定t吨，有限增量法给出

(1)

普通中心极限理论给出了在任意有限数量的t吨.弱收敛适用于因为很紧，因为仅在计算t吨₀而且非常紧。因此，近似值（1）在t吨.协方差函数可通过以下方式一致估计

哪里是，理论量由样品类似物代替。

根据之前的论点，弱收敛于，方差有限

在固定的第页，其中.估计困难是估计值，这需要非参数平滑技术。即使是为了t吨₀=0（彭和芬，2007)，此类估计尚未研究。我们提出的推论不需要估计.

在零假设下，，统计数据

遵循具有1个自由度的齐方分布，表示为，其中.A型置信区可以通过反转该统计来构建，定义为，其中是百分位数分配。

3.仿真研究

进行了模拟研究，以评估所提方法的性能。跟随Jeong&Fine(2006,2007),T型和使用Gompertz模型生成，其中(j个=1, 2). 经历事件的个人比例j个,，等于什么时候，通常<1。正在修复和第页_j个,。对于j个=1,2，我们取和第页_j个=0.5，给出.出于原因j个，分位数剩余寿命t吨₀是

审查时间由上的均匀分布生成(c（c），10），其中c（c）控制审查比例。在每个模拟数据集中，分析了400个独立的实现。该程序重复1000次。

标称0.95置信区间的点估计偏差和经验覆盖概率在表中报告​表11.

总体而言，偏差较小，倾向于在较大范围内略微增加t吨₀。置信区间的覆盖概率与较小百分位数的标称水平吻合良好，但由于尾部的不稳定性，预计对于较大数量的置信区间的涵盖概率较为保守。这些发现表明，这些方法在实际样本量与§4中的分析相当的情况下表现相当好。

4.实际数据示例

NSABP B-04研究旨在评估乳腺癌根治术和范围较小的乳腺癌全切除术。共有1079名腋窝淋巴结阴性的女性和586名腋窝阳性的女性接受了这两种手术。下面的分析比较了腋窝淋巴结阳性和阴性妇女的病史。

Fisher等人(2002)报告了B-04数据的25年更新。大约90%的患者要么随访25年，要么死亡。竞争性事件包括乳腺癌复发后死亡和非乳腺癌相关死亡。对于治疗后存活到不同时间的女性来说，了解癌症失败的残余模式显然很有兴趣。

在本例中，累积复发风险较低，条件累积发生率函数不超过0.5。因此，中位数不存在。我们估计复发性死亡第页淋巴结阴性和淋巴结阳性患者分别为0.10、0.20和0.30，以及0.95置信区间。我们接受t吨₀=0、2、4、6和8年。表​表22总结了结果。

表2

估计NSABP B-04中淋巴结阴性和淋巴结阳性组乳腺癌相关死亡的百分位剩余寿命和0.95置信区间

		节点负极		节点正极
第页	t吨0		CI95级		CI95级
0.1	0	2.72	(2.43, 3.04)	1.28	(1.15, 1.45)
	2	1.95	(1.59, 2.38)	1.04	(0.78, 1.32)
	4	2.63	(1.86, 2.99)	1.73	(1.10, 2.33)
	6	3.96	(3.15, 5.19)	1.04	(0.70, 1.49)
	8	4.92	(3.96, 5.99)	2.17	(1.18, 3.04)
0.2	0	5.26	(4.62, 5.79)	2.36	(2.03, 2.77)
	2	4.81	(4.01, 5.96)	2.76	(2.18, 3.56)
	4	7.87	(6.27, 9.43)	3.16	(2.65, 3.97)
	6	9.99	(8.00, 12.76)	2.98	(1.98, 4.03)
	8	11.80	(9.00, 14.53)	6.57	(3.81, 9.60)
0.3	0	10.53	(8.86, 12.45)	4.07	(3.27, 4.75)
	2	11.45	(9.55, 13.72)	4.98	(4.31, 5.75)
	4	16.03	(12.51, 19.97)	5.63	(4.55, 7.51)
	6	21.41	(15.80, 29.27)	6.77	(4.20, 10.52)

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CI95，0.95置信区间.

在淋巴结阴性组中，女性存活时间越长，其未来复发的风险越低，估计的百分位剩余寿命越长。例如，治疗时(t吨₀=0），20%的淋巴结阴性女性在复发后约5年内死亡。价值观治疗后存活四年的女性增加到大约8年(t吨₀=4），存活8年的女性为12岁(t吨₀=8). 在淋巴结阳性组也有类似但不太明显的模式。

另一个不足为奇的观察结果是，淋巴结阴性女性复发性死亡的风险通常较低，百分位剩余寿命更长，是淋巴结阳性女性的2至3倍。在许多情况下，0.95置信区间是不重叠的。这些间隔的半宽度大约是点估计标准误差的两倍。由于其差异的标准误差通常小于其标准误差之和，因此使用由点估计值差异得出的检验，结果在0.05水平上具有统计显著性。正式双样本测试的发展值得进一步研究。

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