自然界中第一条椭圆曲线。这是一个模型模数曲线\（X_1（11）\）。
\（y^2+y=x^3-x^2）
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(使均匀化,简化) |
\（y^2z+yz^2=x^3-x^2z\）
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(去均质,简化) |
\（y^2=x^3-432x+8208）
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(使均匀化,减少) |
sage：E=椭圆曲线（[0，-1，1，0，0]）
岩浆：E:=椭圆曲线（[0，-1，1，0，0]）；
奥斯卡奖：E=椭圆曲线（[0，-1，1，0，0]）
圣人：E.short_weierstrass_model（）
奥斯卡：short_weierstrass_model（E）
\（\Z/{5}\Z\）
\（\左（0，0\右）\）
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sage：E.torsion_subgroup（）.gens（）
\（\左（0，0\右）\），\（\左
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不变式
| 导线: |
\( 11 \) |
= |
$11$ |
sage：E.conductor（）.factor（）
|
| 歧视性的: |
$-11 $ |
= |
$1\cdot 11美元$ |
sage:E.discriminant（）.factor（）
|
| j-不变量: |
\（-\压裂{4096}{11}\） |
= |
$1\cdot 2^{12}\cdot 11^{-1}$ |
sage：E.j_invariant（）.factor（）
|
| 自同态环: |
美元\Z$ |
| 几何自同态环: |
\（\Z\） |
（否势复数乘法) |
|
| 佐藤泰特集团: |
$\mathrm{SU}（2）$ |
| 假面高度: |
$1.1127287973354532519893939281\点$ |
| |
|
| 稳定的Faltings高度: |
$1.1127287973354532519893939281\点$ |
| |
奥斯卡：stable_faltings_height（E）
|
| $abc$质量: |
0.8254556483942886美元$ |
| |
|
| Szpiro比率: |
4.190241815676422美元$ |
| |
|
| 分析排名: |
$0$ |
|
| 调节器: |
$1$ |
G=E.gen\\如果可用 matdet（ellheightmatrix（E，G））
|
| 实际期间: |
6.3460465213977671084439730838美元\点$ |
鼠尾草：E.period_llatce（）.omega（）
gp：如果（E.disc>0,2,1）*E.omega[1]
岩浆：（判别（E）gt 0选择2其他1）*真实周期（E）；
|
| 田川产品: |
1美元$ |
gp:gr=全局红细胞数（E）；[[gr[4][i，1]，gr[5][i][4]]|i<-[1..#gr[4][，1]]
|
| 扭转顺序: |
$5$ |
|
| Ш的分析顺序: |
$1$（精确） |
鼠尾草：E.sha（）.an_numerical（）
岩浆：MordellWeilShaInformation（E）；
|
| 特殊值: |
1美元≈0.25384186085591068433775892335美元$ |
r=E.等级（）； E.lseries（）.dokchitser（）.导数（1，r）/r.阶乘（）
gp:[r，L1r]=ellanalyticcrank（E）；L1r/r！
岩浆：Lr1，其中r，Lr1:=分析等级（E:精度：=12）；
|
$\displaystyle 0.253841861 \approx L（E，1）=\frac{\#Ш（E/\Q）\cdot\Omega_E\cdot\fathrm{Reg}（E/\ Q）\cdot\prod_pc_p}{\#E（\Q）_{\rm tor}^2}\approx\frac{1\cdot 6.346047\cdot 1.000000\cdot 1}{5^2}\ approx 0.2538411861$
#BSD公式的独立SageMath代码段（检查秩，计算分析sha）
E=椭圆曲线（%s）；r=E.等级（）；ar=E.分析_等级（）；断言r==ar；
