Inference for a discretized stochastic logistic differential equation and its application to biological growth

F. Delgado-Vences; F. Baltazar-Larios; A. Ornelas Vargas; E. Morales-Bojórquez; V. H. Cruz-Escalona; C. Salomón Aguilar

doi:10.1080/02664763.2021.2024154

J应用统计。2023; 50(6): 1231–1254.

2022年1月18日在线发布。数字对象标识：10.1080/02664763.2021.2024154

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PMID：37025277

离散随机logistic微分方程的推导及其在生物生长中的应用

F.德尔加多·维纳斯,^一 F.巴尔塔扎尔·利奥斯,^b条 A.奥内拉斯·瓦尔加斯,^c（c） E.莫拉莱斯·博约尔奎斯,^d日 V.H.克鲁兹·埃斯卡洛纳,^{e（电子）}和C.萨洛蒙·阿吉拉尔^（f）

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摘要

本文提出了一种将随机logistic微分方程（SLDE）调整为一组高度稀疏实数据的方法。我们假设SLDE有两个待估计的未知参数。我们计算最大似然估计（MLE）来估计内在增长率。我们证明了MLE是强相合的渐近正态的。为了估计扩散参数，使用了数据的二次变量。我们用几种模拟数据验证了我们的方法。对于我们观察到解的离散化的更现实的情况，我们使用扩散桥和随机期望最大化算法来估计参数。此外，当我们在给定数量的轨迹中仅观察每条路径的一个点时，我们仍然能够估计SLDE的参数。据我们所知，这是首次尝试将随机微分方程（SDE）拟合到这些类型的数据中。最后，我们将我们的方法应用于来自渔业的实际数据。所提出的平差方法可以应用于SDE的其他示例，并且在多个科学领域具有高度的适用性，尤其是在数据稀疏的情况下。

关键词：随机logistic微分方程，扩散桥，EM算法，生物生长

1.简介

1.1. 动机

我们这项工作的主要动机来自生物学，在生物学中，将随机微分方程（SDE）拟合到实际数据是很有趣的。然而，调整SDE的问题引起了广泛的关注。微分方程中的参数拟合问题已经研究了很长时间。这是所谓逆问题的经典示例（参见示例[26]或[29]). 相反，根据实际数据拟合SDE是一项非常困难的任务。受确定性情况的影响，在许多情况下，我们可以假设要调整的模型仅依赖于一些常量但未知的参数，并且通过使用数据，目标是对其进行估计。在本研究中，我们考虑这个特殊的情况，然后我们只需要使用可用的数据来拟合SDE来估计参数。有一些理论可以进行估算。其中大多数假设以下两种情况之一：连续观测解或至少离散观测（例如，请参见[28,41]供进一步阅读）。然而，在许多情况下，进行连续观测几乎是不可能的，只有在非常罕见的情况下，才有可能观测到可接受的解离散化。在生物学中，尤其是在海洋生物学中，情况是一样的：因为几乎没有任何现象可以在一段时间内得到连续的观察。典型的情况是每个个体只观察到一个测量值，其优点是数据是来自同一人群的几个个体的集合。我们将利用这一事实来提供一种估计特定SDE参数的方法。

SDE本质上是一个常微分方程，其中一个或多个项是随机过程，其解也是随机过程。最常用的驱动噪声是维纳过程或某些相关过程，可以是加法或乘法类型。SDE已应用于广泛的学科，如生物学、医学、人口动力学和工程学（参见[32]). 在本文中，我们考虑一个带有简单乘性噪声的SDE。SDE的参数估计（如Ornstein-Uhlenbeck过程、几何布朗运动等）在过去几十年中得到了发展，如MLE方法（连续观测）、期望最大化（EM）算法、Ozaki方法和贝叶斯方法（离散观测）；参见示例[28,41]以及其中的参考。

关于SDE的参数估计，我们参考了开创性的论文[35]. 本文研究连续时间随机过程的参数估计问题。他导出了一个特殊的泛函偏微分方程，它表征了离散采样Itó过程的精确似然函数。反对[35]，我们首先从理论上导出了作为Girsanov定理在整个连续过程中的应用的似然函数，这意味着不需要任何离散化。然后，假设连续观测，我们获得了感兴趣参数的MLE。此时，我们提出了MLE的自然离散化版本，并说明了该离散化MLE收敛于参数的真值。

生态学中的生长模型通常采用确定性方法进行研究，这意味着理论生长模型可以由平均模型表示。这代表了一种简单的方法（例如常数参数、同方差），对于高度可变的数据，例如人口中个体增长的个体变异性，几乎没有统计支持[25]. 另一种方法是基于随机增长模型，在增长模型中明确包含个体变异性，允许估计与人口长度或年龄结构相关的概率区域，表明每个个体的生长变异性可以从假设的概率密度函数（例如正常、伽马）中进行统计定义[21,36]. 还从纵向数据中分析了生长的个体变异性[19,27].

个人成长是人口特征的关键；它被定义为长度或重量随时间的增加。个体生长对于预测总种群非常重要，因此它为做出与物种相关的良好决策提供了信息；例如，估算野生种群的生物量，制定与种群控制相关的政策等。通常，它建立了两条分析个体生长的路径；第一种是确定性方法，其中假设模型是一个微分方程，其中一些参数是固定常数，必须从一些未知统计总体的随机观测数据中估计；这样，就需要定义一个目标函数（例如SSQ、似然函数）来通过数值优化估计参数和置信区间([15,22,52]). 假设参数是随机的，贝叶斯方法给出了该方法的一个小变化；因此，分析提供了参数值的统计分布([44]).

第二种方法是使用随机模型来建模增长，这种模型的优点是能够表征种群的中心趋势（类似于确定性模型），但也可以解决个体变异的一些来源[33]. 该方法的应用是分析随机观测中常见的倾斜数据的一种替代方法。随机模型是一种尝试，用于估计能够包括所有观测值的参数；因此，数据的异质性和参数的随机可变性是随机增长模型中最重要的特征([48,49]).

在渔业方面，它可以适用于易受过度捕捞影响的蝙蝠类物种，其特点是后代数量多、体型小、自然死亡率高（例如被捕食），并受到密集捕捞制度的影响；因此，这项工作非常重要，因为可以估计人口增长参数，这些参数对于支持管理和保护方案的人口研究至关重要。

1.2. 我们的贡献

在这项研究中，我们提出了一种估计所描述的三种情况下的参数和一个特定随机微分方程的方法：SLDE；该估计通过随机期望最大化（SEM）算法将观测值的二次变化和MLE结合起来。

值得注意的是，所提方法的思想可以应用于满足一些经典适当假设的其他SDE。我们在假设三种情况下验证了所提方法：当我们对解进行连续观测时，当我们对解决方案进行离散化观测时，以及最困难的情况是，在不同的时间点只观测到每个个体对应一条记录的数据集。然后，我们将此方法应用于巨电波（或Cortez电波）生物生长的数据集安替米多钠.

