重心坐标系下的斯坦纳椭圆

在其他地方，我们推导了重心坐标下的方程斯坦纳的无能雅各布·斯坦纳（Jacob Steiner）的名字还与一个独特的椭圆有关，该椭圆穿过给定三角形的顶点，其中心位于三角形的形心。请注意，inellipse也具有此属性。这是因为一个是外接圆的图像，另一个是内切圆的图像。在仿射变换下，外切圆将等边三角形映射到给定的外切圆上。

证据来自这样一个事实，即斯坦纳的$\Delta ABC$的外接圆是斯坦纳对反补体的$\增量A'B'C'.$这是因为椭圆和三角形共享同一个中心（在三角形的情况下是质心）。此外，外椭圆是同调中心位于公共质心，系数$-2$

我将使用大写字母指定与$\Delta A'B'C'关联的仿射坐标。$因此，斯坦纳的外接圆被描述为

(*)

$X^2+Y^2+Z^2=2（XY+YZ+XZ）$

我们必须将其转换为重心坐标$x:y:z$中与$\Delta ABC相关的方程$

在$\Delta ABC的重心中，$$A'=（-1:1:1）、$$B'=（1:-1:1）和$$C'=（1:1:-1）这意味着，对于点$P=（X:Y:Z）$

$\开始{align}P&=XA'+YB'+ZC'\\&=X（-A+B+C）+Y（A-B+C”）+Z（A+B-C）\\&=（-X+Y+Z）A+（X-Y+Z”）B+（X+Y-Z）C，\结束{对齐}$

因此，我们可以采用以下表达式作为坐标$P（x:y:z）$：

$x=-x+Y+Z\\y=X-y+Z\\z=X+Y-z$

因此，例如，添加最后两个方程，我们得到$X=\frac{1}{2}（y+z）类似地，$y=\frac{1}{2}（x+z），$和$z=\frac{1}}{2neneneep（x+y）。$可替换为（*）：

$（y+z）^2+（x+z）*2+（x+y）^2=2$

很容易验证这是否等同于

$xy+yz+zx=0$

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