Lr1=E.lseries（）.dokchitser（）.导数（1，r）/r.阶乘（）；sha=E.sha（）.an_numerical（）；
ω=E周期_姿态（）。ω（）；reg=E.调节器（）；tam=E.tamagawa_product（）；tor=E.扭转顺序（）；
断言r==ar；打印（“分析sha:”+str（RR（Lr1）*tor^2/（omega*reg*tam））
/*BSD公式的独立岩浆代码片段（检查等级，计算分析值）*/
E:=椭圆曲线（%s）；r:=等级（E）；ar，Lr1:=分析等级（E:精度：=12）；断言r eq ar；
sha:=MordellWeilSha信息（E）；ω：=真实周期（E）*（判别（E）gt 0，选择2，否则选择1）；
reg:=调节器（E）；tam:=&*Tamagawa数字（E）；tor:=#扭子群（E）；
断言r eq ar；打印“analysis sha:”，Lr1*tor^2/（omega*reg*tam）；
模块化形式 11.2.a.年
\（q-2q^{2}-q^{3}+2q^{4}+q^{5}+2qq^{6}-2q^}7}-2 q^{9}-2-q^{10}+q^}11}-2 qq^}12}+4q^{13}+4qq^{14}-q^}-15}-4 q^{16}-2q*17}+4q*18}+O（q^{20}）\）
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\\实际模块形式，用于小N
[mf，F]=mffromell（E）
Ser（mfcoefs（mf，20），q）
\\或者只是系列
Ser（ellan（E，20），q）*q
有关更多系数，请参阅右侧的下载部分。
本地数据
这个椭圆曲线是半稳定的.那里只有一个质数属于不良还原:
岩浆：[局部信息（E，p）：BadPrimes（E）中的p]；
oscar:[（p，tamagawa_number（E，p），kodaira_symbol（E，p），reduction_type（E，p））用于bad_primes（E）中的p]
这个$\ell$-adic Galois表示有最大图像对于所有质数$\ell$，下表中列出的质数除外。
鼠尾草：rho=E.galois_representation（）；[rho.non_surjective（）中p的rho.image_type（p）]
岩浆：[GaloisRepresentation（E，p）:p in PrimesUpTo（20）]；
gens=[[316545377287]，[38,412191539]，[1，0，50，1]，[1，50，0，1]，[501，50，500，51]，[516，5，35186]]
GL（2，整数（550））.子组（gens）
基因：=[[316，545，377，287]，[38，41，191，539]，[1，0，50，1]，[1,50，0，1]、[501，50，500，51]，[516，5，35，186]]；
sub<GL（2，整数（550））|Gens>；
的图像$H:=\rho_E（\Gal（\overline{\Q}/\Q））$阿德里克·伽罗瓦表示有水平\（550=2\cdot 5^{2}\cdot 11\），指数$1200$,属37美元和发电机
$\left（\begin｛array｝｛rr｝316 & 545 \\377 & 287\end｛array｝\right）、\left（\ begin｛array｝｛rr｝38 & 41 \\191 & 539\结束{数组}\右），\左（\开始{数组{rr}1 & 0 \\50 & 1\结束{数组}\右），\左（\开始{数组{rr}1 & 50 \\0 & 1\结束{数组}\右），\左（\开始{数组{rr}501 & 50 \\500 & 51\结束{数组}\右），\左（\开始{数组{rr}516 & 5 \\35 & 186\end{array}\right）$。
扭转场$K:=\Q（E[550]）$是$\Q$的度-$19800000$Galois扩展，其中$\Gal（K/\Q）$与$H$到$\GL_2（\Z/550\Z）$的投影同构。
该曲线具有非平凡的循环等位基因，其度数为$d$for$d=$5和25。
它的同系类11.年由3条曲线组成，由度除以25。
这个椭圆曲线是它自己的最小二次扭曲.
数字字段$K$的度数小于24，因此$E（K）_｛\rm-tors｝$严格大于$E（\Q）_｛\rm-tors｝$$\cong\Z/{5}\Z$具体如下：
我们只显示扭转增长的字段原始的.
素数$p\ge的所有Iwasawa$\lambda$和$\mu$不变量7美元，共良好还原为零。
$p$-adic监管机构
所有$p$-adic监管机构都是相同的$1$，因为排名是$0$。