本文所关注的模型是一个具有随机初始条件的SDE。随机初始条件的使用允许我们在模型中包括出生大小的变化。我们认为内在增长率是一个常数，但未知；因此，我们有兴趣估计这个参数。该模型考虑了种群中生物体的个体变异性，如几位作者所研究的（参见示例[41]). 如前所述，我们对使用二次变量和MLE方法估计参数感兴趣。众所周知，在良好的假设下，利用Girsanov定理得到了似然比。通过最大化对数似然，我们得到了估计量，并证明了估计量是强相合的渐近正态的。

该估计方法基于MLE和EM算法，现在我们讨论所提出方法背后的思想。基于似然的SDE推断的主要挑战是，SDE离散采样解的跃迁密度以及似然函数在几乎所有情况下都不明确可用，因此必须近似。由于数据可以被视为不完全观测值，其中完整的数据集是解的连续时间记录，因此我们自然建议通过应用EM算法找到最大似然估计值，参见[17,38]. 因此，我们需要计算给定观测值的完整模型的似然函数的条件期望。我们通过使用来自[三]. 值得一提的是，在离散观测扩散的经典统计推断中，缺乏对数据频率的控制可能会产生很大的偏差（例如，请参见[13]). 相反，通过在我们的方法中使用EM算法，我们重建了信息并克服了上述偏差。

自20世纪70年代以来，SDE理论被广泛应用于种群生态学和种群动力学的研究中，为估计参数（如固有增长率或第页)在依赖密度的无迭代种群中（见5月[37]，布朗[5]Golec和Sathananthan[23]和西平等。[51]); 此外，MLE方法在SLDE参数估计理论中至关重要，SLDE应用于多骨鱼类（Román-Romá）的种群增长（人口学研究的输入）和体细胞生长（了解重要商业物种恢复力的生物/渔业参数）等。[45]、沙阿[47]和尤拉多·莫利纳等。[31])和弹性鳃类（托瓦尔-阿维拉等。[48]古兹曼-卡斯特拉诺斯等。[24]和科尔特斯[12]).

几位作者研究了使用SDE建模生长曲线的MLE，这里我们只提到两篇论文。在[16]作者考虑了一个由SDE给出的混合模型，并研究了一个参数的MLE，该参数必须通过对解过程的连续观察来估计。在[18]，作者使用贝叶斯方法研究SDE，并将其与几只鸡的实时数据进行拟合，这些鸡在一段时间内进行了多次测量。他们考虑的模型是带有SDE的非线性混合模型。本文不考虑混合模型；实际上，我们混合了真实数据，以克服数据中每个个体只有一个测量值的限制。我们注意到这是首次应用于电射线，并强调安替米多钠属于“拥有许多小体型后代的物种”Camhi类型的繁殖策略类别等。[8]，因此对模型的这种调整可以适用于具有类似特征的其他物种（例如吉他鱼和圆射线）。

关于生物学中的随机模型，我们引用[14]：“在生态学野外研究和实验中应用建模和理论的一个主要问题是，生态学的数学建模需要简化假设，其中大多数假设与生态系统的实际情况不符。这些假设中最重要的一个是，人口中的单个成员可以聚合为代表人口规模的单个状态变量。许多经典的生态学模型，如logistic方程和Lotka-Volterra方程，都假设一个种群中的所有个体都是相同的，可以集中在一起。”众所周知，克服上述问题的一种自然方式是考虑SDE而不是确定性微分方程：这样，我们可以在模型中包括环境或外部扰动等随机性（参见Kloeden和Platen[32]、普罗特[43]，伊库斯[28]).

本文的结构如下。在节中2引入了随机logistic微分方程。在节中三，我们首先提供了一个估计SLDE扩散参数的框架，然后我们计算和研究了MLE的一些渐近性质第页，SDE中的漂移系数。我们还测试了MLE的参数第页假设连续观测随机过程。在节中4，我们回顾了随机EM算法和扩散桥的一些理论及其在离散观测数据统计推断中的应用。在该节中讨论了解决方案的多个轨迹只有一个观测值的情况的方法。第节介绍了该方法在实际数据中的应用5，我们还描述了本文中使用的数据。我们关于模型应用及其数值应用的结论在第节中给出6在附录1中，我们证明了第页在附录2中，我们提供了一项统计研究，该研究表明，在相应的时间尺度下，使用该方法获得的估计量是唯一的。

2.一个随机logistic微分方程

这在古典文学中是众所周知的（例如，见[7])经典logistic模型通过初值问题建立

\begin{aligned} {第页}^{'} (t吨) & = 第页 第页 (t吨) [1 - 第页 (t吨)], t吨 > {t吨}_{0} \\ P（P） ({t吨}_{0}) & = {第页}_{0} . {第页}_{0} \in (0, 1) . \end{aligned}}

(1)

有一个独特的解决方案

第页 (t吨) = \frac{{第页}_{0}}{{第页}_{0} + (1 - {第页}_{0}) {e（电子）}^{- 第页 (t吨 - {t吨}_{0})}} .

(2)

在逻辑模型中 ${第页}_{0}$ 和 $第页 (t吨)$ 可以表示当时的个人比例 ${t吨}_{0}$ 和 $t吨 > {t吨}_{0}$ 分别是。此外，第页>0是固有增长率，通常假设为常数但未知。该模型已成功应用于多个知识领域，例如肿瘤生长、化学反应模型、物理费米分布等（参见示例[7]或[6]以及其中的参考）。

本文研究了SLDE

\begin{matrix} d日 P（P） (t吨, ω) = 第页 P（P） (t吨, ω) [1 - P（P） (t吨, ω)] d日 t吨 + σ P（P） (t吨, ω) d日 B类 (t吨, ω), t吨 > {t吨}_{0} \\ P（P） ({t吨}_{0}, ω) = {第页}_{0} (ω) . \end{matrix}}

(3)

哪里 $ω \in Ω$ 和 ${B类 (t吨, ω)}_{t吨 \geq {t吨}_{0}}$ 是标准的布朗运动， $σ > 0$ 和 ${第页}_{0} (ω)$ 是有界绝对连续随机变量 ${第页}_{0} (ω) : Ω \to [一_{1}, 一_{2}] \subset (0, 1)$ 。我们进一步假设 $B类 (\cdot, ω)$ 和 ${第页}_{0} (ω)$ 定义在公共概率空间上 $(Ω, F类, P（P）)$ 作为的功能ω.型号(三)允许噪声取决于相应人群的大小。这种模型是乘法型噪声的一个例子。方程等问题(三)称为初值问题（IVP）。几个作者已经研究过这个方程，这里只提到[41].

