动作中的及物性
传递性在数学中，关系是一种属性，在这种属性中，具有相似性质的对象可以相互独立。如果对象A与B相关，对象B与C相关，则当前的关系为传递的所提供的对象A也与C相关。做兄弟姐妹是一种传递关系，作为父母不是。
如果一条线我1垂直于另一条线我2（其数学符号为我1⊥我2)第三条线我三，我们也有我2⊥我三,那么这不是真的我1⊥我三.因此，相互正交的关系是不可传递的。另一方面，如果一个数字a除以一个数字B（a|B）和B|C，那么a|C。因此，“可被除”的关系是传递的。
一个关系的传递性是如此自然，以至于欧几里得将其作为他的第一个关系常见概念
与同一事物相等的事物也彼此相等。
在数学符号中：如果A=B和B=C，则必须A=C。这个平等是一个传递关系！乍一看，这句话缺乏内容。如果还没有达到笛卡尔的成熟度，一个同伴会喃喃自语“我就是我”，然后惊奇地重复这句话，那么平等的及物性只会暗示同样的平庸：“我是我”。不需要第三次发声。那么，为什么欧几里德和他之后的其他数学家认为有必要显式地声明一个看似空洞的属性呢？原因当然是同一对象可能以不同的形式出现，其身份可能不明显，也可能先验的已知。
顺便说一句，“我是我”这句话的准确性在数学中被抽象为另一种平等性质：自反性,A=答。并非所有关系都是反射的例如，“is divisible by”是自反的，而“being vertical to”则不是。
发件人塞瓦定理我们知道三角形中的一些直线在一点上相交。在这里，我将用一种更传统的方法来确定这些事实——使用平等的及物性。在标准符号,
- 角平分线美国铝业公司一、BLb条和CLc（c）将角度A、B和C分别等分为两部分。
- 垂直平分线竖立在中点M一，男b条、和Mc（c）垂直于相应的边。
- 海拔高度AH（AH）一，伯克希尔哈撒韦b条，中国c（c）分别垂直于边BC、AC和AB，并穿过三角形的相反顶点。
- 中间带调幅一，博姆b条、CMc（c）将顶点与相对边的中点连接起来。
您可以使用小程序检查这些行和其他行。
每一系列线路包括位点满足某些条件的点。这个词轨迹（复数位点)在几何学中代替这个词设置用于数学的其他分支。
平分线AL一（或者更确切地说是AL的整条线路一归属）是与两条直线bb和cc等距的点的轨迹，由ΔABC的AC和AB边定义。换句话说，美国铝业公司一={P:dist（P，bb）=距离（P，cc）}。这个距离函数距离（P，bb）这是豪斯道夫距离在单点集{P}和线（当然也是一组点）bb之间。两点之间的基本距离为欧几里得的.这是P到线bb的最短距离。两条线AL一和BLb条在一点I处相交。（我跳过了两个角平分线不平行的证明。）对于这一点I，dist（I，bb）=距离（I，cc）而且dist（I，cc）=距离（I，aa）。根据平等的及物性，dist（I，bb）=距离（I，aa）也就是说，点I也位于第三等分线CL上c（c）.
（更准确地说，与两条相交线等距的点的轨迹由两条垂直线组成。在三角形中，我们有4个相关点：1个内点和3个外点。要重新限定到一个点（内点），我们应该考虑由半无限直线定义的三角形的角度-射线.)
垂直平分线，比如pb一，通过点M一是与点B和C等距的点的轨迹：{P:dist（P，B）=分布（P，C）}。对于其他两个平分线，情况类似：铅b条={P:dist（P，C）=分布（P，A）}和铅c（c）={P:dist（P，B）=分布（P，A）}。如果两个平分线pb一和pbb条在O点相交，然后dist（O，B）=距离（O，C）而且dist（O，C）=距离（O，A）通过及物性，这意味着dist（O，B）=距离（O，A）。因此，O也位于第三等分线pb上c（c）.
点O与所有三个顶点的距离相等。因此，它起到了圆心三角形的圆心（外接圆)穿过所有三个顶点。
通过以下技巧，高度的情况简化为垂直平分线的情况。通过每个顶点画一条平行于对边的线。这三条线组成一个三角形，a'B'C'。ΔABC的高度作为ΔA’B’C’的垂直平分线。Q.E.D.公司。
为了证明这三个中位数在某一点相交，我引用了重心坐标对于给定的ΔABC，平面上的每个点都与唯一的三元组相关联（w）A类，周B类，周C类)具有w个A类+w个B类+w个C类= 1.如果这三个数字都是正数，则点位于ΔABC内。现在，调幅一={（wA类，周B类，周C类)：wB类=wC类}和BMb条和CMc（c）定义类似。然后，如果G是AM的交点一和BMb条，这也取决于CMc（c）.
作为另一个例子，这里有另一个事实证明由三个相交圆组成的三条弦在一点相交.
在平面上，一个圆SR（右）（C） 半径为R，中心C定义为位于距离C R处的点的轨迹：S=SR（右）（C） ={P:dist（P，C）=R}。对于任意点P，让d表示从P到C的距离：d=距离（P，C）。然后是表达式d²-R²被称为P对圆的幂 S公司R（右）（C） ●●●●。如果P具有坐标（x，y）和中心C坐标（a，b），则圆具有以下方程（x-a）²+（y-b）²=R²，或S公司R（右）（C） ={（x，y）：（x-a）²+（y-b）²=R²}。P相对于圆的幂由以下表达式定义
(1)
功率（P，S）=（x-a）²+（y-b）²-R²
具有正幂的点位于圆的外部，具有负幂的点则位于圆的内部。圆本身是具有零次幂的点的轨迹。对于圆具有相同幂的点位于同心的圆形。
让我们有两个非中心的圆（即具有不同中心的圆）S1=SR（右）1（C）1)和S2=秒R（右）2（C）2). 那么，对于两个圆具有相同幂次的点的轨迹是一条垂直于中心线路C1C类2.使用（1）表示功率（P、S1)=功率（P、S2)作为
(2)
（x-a）1)²+（y-b1)²-右1²=（x-a2)²+（y-b2)²-右2²
显然，平方项抵消了剩下的线性方程，即直线方程。这条直线称为径向轴两个圆圈中的一个。确定根轴垂直于中心线的最简单方法是选择坐标，使中心位于x轴上。然后b1=b2= 0并且，在抵消后，（2）不包含y项，这正好意味着直线垂直于x轴。
现在让我们绕两圈S1和S2在两点处相交。点的力量在一个为0的圆上，S的两个交点1和S2显然位于两个圆的根轴上。因此，两个相交圆的根轴是通过其交点的直线。问题是三个常见和弦然后简单地断言三个相交圆的成对根轴在一点上相交。这一点对于所有三个圆都具有相同的幂。然而，从前面关于及物性的讨论中可以明显看出，对于任何不一定相交的三个圆，三个根轴在一点上相交。唯一的限制是没有两个圆是同心的。该点称为根中心三个圆中的一个。（有一个施工问题这很容易用根心的概念来解决。）
（径向轴也可以通过赤平投影.)
此外，在任何三角形中，反平行线与顶点相邻的边悉尼人通过这个顶点是相等的。通过及物性，这三个反平行体通过symmedian（Lemoine）点都是平等的。
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