带诗句的僧伽

以下的Sangaku写于1825年，写于东京都，但后来消失了。它涉及到现在很少使用的正矢量和从顶点到圆的距离。

假设MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，我们得到

(1)	4·MP·NQ=AI².

它揭示了在不同于相关问题.

假设MP和NQ分别是AB和AC的垂直平分线，我们得到

(1)	4·MP·NQ=AI².

设A'，B'，C'分别是与BC，AC和AB的切点。介绍

a'=AB'=AC'=p-a，
b'=BA'=BC'=p-b，
c’=CA’=CB’=p-c，

其中p是半周长p=（a+b+c）/2。请注意p=a'+b'+c'。证明基于两个引理。

(2)	第页²p=a'b'c'，

其中r是ΔABC的半径。

由Heron公式，面积S可以从中获得

S公司²=pa'b'c'，

而且S=rp，它提供(2).

如果NQ=d₁且MP=d₂然后

(3)	a’c’=r²+第2名₁、和 a'b'=r²+第2名₂.

我们使用已知关系在三角形的角之间

(4)	婴儿床（A/2）+婴儿床（B/2）+婴儿床（C/2）=婴儿床（A/2）·婴儿床（B/2）·婴儿床（C/2）。

请注意AQN=（π-B）/2，因此cot（B/2）=AN/NQ。因此替换为(4),

a'/r+（a'+c'）/（2d₁)+c'/r=（a'/r）（（a'+c'）/（2d₁))（c’/r），

这将导致

1/r+1/（2d₁)=a’c’/（2d₁第页²).

这样我们就得到了'c'=r²+第2名₁，中的第一个方程式(3)第二个是类似的。

在中添加方程式(3):

a'（b'+c'）=2r²+2r（天₁+d日₂),

并将方程式相乘(3)我们得到

a'b'c'=2r²（r+2d₁)（r+2d₂)/a’。

形式为r（a'+b'+c'）=a'b'c'的引理1给出

第页²（a'+（2r²+2r（2d₁+二维₂)/a’）=r²（r+2d₁)（r+2d₂)/a'，

导致（a'）²+第页²=4天₁d日₂，但是（a’）²+第页²=人工智能².

如果我们使用k，l，m（如相关问题)对于MP、NQ和被BC截断的圆形段的高度，则为(1)表明

klm=8·AI·BI·CI。

桑加库

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