SLDE(三)具有以下随机积分方程给出的数学形式解释

\begin{aligned} P（P） (t吨, ω) & = {第页}_{0} (ω) + \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} 第页 P（P） (秒, ω) [1 - P（P） (秒, ω)] d日 秒 \\ + \int_{{t吨}_{0}}^{t吨} σ P（P） (秒, ω) d日 B类 (秒, ω), t吨 > {t吨}_{0}, \end{aligned}

(4)

其中我们在最后一项中使用了Itó随机积分(4).

有一个强大的（概率意义上的）封闭解决方案(三)由提供

P（P） (t吨, ω) = \frac{（f） (t吨, ω)}{\frac{1}{{第页}_{0} (ω)} + 第页 \int_{0}^{t吨} （f） (秒, ω) d日 秒}

(5)

哪里

（f） (t吨, ω) := 经验 (t吨 (第页 - \frac{σ^{2}}{2}) + σ B类 (t吨, ω)) .

事实上，这个事实的证据可以从[30，见第2.2条。其中]。我们观察到，解决方案对所有人来说总是积极的 $t吨 \geq 0$ .

可以证明

\underset{t吨 \to \infty}{林} E类 （f） (t吨, ω) = {e（电子）}^{第页 t吨},

所以，由于分母 $P（P） (t吨, ω)$ （英寸(5))是的一种重整化 $（f） (t吨, ω)$ 加上一个常数，我们推断

\underset{t吨 \to \infty}{林} P（P） (t吨, ω) = 1

从这一点开始，按照概率中常用的符号，我们省略了ω-依赖 $P（P） (t吨)$ , $B类 (t吨)$ 等。

3.连续情况下的参数估计

在本节中，我们考虑方程式参数的估计(三)当在观测间隔内连续采样求解过程时 $[0, T型]$ ,T型>0.我们称之为连续情况T型>0（固定），我们可以划分间隔 $[0, T型]$ 进入之内n个长度的子间隔 $Δ_{n个} = \frac{T型}{n个}$ ( $Δ_{n个}$ 是两次观察过程路径之间的时间），我们可以观察n个足够大，以至于 $Δ_{n个}$ 归零。我们假设参数 $θ = (第页, σ)$ 未知，我们假设初始条件 ${第页}_{0}$ 是具有一定密度的随机变量，并且该密度对于所有可能的值都是相同的θ在连续观测方程解的路径的情况下，我们提供了参数的估计(三). 特别是，我们计算了第页并证明了该估计的渐近性质。

根据前面的假设，扩散参数可以根据过程的二次变化进行估计，如下所示。通过以下方式定义估计器

{\hat{σ}}^{2} := \frac{2 \sum_{我 = 1}^{n个} (P（P） (我 Δ_{n个}) - P（P） ((我 - 1) Δ_{n个}))^{2}}{\sum_{我 = 1}^{n个} P（P） (我 Δ_{n个})^{2} + P（P） ((我 - 1) Δ_{n个})^{2}},

(6)

因此，由于我们具有的渐近正态性 ${\hat{σ}}^{2}$ （请参见[50])，即。

\frac{({\hat{σ}}^{2}) - σ^{2}}{\sqrt{Δ_{n个}}} \to N个 (0, \frac{2 σ^{4}}{T型}), 作为 Δ_{n个} \to 0.

那么我们可以得出结论 ${\hat{σ}}^{2}$ 是的无偏估计量 $σ^{2}$ 。另一方面，假设我们知道σ或者我们用(6). 表示方式 ${第页}_{0}$ 的真正价值第页和依据 ${P（P）}_{第页}$ 连续函数空间上的概率测度 $C类 (0, T型)$ 由生成 $P（P） (t吨)$ 众所周知 ${P（P）}_{第页}$ 和 ${P（P）}_{{第页}_{0}}$ 对于不同的值是等效的第页具有 $第页 \neq {第页}_{0}$ （请参见[28]或[34]). 然后，通过Girsanov定理给出了可能性：

\begin{aligned} \frac{d日 {P（P）}_{第页}}{d日 {P（P）}_{{第页}_{0}}} (P（P）) \\ = 经验 [\int_{0}^{T型} (第页 - {第页}_{0}) \frac{P（P） (t吨) (1 - P（P） (t吨))}{σ^{2} {P（P）}^{2} (t吨)} d日 P（P） (t吨) - \frac{1}{2} \int_{0}^{T型} ({第页}^{2} - {第页}_{0}^{2}) \frac{{P（P）}^{2} (t吨) (1 - P（P） (t吨)^{2})}{σ^{2} {P（P）}^{2} (t吨)} d日 t吨] \\ = 经验 [(第页 - {第页}_{0}) \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} d日 P（P） (t吨) - \frac{1}{2} ({第页}^{2} - {第页}_{0}^{2}) \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)^{2}) d日 t吨] . \end{aligned}

(7)

然后，通过最大化对数似然(7)关于第页我们有

0 = \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} d日 P（P） (t吨) - 第页 \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)^{2}) d日 t吨,

从中我们可以获得MLE第页

{\hat{第页}}_{M（M） L（左）} = \frac{1}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} d日 P（P） (t吨) .

(8)

我们现在研究估计量的性质 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）}$ .

定理3.1

估计员 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）}$ 非常一致,即

\underset{T型 \to \infty}{林} {\hat{第页}}_{M（M） L（左）} = 第页, w个 我 t吨 小时 第页 第页 o（o） b条 一 b条 我 我 我 t吨 年 o（o） n个 e（电子）,

(9)

和渐近正态,即

\underset{T型 \to \infty}{林} {C类}_{T型} ({\hat{第页}}_{M（M） L（左）} - 第页) = N个 (0, σ^{2}), 我 n个 d日 我 秒 t吨 第页 我 b条 u个 t吨 我 o（o） n个,

(10)

哪里

{C类}_{T型} := \sqrt{变量 (\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨))} .

该定理的证明见附录1。

3.1. 假设连续观测的拟议方法验证

本节的目的是研究估计器的行为 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）}$ 当我们连续观察溶液和σ已知。为了实现这一点，我们使用合成数据，并按照以下步骤进行。我们修正了参数第页并使用真正的解决方案(5)我们使用蒙特卡洛方法模拟了10000条轨迹。然后，我们统一离散时间间隔，例如， $0 \leq {t吨}_{0} < {t吨}_{1} \dots < {t吨}_{n个} = T型$ ，通过使用解决方案的这些路径，我们将计算 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）}^{N个}$ 具有 $N个 \leq$ 10,000.

表示方式 ${P（P）}_{我} (t吨) = P（P） (t吨, ω_{我})$ 这个我-用公式模拟解(5). 我们还表示为 ${{P（P）}_{我} ({t吨}_{j个})}_{j个 = 0}^{n个}$ 的值我-离散点处的th模拟 $0 = {t吨}_{0} < {t吨}_{1}, \dots < {t吨}_{n个 - 1} < {t吨}_{n个} = T型$ .

然后，我们为定义离散化MLE第页

{\hat{第页}}_{M（M） L（左）}^{N个} := \frac{1}{N个} \sum_{我 = 1}^{N个} {\hat{第页}}_{M（M） L（左）} (ω_{我}),

(11)

哪里

\begin{aligned} {\hat{第页}}_{M（M） L（左）} (ω_{我}) & = \frac{1}{\sum_{j个 = 1}^{n个} (1 - {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1}))^{2} Δ_{n个}} \\ \times \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{(1 - {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1}))}{{P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1})} [{P（P）}_{我} ({t吨}_{j个}) - {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1})] . \end{aligned}

(12)

我们通过两个真实参数的示例验证了该方法： ${第页}_{0} = 0.4$ 和 ${第页}_{0} = 0.9$ .我们修复 $σ = 0.25$ 和初始值 ${P（P）}_{0} = 0.25$ 。我们在时间窗口内进行了模拟 $[0, 10]$ ，即。T型 = 10.图1说明了定理3.1中描述的一致性属性（参见(9))这些模拟的结果如图所示2.

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图1。

比较第页和 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）}^{N个}$ 什么时候 $T型 \to \infty$ .（a）第页 = 0.34. （b）第页 = 0.78.

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图2。

两者的比较第页和 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）}^{N个}$ 随着模拟次数的增加N个.（a）第页 = 0.4，（b）第页 = 0.9.

从这些数值实验中，我们得出结论，估计器的性能 ${\hat{第页}}_{M（M） L（左）} (ω_{我})$ 收敛到时间窗口内的真参数 $[0, 10]$ 和 $\sim 600$ 仿真。

MLE鲁棒性的仿真研究

在本小节中，我们介绍了一项模拟研究的结果，旨在强调估算方法。我们只关注参数第页。我们假设我们用于估计参数的10%模拟路径第页有误差，我们假设误差为高斯分布。这意味着，我们已经

P（P） (t吨) + {B类}_{1} (t吨)

具有 ${B类}_{1} (t吨)$ 不依赖于 $B类 (t吨)$ .

我们使用该方法进行估算第页假设连续观察，我们得到表中给出的结果1。我们给出了三个不同值的结果第页.

表1。

平均值和分位数( $95 %$ )从1000个模拟数据集获得的参数估计 $[0, 15]$ .

真值	无扰动	带扰动
0.400	0.435509	0.435645
0.900	0.928649	0.929011
0.341	0.377311	0.377437

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该模拟测试的结论是，该方法仍然为参数提供了良好的估计量第页在小节中4.1.1我们提供了一个模拟研究，其中我们扰动了实际数据的一个百分比。

4.数据不完整情况下的估计

在本节中，我们简要回顾了扩散桥的模拟及其在推断中的应用，更准确地说，我们有兴趣使用它来估计SLDE中出现的参数(4)当离散地观察到相应的扩散过程，并且在不同的时间点观察到每个个体对应一个记录的数据集时。为了模拟扩散桥，我们应用了中提出的近似扩散桥模拟方法[三]. 使用扩散桥的主要动机是人工模拟潜在随机过程的条件连续观测，然后我们可以使用(6)和(8). 这意味着，在实践中，我们不观察过程的完整路径，而是只观察轨迹的离散点。然后，我们可以将观测值之间的差距视为具有可处理的似然函数的模型的缺失信息，然后我们使用扩散桥模拟和随机EM算法（参见[10]和[41])以获得参数的估计值。

4.1. 离散时间观测

假设只有来自我-过程的实现是有时的观察 $0 = {t吨}_{0} < {t吨}_{1}, \dots < {t吨}_{n个 - 1} < {t吨}_{n个} = T型$ $(Δ = {t吨}_{j个} - {t吨}_{j个 - 1}$ 对于 $j个 = 1, \dots, n个$ )，表示为 ${{P（P）}_{我} ({t吨}_{j个})}_{j个 = 0}^{n个}$ ，使用 $我 = 1, \dots, N个$ ，我们在哪里N个时间区间内随机logistic过程的路径 $[0, T型]$ 。我们可以考虑数据集 ${{P（P）}_{我} ({t吨}_{j个})}_{j个 = 0}^{n个}$ 作为对样本路径给出的完整数据集的不完全观察 $P（P） = {{P（P）}_{我} (t吨)}_{我 = 1}^{N个}$ 然后，我们使用扩散桥来获得完整的信息、表达式(6)估计σ，以及一种随机EM算法，用于求第页对于完整的log-likelihood函数

我 (第页) = 第页 \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} d日 P（P） (t吨) - \frac{1}{2} {第页}^{2} \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)^{2}) d日 t吨 .

(13)

为此，我们应该计算(13)对于给定观测值的完整模型。我们通过模拟给定数据的扩散过程的样本路径来实现这一点，这与扩散桥的模拟相对应。让一和b条是状态空间中的两点 $P（P）$ 然后是(三)在间隔中 $[{t吨}_{1}, {t吨}_{2}]$ 这样的话 $P（P） ({t吨}_{1}) = 一$ 和 $P（P） ({t吨}_{2}) = b条$ 将被调用 $({t吨}_{1}, 一, {t吨}_{2}, b条)$ -桥梁。SEM算法的工作原理如下。让 $θ_{0} = ({第页}_{0}, σ_{0})$ 是参数的初始值。

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重复算法1的步骤2、3和4K（K）适当老化的时间 ${K（K）}_{0}$ 然后通过以下公式给出估计值

{\hat{第页}}_{M（M） L（左）} = \frac{\sum_{k个 = {K（K）}_{0}}^{K（K）} {第页}_{k个}}{K（K） - {K（K）}_{0}} 和 \hat{σ} = \frac{\sum_{k个 = {K（K）}_{0}}^{K（K）} σ_{k个}}{K（K） - {K（K）}_{0}} .

(14)

为了计算算法1的E步中的条件期望，我们使用当前 $θ_{k个}$ 我们产生了一个扩散桥

({t吨}_{j个 - 1}, {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1}), {t吨}_{j个}, {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个})) \approx {{第页}_{我} ({t吨}_{0 j个}) = {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1}), \dots, {第页}_{我} ({t吨}_{L（左） j个}) = {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个 - 1})}

哪里 $Δ_{L（左）} = {t吨}_{(我 - 1) j个} - {t吨}_{我 j个} = \frac{Δ}{L（左）}$ 对于 $我 = 1, \dots, L（左）$ , $我 = 1, \dots, N个$ 、和 $j个 = 1, \dots, n个$ .

在M步骤中 $秒_{我}$ 由提供

秒_{我} = \frac{1}{\sum_{j个 = 1}^{n个} \sum_{我 = 1}^{L（左）} (1 - {第页}_{我} ({t吨}_{我 (j个 - 1)}))^{2} Δ_{L（左）}} \times \sum_{j个 = 1}^{n个} \sum_{我 = 1}^{L（左）} \frac{(1 - {第页}_{我} ({t吨}_{我 (j个 - 1)}))}{{第页}_{我} ({t吨}_{我 (j个 - 1)})} [{第页}_{我} ({t吨}_{我 j个}) - {第页}_{我} ({t吨}_{(我 - 1) j个})] .

要更新σ在步骤4中，我们将扩散桥生成的连续路径用于E步骤。

模拟研究。在这里，我们展示了一项模拟研究的结果，其中模拟了1000个数据集，即。N个 = 1000.每个数据集都是通过在间隔时间内模拟长度为1500的样本路径获得的 $[0, 15]$ 具有初始分布 $B类 e（电子） t吨一 (1, 20)$ 。我们假设我们一次只有15次观察 $0 = {t吨}_{0}, 1 = {t吨}_{1}, \dots, {t吨}_{14} = 15$ (n个 = 14). 然后 $Δ_{n个} = 1$ 对于每条路径。参数值为第页 = 0.4和 $σ = 0.25$ .数字三和4给出了算法1 450次迭代的估计量图。

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第页EM估算。

σEM估算。

算法1是用运行的K（K） = 450和L（左） = 1000.首先，我们选择任意初始值 ${第页}_{0} = 6$ 和 $σ_{0} = 1$ （见图图3三和和4）。4). 随后，我们使用不完全观测运行算法1来选择参数的初始值，即。

{第页}_{0} = \frac{1}{\sum_{j个 = 1}^{14} (1 - {第页}_{我} ({t吨}_{j个 - 1}))^{2} Δ} \times \sum_{j个 = 1}^{14} \frac{(1 - {第页}_{我} ({t吨}_{j个 - 1}))}{{第页}_{我} ({t吨}_{j个 - 1})} [{第页}_{我} ({t吨}_{j个}) - {第页}_{我} ({t吨}_{j个 - 1})],

和

σ_{0} = \frac{2 \sum_{j个 = 1}^{14} [{第页}_{我} ({t吨}_{j个}) - {第页}_{我} ({t吨}_{j个})]^{2}}{\sum_{j个 = 1}^{14} [{第页}_{我} ({t吨}_{j个})^{2} + {第页}_{我} ({t吨}_{j个})^{2}] Δ},

对于 $Δ = 0.01$ 我们可以观察到，对于第二个初始值，该算法是最有效的，因此我们使用这些初始值。基于数字估值器的演变图3三和和4，4，我们可以肯定，对于这两个参数，在迭代250后有一个非常好的近似值，因此我们选择 ${K（K）}_{0} = 250$ 最后200次迭代的平均值和分位数( $95 %$ )表中给出了获得的估计值2.

表2。

平均值和分位数( $95 %$ )从1000个模拟数据集和间隔时间内每条路径的1500个长度中获得的参数估计 $[0, 15]$ .

参数	真值	估算员	分位数95%
第页	0.40	0.399310	(0.397181,0.402966)
σ	0.25	0.251208	(0.248455,0.264933)

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4.1.1. 稳健的MLE

假设我们只能观察样本 ${{P（P）}_{我}^{o（o）} ({t吨}_{j个})}_{j个 = 0}^{n个}$ ，其中包括错误。这可以表示为

{P（P）}_{我}^{o（o）} ({t吨}_{j个}) = {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个}) + {e（电子）}_{我} ({t吨}_{j个}), 我 = 1, \dots, N个, j个 = 0, \dots, n个,

哪里 ${P（P）}_{我} ({t吨}_{j个})$ 是不可观测的真实数据（无错误） ${e（电子）}_{我} ({t吨}_{j个})$ 是的错误ij公司-含参数随机变量的th样本τ在这里，我们可以认为数据集 ${P（P）}^{o（o）} = {{P（P）}_{我}^{o（o）} ({t吨}_{j个})}_{j个 = 0}^{n个}$ 作为样本路径给出的完整数据集的不完全观测 $P（P） = {{P（P）}_{我} (t吨)}_{我 = 1}^{N个}$ 以及 ${{e（电子）}_{我 j个}}$ ，或同等 ${P（P）}^{o（o）}$ 和 $P（P）$ 然后，使用log-likelihood函数第页基于完整的数据集 ${P（P）}^{o（o）}$ 和 $P（P）$ 由提供

\begin{aligned} 我 (第页, τ; {P（P）}^{o（o）}, P（P）) & = \sum_{我 = 1}^{N个} [\sum_{j个 = 0}^{n个} 日志 [{（f）}_{τ} ({P（P）}_{我}^{o（o）} ({t吨}_{j个}) | {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个}))] \\ + 第页 \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} \frac{(1 - {P（P）}_{我} (t吨))}{{P（P）}_{我} (t吨)} d日 {P（P）}_{我} (t吨) - \frac{1}{2} {第页}^{2} \frac{1}{σ^{2}} \int_{0}^{T型} (1 - {P（P）}_{我} (t吨)^{2}) d日 t吨], \end{aligned}

(15)

哪里（f）是的条件密度函数 ${P（P）}_{我}^{o（o）} ({t吨}_{j个})$ 鉴于 ${P（P）}_{我} ({t吨}_{j个})$ .

这种情况下的SEM算法与算法1类似。让 $θ_{0} = ({第页}_{0}, σ_{0}, τ_{0})$ 如果我们更新τ在算法的M步中使用

τ_{k个 + 1} = {最大值}_{τ_{k个}} \sum_{我 = 1}^{N个} \sum_{j个 = 0}^{n个} 日志 [{（f）}_{τ_{k个}} ({P（P）}_{我}^{o（o）} ({t吨}_{j个}) | {P（P）}_{我} ({t吨}_{j个}))],

我们得到了相应的算法。

模拟研究。在本小节中，我们展示了模拟研究的结果，其中模拟了1000个数据集，条件与上一节中的模拟示例相同，但假设我们只观察到 ${P（P）}^{o（o）}$ 和 ${e（电子）}_{我} ({t吨}_{j个}) \sim N个 (0, τ)$ .

图5表明对于三个参数，迭代350后有一个很好的近似值，因此我们选择 ${K（K）}_{0} = 350$

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图5。

$第页, σ, τ$ EM估算。

最后100次迭代的平均值和分位数( $95 %$ )表中给出了获得的估计值三.

表3。

平均值和分位数( $95 %$ )从1000个模拟数据集和间隔时间内每条路径的1500个长度中获得的参数估计值 $[0, 15]$ .

参数	真值	估算员	分位数95%
第页	0.40	0.413360	(0.413081,0.413790)
σ	0.25	0.251202	(0.252240,0.254720)
τ	0.10	0.103046	(0.088745,0.117238)

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4.2. 每条路径一条记录

在这一节中，我们提出了一种方法，当我们从解决方案的适当数量的路径中的每个路径中只有一个测量值时，可以估计参数。其动机是适用于具有此特征的真实数据。我们将假设每个轨迹都来自相同的随机过程。然后，当我们将此应用于实际数据时，这意味着每个测量值都来自属于同一潜在人群的个人。

从过程的采样路径生成具有这些特征的数据集，该过程是方程的解(三)，我们将使用算法2。鉴于θ和值α和β为了生成数据集的路径，该算法的工作原理如下。

如果我们使用算法2生成N个路径，我们可以使用表达式(6)和(8)估计θ。对于我们有初始观测数据集的情况 ${{P（P）}^{米} (0)}_{米 = 1}^{M（M）}$ 我们可以使用它作为Beta分布的样本，并获得相应的MLEα和β（参见第节5.2).

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模拟研究。这里，我们展示了一个小型模拟研究的结果，其中我们使用，即。N个 = 1000.通过算法2获得每条路径n个 = 间隔时间内为1000 $[0, 10]$ 具有初始分布 $B类 e（电子） t吨一 (1, 20)$ 。参数值为第页 = 5和 $σ = 0.4$ 估算结果见表4.

表4。

平均值和分位数( $95 %$ )从1000个模拟数据集和间隔时间内每条路径的1000个长度中获得的参数估计值 $[0, 10]$ .

参数	实际价值	估算员	分位数95%
第页	5	4.963997	(4.792340,5.142983)
σ	0.4	0.402344	(0.399762,0.429351)

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5.应用于实际数据

5.1. 数据描述

我们选择了这种巨大的电光，因为它是在加利福尼亚州比萨罗湾的手工鱼鳃渔业中捕捉到的最常见的物种之一等。[2]. 此外，在蝙蝠类的官方捕捞报告中，没有按物种分列的记录，这使人们对渔业对鱼类种群的影响的理解更加复杂。因此，此类研究对于估计种群参数（例如。第页和k个对于von Bertalanffy模型），该模型提供了软骨鱼类的生物生产力分析，软骨鱼类广泛用于识别生物脆弱性高的物种，并且在历史渔获量系列中受影响最大（Musick[39]，张等。[11]和Salomón-Aguilar等。[46]).

2013年10月至2015年12月，在位于加利福尼亚湾南部（北纬24“25'，西经110”18'）的巴伊亚德拉巴斯（Bahía de La Paz）南部采集了巨型电波样本。手工渔民使用传统上称为单丝刺网（长200–300米，高1.5米，20–25厘米伸缩网）捕获这些生物大灰熊它们于下午设置在沙质海底10至30米深处，第二天早上恢复。测量每个个体的总长度（TL，cm），并通过雄性交配器官的存在来确定其性别。从每个标本的腹部采集脊椎。每个椎体的半径在跟骨体使用SigmaScan Pro 5.0.0软件（SPSS Inc）沿直线穿过每个脊椎的焦点。根据TL绘制椎体半径（VR），并测试其线性关系，以确定这些椎体是否适合用于年龄测定和之前年龄段长度的反向计算估算。然后，两位读者在不知道样本的性别或大小的情况下，同时进行了独立的条带计数。样本数量为N个 = 244

我们观察到数据来自捕鱼，因此每一条数据都是唯一的，这意味着样本中的每个个体都只在一个时间点测量一次。然后，为了使用本文提出的方法，我们进行了以下工作。由于样本假定来自划定得很好的地理区域内的同一物种，因此我们将通过连接样本中的数据来构建样本路径。然而，我们将以这样一种方式加入它，从而获得不断增长的路径。

5.2. 一次观察和完整的数据

我们提出了一个应用于实际数据库的估计过程。根据算法2，使用实际数据对过程的轨迹进行采样。然后，基于这些路径，我们估计相应的参数。

统计估计分为两种情况。第一种情况假设路径代表完整的数据，即观察值代表连续的路径。在这种情况下，为了估计参数，我们采用了三.

第二种情况是我们假设获得的路径代表连续时间过程的离散时间观测值。对于此场景中的估计，我们应用算法1。

在这两种情况下，我们都考虑1000条路径的数据库，即。M（M） = 1000.对于每条路径，n个 = 当时只有12人( ${t吨}_{三}, \dots, {t吨}_{14}$ )我们假设在时间上有两个离散化。所获得的估计值在适当的缩放范围内是唯一的（见附录2）。

表5显示了每个场景的结果。EM算法以500次迭代运行；估计量是最后200次迭代的平均值。我们对初始参数使用了连续情况的估计。

表5。

使用不同尺度从1000个模拟数据集和每条路径中的1000个观测值中获得的参数估计的平均值。

参数	相对长度单位 $Δ = 0.1$	续。 $Δ = 0.1$	相对长度单位 $Δ = 0.01$	续。 $Δ = 0.01$
第页	0.270067	0.359245	2.700672	3.592446
σ	0.154958	0.179908	0.490019	0.568920

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使用获得的估计量，我们对1000条反向时间路径进行采样，以完成关于缺失年份（年龄0和1）的信息，并由此获得一个样本来拟合过程的初始分布。初始分布为 $贝塔 (98.34421, 120.3345)$ 和 $贝塔 (94.63204, 127.14244)$ 分别针对连续和离散情况。现在，使用获得的初始分布和MLE，我们为每种情况模拟了1000个轨迹。平均值、置信区间和95%分位数如图所示6对于连续和离散情况。

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图6。

估计中考虑的两种情景的区间置信度。

在拟合的情况下，当我们假设信息是完整的（连续的情况），我们可以在图中看到图6（a）6（a）不合身。特别是，使用这种方法，轨迹被高估了。

另一方面，如果我们只在离散时间观察扩散过程，我们将其连续时间路径解释为丢失信息，并结合算法1和2来获得参数估值器，得到了很好的拟合，见图图66（b） ●●●●。

5.3. 模型的验证

本小节专门用于验证实际数据的随机模型。我们表明残差是高斯的，这意味着噪声B类英寸(三)实际上是布朗运动。

首先，通过将Lamperti变换应用于方程(三)，我们获得

d日 日志 (\frac{P（P） (t吨)}{P（P） (0)}) = (\frac{第页 P（P） (t吨) [1 - P（P） (t吨)]}{P（P） (t吨)} - \frac{1}{2} σ^{2}) d日 t吨 + σ d日 B类 (t吨)

(16)

由此，我们可以定义增量 $Δ B类 ({t吨}_{k个})$ 作为

\begin{aligned} Δ B类 ({t吨}_{k个}) & := B类 ({t吨}_{k个}) - B类 ({t吨}_{k个 - 1}) \\ = \frac{1}{σ} [日志 (\frac{P（P） ({t吨}_{k个})}{P（P） (0)}) - 日志 (\frac{P（P） ({t吨}_{k个 - 1})}{P（P） (0)}) - (第页 [1 - P（P） ({t吨}_{k个})] - \frac{1}{2} σ^{2}) Δ_{t吨}] . \end{aligned}

(17)

我们将参数的估计值 $第页, σ$ 进入之内 $Δ B类 ({t吨}_{k个})$ 然后我们得到残差 $\hat{Δ B类} ({t吨}_{k个})$ 那么，如果我们证明了这一点 $\hat{Δ B类} ({t吨}_{k个})$ 均数为零且方差有限的高斯分布，则我们得出结论，该模型适合于实际数据。图7显示了实际数据1000条路径的残差与相同大小的高斯随机变量零均值和样本的QQ图 $Δ = 0.01$ 方差。

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图7。

分位数-分位数残差与高斯。

关于图中观察到的异常值图7，7，我们现在对此进行解释。

首先，我们观察到，在数据的年龄（长度）频率分布中，分布的上端（体型和年龄较大的个体）代表性较差；而分布的下限（小尺寸和年龄个体的分布）具有零表示。

在前一种情况下，首先是因为小个体不易受到渔民使用的渔具的伤害。事实上，孵化的幼崽的尺寸不到10厘米，这是渔民使用的网状物开口的测量值，可以让生物逃脱。年轻人代表性为零的第二个原因是，这些尺寸通常分布在渔民不工作的其他地区（繁殖区）。

就老年人而言，这与他们的丰度较低这一事实有关，因为他们已经暴露在自然死亡（他们达到了最大年龄）的可能性中，或者因为他们以前被抓到过，所以在老年人中存活的可能性不大。

由于12岁有两条记录，13岁和14岁只有一条记录，零岁的大小是用估计参数的贝塔随机变量生成的，这解释了图中的原因图77我们可以观察到：

残差的某些四分位数中的偏差。
初始样本值特别小时的异常值。

然而，年龄从2岁到11岁的记录包含足够的信息来生成一个好的数据集，我们用它来获得估计量并拟合模型。从图中图7，7，我们得出结论，残差是高斯的，这意味着随机模型(三)与数据吻合良好。

6.结束语

在本文中，我们提供了一种估计特定随机微分方程（SDE）的一些参数的方法，即简单乘性噪声驱动的logistic SDE。该方法显示了本工作中考虑的三种可用数据场景的一致性。事实上，我们表明该方法很好地估计了溶液过程模拟路径的扩散和漂移参数。

我们相信本文提出的估计方法可以在一些额外的假设下进行扩展，以涵盖其他类型的SDE。这将是作者未来研究的主题。此外，该方法还可以应用于其他类型的数据。

在生态学中，生长模型的可变性通常与数据有关。因此，观测不确定性的概念得到了认可，这意味着变异性的主要来源是为每个个体测量的年龄或长度[42]. 这是因为对生物样品的年龄读数、年龄验证（定义时间性，即脊椎或鱼类平衡石中生长标记的形成）和长度结构进行了误差测量，从而影响了参数值和理论生长曲线对观测数据的拟合[9]. 本文提出了一种新的方法，即直接根据生长参数估计生长模型中的变异性第页而长度结构的变异性是由Beta分布进行统计控制的；这种方法包含了一个生物学概念，试图考虑到种群中的每个个体都可能具有不同的增长率，正如用于拟合电射线真实数据的SDE所展示的那样安替米多钠.

应用于实际数据库的估计过程表明，增长类型相同，从中等到快速（根据[4])英寸安替米多钠正如其他模型（如冯·贝塔朗菲模型）所获得的那样。因此，从提出的算法中获得的信息与之前针对Cortez电波描述的鱼类生物参数（生长率）、大小结构和年龄组一致。

如今，在渔业监管方面，正在采用基于生态系统的多物种方法来制定管理计划和方案[1]因此，越来越有必要完成生物/渔业信息（例如。第页,K（K）在冯·贝塔朗菲模型中，第页, ${第页}_{0}$ 对于logistic模型等）的商业重要物种和附带物种，应用分析模型以获得最大可持续产量，了解资源的健康状况和恢复力。尽管缺少关于弹性鳃类的数据，但这一目的可以通过我们在这里提出的模型来实现，因为它可以调整到其他具有类似生活史特征的蝙蝠类物种N.恩特梅多尔; 此外，它将允许适用《负责任渔业行为准则》[20]由于有了尽可能可靠的信息，在不久的将来，基于不同情景的人口统计学研究的基本工具将产生更可靠的渔业管理指南，而目前软骨鱼类很少使用这些工具。

致谢

我们要感谢两位匿名审稿人的评论，特别是其中一位审稿人提出了有益的评论和建议，以改进我们的论文。

附录。

附录1.一致性和正态性证明第页

证明

定理证明3.1-

注意使用SDE的定义(三)到(8)，我们有

\begin{aligned} {\hat{第页}}_{M（M） L（左）} & = \frac{1}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \\ \times \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} \\ \times [第页 P（P） (t吨) [1 - P（P） (t吨)] d日 t吨 + σ P（P） (t吨) d日 B类 (t吨)] \\ = \frac{第页}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \\ \times \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} P（P） (t吨) [1 - P（P） (t吨)] d日 t吨 \\ + \frac{1}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \int_{0}^{T型} \frac{(1 - P（P） (t吨))}{P（P） (t吨)} σ P（P） (t吨) d日 B类 (t吨) \\ = \frac{第页}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨 \\ + \frac{σ}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) \\ = 第页 + \frac{σ}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨), \end{aligned}

（A1）

然后，

{\hat{第页}}_{M（M） L（左）} - 第页 = σ \frac{1}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) .

（A2）

然后，为了证明结果，我们只需要研究(A2类)没有常数σ.

关注平等中的正确术语(A2类). 我们可以改写为

\begin{aligned} \frac{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨)}{变量 (\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨))} & \times \frac{变量 (\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨))}{\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨} \\ =: 问_{1} (T型) \times 问_{2} (T型) . \end{aligned}

我们现在学习这个术语 $问_{1} (T型)$ 。通过把握第一和第二个瞬间，我们做到了

\begin{aligned} E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) = 0 \\ 变量 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) = E类 {(\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨))}^{2} \\ = E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨, \end{aligned}

因此， $问_{1} (T型)$ 零均值和方差等于1T型>0。由此，我们推断

\underset{T型 \to \infty}{林} 问_{1} (T型) = 0, 在里面 {L（左）}^{2},

这意味着

\underset{T型 \to \infty}{林} 问_{1} (T型) = 0, 在里面 可能性 .

我们现在转向 $问_{2} (T型)$ .我们考虑随机变量 $1 / 问_{2} (T型)$ 计算它的第一个力矩，

E类 | \frac{1}{问_{2} (T型)} | = \frac{E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨}{变量 (\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨))} = 1,

为所有人T型>0.由此，我们有了极限

\underset{T型 \to \infty}{林} \frac{1}{问_{2} (T型)} = 1, 在里面 {L（左）}^{1},

根据这个表达式，我们推断

\underset{T型 \to \infty}{林} 问_{2} (T型) = 1, 在里面 {L（左）}^{1},

这意味着

\underset{T型 \to \infty}{林} 问_{2} (T型) = 1, 在里面 可能性 .

最后，根据Slutsky定理，我们得出以下结论

\underset{T型 \to \infty}{林} 问_{1} (T型) 问_{2} (T型) = 0, 在里面 可能性 .

这证明了(9).

为了显示正常，我们注意到

E类 {(\int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨))}^{2} = E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨))^{2} d日 t吨

为所有人T型>0，我们由此推断

\underset{T型 \to \infty}{林} \frac{1}{E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)^{2}) d日 t吨} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) = 1,

在里面 ${L（左）}^{2}$ ，这意味着

\underset{T型 \to \infty}{林} \frac{1}{E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)^{2}) d日 t吨} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) = 1,

概率。因此，根据鞅的中心极限定理，我们得到了

\begin{aligned} \underset{T型 \to \infty}{林} \frac{1}{\sqrt{E类 \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)^{2}) d日 t吨}} \int_{0}^{T型} (1 - P（P） (t吨)) d日 B类 (t吨) \\ = N个 (0, 1), \end{aligned}

分配中。此外，由于 $\underset{T型 \to \infty}{林} 问_{2} (T型) = 1, 在里面可能性 .$ 因此，根据Slutsky定理，我们得出如下结论

\underset{T型 \to \infty}{林} ({\hat{第页}}_{M（M） L（左）} - 第页) = N个 (0, σ^{2}), 在里面 分布 .

这证明了(10). 这就完成了证明。

附录2.规模变化和估算精度

我们提供了一个模拟研究，以说明估计量在尺度变化时是唯一的。此外，我们使用这些结果来说明根据现有数据估计参数的精度。

我们考虑以下给出的路径SLDE的模拟(2)带参数第页 = 0.4和 $σ = 0.25$ 在时间间隔内 $[0, 10]$ 具有 $Δ := Δ_{1000} = 0.01$ .

要测量精度，请使用(6)和(8)，我们基于不同的样本大小计算估计值，但使用适当的尺度，即Δ。另一方面，我们假设数据是用不同尺度观测的，我们计算估计值( ${\hat{第页}}_{M（M） L（左） E类}^{我}$ 和 $\hat{σ}$ ,我th尺度）使用这些尺度，我们证明它们是相同的估计量，但按以下方式重新标度

{\hat{第页}}_{M（M） L（左） E类}^{我} = {\hat{第页}}_{M（M） L（左） V（V）} \times \frac{T型}{Δ_{我} {n个}_{我}}

和

{\hat{σ}}^{我} = \hat{σ} \times \sqrt{\frac{T型}{Δ_{我} {n个}_{j个}}},

哪里 $Δ_{我}$ 观测值之间的距离我ht刻度和 ${n个}_{j个}$ 是数据的数量（均匀分布在 $[0, T型]$ )对于每个标尺。

三种不同尺度的结果 $Δ_{1} = 1 / 100$ , $Δ_{2} = 1 / 10$ 和 $Δ_{三} = 1 / 50$ (我 = 1、2、3、4）和七种不同的数据大小( $j个 = 1, 2, \dots, 7$ )在表中报告A1类.

表A1。

研究参数的缩放。

j个	${n个}_{j个}$	${\hat{第页}}_{M（M） L（左） E类}^{1}$	${\hat{σ}}^{1}$	${\hat{第页}}_{M（M） L（左） E类}^{2}$	${\hat{σ}}^{2}$	${\hat{第页}}_{M（M） L（左） E类}^{三}$	${\hat{σ}}^{三}$	${\hat{第页}}_{M（M） L（左） E类}^{4}$	${\hat{σ}}^{4}$
1	10	0.5379	0.3093	53.7876	3.0935	5.3788	0.9782	26.8938	2.1874
2	20	0.4704	0.2821	23.5190	1.9949	2.3519	0.6308	11.7595	1.4106
三	50	0.4348	0.2645	8.6958	1.1831	0.8696	0.3741	4.3479	0.8366
三	100	0.4239	0.2571	4.2394	0.8129	0.4239	0.2571	2.1197	0.5748
5	200	0.4188	0.2542	2.0941	0.5684	0.2094	0.1798	1.0471	0.4020
6	500	0.4154	0.2511	0.8308	0.3551	0.0831	0.1123	0.4154	0.2511
7	1000	0.4143	0.2503	0.4143	0.2503	0.0414	0.0791	0.2072	0.1770

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文章来自应用统计学杂志由以下人员提供泰勒和弗朗西斯

离散随机logistic微分方程的推导及其在生物生长中的应用

F.德尔加多·维纳斯

F.巴尔塔扎尔·利奥斯

A.奥内拉斯·巴尔加斯

E.莫拉莱斯·博约尔奎斯

V.H.克鲁兹·埃斯卡洛纳

C.萨洛蒙·阿吉拉尔

摘要

1.简介

1.1. 动机

1.2. 我们的贡献

2.一个随机logistic微分方程

3.连续情况下的参数估计

3.1. 假设连续观测的拟议方法验证

MLE鲁棒性的仿真研究

表1。

4.数据不完整情况下的估计

4.1. 离散时间观测

表2。

4.1.1. 稳健的MLE

表3。

4.2. 每条路径一条记录

表4。

5.应用于实际数据

5.1. 数据描述

5.2. 一次观察和完整的数据

表5。

5.3. 模型的验证

6.结束语

致谢

附录。

附录1.一致性和正态性证明第页

定理证明3.1-

附录2.规模变化和估算精度

表A1。

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